7.1 紧致空间

3、一点紧化 、
•定理7.1.6 每一个拓扑空间必定是某一个紧 致空间的开子空间． 证明 :设(X,T )是一个拓扑空间. 令∞为任何 一个不属于X的元素.令 X*=X∪{∞} T *= T ∪T1∪{X*} 其中T 1 ={E ⊂ X* | X*-E是拓扑空间 (X,T ) 中 的一个紧致闭集} 首先 可验证T *是集合X*的一个拓扑.(略)
•定义7.1.2 设X是一个拓扑空间，Y是X中的一 定义7.1.2 定义 个子集, 如果Y作为X的子空间是一个紧致空间， 则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集 紧致子集． 紧致子集
定理7.1.1 设X是一个拓扑空间，Y是X中的 定理7.1.1 一个子集．则Y是X的一个紧致子集 的一个紧致子集当且仅当每 Y 一个由X中的开集构成的 X中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆 盖．
−1
即{C1 , C 2 ,..., C n}是B 的一个子族并且覆盖f（A）． 这证明f（A）是Y的一个紧致子集．
拓扑空间的紧致性是连续映射所保持的性质， 因此是拓扑不变性质，也是一个可商性质． 由于实数空间R不是紧致空间，而每一个开 区间都是与它同胚的，所以每一个开区间（作 为子空间）都不是紧致空间．
②例 有限补空间（X,T ）为紧致空间． 证：设A是它的一个开覆盖．任意在A 中取 定一个非空集合A．（不妨设A≠Φ、X），则X-A为 有限集，记为 A′ = {a1 , a2 , ⋯ , an }. 对于每一个ai ∈ A′ 在A中选取一个
Ai , 使得 a i ∈ Ai .
A′ 是一个有限集，所以A 的子族
紧致性不是可遗传的性质．但由定理7.1.5 可知紧致性是闭遗传的.
4、有限可积性 、
定理 7．1．7 设 X 1 , X 2 ,... X n 是n≥1个紧致空 间．则积空间 X 1 × X 2 × ... × X n 是一个紧致空 间．
紧致空间常见问题：
•有限个紧致子集的并集是否紧 致子集？ （习题 ） 习题4） •两个紧致子集的交是不是紧致 • 子集？ •任何一族紧致闭子集的交是否 紧致子集？ 习题 ） （习题5） 继续
3.等价说法 等价说法 ①定义7.1.3 设A 是一个集族．如果A 的每一个 定义7.1.3 有限子族都有非空的交（即如果A1是A 的一个 有限子族，则 ∩ A1 A ≠ ∅ ），则称A 是一个具有 有限交性质的集族． 有限交性质的集族．
A∈
②定理7.1.2 设X是一个拓扑空间．则X是一个 紧致空间当且仅当X中的每一个具有有限交性质 紧致空间 X 的闭集族都有非空的交． 的闭集族都有非空的交
=X∪{∞}； X*=X∪{∞}；T *= T ∪T1∪{X*} (X,T 的一个紧致闭集} T 1 ={E ⊂ X* | X*-E是拓扑空间 (X,T )中 的一个紧致闭集}
其次，证明(X*, T *)是一个紧致空间. 设A是X*的一个开覆盖.则存在C∈A使得∞∈C. 于是 C∈T 1 , 因此X*-C是紧致的,并且A -{C}是 它的一个开覆盖. . 于是 A -{C}有一个有限子族,设为A1,覆盖X*-C. 易见 A1∪{C}是A的一个有限子族,并且覆盖X*. 最后,我们指出拓扑空间 (X,T ) 是拓扑空 间(X*, T *)的一个开子空间.这是因为T =T * | X 及X是X*的一个开集.
C ∈
⇒∪
C ∈
B
B
C ) ⊃ f −1 ( f ( A)) ⊃ A
所以 A＝{ f (C) | C∈B }是 A的一个开覆盖． 由于 A是X的一个紧致子集，所以A有一个有限 子族，设为{ f −1 (C1 ), f −1 (C 2 ),... f −1 (C n ) } ，覆盖 A.
∵ f −1 (C1 ) ∪ f −1 (C2 ) ∪ ... ∪ f −1 (Cn ) = f −1 (C1 ∪ C2 ∪ ... ∪ Cn ) ⊃ A ∴ C1 ∪ C2 ∪ ... ∪ Cn ⊃ f ( A)
{ A1 , A2 ,⋯ , An } ∪ { A} 也是有限的，易见它也覆盖X．
因此，包含着有限补空间是紧致空间。
③例 平庸空间（X,T ）为紧致空间． ④例 设（X,T ）为离散空间， 则X为紧致的
⇔ X 为有限集。
• 包含着无限但可数个点的离散空间是一个 Lindelöff空间,但它不是一个紧致空间．
/ / / 从而 C1 ∩ C2 ∩ ... ∩ Cn = (C1 ∪ C2 ∪ ... ∪ Cn )′ = X ′ = ∅
这说明F不具有有限交性质．矛盾．
“ ⇐ ”，设X中的每一个具有有限交性质的闭集族 为证明X是一个紧致空间，设A 是X的 都有非空的交． 一个开覆盖．我们需要证明A有一个有限子覆盖． 如果A= ∅ ，则 ∪ C∈A C = ∅ ，这蕴涵X= ∅ 以及A 的每一个子族都是X的覆盖．以下假定A≠ ∅． 此时F={ A′|A∈A } 便是X中的一个非空闭集族， 并且 ∩ C = ∩ A A′ = ( ∪ A A)′ = ∅
充分性，假定每一个由X的开集构成的Y的覆盖 都有一个有限子覆盖． 设A是Y的一个覆盖，它由Y中的开集构成． 图 则对于每一个A∈A 存在X中的一个开集 U A 使 得A= U A ∩Y．
~ 因此 A = {U A ∈A }是由X中的开集构成的Y的一个 覆盖，所以有一个有限子覆盖，设为{ U A1 , U A2 ,...U An }
第7章
§7．1紧致空间
紧致性
本节重点：掌握紧致子集的定义及判断一个 子集是紧致子集的方法。（这些方法哪些是 充要条件?） 掌握紧致性是否是连续映射可保留的， 是否是可遗传的、有限可积的。
一、紧致性及其刻画
1.定义7.1.1 设X是一个拓扑空间．如果X的 定义7.1.1 定义 每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ扑 每一个开覆盖有一个有限子覆盖 空间X是一个紧致空间． 注：每一个紧致空间都是Lindeloff空间．但 反之不然． 例如 包含着无限但可数个点的离散空间是一个 Lindelöff空间,但它不是一个紧致空间．
C∈F A∈ A∈
因此，它不具有有限交性质．也就是说，它有 一个有限子族其交为空集． 设F的这个有限子族为{ A , A ,..., A }，
/ / / 1 2 n
则 A1/ ∩ A2/ ∩ ... ∩ An/ = ∅ ⇒ A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = X
所以是A的一个有限子覆盖．
③定理7.1.3 设B 是拓扑空间X的一个基，并 定理7.1.3 且X的由B 中的元素构成的每一个覆盖有一个 有限子覆盖．则X是一个紧致空间． 证明 设A是X的一个开覆盖．对于每一个A∈A 存在B的一个子族BA 使得
∵ Bi ∈ A1,∴ ∃Ai ∈ A ，使得Bi ∈BAi .∴ Bi ⊂ Ai
于是 对于A的有限于族{ A1 , A2 ,... An }有
A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ⊃ B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn = X
也就是说A有一个有限子覆盖{ A1 , A2 ,... An }.
二、紧致空间的性质 1、拓扑不变性 、
A = ∪ B∈ BA B
令 A1 = ∪ A∈A BA 由于
∪ B∈ A B = ∪
1
B ∈ ∪ A∈A BA
B=∪
A∈
(∪
A
B∈
BA
B) = ∪
A∈
A
A= X
故
A1是一个由B的元素构成的X的一个覆盖，
A1= ∪ A BA BA⊂ B
A∈
所以 A1有一个有限子覆盖，设为 B1 , B2 ,...Bn , 对于每一个 Bi ，i=1,2,…，n，
证明
"⇒" : 设X是一个紧致空间．用反证法.
设F是X中的一个具有有限交性质的闭集族．设 F≠ ∅ ．如果 ∩ C∈F C = ∅ ，则令A={ C ′ | C∈F}． 由于 ∪C∈F C ′ = (∩C∈F C )′ = ∅′ = X 所以A 是X的一个开覆盖．于是A 有一个有限 子覆盖，设为{ C1/ , C 2/ ,...C n/ }．
2、闭遗传性 、
•定理7.1.5 紧致空间中的每一个闭子集都是紧 致子集．
证明
设Y是紧致空间X中的一个闭子集．
如果A是Y的一个覆盖，它由X中的开集构成． 则 B=A ∪ {Y ′} 是X的一个开覆盖． 设 B1是B的一个有限子族并且覆盖X． 则B1-{ Y ′}便是 A的一个有限子族并且覆盖Y． 这证明Y是X的一个紧致子集．
•定理7.1.4 设X和Y是两个拓扑空间，f: X→Y 是一个连续映射．如果A是X的一个紧致子集，则 f（A）是Y的一个紧致子集． 证明 设B是f（A）的一个覆盖，它由Y中的开集 组成．对于每一个C∈B，由于f是一个连续映射， −1 f （C）是X中的一个开集
∵∪
C ∈
B
C ⊃ f ( A) f −1 (C ) = f −1 (∪
X Y
证明：必要性 设Y是拓扑空间X中的一个紧致子集,
A是Y的一个覆盖，它由X中的开集构成． ~ 则容易验证集族 A ={A ∩ Y A ∈ A} 也是Y的
一个覆盖，它由Y中的开集构成.
~ 因此 A 有一个有限子覆盖,设为 { A1 ∩ Y , A2 ∩ Y ,..., An ∩ Y },
于是 A 的有限子族 A1 , A 2 ,... A n 覆盖Y．
A
此时易见A 的子族{ A1 , A2 ,... An｝覆盖Y．这证 明Y是X的一个紧致子集．
继续
X
A
Y
2.例子 例子 ①例7.1.1 实数空间R不是一个紧致空间． 这是因为如果设A＝{(－n，n)⊂ R | n∈Z+}, 则A的任何一个有限子族 { (−n1 , n1 ), (−n2 , n2 ),..., (−nk , nk ) } ,由于它的并 为 (-max{ n1 , n2 ,...nk },max{ n1 , n2 ,...nk }) 所以不是R的一个子覆盖．因此R的开覆盖A没有 任何一个有限子覆盖．