苏教版高中数学必修二教学案第九章两条异面直线所成的角练习课

两条异面直线所成的角练习课
教学目标
1．记忆并理解余弦定理；
2．应用余弦定理来求异面直线所成的角．
教学重点和难点
这节课的重点是以异面直线所成的角的概念为指导作出相应的角，然后用余弦定理解这个角所在的三角形求出这个角的余弦．这节课的难点是使学生初步理解当cosθ＞0时，0°＜θ＜90°，当cosθ=0时，θ=90°，当cosθ＜0时，90°＜θ＜180°．
教学设计过程
一、余弦定理
师：余弦定理有哪两种表述的形式？它们各有什么用途？
生：余弦定理有两种表述的形式，即：
a2=b2＋c2-2bccos A
b2=c2+a2-2cacos B
c2=a2＋b2-2abcos C
第一种形式是已知两边夹角用来求第三边，第二种形式是已知三边用来求角．
师：在立体几何中我们主要用余弦定理的第二种形式，即已知三角形的三边来求角．
在余弦定理的第二个形式中，我们知道b2＋c2可以等于a2；也可以小于a2；也可以大于a2．那么，我们想当b2+c2=a2时，∠A等于多少度？为什么？
生：当b2＋c2=a2时，由勾股定理的逆定理可知∠A=90°．
师：当b2＋c2＞a2时，∠A应该是什么样的角呢？
生：因为cosA＞0，所以∠A应该是锐角．
师：当b2＋c2＜a2时，∠A应该是什么样的角呢？
生：因为这时cosA＜0，所以∠A应该是钝角．
师：对，关于这个问题，我们只要求同学们有初步的理解即可．初步理解后应该记住、会用．现在明确提出当cosθ=0时，θ=90°，θ是直角；当cosθ＞0时，0°＜θ＜90°，θ是锐角当cosθ＜0时，90°＜θ＜180°，θ是钝角．下面请同学们回答下列问题：
生：θ等于60°，等于120°．
师：这时θ和是什么关系？
生：θ和是互为补角．
师：再回答下列问题：
生：θ1等于45°，1等于135°，θ1+ 1=180°；θ2等于30°，2=150°，θ2+ 2=180°．
师：一般说来，当cosθ=-cos时，角θ与角是什么关系？
生：角θ与角是互补的两个角．即一个为锐角，一个
为钝角，且θ＋=180°．
（关于钝角的三角函数还没有定义，所以这里采用从特殊到一般的方法使学生有所理解即可）
二、余弦定理的应用
例1 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．求异面直线A1B和AD1所成的角的余弦．（如图1）
师：首先我们要以概念为指导作出这个角，A1B和AD1所成的角是哪一个角？
生：因为CD1∥A1B，所以∠AD1C即为A1B与AD1所成的角．
师：∠AD1C在△AD1C中，求出△AD1C的三边，然后再用余弦定理求出∠AD1C 的余弦．
师：我们要再一次明确求异面直线所成的角的三个步骤：第一是以概念为指导作出所成的角；第二是找出这个角所在的三角形；第三是解这个三角形．现在我们再来看例2．
例2 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∠C1BC=45°，∠B1AB=60°．求AB1与BC1所成角的余弦．（如图2）
师：在这例中，我们除了首先要以概念为指导作出异面直线所成的角以外，还要注意把所给的特殊角的条件转化为长方体各棱之间的关系，以便于我们用余弦定理．
生：因为BC1∥AD1，所以AB1与BC1所成的角即为∠D1AB1．根
师：现在我们来看例3．
例3 已知正方体的棱长为a，M为AB的中点，N为B1B的中点．求A1M与C1N所成的角的余弦．（如图3）（1992年高考题）
师：我们要求A1M与C1N所成的角，关键还是以概念为指导作出这个角，当一次平移不行时，可用两次平移的方法．在直观图中，根据条件我们如何把A1M 用两次平移的方法作出与C1N所成的角？
生：取A1B1的中点E，连BE，由平面几何可知BE∥A1M1，再取EB1的中点F，连FN由平面几何可知FN∥BE，所以NF∥A1M．所以∠C1NF即为A1M与C1N所成的角．
师：还可以用什么方法作出A1M与C1N所成的角？
生：当BE∥A1M后，可取C1C中点G，连BG，则BG∥C1N，
师：这两种解法都要用两次平移来作出异面直线所成的角，现在我们来看例4．
例4 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1与BD所成的角的余弦．（如图4）
师：根据异面直线所成的角的概念，再根据长方体的基本性质，如何作出AC1与BD所成的角。

生：连AC，设AC∩BD=0，则O为AC中点，取C1C的中点F，
定理，得
师：想一想第二个解法
生：取AC1中点O1，B1B中点G．在△C1O1G中，∠C1O1G即
一可知：
师：想一想第三个解法．当然还是根据异面直线所成的角概念首先作出这个角．有时可根据题目的要求在长方体外作平行直线．
生：延长CD到E，使ED=DC．则ABDE为平行四边形．AE∥BD，所以∠EAC1即为AC1与BD所成的角．（如图5）连EC1，在
由余弦定理，得
所以∠EAC1为钝角．
根据异面直线所成角的定义，AC1与BD所成的角的余弦为
师：根据这一道题的三种解法，我们可以看出，当用异面直线所成的角的概念，作出所成的角，这时所作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角．（异面直线所成的角的邻补角）
今天就讲这四个例题，这四个例题都是要用余弦定理来求异面直线所成的角．
作业
补充题
3．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是正方形ABCD的中心，E，F 分别是AB，BC中点．求：（1）异面直线A1D1和CD的距离；（2）异面直线C1O 和EF的距离．
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∠BAB1=∠B1A1C1=30°．求：（1）AB与A1C1所成的角的度数；（2）A1A与CB1所成的角的度数；（3）AB1与A1C1所成的角的余弦．。