高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念填空题练习(含解析)(3)

1.1 集合的概念
1．已知：集合{}023M =，
，，定义集合运算A ※A ={|,,}x x a b a A b A =+∈∈，则 M ※M =
2．设正实数集合{}12,,,n A a a a =，集合(){},|,,S a b a A b A a b A =∈∈-∈，则集合S 中的元素最多有___________个.
3．已知集合{}1,,3,A a ={}2
1,2,1,B a a a =++-，若3();A B ∈⋂则实数a =________.
4．下列各种对象的全体，可以构成集合的是______(用题号填空).①某班比较聪明的学生；②高一数学课本中的难题；③心地善良的人；④身高超过1.70米的某中学高一(1)班学生. 5．用∈或∉填空：0________N
6．设集合{|310}A x x m =--<，若1A ∈，则实数m 的取值范围是_______．
7．对非空有限数集12{,,,}n A a a a =定义运算“min”：min A 表示集合A 中的最小元素．现给定两个非空有限数集A ，B ，定义集合{|,,}M x x a b a A b B ==
-∈∈，我们称min M
为集合A ，B 之
间的“距离”，记为AB d ．现有如下四个命题：
①若min min A B =，则0AB d =；②若min min A B >，则0AB d >； ③若0AB d =，则A B ⋂≠∅；④对任意有限集合A ，B ，C ，均有AB BC AC d d d +．
其中所有真命题的序号为__________．
8．集合{}2
,2A x x x =-中，x 应满足的条件是______．
9．用符号“∈”或“∉”填空
（1）0______N N N
10．已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是______．
11．列举法表示方程()22
x 2a 3x a 3a 20-++++=的解集为______．
12．设全集U =(){},,x y x y R ∈．集合()3,12y M x y x -⎧
⎫=⎨
⎬-⎩
⎭，(){},1N x y y x =≠+，则∁U
()M N ⋃等于
_____．
13．若点M 在直线l 上，则M ，l 间的关系可用集合语言表示为_____．
14．集合{}2*|70,A x x x x N =-<∈，则*
6|,B y N y A y
⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩
⎭
中元素的个数为______
15．若集合{}2
10A x ax ax =-+<=∅,则实数a 的取值范围是______．
16．设[]
x 表示不超过x 的最大整数，用数组21100⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，
22100⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
23100⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，……，2100100⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
组成集合A
的元素的个数是________.
17．若{}2,2,3,4A =-，{}2
|,B x x t t A ==∈，用列举法表示B = .
18．定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B ⊗==∈∈，设，，则集合A B ⊗的
所有元素之和为______________． 19．已知
，则实数的值是_________．
20．集合4|
,*1M a Z a Z a ⎧
⎫
=∈∈⎨⎬-⎩
⎭
用列举法表示为_____________． 21．集合A ＝x|y ＝
12
3
x +，x∈N，y∈Z}，则A ＝________． 22．已知集合2{|A x x ＝＋20}x a ＋＝，若1∈A，则A ＝________. 23．用符号“∈”或“∉”填空
（1）0______N ，5N ，16N （2）12
-_____,Q π______Q
（32323-+{}|6,,x x a b a Q b Q =∈∈ 24．用符号“∈”或“∉”填空：
（1）设集合B 113，12； （2）设集合C 是满足方程x ＝n 2＋1(其中n 为正整数)的实数x 的集合，则3________C ，5________C ；
（3）设集合D 是满足方程y ＝x 2的有序实数对(x ，y)组成的集合，则－1________D ，(－1，1)________D ．
25．已知集合A=a ，|a|，a-2}，若2A ∈，则实数a 的值为_____.
26．方程组2,
x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为________．
27．用描述法表示被3除余2的正整数组成的集合________． 28．下列集合中，不同于另外三个集合的序号是________. ①{}|1x x =；②(){
}
2
|10-=y y ；③{}1x =；④{}1.
29．已知集合{}2
|20A x x x =--=，用列举法可表示为A =_________.
30．已知实数2a =，{}13B x x =-<<，则a 与B 的关系是______．
参考答案
1．{}0,2,3,4,5,6
解析：由集合{}0,2,3M =，可知,a b 所有取值，进而可求出+a b 的所有值，从而可求出M ※M . 详解：
由题意知，集合{}0,2,3M =，则,a b 可取的值为:0,2,3， 故+a b 的值为0,2,3,4,5,6； 则M ※M ={}0,2,3,4,5,6. 故答案为{}0,2,3,4,5,6. 点睛：
本题考查了新定义题，要结合题干条件、抓住运算的本质，属于基础题. 2．
()
12
n n - 解析：假设a 1，a 2，a 3，…，a n 按大小顺序排列，当a 1，a 2，…，a n 为等差数列，且首项为公差，集合S 中的元素最多，n 个数字中任取2个，之差也一定属于a 1，a 2，…，a n ，由此能求出集合S 中的元素最多的个数． 详解：
正实数集合A ＝a 1，a 2，a 3，…，a n }，集合S ＝（a ，b ）|a∈A，b∈A，a ﹣b∈A}， 不妨假设a 1，a 2，a 3，…，a n 按大小顺序排列，
当a 1，a 2，…，a n 为等差数列，且首项为公差，集合S 中的元素最多， n 个数字中任取2个，之差也一定属于a 1，a 2，…，a n ， 集合S 中的元素最多为：()212
n n n C -=．
故答案为：()12
n n -．
点睛：
本题考查集合中最多的元素个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列性质、排列组合知识的合理运用． 3．2-
解析：由3()A B ∈⋂得13a +=或23a +=或213a -=求出a 值并根据集合元素互异性检验得解. 详解：
3()A B ∈⋂,13a ∴+=或23a +=或213a -=
解得2a =或1a =或2a =-，代入检验，根据集合元素互异性得2a =- 故答案为：2- 点睛：
本题考查集合元素互异性，属于基础题. 4．④
解析：根据集合元素的确定性得到答案. 详解：
①中“比较聪明”， ②中的“难题”, ③中“心地善良”标准不确定， 不满足构成集合元素的确定性，
④身高超过1.70米的某中学高一(1)班学生能构成集合 故答案为：④ 点睛：
本题考查了集合元素的确定性的理解与应用，属于基础题. 5．∈
解析：可知0是自然数，即可得出. 详解： 0是自然数，
0N ∴∈.
故答案为：∈.
6．(2,)+∞
解析：根据不等式先求解出x 的取值范围，然后即可表示出A ，根据1A ∈，列出关于m 的不等式，从而可求解出结果. 详解：
因为310x m --<，所以1
3m x +<，所以13m A x x ⎧⎫+=<⎨⎬⎩
⎭，
又因为1A ∈，所以
1
13
m +>，所以2m >，所以m 的取值范围为()2,+∞， 故答案为：()2,+∞. 7．①③
解析：根据题意可得①③正确，通过举反例可得②④错误.
详解：
对于结论①，若min min A B =，则A ，B 中最小的元素相同，故①正确；
对于结论②，取集合{}1,2A =，{}0,2B =，满足min min A B >，但0AB d =，故②错误； 对于结论③，若0AB d =，则,A B 中存在相同的元素，则交集非空，故③正确； 对于结论④，取集合{}1,2A =，{}2,3B =，{}3,4C =，可知0AB d =，0BC d =，1AC d =， 则AB BC AC d d d +≥不成立，故④错误. 故答案为：①③．
8．0x ≠且3x ≠
解析：由集合的互异性列出不等式即可得结果. 详解：
由集合的互异性可得22x x x ≠-，解得0x ≠且3x ≠， 故答案为：0x ≠且3x ≠. 9．∈∉∈
解析：0. 详解：
0N N N ∈.
故答案为：;;∈∉∈
10．2 详解：
由题，若32,m -= 则1,m = 此时B 集合不符合元素互异性，故1;m ≠ 若31,m -=则2,m =符合题意；若33,m -=则0,m =不符合题意. 故答案为2
11．{}a 1,a 2++
解析：根据题意，求出方程的解，用集合表示即可得答案． 详解：
根据题意，方程()22
x 2a 3x a 3a 20-++++=变形可得()()x a 1x a 20⎡⎤⎡⎤-+-+=⎣⎦⎣⎦，
有2个解：1x a 1=+，2x a 2=+， 则其解集为{}a 1,a 2++； 故答案为{}a 1,a 2++． 点睛：
本题考查集合的表示方法，关键是求出方程的解，属于基础题．
12．(){}2,3
解析：集合M 表示直线32y x -=-，即1y x =+，除去()2,3的点集；集合N 表示平面内不属于
1y x =+的点集，(){},2,3M N x y x y ⋃=
≠≠，由此能求出∁U
()M N ⋃．
详解：
∵全集(){},,U x y x y R =∈．
集合()3,12y M x y x -⎧
⎫=⎨⎬-⎩
⎭，(){
}
,1N x y y x =≠+，∴()31,21y M N x y x y x ⎧⎫
-⎧=⎪⎪
⎪⋂=-⎨⎨⎬⎪⎪⎪≠+⎩⎩⎭
，
集合M 表示直线32y x -=-，即1y x =+，除去()2,3的点集；
集合N 表示平面内不属于1y x =+的点集，∴(){},2,3M N x y x y ⋃=≠≠，则∁U ()(){}2,3M N ⋃=． 故答案为：(){}2,3． 点睛：
本题考查补集的求法，考查交集、补集等基础知识，考查运算求解能力．
13．M l ∈
解析：直接利用集合的定义写出答案即可 详解：
点M 在直线l 上，则M ，l 间的关系可用集合语言表示为：1M ∈． 故答案为M l ∈． 点睛：
本题考查点线之间的关系，属于基础题 14．4
解析：解一元二次不等式，求出集合A ,用列举法表示B 即可. 详解：
{}
{}07,1,2,3,4,5,6A x x x N *=<<∈=，
{}1,2,3,6B =,
∴集合B 中的元素的个数为4个.
故答案为：4. 点睛：
本题考查的是一元二次不等式的解法，同时用列举法表示集合，是基础题.
15．{}04a a ≤≤
解析：当0a =时，可知解集为∅，满足题意；当0a ≠时，结合二次函数图象可得0
0a ∆≤⎧⎨>⎩
，解不等式组求得结果. 详解：
①若0a =，则10<不成立，此时不等式210ax ax -+<的解集为∅，满足题意
②若0a ≠，则240
0a a a ⎧∆=-≤⎨>⎩
，解得：04a <≤
综上所述：a 的取值范围为{}04a a ≤≤ 故答案为{}04a a ≤≤ 点睛：
本题考查根据根据一元二次不等式的解集求解参数范围问题，关键是能够根据二次函数图象得到关于开口方向和判别式的不等式组；易错点是忽略二次项是否为零的讨论. 16．76
解析：首先，令2100k k a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（123100k =⋅⋅⋅，
，，，），分析当22
(1)1100100k k +-≥时，计算得到49.5k ≥，取50k =，即505152100a a a a ⋅⋅⋅，，，
，都是集合A 的元素，即共有51个元素；另外，分析可知2110100a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，24949240124100100a ==⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⎣⎦
，故数01224⋅⋅⋅，，，，也是集合中的元素，共有25个，两种情况作和即可得到答案. 详解：
令2100k k a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
（123100k =⋅⋅⋅，
，，，）， 当
22
(1)1100100
k k +-≥时，即211100k +≥，解之得：49.5k ≥，取50k =， 此时11k k a a +->，即505152100a a a a ⋅⋅⋅，，，
，都是集合A 的元素，共有51个， 另外，2110100a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，24949240124100100a ==⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⎣⎦，2505025100a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
==， 所以数01
224⋅⋅⋅，，，，也是集合中的元素，共有25个，255176+=， 所以集合A 中的元素共有76个. 故答案为：76. 点睛：
本题主要考查了集合中元素的个数，解题关键在于根据已知条件建立不等关系式，并进行计
算，考查分析能力和逻辑思维能力，属于中档题.
17．{}4,9,16
解析：解决该试题的关键是对于t 令值，分别得到x 的值，然后列举法表示. 详解：
因为集合{}2,2,3,4A =-，而集合B 中的元素是将集合A 中的元素一一代入，通过平方得到的
集合，即{}2
|,B x x t t A ==∈，
2,4t x ∴=±=；3,9t x ==；4,16t x ==,
{}4,9,16B ∴=，
那么用列举法表示B ={}4,9,16.
本试题主要是考查了集合的描述法与列举法的准确运用，属于基础题. 18．54
解析：试题分析：由新定义运算可知集合A B ⊗中所有的元素是由集合，
中的元素的乘积得到的，所有元素依次为0,4,5,8,10,12,15，求和得54 考点：新定义集合问题 19．-1
解析：试题分析：220,111(1)x x x x x x ≠≠⇒≠⇒=⇒=-舍去 考点：元素互异性
【名师点睛】对于集合中含有参数的问题，要注意将得到的参数的值代回集合中，对解出的元素进行检验，判断是否满足集合中元素的互异性．
20．{}2,3,5 详解：
试题分析：2a =，
412Z ∈-；3a =，413Z ∈-；4a =，414Z ∉-；5a =，415
Z ∈-.其它值分母比分大，不可能为整数，故{}2,3,5M =. 考点：集合元素．
21．{}0,1,3,9 详解：
试题分析：由题意可知3x +为12的正约数，所以31,2,3,6,120,1,3,9x x +=∴= 考点：集合
22．－3,1}
解析：集合2{|A x x ＝＋20}x a ＋＝，1∈A，则2x ＋20x a ＋＝由一根是1，所以21＋20a ＋＝，a =-3,所以2x ＋23x -=0，x=1或x=-3,所以A ＝－3,1}
23．∈∉∈∈∉∈
解析：（1）
04是自然数，分别可得元素与集合的关系； （2）12
-是有理数，π不是有理数，分别可得元素与集合的关系；
（3,,x a a Q b Q =∈∈的形式，可得元素与集合的关系． 详解：
（1）0是自然数，则0N ∈N 4N ； （2）12
-是有理数，则12
Q -∈；π不是有理数，则Q π∉； （3）
=
)
1101===∈{}
|,,x x a a Q b Q =∈∈
故答案为：（1）∈，∉，∈；（2）∈，∉；（3）∈．
24．∉ ∈ ∉ ∈ ∉ ∈
解析：根据元素和集合的关系，逐项分析判断即可得解. 详解：
（1）∵=>∴B ；
2＝3＋<3＋2×4＝11，
∈B ．
（2）∵n 是正整数，∴n 2＋1≠3，∴3∉C ； 当n ＝2时，n 2＋1＝5，∴5∈C ．
（3）∵集合D 中的元素是有序实数对(x ，y)，则－1是数， ∴－1∉D ；又(－1)2＝1，∴(－1，1)∈D． 故答案为：∉，∈，∉，∈，∉，∈. 25．2-
解析：根据元素和集合的关系以及集合元素的互异性确定参数值． 详解：
依题意2A ∈，若2a =，则||2a =，不满足集合元素的互异性，所以2a ≠；
若||2a =，则2a =-或2a =（舍去），此时{}2,2,4A =--，符合题意；若22a -=，则4a =，而
||4=a ，
不满足集合元素的互异性，所以4a ≠，综上所述，a 的值为2-． 故答案为：2-
26．{}(1,1)
解析：通过解方程组，用列举法表示集合即可. 详解：
2,101x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨
-==⎩⎩，所以方程组2,
0x y x y +=⎧⎨-=⎩
的解集用列举法表示为{}(1,1)， 故答案为：{}(1,1)
27．{|32,}x x k k N =+∈
解析：根据描述法的表示方法，写出结果即可. 详解：
∵被3除余2的正整数可用32k +，k N ∈来表示
∴被3除余2的正整数组成的集合表示为：{|32,}x x k k N =+∈ 点睛：
本题主要考查集合的表示方法，列举法和描述法是最基本的两种表示集合的方法，注意它们的区别和联系. 28．③
解析：利用集合的定义即可得到答案. 详解：
由集合的含义知：{}(){
}
{}2
|1|101==-==x x y y ， 而集合{}1x =表示由方程1x =组成的集合，故填③. 故答案：③ 点睛：
本题主要考查集合的定义，属于简单题.
29．{}1,2-
解析：解方程220x x --=得1x =-或2x =，用列举法表示，即可. 详解：
方程220x x --=的解为：1x =-或2x = ∴{}{}2|201,2A x x x =--==-
故答案为：{}1,2-
点睛：
本题考查集合的表示方法，属于容易题.
30．a B ∈
解析：由123-<<得a B ∈.
详解：
因为123-<<，{}13B x x =-<<，所以a B ∈， 故填：a B ∈.
点睛：
本题考查元素与集合的关系，属于基础题.。