广东省韶关市2020届高三数学摸底考试(理)

2020届韶关市高三摸底考试理科数学试题
本卷分第Ⅰ卷(选择题、填空题)和第Ⅱ卷解答题两部分，满分150分.考试用时间120分钟. 注意事项：
1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上； 2．第I 卷每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上。

答在第Ⅰ卷上不得分；
3．考试结束，考生只需将第Ⅱ卷（含答卷）交回。

参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+
如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率
()(1)(012)
k k
n k n n P k C p p n n -=-=L ，，，，
第Ⅰ部分(选择题、填空题共70分)
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若集合
2
{|60}A x x x =--≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B I 等于 A ．{}|34x x x >或≤ B ． {}|21x x --<≤ C ．
{}|34x x <≤
D ．
{}|13x x -<≤
2. 设复数z 满足2iz i =-(i 为虚数单位），则z =
A ． 12i --
B ．12i -
C ．12i +
D ．12i -+
3．已知向量),2(t =，)2,1(=，若1t t =时，//；2t t =时，⊥，则 A.1,421-=-=t t B. 1,421=-=t t C. 1,421-==t t D. 1,421==t t 4. 设a 、b 满足01a b <<<，则下列不等式中正确的是 A ．a
b
a a < B ．a
b
b b <
C ．a a a b <
D ．b b
b a <
5.在ABC ∆中，若a =1,ο
60=C , c =3，则A 的值为
A ．︒30
B ．︒60
C ．30150︒︒或
D ．60120︒︒或
6. 若m 、n 是两条不同的直线,αβγ、、是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是
.A 若βαβ⊥⊂,m ，则α⊥m . .B 若m//n n,,m ==γβγαI I ，则βα//. .C 若βαγα⊥⊥,，则γβ//. .D 若αβ//m ,m ⊥，则βα⊥.
7．某工厂8年来某种产品的总产量C 与时间t （年）的函数关系如图，有下列说法：①前三年中，总产量增长的速度越来越快；②前三年中，总产量增长的速度越来越慢；③第三年后，这种产品停止生产；④第三年后，年产量保持不变，其中正确的是
.A ①、③ .B ②、③ .C ①、④ .D ②、④
8．已知函数()2,f x x bx c =++其中04,04b c ≤≤≤≤.记函数满足()()21213f f ≤⎧⎪⎨
-≤⎪⎩
的事件为A ,
则事件A 的概率为
A ．58
B ．12
C ．38
D ．1
4
第二部分 非选择题(共110分)
二.填空题：每小题5分, 共30分.
9. 甲，乙两人在相同条件下练习射击，每人打5发子弹，命中环数如下：
则两人射击成绩的稳定程度较强的是__________________． 10. 如图，程序执行后输出的结果为_________．
(说明：M N =是赋值语句，也可以写成M N ←，或:M N =)
11. 若抛物线2
2y px =的焦点与双曲线132
2
=-y x 的右焦点重合，则p 的值
为__________. 12. 221
(1)x dx -=
⎰
______________.
13. 已知m 为非零实数，若函数
lg(
1)1m
y x =--的图象关于原点成中心对称，则
_______m =.
甲 6 8 9 9 8 乙
10
7
7
7
9
B O
D
A
C
选做题：在下面两道小题中选做一题，两题都选只计算前一题的得分.
14. （参数方程与极坐标）曲线2ρ=被直线2()1x t
t y t =-+⎧⎨
=-⎩为参数所截得的弦长为_______.
15（几何证明选讲）如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知
23AD =，6AC =，圆O 的半径为3，则圆心O 到AC 的距离
为 ．
题号 一 二 三 总分 16 17 18 19 20 21 分数
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
9．________________________． 10．__________________________． 11．________________________． 12．__________________________． 13．________________________. 14. ___________________________ 15. 第Ⅱ卷(解答题共80分) 三.解答题
16． (本题满分12分)
已知cos 2sin 0αα+=，其中π
απ
<<2
．
(Ⅰ) 求ααα
αcos sin 2cos 2sin --的值；
(Ⅱ) 若53sin =
β，π
βπ
<<2，求)cos(
βα+的值．
17 (本题满分14分)
如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD 是正三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD .
（Ⅰ）求证:平面⊥PAB 平面PAD ；
（Ⅱ）求直线PC 与底面ABCD 所成角的正切值大小； （Ⅲ）设1=AB ,求点D 到平面PBC 的距离.
A
B
C
P
D
18.(本题满分12分)
甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响．射击环数的频率分布条形图如下：
若将频率视为概率，回答下列问题：
(Ⅰ) 求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率；
(Ⅱ) 若甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求
ξ的分布列及ξE ．
19．(本题满分14分)
已知函数
x ax x x f 3)(2
3--= . （Ⅰ）若)(x f 在),1[+∞上是增函数, 求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）若
31
-
=x 是)(x f 的极大值点,求)(x f 在],1[a 上的最大值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数b ，使得函数bx x g =)(的图像与函数)(x f 的图像恰有3个交点？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由.
20(本题满分14分)
如图，已知点
AC
AB
A=
-),
0,4
(,且ABC
∆的内切圆方程为9
4
)2
(2
2=
+
-y
x
.
（Ⅰ）求经过
C
B
A,
,三点的椭圆标准方程；
（Ⅱ）过椭圆上的点M作圆的切线，求切线长最短时的点M的坐标和切线长.
21. (本题满分14分)
已知数列{}n a 满足a a =1(2)a ≠-，
1(46)410
21n n n a n a n ++++=
+（n *
∈N ）．
（Ⅰ）证明数列
221n a n +⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭是等比数列，并求出通项n a ； （Ⅱ）如果1a =时，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试求出n S ，并证明当3n ≥时，有
341111
10n S S S +++<L ．
2020届高三数学（理科）摸底考试参考答案及评分标准
一、解答部分给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题答案 BACCA DBA
二、填空题 9. 甲； 10. 64； 11.4； 12. 4
3； 13.2-； 14.14； 15.5
三、解答题
16.解：（Ⅰ） Q 0sin 2cos =+αα，即ααsin 2cos -= ------------------2分
又π
απ
<<2
，∴0sin ≠α
∴45
sin 2sin 2sin 4sin cos sin 2cos 2sin =
++=--ααααα
ααα ------------------4分
（Ⅱ）由⑴知，ααsin 2cos -=，π
απ
<<2
，又
1cos sin 22=+αα-------5分 ∴
55
2cos ,55sin -==
αα ------------------7分
Θ
53sin =
β，πβπ
<<2
∴
ββ2
sin 1cos --=545312
-=⎪⎭⎫
⎝⎛--= ------------------9分 ∴βαβαβαsin sin cos cos )cos(
⋅-⋅=+ 55
535554552=⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-
= ------------------12分
17. 解法一：
（Ⅰ）证明
PAD AB ABCD AB AD AB AD ABCD PAD ABCD
PAD 平面底面底面平面底面平面⊥⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
⊂⊥=⊥,I ------------------3分
又PAB AB 平面⊂，∴PAB PAD ⊥平面平面 ------------------5分 （Ⅱ）解：取AD 的中点F ，连结PF,CF ------------------6分
PAD ∆Q 是正三角形PF AD ∴⊥，而平面ABCD ⊥平面PAD ，交于AD PF ∴⊥ABCD
∴CF 是PC 在平面ABCD 上的射影，
∴ABCD PC PCF 与底面是直线∠所成的角------------------8分 设2,AD a =则3,5,PF a CF a =
=
在
515
tan ==
∆CF PF PCF PCF 中， , ------------------9分
即直线PC 与底面ABCD 所成的角的正切值大小是515
----------------10分
（Ⅲ）解：设点D 到平面PBC 的距离为h ∵BCD
P PBC D V V --=
∴
PF
S h S BCD PBC •=•∆∆ ------------------11分
在2=
=∆PC PB PBC 中，易知 ∴
47
=
∆PBC S ------------------12分
又
23
,21=
=∆PF S BCD
∴721
472321=
⨯
=h ------------------13分
即点D 到平面PBC 的距离为721
------------------14分
解法二：
（Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系xyz D -，如图------------------1分
不妨设
)23,0,21(),0,1,1()0,0,1(-P B A 则 13
(0,1,0),(,0,22AB PA ==u u u r u u u r ------------2分 由PA AB ⊥=•得0------------------3分 由AD AB ⊥,∴PAD AB 平面⊥ ------------------4分 又PAB AB 平面⊂
∴平面PAD PAB 平面⊥------------------5分 （Ⅱ）解：取AD 的中点F ，连结PF,CF
∵AD PF ABCD PAD ⊥⊥，且平面平面, ∴ABCD PF 平面⊥------------------6分 ∴CF 是PC 在平面ABCD 上的射影，
∴所成的角与底面是直线ABCD PC PCF ∠------------------7分
易知)
0,0,21(),0,1,0(F C ∴)23,1,21(-=CP ，)0,1,21
(-=CF
10cos ,4CP CF CP CF CP CF
•<>==
•u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r ------------------8分
∴
615
tan ,4510CP CF <>==
u u u r u u u r ------------------9分 ∴直线PC 与底面ABCD 所成的角的正切值大小是515
------------------10分
（理）（Ⅲ）同解法一
18.(本题满分12分)
解法一：
(Ⅰ) 甲运动员击中10环的概率是：10.10.10.450.35
---=. ------------------1分设事件A表示“甲运动员射击一次，恰好命中9环以上(含9环，下同)”，
则
()0.350.450.8
P A=+=------------------2分
事件“甲运动员在3次射击中，至少1次击中9环以上”包含三种情况：恰有1次击中9环以上，概率为p1=C13·0.81·(1-0.8)2=0.096；
恰有2次击中9环以上，概率为p2=C 2
3·0.82·(1-0.8)1=0.384；
恰有3次击中9环以上，概率为p3=C 3
3·0.83·(1-0.8)0=0.512．------------------4分
因为上述三个事件互斥，所以甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率
p= p1+ p2+ p3=0.992．------------------6分
(Ⅱ)记“乙运动员射击1次，击中9环以上”为事件B，则P(B)=1—0.1—0.15=0.75．------------------7分
因为ξ表示2次射击击中9环以上的次数，所以ξ的可能取值是0，1，2. ----------------8分
因为P(ξ=2)=0.8·0.75=0.6；
P(ξ=1)=0.8·(1-0.75)+(1-0.8)·0.75=0.35；P(ξ=0)=(1-0.8)·(1-0.75)=0.05．-----------------10分
所以ξ的分布列是
所以Eξ=0×0.05+1×0.35+2×0.6=1.55．------------------12分
解法二：
设事件A表示“甲运动员射击一次，恰好命中9环以上”(含9环，下同)，则P(A)=１－0.1－0.1=0.8．------------------1分
（Ⅰ）甲运动员射击3次，均未击中9环以上的概率为
P0=C 0
3·0.80·(1-0.8)3=0.008．------------------4分
所以甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率P=1-P0=0.992．------------------6分（Ⅱ）同解法一．
19. 解：(Ⅰ)
3
2
3
)
(2
'-
-
=ax
x
x
f0
≥在)
,1[+∞
∈
x上恒成立, ------------------2分
即
)
1(232332x x x x a -=-≤在),1[+∞∈x 上恒成立, ------------------3分 得0≤a . ------------------5分
(Ⅱ)0)31
('=-f 得a =4.
)3)(13(383)(2
'-+=--=x x x x x f ------------------6分 在区间]4,1[上, )(x f 在]3,1[上为减函数,在]4,3[上为增函数. ---------------8分
而6)1(-=f ，12)4(-=f ，所以6
)(max -=x f .------------------10分
(Ⅲ)问题即为是否存在实数b ，使得函数bx x x x =--342
3恰有3个不同根. ------------------11分
方程可化为
0)]3(4[2
=+--b x x x 等价于
0)3(42=+--b x x 有两不等于0的实根------------------12分 30-≠>∆b 且------------------13分 所以3,7-≠->b b ------------------14分
20. 解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为),0,0(12
2n m n m n y m x ≠>>=+，------------------1分
依题意知直线AB 的斜率存在，故设直线AB ：y=k （x+4） ------------------2分
因圆
94)2(22=
+-y x 的圆心为（2，0），半径
32
=
r ，又因为直线AB 与圆相切 所以，圆心为（2，0）到直线AB 的距离为
3
2
1
|
402|2=++-=
k k k d ------------------3分
解得
541
,5
4121-
==
k k 或（2k 为直线AC 的斜率） 所以直线AB 的方程为
)
4(5
41+=
x y ，------------------4分
又因为AB=AC ，点A(-4,0)在x 轴上，所以B 点横坐标为
38322=
+
=B x ，
把
38
=
B x 代入直线AB 的方程解得
35=B y ，)
35,38(B ∴------------------5分
把A(-4,0)，)35
,38(B 代入椭圆方程得⎪⎪⎩⎪
⎪
⎨⎧=+=-1)35()38(1)4(22
2
n m m ，解得m=16，n=1----------6分 所以椭圆的标准方程为1
1622
=+y x .------------------7分
(Ⅱ)依题意设点M )sin ,cos 4(θθ，则圆心（2，0）与点M 的距离为
θθ22sin )2cos 4(+-=d ------------------8分
则切线长2
2r d l -=，
而
l ==≥，------------------10分
当
158
cos =
θ
时，
min 15l ==
， ------------------12分 此时
15161sin ±
=θ，从而点M 的坐标为32(,)
1515± ------------------14分
解法二：(Ⅰ)因为AB=AC ，点A(-4,0)在x 轴上，且ABC ∆的内切圆方程为
94
)2(22=
+-y x ，
所以B 点横坐标为
38
322=
+=B x ，
如图，由三角形内切圆的性质知
ADB Rt ∆∽ANM Rt ∆
∴AM AB
MN
BD =
即6
)384(3
222B
B
y y ++=，从而
35=
B y
)
35,38(B ∴------------------3分
当椭圆的焦点在x 轴上时，设椭圆方程为)0(12
2
22>>=+b a b y a x ，则将A(-4,0)，)35,38(B 代
入椭圆方程得⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=+=-1)35()38(1)4(2222
2
2
b a a ，解得2a =16，2
b =1 所以椭圆的标准方程为1
1622
=+y x .------------------5分
当椭圆的焦点在y 轴上时，设椭圆方程为)0(122
22>>=+b a b x a y ，则将A(-4,0)，
)35,38(B 代入椭圆方程得⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=+=-1)3
8()35(1)4(2222
2
2
b a b ，解得2
b =16，2a =1710与0>>b a 矛盾----------6分 综上所述，所求椭圆的标准方程为1
1622
=+y x .------------------7分
(Ⅱ) 依题意设点M ),(y x ，则圆心（2，0）与点M 的距离为
22)2(y x d +-= ------------------8分
则切线长22r d l -=
，
而
4513
4513)1532(161594)2(222≥+-=-
+-=x y x l ，------------------10分
当
1532
=
x 时，
15654513min =
=l ， ------------------12分 此时
15161
±
=y ，从而点M 的坐标为)
15161,15
32(± ------------------14分 .21.证明（Ⅰ）
212104)64(21+++++=
++n n a n a n n Θ12)2)(64(+++=
n a n n ，
12)
2(23221++⋅=++∴
+n a n a n
n ．
令
122
++=
n a b n n ，则n n b b 21=+． ……………………………………………………2分
321+=
a b Θ，
当2-≠a 时，01≠b ，则数列}
122
{
++n a n 是等比数列，且公比为2．………………4分 1
12
-⋅=∴n n b b ，即1
232122-⋅+=++n n a n a ．
解得
223)12)(2(1
-⋅++=
-n n n a a （
n N
+∈） ……………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1=a 时，22)12(1-⋅+=-n n n a ， n
n S n n 22)12(2725312-⋅+++⋅+⋅+=-Λ．
令1
22)12(27253-⋅+++⋅+⋅+=n n n T Λ， ………………………①
则
n
n n n n T 2)12(2)12(2523212⋅++⋅-++⋅+⋅=-Λ， …………②
由①-②：
n
n n n T 2)12()222(2312⋅+-++++=--Λ
n n n 2)12(21)
21(2231⋅+---⋅+=-12)21(-⋅-=n
n ， 1
2)12(+⋅-=∴n n n T ， ……………………………………9分
则n T S n n 2-=)
12)(12(--=n n ． ………………………………10分
n n
n n n n n C C C C ++++=-1102ΛΘ，
∴当3≥n 时，01122(1)n n n n n n n C C C C n -=+++≥+，则1212+≥-n n
．…12分
)12)(12(+-≥∴n n S n ，则)
121121(21)12)(12(11+--=+-≤n n n n S n ．……13分 因此，)]121
121()9171()7151[(2111143+--++-+-≤+++n n S S S n ΛΛ
101)12151(21<
+-=
n ． ………………………………14分。