江苏省镇江市2016-2017学年高一上学期期中考试数学试卷

高 一 上 学 期 期 中 试 卷
一、填空题（每小题5分，共70分）
1. 设集合{}0M x x =>，{}
1N x x =<，则M
N =
2. 若幂函数()x f 的图像过点()2,8，则函数()x f 的解析式为()x f =
3. 函数()()
2
lg 4f x x =-的定义域为
4. 已知e 为自对数的底数，函数()2
2ln 1,0,
1,0,
x x f x x x +>⎧=⎨
+≤⎩则1f f e ⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
= 5. 设23.0=a ，3.02=b ，2log 3.0=c ，则,,a b c 三个数从小到大的顺序是
6. 方程03241
=--+x x 的解集为
7. 函数()2+-=x x x f 在[]0,4上的值域为
8. 已知函数()x f 为奇函数，当[]2,1∈x 时，()x x x f 2log +=，则函数()x f 在[]1,2--∈x 上的最大值为
9. 已知集合{}
1≥-=a x x A ，{}
0322
≥--=x x x B ，如果A
B A =,则实数a 的取值范围为
10. 若方程52lg =+x x 的解[]1,0+∈n n x ，则整数n = 11. 设不等式0ax b ->的解集是()2,∞-，则
02
ax b
x +>-的解集为 12. 设函数()1log 2+=a x x f ，当[]1,1-∈x 时，()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围是 13. 方程01)2lg(=-+⋅x x 的实数解的个数是
14. 如果函数)2lg(log x x y a -=(0,a >且)1a ≠为增函数，则a 的取值范围为
二、解答题
15.（本小题满分14分）
已知全集{}9,8,7,6,5,4,3,2,1=U ，集合{}9,5,3=A ，{}6,4,2=B ，{}a C ,3= （1）求()U A B 饀; 若A C C =,求实数a 的值。

16.（本小题满分14分）
（1）求值：50lg )2(lg 20lg 2lg 2+-⋅； （2）已知32
12
1
=+-a a ，求
3
2
2
22
32
3++++--
a a a a 的值。

17.（本小题满分14分）
已知函数()a x b a x x f ++-=)(2
（1）若1b =,求函数)(x f y =的定义域A ；
（2）若10b =，当⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,21x 时，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围。

某商场为营造双十一促销氛围，在外墙上绘制图案（如图所示），图案由两段曲线1C ，2C 连接而成，连接点A 距离地面16米，距离左墙边4米，曲线2C 的顶点E 恰好落在地面上且距离左墙边8米，点B 距离地面1米。

设图案上任意一点距离左墙边x 米，距离地面y 米，且,x y 在曲线1C ，2C 上分别满足指数函数与二次函数的关系式。

（1）写出y 关于x 的函数关系式，并求出定义域；
（2）图案上距离地面4米水平高度处为灯笼悬挂点，求悬挂点到左墙边的距离
19.（本小题满分16分） 已知函数()21
x a
f x bx +=
-，(,a b R ∈，,a b 为常数） （1）当1a b ==，求函数()y f x =图像的对称中心； （2）当函数()()ln g x f x =为奇函数，求,a b 的值；
（3）当1a b ==,判断函数()f x 在()+∞,1的单调性，并用定义证明。

已知()2x
x e f x e a
=+，（e 为自然对数的底数，a 为实数且为常数）
（1）如果函数()f x 有奇偶性，求a 的值；
（2）如果关于x 的方程()1f x =有两个不等的实数根，求a 的取值范围； （3）如果0a >，函数()f x 在[)ln 2,+∞为减函数，求a 的取值范围。

答案
1.{}|01x x <<
2.()3
f x x = 3.()2,2- 4. 2 5.c a b << 6.2lo
g 3x =
7.7,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 8.-1 9.[]0,2 10. 2 11.()2,2- 12.1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
13. 2 14.()1,10
15.（1）(){}1,7,8U A
B =饀 （2）5a =或者9a =
16.（1）2 （2） 32
12
1=+-
a
a 17a a -+= 22
47a a -+= 332
2
18a a -
+=
所以原式182202
473505
+=
==+
17.（1）1b =，
y =
其定义域范围为()210x a x a -++≥
()()10x a x --≥
所以①当1a >，{|1A x x =≤或}x a ≥ ②当1a =，{}|A x x R =∈ ③当1a <，{|A x x a =≤或}1x ≥
（2）10b =，()()2
10f x x a x a =-++，由于()f x 开口向上，故要使当
1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，
()0
f x ≤恒成立
则满足()10220f f ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎨
⎪≤⎩
，即()()111004242100a a a a ⎧-++≤⎪⎨⎪-++≤⎩
，解得19162a -≤≤
18.由题意()()4,16,8,0,1B A E y =
因为1C 满足指数函数，所以设1:x C y a =，代入()4,16A 得2a =，故1:2x
C y =
因为2C 满足二次函数关系，E 为其顶点，所以设()2
2:8C y t x =-，代入()4,16A 得到1t =，故()2
2:8C y x =-
把1B y =代入2C 得9B x =或者7B
x =（舍）
所以()2
2,04
8,49
x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩ （2）令4y =，则1C 段24x =，得2x =
2C 段()2
84x -=，解得6x =，10x =（舍）
答：悬挂点到左墙边的距离为2米或者6米
19（1）1a b ==，()213
211
x f x x x +=
=+--，所以()f x 的对称中心为()1,2 （2）()()ln g x f x =为奇函数 ()()0g x g x ∴+-=
即()()ln ln 0f x f x +-=，()()ln 0f x f x ⋅-= 所以()()1f x f x ⋅-=，即
2222222111411,41,2
x a x a
bx bx x a bx a b a b +-+⋅=---∴-=-∴==∴=±=± （3）1a b ==，()213
211
x f x x x +==+--，所以()f x 在()1,+∞上单调递减，证明略。

20（1）①()f x 为奇函数，则()()0f x f x +-=
即2221
x x x
x x x
e e e e a e a ae --=-=-+++，221x x ae e a ∴--=+，1a ∴=- ②()
f x 为偶函数，则()()f x f x =-
2221
x x x
x
x x
e e e e a e a ae --==+++，221x x ae e a ∴+=+，1a ∴= （2）()1
f x =，即21x
x e e a
=+，2x x a e e ∴=-+
设0x t e =>，2a t t ∴=-+ 设()2
g t t t =-+，0t >
要使
()1
f x =有两个不等的实数根，则方程()a
g t =有两个实数根
即y a =与()y g t =的图像有两个交点。

而()g t 在10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
单调递减， 所以()g t 在12t =
时取最大值，11
24
g ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

()()010g g == 所以所求a 的范围为1
04
a <<
（3）[)ln 2,x ∈+∞设[)2,x
t e =∈+∞，()2
t
f t t a
=
+
要使()f x 单调递减，而x t e =单调递增，则()f t 单调递减，即()()120f t f t -> 设[)12,2,t t ∈+∞，且12t t < 则
()()()()
()()
122112222122
1
21221...0,0,0,0
t t a t t f t f t t
a t a a t a t a t t t t ---==
++>∴+>+><∴->
所以，要使()()120f t f t ->，则120t t a -> 即12a t t <⋅，而[)12,2,t t ∈+∞，且12t t <
所以4a ≤。