浙江省余姚中学高二数学上学期期中试题

（第4题）
1
A 浙江省余姚中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求。

1.把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的（ ） A ．2倍 B ．22倍 C.2倍 D.3
2倍
2．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图， 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A.18
B.17
C.16
D.15
3.已知,m n 是不同的直线，,a b 是不同的平面，有下列命题：
① 若n m ,α⊂∥α，则m ∥n ② 若m ∥α，m ∥β，则α∥β
③ 若m n ,=βα ∥n ，则m ∥α且m ∥β ④
若βα⊥⊥m m ,，则α∥β
其中正确的个数是（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 4.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD
为平行四边形，已知AB a =，AD b =，1AA c =，
则用向量a,b,c 可表示向量1BD 为（ ） A ．a+b+c B ．a+b+c - C ．a b+c -
D ．a+b c --
5.圆锥的母线长为2，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的表面积为（ ）
A ．6π
B ．5π
C ．3π
D ．2π
6.若直线a 不平行于平面α，则下列结论正确的是（ ）
A ．α内所有的直线都与a 异面；
B ．直线a 与平面α有公共点；
C ．α内所有的直线都与a 相交；
D ．α内不存在与a 平行的直线. 7.如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线， 垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（ ） A ．点H 是1A BD △的垂心 B ．AH 垂直平面11CB D
1 1
1B
C ．AH 的延长线经过点1C
D ．直线AH 和1BB 所成角为
45
8.已知一个高度不限的直三棱柱111ABC A B C -，
4AB =，5BC =，6CA =，点P 是侧棱1AA 上一点，过A 作平面截三棱柱得截面,ADE 给出下列结论：①ADE ∆是直角三角形；②ADE ∆是等边三角形；③四面体APDE 为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四
面体。

其中有不可能成立的结论的个数是（ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
二、填空题（本大题共7小题，第9~12题每题6分，第13~15题每题4分，共36分．） 9.一圆柱的底面直径和高都是3，则它的体积为 侧面积为_____
10.已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 .外接球半径为______
11．已知向量,3,5k r j i b k j i m a ++=-+=若//a b 则实数=m ______，=r _______。

12.1_______各边长为的正四面体，内切球表面积为,外接球体积为
13.一只蚂蚁从棱长为1cm 的正方体的表面上某一点P 处出发，走遍正方体的每个面的中心的最短距离d =f (P ), 那么d 的最大值是
00490,M 60___,_
APB
B MPA M P
C CPA ABC PB MPC ???==Ð=行=V 1.三棱锥P-ABC 中，在内，
且则
15．如图，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别为棱SC 、BC 的中点，并且AM ⊥MN ，若侧棱长
S —ABC 的外接球的体积为 .
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。

16.已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证： （Ⅰ）C 1O ∥面11AB D ；
（Ⅱ）1AC ⊥面11AB D ． (14分)
D 1O
D
B A
C 1
B 1
A 1
C
17.如图，已知四棱锥ABCD P -，底面四边形ABCD 为菱形，2=AB ，32=BD ，
N M ,分别是线段PC PA ,的中点． （Ⅰ）求证：//MN 平面ABCD ；
（Ⅱ）求异面直线MN 与BC 所成角的大小．
18．如图，三棱锥P －ABC 中，PB ⊥底面ABC ，∠BCA ＝90°,PB ＝BC ＝CA ＝4，E 为PC 的中点，
M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且AF ＝2FP . （Ⅰ）求证：BE ⊥平面PAC ； （Ⅱ ）求证：CM ∥平面BEF .
P
A
C
D
M
N
（第17题）
19.如图，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形, AF ⊥平面ABCD ，CE ⊥平面
ABCD ．
（Ⅰ）证明：BD EF ⊥；
（Ⅱ）若1AF =，且二面角B EF C --的大小为30o
，求CE 的长．
01111110
11111120.,1):;
2)3)CC ,BP // ,6DA 0A BCD A B C D C A A C A BC BD A A D A A D A A C P C
Ð^^-?棱柱的所有棱长都为2,ABC=60平面证明求锐二面角-C 的平面角的余弦值—.
在直线上是否存在点使得平面，若存在求出P 平面的位置.
期中数学答案
（第19题）
F
E
D
C
B
A
1111111111111111111111111111127
9.4
3210.331
11.15,12.,613.5+14.4,9//915.
2
16.1)M ,2,AM//C AM A C A C ,
//A )A A B D A O C M A O C BDBBC M
A OC M O
B D O B D O B D
C B
D B D C B D BDB C A M CC CC A A p p p p p p -^^^^=\\趟\\\Q Y Q Q Q 连接交于点，连接，四边形是，面面面，面，，面11111111
,,,B D C A B C A C A D CC A A B ^^\^\面同理
17.（Ⅰ）解：连接AC 交BD 于点O ，∵N M ,分别是线段PC PA ,的中点,
∴AC MN //． …… 1分 ∵MN ⊄平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ∴//MN 平面ABCD ． ………………………………………3分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，ACB ∠就是异面直线MN
与BC 所成的角或其补角. …… 4分
∵四边形ABCD 为菱形，2=AB ，32=BD ，
P A
B
C D
M
N
O
（第18题）
D
E
M
∴在Rt △BOC 中，2=BC ，3=BO ，∴︒=∠60OCB ， ∴异面直线MN 与BC 所成的角为︒60.
18．证明：(1)∵PB ⊥底面ABC ，且AC ⊂底面ABC ，∴AC ⊥PB ，
由∠BCA ＝90°，可得AC ⊥CB ， 又∵PB ∩CB ＝B ，∴AC ⊥平面PBC ， ∵BE ⊂平面PBC ，∴AC ⊥BE ，
∵PB ＝BC ，E 为PC 中点，∴BE ⊥PC ， ∵PC ∩AC ＝C ，∴BE ⊥平面PAC . (2)取AF 的中点G ，连接CG ，GM ， ∵E 为PC 中点，FA ＝2FP ，∴EF ∥CG .
∵CG ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，∴CG ∥平面BEF . 同理可证：GM ∥平面BEF .
又CG ∩GM ＝G ，∴平面CMG ∥平面BEF . ∵CM ⊂平面CMG ，∴CM ∥平面BEF .
19. 解：（Ⅰ）AF ⊥Q 平面ABCD ，CE ⊥平面ABCD ．
//AF CE ∴，∴四边形ACEF 在同一平面内． AF ⊥Q 平面ABCD ，AF BD ∴⊥， 又ABCD Q 为正方形，AC BD ∴⊥， AF AC A =Q I ，BD ∴⊥面ACEF ，
BD EF ∴⊥ …………… 3分
（Ⅱ）解法一：以点A 为坐标原点，分别以,,AB AD AF
所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系 （如图）．设CE a =．则(1,0,0)B ， (0,0,1)F ，(1,1,)E a ．
∴(1,0,1),(0,1,)BF BE a =-=． ………4分 设平面BEF 的一个法向量为(,,1)m x y =，得到
(,,1)(1,0,1)0(,,1)(0,1,)0m BF x y m BE x y a ⎧⋅=⋅-=⎪⎨
⋅=⋅=⎪⎩
，
， (1,,1)m a ∴=-． 由（Ⅰ）知平面CEF 的一个法向量是)0,1,1(-
=， ∴cos ,DB m <>3
cos30=
==
2a ∴=，即2CE =．
解法二：设点O 为AC 与BD 的交点，过点O 作
OM EF ⊥交EF 于点M ，连接BM ．
EF OBM ∴⊥面，EF BM ∴⊥，
BMO ∴∠就是二面角B EF C --的平面角．
30BMO ∴∠=o ．………… 5分
BO ∴=
OM =．…………… 6分
在直角梯形ACEF ，设EC a =，EF ∴，
1(1)2ACEF S a ∴=
+ 解得2a =，即2CE =．
20.。