北京大附属中学2024届中考联考数学试卷含解析

北京大附属中学2024学年中考联考数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十 ．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ，则列方程组为（ ） A ．15022503x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
B ．15022503y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
C ．15022503x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
D ．15022503y y x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
2．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果AD=1，BD=3，那么由下列条件能够判断DE ∥BC 的是（ ）
A ．31DE BC =
B ．DE 1B
C 4= C ．31AE AC =
D ．A
E 1AC 4
= 3．如图，在ABC ∆中，,4,AB AC BC ==面积是16，AC 的垂直平分线EF 分别交,AC AB 边于,E F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM ∆周长的最小值为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
4．一艘在南北航线上的测量船，于A 点处测得海岛B 在点A 的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C 点时，
测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（）（结果保留小数点后两位）（参考数据：≈1.732，≈1.414）
A．4.64海里B．5.49海里C．6.12海里D．6.21海里
5．下列各式属于最简二次根式的有（）
A．8B．21
x+C．3y D．1 2
6．如图，AD是⊙O的弦，过点O作AD的垂线，垂足为点C，交⊙O于点F，过点A作⊙O的切线，交OF的延长线于点E．若CO=1，AD=23，则图中阴影部分的面积为
A．43-4
3
πB．23-
2
3
π
C．43-2
3
πD．23-π
7．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是( ) A．B．
C．D．
8．方程的解为（）
A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．x=3
9．对于非零的两个实数a、b，规定
11
a b
b a
⊗=-，若1(1)1
x
⊗+=，则x的值为（）
A ．32
B ．13
C ．12
D ．12
- 10．如图，已知直线//AB CD ，点E ，F 分别在AB 、CD 上，:3:4CFE EFB ∠∠=，如果∠B ＝40°，那么BEF ∠=
（ ）
A ．20°
B ．40°
C ．60°
D ．80°
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．化简：21211
x x +=+-_____________. 12．如图，等腰△ABC 的周长为21，底边BC=5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则△BEC 的周长为____．
13．分解因式：3m 2﹣6mn +3n 2＝_____．
14．含角30°的直角三角板与直线1l ，2l 的位置关系如图所示，已知12l l ，∠1=60°，以下三个结论中正确的是____（只填序号）．
①AC=2BC ②△BCD 为正三角形 ③AD=BD
15．如图，在Rt AOB ∆中，42OA OB ==O 的半径为2，点P 是AB 边上的动点，过点P 作O 的一条切线PQ (点Q 为切点)，则线段PQ 长的最小值为______．
16．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，测得AB ＝2米，BP ＝3米，PD ＝15米，那么该古城墙的高度CD 是_____米．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）计算：（﹣4）×（﹣12）+2﹣1﹣（π﹣1）0+36． 18．（8分）在平面直角坐标系中，关于x 的一次函数的图象经过点(47)M ，
，且平行于直线2y x =． （1）求该一次函数表达式；
（2）若点Q （x ，y ）是该一次函数图象上的点，且点Q 在直线32y x =+的下方，求x 的取值范围．
19．（8分）解不等式组：12231
x x x -⎧⎨+≥-⎩＜． 20．（8分）（定义）如图1，A ，B 为直线l 同侧的两点，过点A 作直线1的对称点A′，连接A′B 交直线l 于点P ，连接AP ，则称点P 为点A ，B 关于直线l 的“等角点”．
（运用）如图2，在平面直坐标系xOy 中，已知A （2，），B （﹣2，﹣）两点．
（1）C （4，），D （4，），E （4，）三点中，点 是点A ，B 关于直线x=4的等角点；
（2）若直线l 垂直于x 轴，点P （m ，n ）是点A ，B 关于直线l 的等角点，其中m ＞2，∠APB=α，求证：tan =； （3）若点P 是点A ，B 关于直线y=ax+b （a≠0）的等角点，且点P 位于直线AB 的右下方，当∠APB=60°时，求b 的取值范围（直接写出结果）．
21．（8分）如图，抛物线23
2 2
y ax x
=--（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．
22．（10分）某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的A，B两种型号的电风扇，表中是近两周的销售情况：
销售时段销售数量
销售收入A种型号
B种型
号
第一周3台5台1800元
第二周4台10台3100元
(进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本)
(1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价．
(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，则A种型号的电风扇最多能采购多少台？
(3)在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
23．（12分）已知：如图，在△OAB中，OA=OB，⊙O经过AB的中点C，与OB交于点D，且与BO的延长线交于点E，连接EC，CD．
（1）试判断AB与⊙O的位置关系，并加以证明；
（2）若tan E=1
2
，⊙O的半径为3，求OA的长．
24．某市旅游景区有A，B，C，D，E等著名景点，该市旅游部门统计绘制出2018年春节期间旅游情况统计图（如图），根据图中信息解答下列问题：
（1）2018年春节期间，该市A，B，C，D，E这五个景点共接待游客万人，扇形统计图中E景点所对应的圆心角的度数是，并补全条形统计图．
（2）甲，乙两个旅行团在A，B，D三个景点中随机选择一个，这两个旅行团选中同一景点的概率是．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、A
【解题分析】
设甲的钱数为x，人数为y，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其2
3
的钱给乙，则乙的钱数也能
为50”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【题目详解】
解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y，
依题意，得：
1
50
2
2
50
3
x y
y x
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
．
故选A．
【题目点拨】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．2、D
【解题分析】
如图，∵AD=1，BD=3，
∴AD1 AB4
=，
当AE1
AC4
=时，
AD AE
AB AC
=，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
而根据选项A、B、C的条件都不能推出DE∥BC，
故选D．
3、C
【解题分析】
连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC的中点，故AD BC
⊥，在根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA MC
=，推出
MC DM MA DM AD
+=+≥，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【题目详解】
连接AD，MA
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边上的中点
∴AD BC
⊥
∴1141622
S ABC BC AD AD =
=⨯⨯=△ 解得8AD = ∵EF 是线段AC 的垂直平分线
∴点A 关于直线EF 的对称点为点C
∴MA MC =
∵AD AM MD ≤+
∴AD 的长为BM+MD 的最小值
∴△CDM 的周长最短
()CM MD CD =++
12
AD BC =+ 1842
=+⨯ 10=
故选：C ．
【题目点拨】
本题考查了三角形线段长度的问题，掌握等腰三角形的性质、三角形的面积公式、垂直平分线的性质是解题的关键． 4、B
【解题分析】
根据题意画出图如图所示：作BD ⊥AC ，取BE=CE ，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE ，AD=DE ，设BD=x ，Rt △ABD 中，根据勾股定理得AD=DE=
x ，AB=BE=CE=2x ，由AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，解之即
可得出答案.
【题目详解】
根据题意画出图如图所示：作BD ⊥AC ，取BE=CE ，
∵AC=30，∠CAB=30°∠ACB=15°，
∴∠ABC=135°，
又∵BE=CE，
∴∠ACB=∠EBC=15°，
∴∠ABE=120°，
又∵∠CAB=30°
∴BA=BE，AD=DE，
设BD=x，
在Rt△ABD中，
∴AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，
∴AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，
∴x= = ≈5.49，
故答案选：B.
【题目点拨】
本题考查了三角形内角和定理与等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理与等腰直角三角形的性质.
5、B
【解题分析】
先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．
【题目详解】
=A选项错误；
A82
B21
x+B选项正确；
C3y y y
=
D选项：11
2
22
=，故不是最简二次根式，故D选项错误；
故选：B．
【题目点拨】
考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．6、B
【解题分析】
由S阴影=S△OAE-S扇形OAF，分别求出S△OAE、S扇形OAF即可；
【题目详解】
连接OA，OD
∵OF⊥AD，
∴3，
在Rt△OAC中，由tan∠3AOC=60°，
则∠DOA=120°，OA=2，
∴Rt△OAE中，∠AOE=60°，OA=2
∴3S阴影=S△OAE-S扇形OAF=1
2
×2×32
602
223
3603
ππ
⨯⨯=.
故选B.
【题目点拨】
考查了切线的判定和性质；能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键要证某线是圆的切线，对于切线的判定：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
7、D
【解题分析】
找到从正面、左面、上看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
【题目详解】
解：此几何体的主视图有两排，从上往下分别有1，3个正方形；
左视图有二列，从左往右分别有2，1个正方形；
俯视图有三列，从上往下分别有3，1个正方形，
故选A ．
【题目点拨】
本题考查了三视图的知识，关键是掌握三视图所看的位置．掌握定义是关键．
此题主要考查了简单组合体的三视图，准确把握观察角度是解题关键．
8、B
【解题分析】
观察可得最简公分母是（x-3）（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【题目详解】
方程的两边同乘(x−3)(x+1)，得
(x−2) (x+1)=x(x−3)，
，
解得x=1.
检验：把x=1代入(x−3)(x+1)=-4≠0.
∴原方程的解为：x=1.
故选B.
【题目点拨】
本题考查的知识点是解分式方程，解题关键是注意解得的解要进行检验.
9、D
【解题分析】 试题分析：因为规定11a b b a ⊗=
-，所以11(1)111x x ⊗+=-=+，所以x=12-，经检验x=12
-是分式方程的解，故选D.
考点：1.新运算；2.分式方程.
10、C
【解题分析】
根据平行线的性质，可得CFB ∠的度数，再根据:3:4CFE EFB ∠∠=以及平行线的性质，即可得出BEF ∠的度数．
【题目详解】
∵//AB CD ，40ABF ︒∠=，
∴180140CFB B ︒︒∠=-∠=，
∵:3:4CFE EFB ∠∠=， ∴3607
CFE CFB ︒∠=∠=， ∵//AB CD ，
∴60BEF CFE ︒∠=∠=，
故选C ．
【题目点拨】
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补，且内错角相等．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、11
x - 【解题分析】
根据分式的运算法则即可求解.
【题目详解】
原式=1211(1)(1)(1)(1)(1)(1)1
x x x x x x x x x -++==+-+-+--. 故答案为：11
x -. 【题目点拨】
此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.
12、3
【解题分析】
试题分析：因为等腰△ABC 的周长为33，底边BC=5，所以AB=AC=8，又DE 垂直平分AB ，所以AE=BE,所以△BEC 的周长为=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=3．
考点：3．等腰三角形的性质；3．垂直平分线的性质．
13、3（m-n ）2
【解题分析】
原式=2232)m mn n -+（
=23()m n - 故填：23()m n -
14、②③
【解题分析】
根据平行线的性质以及等边三角形的性质即可求出答案．
【题目详解】
由题意可知：∠A =30°，∴AB =2BC ，故①错误；
∵l 1∥l 2，∴∠CDB =∠1=60°．
∵∠CBD =60°，∴△BCD 是等边三角形，故②正确；
∵△BCD 是等边三角形，∴∠BCD =60°，∴∠ACD =∠A =30°，∴AD =CD =BD ，故③正确．
故答案为②③．
【题目点拨】
本题考查了平行的性质以及等边三角形的性质，解题的关键是熟练运用平行线的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，本题属于中等题型．
15、【解题分析】
连接OQ ，根据勾股定理知222PQ OP OQ =-，可得当OP AB ⊥时，即线段PQ 最短，然后由勾股定理即可求得答案．
【题目详解】
连接OQ ．
∵PQ 是O 的切线，
∴OQ PQ ⊥；
∴222PQ OP OQ =-，
∴当PO AB ⊥时，线段OP 最短，
∴PQ 的长最短，
∵在Rt AOB ∆中，OA OB ==
∴8AB =
=， ∴4OA OB OP AB
⋅==，
∴PQ ==
故答案为：23．
【题目点拨】
本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，得到PO AB
时，线段PQ最短是关键．
16、10
【解题分析】
首先证明△ABP∽△CDP，可得AB
BP
=
CD
PD
，再代入相应数据可得答案．
【题目详解】
如图，
由题意可得：∠APE=∠CPE，∴∠APB=∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∴△ABP∽△CDP，
∴AB
BP
=
CD
PD
，
∵AB=2米，BP=3米，PD=15米，
∴2
3
=
15
CD
，
解得：CD=10米.
故答案为10.
【题目点拨】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用.
三、解答题（共8题，共72分）
17、17.2
【解题分析】
分析：按照实数的运算顺序进行运算即可. 详解：原式11416,22
=⨯+-+ 1216,2
=+-+ 17.2
= 点睛：本题考查实数的运算，主要考查零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值以及二次根式，熟练掌握各个知识点是解题的关键.
18、（1）2-1y x =；（2）3x >-．
【解题分析】
（1）由题意可设该一次函数的解析式为：2y x b =+，将点M （4，7）代入所设解析式求出b 的值即可得到一次函数的解析式；
（2）根据直线上的点Q （x ，y ）在直线32y x =+的下方可得2x －1<3x +2，解不等式即得结果.
【题目详解】
解：（1）∵一次函数平行于直线2y x =，∴可设该一次函数的解析式为：2y x b =+，
∵直线2y x b =+过点M （4，7），
∴8+b =7，解得b =－1，
∴一次函数的解析式为：y =2x －1；
（2）∵点Q （x ，y ）是该一次函数图象上的点，∴y =2x －1，
又∵点Q 在直线32y x =+的下方，如图，
∴2x －1<3x +2，
解得x >－3.
【题目点拨】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数与不等式的关系，属于常考题型，熟练掌握待定系数法与一次函数与不等式的关系是解题的关键.
19、﹣4≤x ＜1
【解题分析】
先求出各不等式的
【题目详解】
12231x x x -⎧⎨+≥-⎩
＜ 解不等式x ﹣1＜2，得：x ＜1，
解不等式2x+1≥x ﹣1，得：x≥﹣4，
则不等式组的解集为﹣4≤x ＜1．
【题目点拨】
考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20、（1）C （2）（3）b ＜﹣
且b≠﹣2或b ＞
【解题分析】
（1）先求出B 关于直线x=4的对称点B′的坐标，根据A 、B′的坐标可得直线AB′的解析式，把x=4代入求出P 点的纵坐标即可得答案；（2）如图：过点A 作直线l 的对称点A′，连A′B′，交直线l 于点P ，作BH ⊥l 于点H ，根据对称性可知∠APG=A′PG ，由∠AGP=∠BHP=90°可证明△AGP ∽△BHP ，根据相似三角形对应边成比例可得m=
根据外角性质可知∠A=∠A′=，在Rt△AGP中，根据正切定义即可得结论；（3）当点P位于直线AB的右下方，
∠APB=60°时，点P在以AB为弦，所对圆周为60°，且圆心在AB下方，若直线y=ax+b（a≠0）与圆相交，设圆与直线y=ax+b（a≠0）的另一个交点为Q
根据对称性质可证明△ABQ是等边三角形，即点Q为定点，若直线y=ax+b（a≠0）与圆相切，易得P、Q重合，所以直线y=ax+b（a≠0）过定点Q，连OQ，过点A、Q分别作AM⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为M、N，可证明
△AMO∽△ONQ，根据相似三角形对应边成比例可得ON、NQ的长，即可得Q点坐标，根据A、B、Q的坐标可求出直线AQ、BQ的解析式，根据P与A、B重合时b的值求出b的取值范围即可.
【题目详解】
（1）点B关于直线x=4的对称点为B′（10，﹣），
∴直线AB′解析式为：y=﹣，
当x=4时，y=，
故答案为：C
（2）如图，过点A作直线l的对称点A′，连A′B′，交直线l于点P
作BH⊥l于点H
∵点A和A′关于直线l对称
∴∠APG=∠A′PG
∵∠BPH=∠A′PG
∴∠APG=∠BPH
∵∠AGP=∠BHP=90°
∴△AGP∽△BHP
∴，即，
∴mn=2，即m=，
∵∠APB=α，AP=AP′，
∴∠A=∠A′=，
在Rt△AGP中，tan
（3）如图，当点P位于直线AB的右下方，∠APB=60°时，
点P在以AB为弦，所对圆周为60°，且圆心在AB下方
若直线y=ax+b（a≠0）与圆相交，设圆与直线y=ax+b（a≠0）的另一个交点为Q 由对称性可知：∠APQ=∠A′PQ，
又∠APB=60°
∴∠APQ=∠A′PQ=60°
∴∠ABQ=∠APQ=60°，∠AQB=∠APB=60°
∴∠BAQ=60°=∠AQB=∠ABQ
∴△ABQ是等边三角形
∵线段AB为定线段
∴点Q为定点
若直线y=ax+b（a≠0）与圆相切，易得P、Q重合
∴直线y=ax+b（a≠0）过定点Q
连OQ，过点A、Q分别作AM⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为M、N
∵A（2，），B（﹣2，﹣）
∴OA=OB=
∵△ABQ是等边三角形
∴∠AOQ=∠BOQ=90°，OQ=，
∴∠AOM+∠NOD=90°
又∵∠AOM+∠MAO=90°，∠NOQ=∠MAO
∵∠AMO=∠ONQ=90°
∴△AMO∽△ONQ
∴,
∴，
∴ON=2，NQ=3，∴Q点坐标为（3，﹣2）
设直线BQ 解析式为y=kx+b
将B 、Q 坐标代入得
，
解得
，
∴直线BQ 的解析式为：y=﹣
， 设直线AQ 的解析式为：y=mx+n ，
将A 、Q 两点代入
， 解得 ，
∴直线AQ 的解析式为：y=﹣3，
若点P 与B 点重合，则直线PQ 与直线BQ 重合，此时，b=﹣，
若点P 与点A 重合，则直线PQ 与直线AQ 重合，此时，b=
， 又∵y=ax+b （a≠0），且点P 位于AB 右下方，
∴b ＜﹣ 且b≠﹣2或b ＞.
【题目点拨】
本题考查对称性质、相似三角形的判定与性质、根据待定系数法求一次函数解析式及锐角三角函数正切的定义，熟练掌握相关知识是解题关键.
21、（1）213222
y x x =--；（2）（32，0）；（3）1，M （2，﹣3）． 【解题分析】
试题分析：方法一：
（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B 点坐标代入解析式中即可．
（2）首先根据抛物线的解析式确定A 点坐标，然后通过证明△ABC 是直角三角形来推导出直径AB 和圆心的位置，由此确定圆心坐标．
（3）△MBC的面积可由S△MBC=1
2
BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最
大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．
方法二：
（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．
（2）通过求出A，B，C三点坐标，利用勾股定理或利用斜率垂直公式可求出AC⊥BC，从而求出圆心坐标．
（3）利用三角形面积公式，过M点作x轴垂线，水平底与铅垂高乘积的一半，得出△MBC的面积函数，从而求出M 点．
试题解析：解：方法一：
（1）将B（1，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣3
2
×1﹣2，即：a=
1
2
，∴抛物线的解析式为：2
13
2
22
y x x
=--．
（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；
∴OA=1，OC=2，OB=1，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；
所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（3
2
，0）．
（3）已求得：B（1，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=1
2
x﹣2；
设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=1
2
x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：
1 2x+b=2
13
2
22
x x
--，即：2
1
220
2
x x b
---=，且△=0；
∴1﹣1×1
2
（﹣2﹣b）=0，即b=﹣1；
∴直线l：y=1
2
x﹣1．
所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：
2
13
2
22
1
4
2
y x x
y x
⎧
=--
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，解得：
2
3
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
即M（2，﹣3）．
过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=1
2
×2×（2+3）+
1
2
×2×3﹣
1
2
×2×1=1．
方法二：
（1）将B（1，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣3
2
×1﹣2，即：a=
1
2
，∴抛物线的解析式为：2
13
2
22
y x x
=--．
（2）∵y=1
2
（x﹣1）（x+1），∴A（﹣1，0），B（1，0）．C（0，﹣2），∴K AC=
02
10
+
--
=﹣2，K BC=
02
40
+
-
=
1
2
，∴K AC×K BC=
﹣1，∴AC⊥BC，∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形，△ABC的外接圆的圆心是AB的中点，△ABC的外接圆的
圆心坐标为（3
2
，0）．
（3）过点M作x轴的垂线交BC′于H，∵B（1，0），C（0，﹣2），∴l BC：y=1
2
x﹣2，设H（t，
1
2
t﹣2），M（t，2
13
2
22
t t
--），
∴S△MBC=1
2
×（H Y﹣M Y）（B X﹣C X）=
1
2
×（
1
2
t﹣2﹣2
13
2
22
t t
++）（1﹣0）=﹣t2+1t，∴当t=2时，S有最大值1，
∴M（2，﹣3）．
点睛：考查了二次函数综合题，该题的难度不算太大，但用到的琐碎知识点较多，综合性很强．熟练掌握直角三角形的相关性质以及三角形的面积公式是理出思路的关键．
22、(1) A，B两种型号电风扇的销售单价分别为250元/台、210元/台；(2) A种型号的电风扇最多能采购10台；(3) 在
(2)的条件下超市不能实现利润为1400元的目标．
【解题分析】
（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1800元，4台A 型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30-a）台，根据金额不多余5400元，列不等式求解；（3）设利润为1400元，列方程求出a的值为20，不符合（2）的条件，可知不能实现目标．
【题目详解】
(1)设A，B两种型号电风扇的销售单价分别为x元/台、y元/台．
依题意，得
351800
4103100
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解得
250
210
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
答：A，B两种型号电风扇的销售单价分别为250元/台、210元/台．
(2)设采购A种型号的电风扇a台，则采购B种型号的电风扇(30－a)台．
依题意，得200a＋170(30－a)≤5400，
解得a≤10.
答：A种型号的电风扇最多能采购10台．
(3)依题意，有(250－200)a＋(210－170)(30－a)＝1400，
解得a＝20.
∵a≤10，
∴在(2)的条件下超市不能实现利润为1400元的目标．
【题目点拨】
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
23、（1）AB与⊙O的位置关系是相切，证明见解析；（2）OA=1．
【解题分析】
（1）先判断AB与⊙O的位置关系，然后根据等腰三角形的性质即可解答本题；
（2）根据题三角形的相似可以求得BD的长，从而可以得到OA的长．
【题目详解】
解：（1）AB与⊙O的位置关系是相切，
证明：如图，连接OC．
∵OA=OB，C为AB的中点，
∴OC⊥AB．
∴AB是⊙O的切线；
（2）∵ED是直径，
∴∠ECD=90°．
∴∠E+∠ODC=90°．
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，∴∠BCD=∠E．
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC．
∴BC BD CD BE BC EC
==.
∴BC2=BD•BE．
∵
1 tan
2
E
∠=，
∴
1
2 CD
EC
=．
∴
1
2 BD CD
BC EC
==．
设BD=x，则BC=2x．
又BC2=BD•BE，
∴（2x）2=x（x+6）．
解得x1=0，x2=2．
∵BD=x＞0，
∴BD=2．
∴OA=OB=BD+OD=2+3=1．
【题目点拨】
本题考查直线和圆的位置关系、等腰三角形的性质、三角形的相似，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
24、（1）50，43.2°，补图见解析；（2）1
3
．
【解题分析】
（1）由A景点的人数以及百分比进行计算即可得到该市周边景点共接待游客数；再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°进行计算即可；根据B景点接待游客数补全条形统计图；
（2）根据甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中各选择一个景点，画出树状图，根据概率公式进行计算，即可得到同时选择去同一景点的概率．
【题目详解】
解：（1）该市景点共接待游客数为：15÷30%=50（万人），
E景点所对应的圆心角的度数是：
6 36043.2
50
o o
⨯=
B景点人数为：50×24%=12（万人），
补全条形统计图如下：
故答案是：50,43.2o.
（2）画树状图可得：
∵共有9种可能出现的结果，这些结果出现的可能性相等，其中同时选择去同一个景点的结果有3种，
∴同时选择去同一个景点的概率=31 93 =.。