2020届高三精准培优专练十七 离心率(文) 教师版

2020届高三好教育精准培优专练
例1：已知椭圆
22
2
1(0)
12
x y
a
a
+=>的一个焦点与抛物线28
y x
=的焦点重合，则该椭圆的离心率为（）A．
1
4
B．
1
2
C．
2
D．
4
【答案】B
【解析】由题可得，抛物线的焦点坐标为(2,0)，
所以212416
a=+=，所以4
a=，所以离心率
1
2
c
e
a
==．
例2：已知点P是双曲线
22
22
:1(0,0)
x y
C a b
a b
-=>>右支上一点，1F是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段1
PF
A B D
【答案】D
【解析】设直线
1
:()
a
PF y x c
b
=+，则与渐近线y x
a
=-的交点为
2
(,)
a ab
M
c c
-，
二、构造a，c的齐次式求解e
一、直接求出a，c或求出a与b的比值求解e
培优点十七离心率
因为M 是1PF 的中点，利用中点坐标公式，得222(,)a ab
P c c c -+，
因为点P 在双曲线上，所以满足22222
22
22()41b a a b a c b c
--=， 整理得4225c a c =
，解得e =
例3：已知1F ，2F 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，点P 在C 上，12||3||PF PF =，
且121
cos 3
F PF ∠=
A B D ．3
【答案】A
【解析】由双曲线定义及12||3|PF =12a ，
由余弦定理得22122
1041
cos 63
a c F PF a -∠==，得c e a ==
例4：设点P 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上一点，1F ，2F 分别是左右焦点，I 是12PF F △的内心，
若1IPF △，2IPF △，12IF F △的面积1S ，2S ，3S 满足1232()S S S -=，则双曲线的离心率为（ ）
四、利用平面几何性质求解e
三、利用离心率的定义以及圆锥曲线的定义求解e
A．2B D
【答案】A
【解析】设r是12
IF F
∆的内切圆的半径，
因为123
2()
S S S
-=，∴
1212
1
||||||
2
PF r PF r F F r
-=，
两边约去r得1212
1
||||||
2
PF PF F F
-=，
根据双曲线定义，得12
||||2
PF PF a
-=，
12
||2
F F c
=，
∴2a c
=⇒离心率为2
c
e
a
==．
一、选择题
1．渐近线方程为0
x y
±=的双曲线的离心率是（）
A．
2
B．1C D．2
【答案】C
【解析】因为双曲线的渐近线为0
x y
±=，所以a b
=，
则c=，双曲线的离心率
c
e
a
==
2．已知椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的离心率为
1
2
，则（）
A．22
2
a b
=B．22
34
a b
=C．2
a b
=D．34
a b
=【答案】B
对点增分集训
【解析】由题意知，22
21
14
b e a =-=，所以2234a b =．
3．已知点(0,3)到双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的渐近线的距离为2，则C 的离心率是（ ）
A ．
32
B ．
3
C ．
2
D ．
94
【答案】A
【解析】∵双曲线22
221x y a b
-=的渐近线为0bx ay ±=，
∴点(0,3)P 到0bx ay ±=的距离
2d =
=，∴32c a =，∴32c e a ==．
4．已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线分别
交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）
A B
C ．2
D
【答案】D
【解析】由题意知(1,0)F ，:1l x =-，||4AB =，所以
24b a =，e == 5．已知抛物线2
2(0)y px p =>与椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个公
共点，且AF x ⊥轴，则椭圆的离心率为（ ）
A 1
B 1-
C D ．
1
2
【答案】B
【解析】由于抛物线和椭圆有相同的焦点，因此
2
p
c =，不妨设A 是第一象限的点， 由AF x ⊥轴可知A 的横坐标为c ，代入椭圆可得纵坐标为2b a ，即2b
AF a
=，
设椭圆的左焦点设为1F ，则根据抛物线定义可得12AF FF c ==，
所以有2
2b c a
=，化简可得222a c ac -=，即2210e e +-=
，解得1e =．
6．设F 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆
222x y a +=交于P ，Q 两点，若||||PQ OF =，则C 的离心率为（ ）
A
B
C ．2
D
【答案】A
【解析】∵||||PQ OF c ==，∴90POQ ∠=︒， 又||||OP OQ a ==，∴222a a c +=
，解得
c
a
=
e =
7．设1A ，2A ，1B 分别是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右、上顶点，O 为坐标原点，D 为线段1
OB 的中点，过2A 作直线1A D 的垂线，垂足为H
，若2||3
A H =
，则C 的离心率为（ ） A
．
4
B
．
5
C
．
2 D
．
5
【答案】C
【解析】易得1
AOD △与21A HA △相似，所以2112
OD A H
A D A A =，即1212OD A A A D A H ⋅=⋅，
所以223b a ⋅=22
2a b =
，∴2
e ====．
8．已知1F ，2F 分别为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，P 为椭圆上一点，O 为坐标原点，
且22()0OP OF F P +⋅=，12||2||PF PF =，则该椭圆的离心率为（ ）
A ．
5
B ．
4
C ．
3
D ．
2
【答案】C
【解析】由已知22()0OP OF F P +⋅=，可得22()()0OP OF OP OF +⋅-=， 即2||||OP OF =，
又12||||
OF OF =，所以1290F PF ∠=︒， 又12||2||PF PF =，且11||||2PF PF a +=，则可得22||3PF a =，则14
||3
PF a =，
所以2
22
2
4()()(2)3
3
a a c +=，所以
c a =
，即e =
二、填空题
9．椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为一边作正三角形，若椭圆恰好平分三
角形的另两边，则该椭圆的离心率为 ．
1
【解析】如图，设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是M ，N ，
由题设条件知，1290F MF ∠=︒，1||MF c =，2||MF =，
∴21)a c =，∴1
c e a =
==．
10．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线
分别交于A ，B 两点，若1F A AB =，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为 ． 【答案】2
【解析】由1F A AB =uuu r uu u r ，120
F B F B ⋅=uuu r uuu r ，知A 是1BF 的中点，12F B F B ⊥u u u r u u u r ， 又O 是1F ，2F 的中点，所以OA 为中位线且1OA BF ⊥，所以1OB OF =，
因此1
FOA BOA ∠=∠， 又根据两渐近线对称，1
2FOA F OB ∠=∠，
所以260F OB ∠=︒，2e ===．
11．设1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，若在直线2
a x c
=上存在点P ，使线段1
PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
【答案】 【解析】设直线2a x c
=与x
轴的交点为Q ，连接2PF ，
∵1PF 的中垂线过点2F ，∴122||||F F PF =，可得2||2PF c =，
又∵22||a QF c c =-，且22||||PF QF ≥，∴22a c c c ≥-，即22
3c a ≥，∴22213c e a =≥，3
e ≥
，
结合椭圆的离心率(0,1)e ∈，得
13
e ≤<，故离心率的取值范围是3．
三、解答题
12．设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 为直径的圆与直线
:20l ax by +-=相切，若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，坐标原点为O ．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若3OP OQ ⋅=，求椭圆的方程．
【答案】（1）2；（2）
22184
x y +=． 【解析】（1）∵12||2F F c =，∴圆222
:O x y c +=，
∵圆O 与:20l ax by +-=相切，∴
d c =
=，
∴2
2
2a b =，22
2112b e a =-=，∴2
e =．
（2）设直线l 与椭圆的交点为11(,)P x y ，22(,)Q x y ，
∵1212OP OQ x x y y ⋅=+
，a =
，∴直线:0l x +-=，椭圆222
220x y b +-=，
联立直线与椭圆222
220
x x y b ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，消去x
得2240y b -+=，
∴12y y +=
，21214y y b =，
221212*********
()()3()34x x y y y y y y y y b b +=++=++=，
∴2334b =，∴24b =，2
8a =，∴22184
x y +=． 13．已知1F ，2F 是椭圆22
22:1(0,0)x y C a b a b
+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．
（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；
（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围． 【答案】（1
1；（2）4b =
，a ≥
【解析】（1）若2POF △为等边三角形，则P
的坐标为(,)22c ±，代入方程22221x y a b +=，
可得22
223144c c a b
+=
，解得24e =±
1e =．
（2）由题意可得12||||2PF PF a
+=， 因为12PF PF ⊥，所以222
12||||4PF PF c
+=， 所以221212||||)2||||4PF PF PF PF c +-⋅=(，所以222122||||444PF PF a c b ⋅=-=， 所以212
||||2PF PF b ⋅=，所以122121
||||162
PF F S PF PF b =⋅==△，解得4b =， 因为21212
(||||)4||||PF PF PF PF +≥⋅，即2
12(2)4||||a PF PF ≥⋅， 即212||||a PF PF ≥⋅，所以232a ≥
，所以a ≥．
14．设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B ，已
|2||OA OB =（O 为原点）． （1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为
3
4
的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上．且OC AP ∥，求椭圆的方程．
【答案】（1）12；（2）22
11612
x y +=．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为c
2b =， 又由222a b c =+，消去b
得222
)a c
=+，解得12c a =． 所以椭圆的离心率为
1
2
． （2）由（1）知，2a c =
，b =，故椭圆方程为22
22143x y c c
+=，
由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3
()4y x c =+，点P 的坐标满足22
221433
()4
x y c c
y x c ⎧+=⎪⎪⎨
⎪=
+⎪⎩
，
消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1x c =，2137
c
x =-
． 代入到l 的方程，解得132y c =
，29
14
y c =-． 因为点P 在x 轴上方，所以2
()3
,P c c ，
由圆C 在直线4x =上，可设(4,)c t ，
因为OC AP ∥，且由（1）知(2,0)A c -，故3242c
t c c
=
+，解得2t =． 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，
又由圆C 与l
||3
(4)22c +-=，可得2c =， 所以椭圆的方程为22
11612
x y +=．
15．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，顶
点B 的坐标为(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1F C ． （1）若点C 的坐标为41
(,)33
，且2BF =，求椭圆的方程；
（2）若1
FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．
【答案】（1）2212x y +=；
（2）e = 【解析】设椭圆的焦距为2c ，则1(,0)F c -，2(,0)F c
（1）∵(0,)B b ，∴2BF a ==，又2BF =a =
∵点41
(,)33
C 在椭圆上，∴22
161991a b +=，解得21b =， 故所求椭圆的方程为2
212
x y +=．
（2）∵(0,)B b ，2(,0)F c 在直线AB 上，∴直线AB 的方程为1x y
c b
+=，
解方程组222211x y c b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得212222
1222()a c
x a c
b c a y a c ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，220x y b
=⎧⎨=⎩， ∴点A 的坐标为22222
222()
(,)a c b c a a c a c
-++， 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为222
2222
2()
(,)a c b a c a c a c
-++． ∵直线1F C 的斜率为22222222322
()
0()23()b a c b a c a c a c a c c c a c ---+=+--+，直线AB
的斜率为b c
-， 且1FC AB ⊥，∴2223
()()13b a c b
a c c c
-⋅-=-+， 又222b a c =-，整理得225a c =，故2
15e =
，因此5
e =．。