高二数学最新教案-算术平均值不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法) 精品

算术平均值不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)
(1)设a 1，a 2，a 3，……，a n 为正实数，这n 个数的算术平均值记为A ，几何平均值记为
G ，即A ＝n n n a a a G n
a a a 2121,=+++， 即A ≥G .
当且仅当a 1＝a 2＝……＝a n 时，A ＝G .
特别地当n ＝2时，
2
b a +≥ab 当n ＝3时，3
c b a ++≥3abc . (2)用局部调整法证明均值不等式A ≥G .设这n 个正数不全相等.不失一般性，设0＜a 1≤a 2≤……≤a n ，易证a 1＜A ＜a n ，且a 1＜G ＜a n .在这n 个数中去掉一个最小数a 1，将a 1换成A ，再去掉一个最大数a n ，将a n 换成a 1＋a n －A ，其余各数不变，于是得到第二组正数：A ，a 2，a 3，……，a n －1，a 1＋a n －A .这一代换具有下列性质：
①两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为A 1，那么
A 1＝A n
A a a a a a A n n =-++++++-1132 ②两组数的几何平均值最大.设第二组数的几何平均值为G 1，则
G 1＝n n n A a a a a Aa )(1132-+-
∵A (a 1＋a n －A )－a 1a n ＝(A －a 1)(a n －A )
由a 1＜A ＜a n ，得(A －a 1)(a n －A )＞0
则A (a 1＋a n －A )＞a 1a n .
∴Aa 2a 3……a n －1(a 1＋a n －A )＞a 1a 2……a n －1＋a n . G 1＞G .
若第二组数全相等，则A 1＝G 1，于是A ＝A 1＝G 1＞G 证明完毕.
若第二组数不全相等，再作第二次替换.仍然是去掉第二组数中的最小数b 1和最大数b n ，分别用A 1(即A )和b 1＋b n －A 代替，因为有b 1＜A 1＜b n 且A 1＝A .因而第二组数中的A ，不是最小数b 1，也不是最大数b n ，不在去掉之列，在替换中不会被换掉，而只会再增加，如此替换下去，每替换一次，新数中至少增加一个A ，经过n －2次替换，新数中至少出现n －2个A ，最多经过n －1次替换，得到一个全部是A 的新数组.此时新数组的算术平均值等于几何平均值.在每次替换中，数组的算术平均值不变，始终等于A ，而几何平均值不断增大，即G ＜G 1＜G 2＜……＜G k ，而G k ＝A k ＝A ，因而G ≤A 成立.。