高中数学 第三章 直线与方程 3.1.1 倾斜角与斜率学案(含解析)新人教A版必修2(2021年整

山东省沂水县高中数学第三章直线与方程3.1.1 倾斜角与斜率学案（含解析）新人教A版必修2
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3．1。

1 倾斜角与斜率
学习目标1。

理解直线的斜率和倾斜角的概念；2.理解直线倾斜角的惟一性及直线斜率的存在性；3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．
知识点一直线的倾斜角
思考1 在平面直角坐标系中,只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？
答案不能．
思考2 在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？
答案不同．
1．倾斜角的定义
（1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
（2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2．倾斜角的范围
直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角．知识点二直线的斜率与倾斜角的关系
思考1 在日常生活中，我们常用“升高量
前进量
”表示“坡度”，图(1）(2)中的坡度相同吗?
答案不同，因为错误!≠错误!.
思考2 思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？
答案存在，图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中,坡度＝tan β.
1．直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示,即k＝tan_α。

2．斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角（范
围）α＝0°
0°
〈α<90°
α＝90°
90°<α
〈180°
斜率（范围)k＝0k>0不存在k<0
知识点三
直线过两点P1（x1，y1)，P2（x2，y2)，其斜率k＝错误!（x1≠x2)．
类型一直线的倾斜角
例1 设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l
1
，则直线l1的倾斜角为（)
A．α＋40°
B．α－140°
C．140°－α
D．当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α〈180°时为α－140°
答案D
解析根据题意，画出图形，如图所示：
因为0°≤α<180°，显然A，B,C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示）
可知：
当0°≤α<140°时,l1的倾斜角为α＋40°；
当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D。

反思与感悟（1）解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．
(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论．
跟踪训练1 已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________．答案60°或120°
解析有两种情况：①如图（1），直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
②如图（2），直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
类型二直线的斜率
例2 直线l1，l2，l3都经过点P（3，2），又l1，l2,l3分别经过点Q1(－2,－1），Q2（4,－2),Q3（－3，2),计算直线l1，l2,l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
解设k1,k2,k3分别表示直线l1，l2，l3的斜率．
由于Q1，Q2,Q3的横坐标与P点的横坐标均不相等,
所以k1＝错误!＝错误!，k2＝错误!＝－4，k3＝错误!＝0。

由k1>0知，直线l1的倾斜角为锐角；由k2〈0知，直线l2的倾斜角为钝角；由k3＝0知，直线l
的倾斜角为0°。

3
反思与感悟应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等,直线垂直于x轴，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解．
跟踪训练2 (1）若经过A(m,3），B(1，2)两点的直线的倾斜角为45°，则m＝________.（2）经过A（m，3),B（1,2）两点的直线的倾斜角α的取值范围是________(其中m≥1)．答案(1)2 (2）0°<α≤90°
解析(1）tan 45°＝错误!，得m＝2。

(2)当m＝1时，直线与x轴垂直，
此时斜率不存在,倾斜角为90°.
当m >1时,直线的斜率为k ＝错误!＝错误!＝错误!， 因为m 〉1，所以k 〉0,
故直线的倾斜角的取值范围为0°<α<90°。

综上可知:
直线的倾斜角α的取值范围是0°<α≤90°。

类型三 斜率与倾斜角的综合应用
例3 (1)已知某直线l 的倾斜角α＝45°，又P 1（2，y 1)，P 2(x 2,5)，P 3（3，1)是此直线上的三点，求x 2，y 1的值；
(2）已知A (3,3)，B （－4,2)，C (0，－2）．若点D 在线段BC 上(包括端点）移动,求直线AD 的斜率的变化范围．
解 (1）∵α＝45°，∴直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， ∵P 1，P 2，P 3都在直线l 上，∴12
2
3P P P P k k k ＝＝，
∴错误!＝错误!＝1，解得x 2＝7,y 1＝0。

（2)如图所示：
当点D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ,所以直线AD 的斜率的变化范围是错误!。

反思与感悟 (1)用斜率公式可解决三点共线问题
(2)斜率与倾斜角的关系如图：
跟踪训练3 （1）已知A (1,1），B （3,5），C (a,7)，D （－1,b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a ，b 的值．
（2）已知直线l 过点P （1,1)且与线段MN 相交，其中M (2，－3),N （－3，－2)，求直线l 的斜率k 的取值范围．
解(1）由题意可知k AB＝错误!＝2，
k AC＝错误!＝错误!，k AD＝错误!＝错误!.
因为A，B，C，D四点在同一条直线上，
所以k＝2＝错误!＝错误!，
解得a＝4，b＝－3,
所以直线的斜率k＝2,a＝4，b＝－3.
（2）如图所示,直线l绕着点P在直线PM与PN间旋转，l′是过P点且
与x轴垂直的直线．当l在PN位置转到l′位置时，倾斜角增大到90°，
k≥k PN＝错误!。

当l在l′位置转到PM位置时，倾斜角大于90°，k≤k PM
＝－4.
综上所述:k∈(－∞，－4］∪错误!.
1．对于下列命题：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R;
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率;
④任一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案C
解析①②③正确．
2．m，n，p是两两不相等的实数,则点A（m＋n，p)，B（n＋p,m）,C(p＋m，n）必( ) A．在同一条直线上B．是直角三角形的顶点
C．是等腰三角形的顶点D．是等边三角形的顶点
答案A
解析∵k AB＝错误!＝－1，
k BC＝n－m
p＋m－n－p
＝－1,∴k AB＝k BC,∴A,B，C三点共线．
3．已知A（m，－m＋3），B（2，m－1），C（－1,4），直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍,则m的值为________．
答案4
解析由题意知，k AC＝3k BC，
即：
4
＋m－3
－1－m
＝3·错误!,m＝4.
4．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．
(1)（1，1），(2,4）；(2）（－3，5），(0，2）；
（3）(2,3),（2，5）；(4)（3，－2),(6，－2）．
解(1)k＝错误!＝3〉0，
所以倾斜角是锐角;
（2)k＝错误!＝－1<0，
所以倾斜角是钝角；
(3)由x1＝x2＝2得：k不存在，倾斜角是90°;
(4)k＝
－2－－2
6－3
＝0，所以倾斜角为0°.
直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度,二者紧密相连，如下表：
直线情况
平行于x
轴
垂直于x轴
α的大小0°0°〈α<90°90°90°<α<180°
k的范围0k>0不存在k<0
k的增减情
况
k随α的增大而
增大
k随α的增大而
增大
一、选择题
1．下列说法中：
①任何一条直线都有惟一的倾斜角；
②任何一条直线都有惟一的斜率；
③倾斜角为90°的直线不存在；
④倾斜角为0°的直线只有一条．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案B
解析只有①正确．由于垂直x轴的直线斜率不存在，故②错；③显然错；平行x轴的直线有无数条，其倾斜角为0°，故④错．
2．已知直线l的倾斜角为β－15°,则下列结论中正确的是（)
A．0°≤β<180° B．15°<β<180°
C．15°≤β<180° D．15°≤β〈195°
答案D
解析因为直线l的倾斜角为β－15°，所以0°≤β－15°〈180°，即15°≤β<195°。

3．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0,则AC,AB所在直线的斜率之和为( )
A．－2 3 B．0
C。

3 D．2错误!
答案B
解析由题意知,AB,AC所在直线的倾斜角分别为60°，120°，所以tan 60°＋tan 120°＝3＋(－错误!）＝0。

4．经过两点A(2，1）,B(1,m)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是（)
A．m<1 B．m〉1
C．m≤1 D．m≥1
答案A
解析k＝错误!>0，m－1〈0,得m<1.
5．下列各组中，三点能构成三角形的三个顶点的为( ）
A．(1，3)、(5,7）、（10，12） B．(－1,4)、(2，1）、(－2,5)
C．（0,2）、(2，5)、（3,7） D．（1，－1）、(3,3)、（5,7）
答案C
解析A、B、D三个选项中三点均共线．
6.若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则( ）
A．k1〈k2<k3 B．k3〈k1<k2
C．k3〈k2<k1 D．k1〈k3〈k2
答案D
解析由图可知，k1〈0，k2>0，k3>0，
且l2比l3的倾斜角大．∴k1〈k3〈k2.
7．直线l过点A（1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是（)
A．0 B．1 C.1
2
D．2
答案D
解析如图，k OA＝2，k l′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意,故k∈［0，2]．故直线l的斜率k的最大值为2。

二、填空题
8．若过P(1－a,1＋a)和Q（3,2a）的直线的倾斜角为0°,则a＝________。

答案1
解析由题意得1＋a＝2a，∴a＝1.
9．若三点A（2,2）,B(a，0)，C(0,b）（ab≠0)共线，则错误!＋错误!的值等于________．
答案错误!
解析由于A,B，C三点共线,所以此直线的斜率既可用A，B两点的坐标表示，也可用A，C两
点的坐标表示，于是有
2
2－a
＝
2－b
2
，由此可得a＋b＝错误!ab，两边同时除以ab，得错误!＋错误!
＝错误!。

10．直线l经过A（2,1)，B（1，m2)（m∈R)两点,则直线l的倾斜角的取值范围为____________．答案[0°，45°]∪（90°，180°)
解析直线l的斜率k＝m2－1
1－2
＝1－m2≤1.
若l的倾斜角为α，则tan α≤1。

又∵α∈[0°,180°）,当0≤tan α≤1时，0°≤α≤45°；
当tan α<0时，90°〈α<180°。

∴α∈[0°，45°］∪（90°，180°）．
11．已知直线l的斜率k＝－2，A(5，－3），B（4,x），C（－1，y)是这条直线上的三点，则x ＝________，y＝________.
答案－1 9
解析∵k A B＝k AC＝－2,
∴错误!＝－2,得x＝－1，
错误!＝－2,得y＝9。

三、解答题
12．已知交于点M(8，6）的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5，3），求这四条直线的倾斜角．
解因为k2＝k MN＝错误!＝1，
所以l2的倾斜角为45°，
又l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，
故这四条直线的倾斜角分别为22。

5°，45°，67。

5°，90°。

13．已知两点A（－3，4)，B（3，2)，过点P（1，0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2）求直线l的倾斜角α的取值范围．
解如图所示,由题意可知k PA＝错误!＝－1，k PB＝错误!＝1。

山东省沂水县高中数学第三章直线与方程 3.1.1 倾斜角与斜率学案（含解析）新人教A版必修2 （1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1。

（2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，
又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，
所以α的取值范围是45°≤α≤135°。

11。