2024年沪教版上海新高考一轮复习03-函数的概念与性质

第3讲 函数的概念与性质
以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏下难度.
1.函数的概念
概念
一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数
三要素 对应关系 y ＝f (x )，x ∈A 定义域 x 的取值范围
值域 与x 对应的y 的值的集合{y |y =f (x )|x ∈A }
2.同一个函数
(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同. (2)结论：这两个函数为同一个函数. 3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法. 4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. 常用结论：
1.直线x ＝a (a 是常数)与函数y ＝f (x )的图像至多有1个交点.
2.注意以下几个特殊函数的定义域： (1)分式型函数，分母不为零的实数集合.
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.
(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合. (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}.
(5)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .
5.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果∀x 1，x 2∈D
当x 1＜x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，那么
就称函数f (x )在区间D 上单调递增，
特别地，当函数f (x )在它的定义域上
单调递增时，我们就称它是增函数
当x 1＜x 2时，都有f (x 1)≥f (x 2)，
那么就称函数f (x )在区间D 上单
调递减，特别地，当函数f (x )在
它的定义域上单调递减时，我们
就称它是减函数
课堂引入
知识梳理
自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间.
常用结论：
1.有关单调性的常用结论
在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.
(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期. 常用结论：
1.函数周期性的常用结论
对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0).
(2)若f (x ＋a )＝1
f （x ）
，则T ＝2a (a >0).
(3)若f (x ＋a )＝－1
f （x ）
，则T ＝2a (a >0).
2.对称性的四个常用结论
(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称. (2)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图像关于点(b ，0)中心对称.
(3)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a ＋b
2
对称；特别地，当
a ＝
b 时，即f (a ＋x )＝f (a －x )或f (x )＝f (2a －x )时，则y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称.
(4)若函数y ＝f (x )满足f (x )＋f (2a －x )＝2b ，则y ＝f (x )的图像关于点(a ，b )对称.特别地，当b ＝0时，即f (a ＋x )＋f (a －x )＝0或f (x )＋f (2a －x )＝0时，则y ＝f (x )的图像关于点(a ，0)对称.
3.函数y ＝f (x )(f (x )>0或f (x )<0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1
f （x ）
的单调性相反.
1．图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是（ ）
① ② ③ ④
A ．①②
B ．①④
C ．①②④
D ．③④
2．函数()021
(1)32
x f x x x +=
+−−的定义域为（ ）
A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．()2,11,3∞⎛⎫
⋃+ ⎪⎝⎭
C ．()2,11,3∞⎡⎫
⋃+⎪⎢⎣⎭
D ．2,3⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭
3．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ） A ．2()x x
f x x
−=，()1g x x =− B ．2()f x x =，()2
()g x x =
C ． 22f x x ，()22g t t ＝－
D ．()11f x x x =+⋅−，2()1g x x =−
4．给出下列说法：
①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应； ②函数的定义域和值域一定都是无限集；
③若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素； ④对于任意的一个函数，如果x 不同，那么y 的值也不同； ⑤()f a 表示当x a =时，函数()f x 的值，这是一个常量． 其中说法正确的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
例题分析
模块一：函数的概念
5．若函数y =[)0,∞+，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,4 B ．()4,+∞ C ．[]0,4 D ．[)4,+∞
6．已知函数()2
268f x x x +=++，则函数()f x 的解析式为（ ）
A ．()2
2f x x x =+ B ．()2
68f x x x =++
C ．()2
4f x x x =+ D ．()2
86f x x x =++
7. 已知函数()f x R ，则m 的取值范围为______．
8. 设函数()
23
f x x =−，()
g x ()()⋅f x g x 的定义域为______．
9. 已知()123f f x x x ⎛⎫
+−= ⎪⎝⎭，()0x ≠，则()f x 的解析式为________．
10. 求下列函数定义域
（1）已知函数()f x 的定义域为()0,1，求2()f x 的定义域. （2）已知函数()21f x +的定义域为()0,1，求()f x 的定义域 （3）已知函数()1f x +的定义域为[]2,3−，求2(22)f x −的定义域. （4）设函数()f x 的定义域为[]3,1−，则()()()g x f x f x =+−的定义域.
（5）若()f x 的定义域为[]35−，
，求()()(25)x f x f x ϕ=−++的定义域
11. 设()2
6f x mx nx =++，已知函数过点()1,3，且函数的对称轴为2x =.
(1)求函数的表达式；
(2)若[]13,x ∈−，函数的最大值为M ，最小值为N ，求M N +的值.
1. 当()0,x ∈+∞时，幂函数()
253
1m y m m x −−=−−为减函数，则实数m 的值为（ ）
A ．2m =
B ．1m =−
C ．1m =−或2m =
D ．15
2
m ±≠
2. 设函数2()2(4)2f x x a x =+−+在区间(,3]−∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．7a ≥− B ．7a ≥
C ．3a ≥
D ．7a ≤−
3. 已知函数()246,0
6,0x x x f x x x ⎧−+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是（ ）
A ．()()3,13,−+∞
B ．()(),12,3−∞−
C ．()()1,13,−+∞
D ．()
(),31,3−∞−
4. 已知()f x 是定义在[2b ，1]b −上的偶函数，且在[2b ，0]上为增函数，则(1)(2)f x f x −的解集为( ) A ．21,3⎡⎤
−⎢⎥⎣⎦
B ．11,3⎡⎤−⎢⎥⎣⎦
C ．[]1,1−
D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
例题分析
模块二：函数的性质
5. 二次函数()22f x ax a =+在区间2
,a a −⎡⎤⎣⎦
上为偶函数，又()()1g x f x =−，则()0g ，32g ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，()3g 的大小关系为（ ）
A ．3(0)(3)2g g g ⎛⎫
<< ⎪⎝⎭
B ．3(0)(3)2g g g ⎛⎫
<< ⎪⎝⎭
C ．3(3)(0)2g g g ⎛⎫
<< ⎪⎝⎭
D ．3(3)(0)2g g g ⎛⎫
<< ⎪⎝⎭
6. 已知()f x 是R 上的奇函数，且(2)(),(1)3f x f x f −==，则(2022)(2023)f f +=（ ） A ．3− B ．1− C ．1 D ．2
7. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()110f x f x −++=，若()03f =，则()()20222023f f +=（ ）
A ．0
B ．-3
C ．3
D ．6
8. 若定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x −=，在区间()0,1上，有
()()()12120x x f x f x −−>⎡⎤⎣⎦，则下列说法正确的是（ ）
A ．函数()f x 的图像关于点()1,0成中心对称
B ．函数()f x 的图像关于直线2x =成轴对称
C ．在区间()2,3上，()f x 为减函数
D ．7223f f ⎛⎫⎛⎫−> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
9. 已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，若()12f x −为奇函数，()12g x +为偶函数，则（ ）
A ．()()f x g x +的图像关于直线1x =对称
B ．()()f x g x +的图像关于直线1x =对称
C ．()()f x g x −的图像关于点()1,0对称
D ．()()f x g x −的图像关于点()1,0对称
10. 已知定义在R 上的函数113()e e (1)x x f x x x −−=−+−+，满足不等式(4)(23)2f x f x −+−≥，则x 的取值范围是（ ）
A ．(,2)−∞
B ．(,2]−∞
C ．(,2)−∞−
D ．(,2]−∞−
11. 已知函数()322
()(1)ln 2f x a x x x =−+++为R 上的偶函数，则不等式(21)()f x f a −的
解集为（ ） A ．[2,2]− B ．[1,2]− C ．[1,1]− D ．[0,1]
12. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()22f x x =−+ .若对任意的[]1,2x ∈−，()()f x a f x +>成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()0,2
B ．()()0,2,6−∞
C ．()2,0−
D ．()()2,06,−+∞
13. 已知函数()f x 是定义域为R 的函数，()()20f x f x ++−=，对任意1x ，[)
21,x ∈+∞()12x x <，均有()()210f x f x −>，已知a ，b ()a b ≠为关于x 的方程22230x x t −+−=的两
个解，则关于t 的不等式()()()0f a f b f t ++>的解集为（ ） A ．()2,2− B ．()2,0− C ．()0,1 D ．()1,2
14. 已知函数()y f x =的定义域为R ，且函数(1)=−y f x 的图像关于点(1,0)对称，对于任
意的x ，总有(2)(2)f x f x −=+成立，当(0,2)x ∈时，2()21f x x x =−+，函数2
()g x mx x
=+（x ∈R ），对任意x ∈R ，存在t ∈R ，使得()()f x g t >成立，则满足条件的实数m 构成的集合为（ ） A ．1{|}4≤m m
B ．1
{|}4<m m
C ．1
{|0}4
<≤m m
D ．1
{|}4
>m m
15. 已知函数()f x 的定义域为R ，对任意x 都有()()22f x f x +=−，且()()f x f x −=，下列结论正确的是________.(填序号) ①()f x 的图像关于直线2x =对称； ②()f x 的图像关于点()20,对称； ③()f x 的最小正周期为4； ④()4y f x =+为偶函数．
16. 已知函数()|1|||f x x x t =++−的图像关于2x =对称，则t 的值是_______
17. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()f x 为奇函数，其图像关于直线2x =对称．当[]
0,4x ∈时，()2
4f x x x =−，则()2022f =____.
18. 已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =−+． (1)求0x <时，函数()f x 的解析式；
(2)若函数()f x 在区间[1,2]a −−上单调递增，求实数a 的取值范围．
19. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线1x =对称. (1)求证：()f x 是周期为4的周期函数；
(2)若()()01f x x x =≤≤，求[]5,4x ∈−−时，函数()f x 的解析式.
1. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时()2
f x x =，对任意的[]1,1x a a ∈−+，
恒有()()23f x a f x +≥，则实数a 的最大值为_____．
2. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x −++=，当[]1,0x ∈−时，()2
2f x x x =+，
若()0f x x b −−≥对一切R x ∈恒成立，则实数b 的最大值为______．
3. 已知函数29,1
()43
8,1
2x ax x f x x a x x ⎧−+≤⎪
=⎨+−+>⎪⎩
，若()()1f x f ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．
例题分析
模块三：函数不等式恒成立问题
4. 已知函数()22121x f x x ⎛
⎫=− ⎪+⎝⎭
若对任意的[]3,3m ∈−，都有()()10f ma f a m +−+≥恒成
立，则实数a 的取值范围为______．
5. 已知函数()f x 的定义域()(),00,D =−∞+∞∪，对任意的1x ，2x D ∈，都有()()()12123f x x f x f x =+−，若()f x 在()0,+∞上单调递减，且对任意的[)9,t ∈+∞，()
f m >−恒成立，则m 的取值范围是______．
6. 已知函数f (x )对∀x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x ＜0时，f (x )＞0，且f (1)＝－2. (1)证明函数f (x )在R 上的奇偶性； (2)证明函数f (x )在R 上的单调性；
(3)当x ∈[1，2]时，不等式f (x 2－mx )＋f (x )＜4恒成立，求实数m 的取值范围.
7. 已知奇函数()21
21
x x a f x ⋅−=+的定义域为[]2a b −−，.
(1)求实数,a b 的值；
(2)当[]12x ∈，
时，()220x mf x ++>恒成立，求m 的取值范围.
1. 函数21(1)y x x =−<−的反函数是___________.
2. 函数2()3f x x x =−的单调增区间是___________.
3. 设2
()1
x f x x =
−，1
()x g x x
−=，则()()f x g x ⋅=__________﹒ 4. 若函数()f x 的定义域为[]22−,
，则函数(21)f x −的定义域是___________. 5. 函数2()2(1)2f x ax a x =+−+在(,4]−∞上为严格减函数，则a 的取值范围是_________． 6. 若函数2()f x x x a =−+的定义域是R ，则实数a 的取值范围是________.
7. 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()2
4f x x ax =−+．若
()y f x =的值域为R ，则实数a 的取值范围是______．
8. 函数22321
1
x x y x −−=−的值域是___________.
师生总结
随堂检测
9. 若函数()f x 是定义在()0,∞+上的严格增函数，且对一切x ，
0y >满足()()x f f x f y y
⎛⎫
=− ⎪⎝⎭
，则不等式()()1322⎛⎫
+−< ⎪⎝⎭
f x f f x 的解集为___________.
10. 已知()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()32
1f x g x x x −=++，则
()()22f g +=___________.
11. 已知3a >−，且函数[]()33,y x b x a ∈=+−是奇函数，则a b +=___________.
12. 已知函数1x x a y =++−的图像关于直线1x =对称，则该函数的最小值是___________. 13. 已知函数()f x 满足：任意给定x ∈R ，都有(3)(1)f x f x +=−，且任意1x ，[)22,x ∈∞＋，
()()1212
0f x f x x x −<−（12x x ≠），则下列结论正确的题号是___________．
（1）()
2
514f a a f ⎛⎫−++≤ ⎪⎝⎭
；
（2）任意给定x ∈R ，()()2f x f ≤；
（3）()()
03f f >； （4）若()()
1f m f >−，则15m −<<． 14. 已知函数()()2,0,
1
,0,
x a x f x x a x x ⎧−≤⎪
=⎨++>⎪⎩
若()0f 是函数()f x 的最小值，则实数a 的取值范围为_________．
15. 已知函数()800
x x f x x x a x ⎧−
<⎪=⎨
⎪−≥⎩
，若对任意的[)12,x ∈+∞，都存在[]22,1x ∈−−，使得
()()12f x f x a ⋅≥，则实数a 的取值范围为___________.
16. 已知函数()y f x =与()y g x =的图像关于y 轴对称，当函数()y f x =与()y g x =在区间
[,]a b 上都是严格增函数或都是严格减函数时，就把区间[,]a b 叫做函数()y f x =的“不动区
间”．若区间[1,2]是函数2
()y x a =−的“不动区间”，则实数a 的取值范围为________．
1. 下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ） A ．()f x x =，()2g x x = B ．()2
f x x =，()()2
g x x =
C ．()21
1
x f x x −=−，()1g x x =+
D ．()11f x x x =+⋅−，()21g x x =−
2. 设函数()f x 的定义域为R ．则“()f x 在R 上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要
D ．既不充分也不必要
3. 函数y =f (x )与函数y =g (x )的图像如图1和图2，则函数y =f (x )∙g (x )的图像可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4. 函数11
()f x x
=，211()()f x x f x =+，…，11()()n n f x x f x +=+，…，则函数2018()f x 是
（ ）
A ．奇函数但不是偶函数
B ．偶函数但不是奇函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数又不是偶函数
巩固练习
5. 定义在R 上的函数()f x ，若存在R a ∈且0a ≠，使得()()()f x a f x f a +>+恒成立，则称()f x 具有“P 性质”.已知()1f x 是R 上的增函数，且()10f x ≤恒成立；()2f x 是R 上的减函数，且存在00x <，使得()200f x =，则（ ） A ．()1f x 和()2f x 都具有“P 性质”
B ．()1f x 不具有“P 性质”，()2f x 具有“P 性质”
C ．()1f x 具有“P 性质”，()2f x 不具有“P 性质”
D ．()1f x 和()2f x 都不具有“P 性质”
6. 已知函数()()()21
51Z m f x m m x m +=−+∈为幂函数，且为奇函数.
(1)求m 的值，并确定()f x 的解析式；
(2)令()()g x f x =y g x 在1,12x ⎡⎤
∈−⎢⎥⎣⎦
的值域.
7. 已知函数2
()1ax b
f x x +=+是定义在(1,1)−上的奇函数，且
12()25f =. (1)求a ，b 的值；
(2)用定义证明()f x 在(1,1)−上是增函数； (3)解不等式：(1)()0f t f t −+<.
8. 已知函数()221
x f x x
−=．
(1)求函数()y f x =的值域；
(2)若不等式()23
1x f x x kx +≥+在[]1,2x ∈时恒成立，求实数k 的最大值；
(3)设()()1g x t f x =⋅+（11,x m n ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，0m n >>，0t >），若函数()y g x =的值域为
[]23,23m n −−，求实数t 的取值范围．
9. 设()y f x =的定义域是[]1,1−，在区间[]0,1上是严格减函数；且对任意1x ，[]21,1x ∈−，若[]121,1x x ±∈−，则()()()()1212122f x x f x x f x f x ++−=． (1)求证：函数()y f x =是一个偶函数； (2)求证：对于任意的[]1,1x ∈−，()1f x ≥−．
(3)若16f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭()()232f x f x ≥−．。