2019届广州市高三年级调研测试(文数)

2019届广州市高三年级调研测试
数 学（文科）
本试卷共5页，23小题， 满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用
2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.写在本试卷上无效.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1． 设集合{}
2
(1)1P x x =-<，{}
11Q x x =-<<，则集合=Q P
A ．)2,1(-
B ．)0,1(-
C ．)2,1(
D ．)1,0(
2． 若复数z 满足()1i 12i z +=+，则z =
A ．
2
B ．
32
C ．
2
D ．12
3． 下列函数中,既是奇函数,又在⎪⎭
⎫
⎝⎛2,0π上单调递增的是
A ．x y x
sin 2-= B ．x
x
y ⎪⎭
⎫
⎝⎛-=212 C ．x x y -=sin D ．cos y x x =-
4． 某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2015年1月至2017年12
月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误．．的是 A ．年接待游客量逐年增加
B ．各年的月接待游客量高峰期在8月
C ．2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人
D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
5． 《九章算术》中将底面为长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”,现有一阳马,其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上,则该球的体积为
A ．π6
B ．
3
68π
C ．π68
D ．π24
6． 已知ABC ∆的边BC 上有一点D 满足DC BD 4= ,则AD 可表示为
A ．AC A
B AD 4341+=
B ．A
C AB A
D 41
43+=
C ．5154+=
D ．5
4
51+=
7． 已知双曲线C 的中心为坐标原点,离心率为3，
点(P 在C 上，则C 的方程为
A ．22142
x y -= B ．
221714x y -= C ．22124x y -= D ．22
1147
y x -= 8． 由)61
6sin(2π-=x y 的图象向左平移3π
个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来
的2倍后，所得图象对应的函数解析式为
A ．)613sin(2π-=x y
B ．)61
3sin(2π+=x y C ．)1213sin(2π-=x y D ．)6
1
12sin(2π-=x y
9． 3a = 是直线230ax y a ++= 和31)(7x a y a +-=- 平行的
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
10．若实数x ，y 满足(1)(25)002,x y x y x --+-≥⎧⎨
≤≤⎩
，
则2z x y =-的取值范围是
A. [5,3]-
B. [5,1]-
C. [1,3]
D. [5,5]-
11．在已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
222sin sin sin sin sin cos cos A B C A B
c a B b A
+-=
+．若4a b += ,则c 的取值范围为 A. ()
0,4 B. [2,4) C. [1,4) D. (2,4] 12．已知椭圆Γ：22
221y x a b
+=()0a b >>的长轴是短轴的2倍,过右焦点F 且斜率为()0k k >的直
线与Γ相交于,A B 两点，若FB AF 3=，则k =
A ．1
B ．2
C
D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知13
2a = ，则2log (2)a = ________． 14．设θ为第二象限角,若21
4tan =⎪⎭⎫
⎝
⎛+
πθ ，则cos θ=________．
15．圆锥底面半径为1，高为，点P 是底面圆周上一点,则一动点从点P 出发,绕圆锥侧面一圈
之后回到点P ,则绕行的最短距离是________．
16．已知过点(),0A a 作曲线:x
C y x e =⋅的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个
试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）
设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =,()12222n n a a a n -=+-≥. (1)证明：数列{1}n a +为等比数列；
(2)求数列{}n a 的通项公式，并判断,,n n n a S 是否成等差数列?
某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每公斤25元，成本为每公斤15元，销售宗旨是当天进货当天销售. 如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每公斤10元处理完，根据以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数x (同一组中的数据用该组区间中点值代表)； (2)该经销商某天购进了250公斤这种蔬果，假设当天的需求量为x 公斤()0500x ≤≤，利润为y 元. 求y 关于x 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润y 不小于1750元的概率.
19．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF //AB ，2AB =，
1 , 3 , 60, BC EF AE DE BAD G ===∠=︒为BC 的中点.
(1)求证:FG //平面BED ； (2)求证:BD ⊥平面AED ； (3)求点F 到平面BED 的距离.
20. (本题满分12分)
已知动圆C 过定点()1,0F ，且与定直线1x =-相切. (1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程:
(2)过点()2,0M -的任一条直线l 与轨迹E 交于不同的两点,P Q ，试探究在x 轴上是否存在定点N (异于点M )，使得QNM PNM π∠+∠=？若存在，求点N 的坐标；若不存在，说明理由.
已知函数()(ln )x f a x x xe x =++. (1) 若a e =-，求()f x 的单调区间；
(2)当0a <时，记()f x 的最小值为m ，求证：1m ≤
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程为θθρsin 2cos 32+=，直线()1:,6
l R π
θρ=
∈直线
()2:3
l R π
θρ=
∈．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．
(1)求直线12,l l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程;
(2)已知直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求AOB ∆的面积．
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数1
()||3
f x x a =
-()a R ∈ ． （1）当2a =时，解不等式1
()13
x f x -
+≥； （2）设不等式1()3x f x x -
+≤的解集为M ，若M ⊆⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2131，，求实数a 的取值范围．
数学（文科）参考答案
评分说明:
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．
43 14． 15． 16．()(),40,-∞-+∞ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17． 解：（1）证明：∵37a =，3232a a =-，∴23a =, ……………………………………1分
∴121n n a a -=+， ……………………………………2分 ∴11a =， ……………………………………3分
111122211
n n n n a a a a ---++==++()2n ≥， ……………………………………5分
∴{}1n a +是首项为112a +=，公比为2的等比数列． …………………………………………6分 （2）解：由（1）知，12n n a +=， ……………………………………7分 ∴21n n a =-， ……………………………………8分
∴()12122212
n n n S n n +-=
-=---， ……………………………………9分
∴()()
12222210n n
n n n S a n n ++-=+----=， ……………………10分
∴2n n n S a +=. ……………………11分 即n ，n a ，n S 成等差数列． ……………………12分
18．解：
（1）500.00101001500.00201002500.00301003500.0025100x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
4500.0015100+⨯⨯ …………………………2分 265=. ……………………………3分 故该种蔬果日需求量的平均数为265公斤. …………………………4分 （2）当日需求量不低于250公斤时，利润=()2515250=2500y ⨯－元, ………………5分
当日需求量低于250公斤时，利润2515250=()()5=151250x y x x ---⨯-元 , ………6分
所以151250,0250,
2500,250500.
x x y x -≤<⎧=⎨
≤≤⎩ …………………………8分
由1750y ≥得，200500x ≤≤, ……………………………9分 所以(1750)P y ≥＝(200500)P x ≤≤ ……………………………10分
=0.0030100+0.0025100+0.0015100⨯⨯⨯ =0.7. …………………………11分
故估计利润y 不小于1750元的概率为0.7 . ……………………………12分
19． 解：（1）证明：取BD 的中点O ，连接OE ，OG
在BCD ∆中，因为G 是BC 的中点，
所以OG DC 且1
12
OG DC =
=，……………1分 因为EF AB ，AB DC ，1EF =，
所以EF OG 且EF OG =，……………………2分 所以四边形OGFE 是平行四边形，所以
FG OE ， ………………………3分
又FG ⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ，
所以FG 平面BED ． ……………………………4分
（2）证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ∠=
，
由余弦定理得BD == …………………………5分 因为2
2
2
314BD AD AB +=+==，
所以BD AD ⊥. …………………………6分 因为平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ,平面AED 平面ABCD AD =， 所以BD ⊥平面AED . ……………………………7分
（3）解法1：由（1）FG 平面BED ，
所以点F 到平面BED 的距离等于点G 到平面BED 的距离， ……………………8分 设点G 到平面BED 的距离为h ，
过E 作EM DA ⊥，交DA 的延长线于M ，
O
G F
E
D
C
B A
H
G
F
E
D
C
B
A
则EM ⊥平面ABG ，所以EM 是三棱锥E ABG -的高． ……………………9分 由余弦定理可得2cos 3
ADE ∠=
，
所以sin ADE ∠=
,sin EM DE ADE =⋅∠=. ………………………………10分
124DBG S DB BG ∆=
⋅
=122
BDE S BD DE ∆=⋅=
. 因为G BDE E DBG V V --=，…………………………11分 即11
3
3BDE DBG S h S EM ∆∆⋅=
⋅
，解得h =. 所以点F 到平面BED 的距离为65
． ………………………………12分 解法2：因为EF AB ，且1
2
EF AB =
, 所以点F 到平面BED 的距离等于点A 到平面BED 的距离的
1
2
， ……………8分 由（2）BD ⊥平面AED .
因为BD ⊂平面BED ，所以平面BED ⊥平面AED ．
过点A 作AH DE ⊥于点H ，又因为平面BED 平面AED ED =，故⊥AH 平面BED .
所以AH 为点A 到平面BED 的距离．…………………9分 在ADE ∆中，6,3,1===AE DE AD ， 由余弦定理可得2cos 3
ADE ∠=
所以sin 3
ADE ∠=， …………………10分
因此3
5
sin =
∠⋅=ADE AD AH ， …………………………………………………11分 所以点F 到平面BED 的距离为6
5． …………………………………………………12分
20．（1）解法1：依题意动圆圆心C 到定点(1,0)F 的距离，与到定直线1x =-的距离相等，…1分 由抛物线的定义，可得动圆圆心C 的轨迹是以(1,0)F 为焦点，1x =-为准线的抛物线， ……2分
其中2p =．∴动圆圆心C 的轨迹E 的方程为2
4y x =． ……………………………3分
解法2：设动圆圆心C (),x y
1x =+. …………………………2分
化简得：24y x =，即为动圆圆心C 的轨迹E 的方程． …………………………3分 （2）解：假设存在点()0,0N x 满足题设条件．
由QNM PNM π∠+∠=可知，直线PN 与QN 的斜率互为相反数，即0PN QN k k += ① ……4分 直线PQ 的斜率必存在且不为0，设:2PQ x my =-, ………………………………5分
由242
y x x my ⎧=⎨=-⎩得2480y my -+=． …………………………………6分 由()2
4480m ∆=--⨯
>,得
m >
或m < ……………………………………7分
设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12124,8y y m y y +==． ……………………………………………8分 由①式得12
1020PN QN y y k k x x x x +=
+--()()()()
12021010200y x x y x x x x x x -+-==--,
()()1202100y x x y x x ∴-+-=,即()12210120y x y x x y y +-+=．
消去12,x x ，得
()2
2122101211044
y y y y x y y +-+=, ………………………………………………9分 ()()12120121
04
y y y y x y y +-+=, ………………………………………………………10分 120,y y +≠ 0121
24
x y y ∴==, ………………………………………………………11分
∴存在点()2,0N 使得QNM PNM π∠+∠=． ………………………………………………12分
21．（1）解：当a e =-时， ()(ln )x
f x xe e x x =-+，()f x 的定义域是(0,)+∞ ……1分
()()11'()1(1)x x x f x x e e xe e x x +⎛⎫=+-+=- ⎪⎝⎭
， …………………………………2分
当01x <<时，'()0f x <；当1x >时，'()0f x >． …………………………………3分
所以函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞． …………………………4分 （2）证明：由（1）得()f x 的定义域是(0,)+∞，1'()()x
x f x xe a x
+=
+， 令()x
g x xe a =+，则'()(1)0x
g x x e =+>，()g x 在(0,)+∞上单调递增，……………………5分 因为0a <,
所以(0)0g a =<，()0a
g a ae
a a a --=-+>-+=，
故存在()00,x a ∈-，使得000()0x
g x x e a =+=． ………………………………………6分
当0(0,)x x ∈时，()0g x <，1'()()0x
x f x xe a x
+=
+<，()f x 单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，1'()()0x
x f x xe a x
+=+>，()f x 单调递增； 故0x x =时，()f x 取得最小值，即()()00000ln x
m f x x e a x x ==++, ………………………8分
由000x
x e a +=得(
)()00
00ln ln x
x m x e a x e
a a a =+=-+-， ……………………………9分
令0x a =->，()ln h x x x x =-，则()()'11ln ln h x x x =-+=-，
当(0,1)x ∈时，()'ln 0h x x =->，()ln h x x x x =-单调递增， ……………………………10分 当(1,)x ∈+∞时，()'ln 0h x x =-<，()ln h x x x x =-单调递减，……………………………11分 故1x =，即1a =-时，()ln h x x x x =-取最大值1，故1m ≤． ……………………12分
22．解：（1） 依题意，直线1l
的直角坐标方程为y x =
，2l
的直角坐标方程为y ． ……………………………………………………………2分
由2sin ρθθ+
得2cos 2sin ρθρθ+，
因为2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， …………………………………………………3分
所以22((1)4x y +-=， …………………………………………………………………4分
所以曲线C
的参数方程为2cos 12sin x y αα
⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）．………………………………5分
（2
）联立62sin πθρθθ⎧
=⎪
⎨⎪+⎩
得14OA ρ==， ……………………………………6分
同理，2OB ρ== ……………………………………………………………………7分
又6AOB π
∠=， ………………………………………………………………………………8分
所以111
sin 4222
AOB
S OA OB AOB ∆=∠=⨯⨯= …………………………9分 即AOB ∆
的面积为 ……………………………………………………………10分
11 23．解：（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -+-≥， …………………………1分 ①当13x ≤
时，1323x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； ……………………………2分 ②当123
x <<时，3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x ≤<； ……………………3分 ③当2x ≥时，3123x x -+-≥，解得32
x ≥，所以2x ≥． ……………………………4分 综上所述，当2a =时，不等式的解集为{}
|01x x x ≤≥或． ………………………………5分 （2）不等式()13
x f x x -+≤可化为313x x a x -+-≤， 依题意不等式313x x a x -+-≤在11,32x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，……………………………………6分 所以313x x a x -+-≤，即1x a -≤，即11a x a -≤≤+， ……………………………8分 所以1131
12
a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423a -≤≤， 故所求实数a 的取值范围是14,23⎡⎤-
⎢⎥⎣
⎦． ………………………………………………………10分。