第二章(程-2、3、4)

( )
∑ x n e n= M
M
()
j ωn
= 0
(2) 序列x(n)不满足绝对可和条件，但满足平方可和条件：
n = ∞
∑ x(n)
∞
2
<∞
则
n = ∞
∑
∞
x(n )e jωn均方收敛于X e jω ，即
( )
j n
M →∞ －π
lim
∫
π
X e jω －
( ) ∑ x(n)e ω
M n=M 2
∑e
j ωn
jω ( M 1) 1 1 e jMω 1 sin ωM / 2 2 = = e jω sin ω / 2 M 1 e M 1 sin ωM / 2 jω H (e ) = M sin ω / 2
H (e jω ) = ( M 1) ω + arg sin ωM / 2 . arg sin ω / 2 2
ω < ωc π ≤ ω ≤ π .
其它
sin (ωc n ) hLP ( n ) = πn
∞ < n < ∞
h[n ]
0
图中 , ω c = π / 3 .
可见，1. 理想低通滤波器是非因果的。 1 2. hLP ( n )以 趋于零，但hLP ( n ) 不是绝对可和的序列。 n
理想LPF的h[n]是无穷长的，即对应IIR 滤波器， 但无法实现。 FIR 滤波器 → IIR 滤波的近似 结果 :"Gibbs 现象" hM [n] = ∑ h[k ]δ [n k ]
序列h(n )绝对可和，级数
n
∑ h(n )e ＝＝
∞
∞
j ωn
一致收敛于H (e
jω
).
零点：ω = 2πk
M ω = 2πk , 幅频 ≠ 0。
H ( e jω )
副瓣和主瓣峰值 相比 13dB。
Φ (ω )
H ( e jω )
——近似为低通滤波器
例
求序列x(n ) = a nu (n )的傅里叶变换，并讨论收敛性。
k = M M
不同长度M下的频率响应
在ω＝ωc 的不连续点处，级数 ∑ hLP (n )e－jωn不能一致收敛于H LP (e jω ),
∞ n＝＝∞
但能均方收敛于H LP (e )。
jω
H LP (e
jω
) = ∑ sin(ω n)
M n= M
πn
c
二、常用序列的DTFT
(1) x ( n ) = δ ( n ) , (2) x ( n ) = a u[n ],
DTFT [ x(n)] = X (e jω ) =
1 jω
n =∞
∑
∞
x(n)e jω n
可见：正变换是周期函数X ( e jω )的傅立叶级数展开式， 而x ( n ) 则是傅立叶系数，x ( n )由反变换式确定。
1 DTFT [ X (e )] = x(n) = 2π
∫ π X (e
π
jω
z = e 1 s = 1nz T
sT
将S平面用直角坐标表示为 s=σ+jΩ Z平面用极坐标表示 z=re jω 将它们代入上式中， 得到 rejω=e(σ+jΩ)T=eσTejΩT 因此: r=eσT ω=ΩT
可见，Ω由-π/T增至π/T，对应于ω由-π经0增至π， 即在Z平面上旋转一周。 结论：S平面上宽度为2π/T的水平带映射到整个Z平 面。同样，每当Ω增加一个采样角频率 Ωs=2π/T，则
1 jω
π
X (e jω )e jω n dω
2.频谱 X (e jω )是x(n)的频谱密度，简称频谱 X (e ) = Re X (e ) ＋jIm X (e ) = X (e ) e
jω j arg X ( e jω ) jω jω jω
幅度谱
jω jω jω
相位谱
X (e )、 (e ) 、 X (e ) 是关于ω连续、周期 X arg (周期为2π )函数。
∞
有限长序列一定绝对可和，其傅里叶变换一定 存在且连续。 无限长序列只要绝对可和，其傅里叶变换一定 存在且连续。 也就是说，单位冲激响应绝对可和意义上的系 统，其频率响应一定是一致收敛的。
例 理想的低通滤波器由下 式给出：
ω <ω 1, c π ≤ ω ≤ π. H (e ) = 其它 0, 式中， ω 称为截止频率 , 求 h (n )，讨论频响的收敛情况 。 c LP
二、序列傅里叶变换收敛问题
(1) ∞ ∞ jωn 序列x ( n ) 满足 ∑ | x ( n ) |< ∞，则 ∑ x n e n = ∞ n = ∞
()
一致收敛于X e
( )
jω
。
∞ j ωn ∑ x n e 即，对所有的ω， 都满足一致收敛的条件。 n = ∞ lim X e M →∞
()
jω
∴ 换元后，有 1 x ( n ) = IDTFT X ( e ) = 2π
jω
∫
π
－π
X (e )e
jω
jω n
dω
序列的傅立叶变换:
正变换 DTFT [ x(n)] = X (e ) =
jω
n =∞
∑ x ( n)e
∫π
∞
jω n
反变换 DTFT [ X (e )] = x( n) = 1 2π
)e
jω n
dω
3.与Z变换的关系：
X ( e jω ) = X ( z ) z =e jω x (n) = 1 2π j
∫
z ＝1
X ( z ) z n1dz
4.序列傅里叶变换存在条件：
序列x(n)满足
n = ∞
∑ | x(n) |< ∞，则傅里叶变换
∞
一定存在并连续。
即，绝对可加性是傅里叶变换表示式存在的一个充分 条件。也就是说， 若序列x(n)绝对可和，则它的傅里 叶变换一定存在并连续。
jω
解：单位取样响应 : 1 π hLP ( n ) = H LP ( e jω ) e jωn dω 2π ∫π 1 ωc jωn = ∫ωc e dω 2π 1 = e jωc n e jωc n 2π jn
(
)
sin (ωc n ) = πn
∞ < n < ∞
jω ) = 1, H (e 0,
解： 脉冲响应 : 1 M , 0 ≤ n ≤ M 1 h[n] = 0, 其它 1 h[n] = (u[n] u[n M ]) M
或,
1 h[n] = (u[n] u[n M ]) M 频率响应 :
H (e
jω
)=
n = ∞
∑ h(n )e
∞
j ωn
1 = M
M 1 n =0
上式说明：采样序列在单位圆上的Z变换，就等于其
理想采样信号的傅里叶变换 X a ( jΩ（频谱）。 )
（3） 序列的傅氏变换与Z变换 Z平面的幅角ω直接对应着S平面的频率变量Ω，ω 称为数字频率， 它与 = ΩT = fs
得
1∞ 2 π jΩ T ) X(z)|z=ejΩT =Xe )=Xa(jΩ= ∑Xa jΩ j k ( Tk=∞ T
1 ∞ X a ( s ) = ∑ X a ( s jkΩ s ) T k = ∞
得X(z)与Xa(s)的关系：
X ( z ) z =e ST
1 ∞ 1 ∞ 2π = ∑ X a ( s jkΩ s ) = ∑ X a s j k T k = ∞ T k = ∞ T
(2)讨论x ( n )的Z 变换X ( z ) 和xa ( t )的傅立叶变换 X a ( jΩ )的关系
解：X (e
jω
) = ∑ a u(n )e
∞ n n = ∞ ∞
j ωn
= ∑ a ne
n =0
∞
j ωn
= ∑ (ae
n =0
jω
1 )= 1 ae jω
a <1
当
a < 1 时，x(n )绝对可和，即 1 ∑ a = 1 a < ∞ n =0
n ∞
a <1
n = ∞
a nu (n )一致收敛于X (e jω ) ∑
2
dω = 0
∞ ∞ 2 Q x(n ) ≥ x(n ) n = ∞ n = ∞ ∴ 一致收敛一定满足均方收敛，
∑
∑
而均方收敛不一定满足一致收敛。
(3) 序列既不满足绝对可和 ，也不满足均方可和， 利用δ函数也可以求出傅里叶 变换。
例
因果的运动平均系统 :
M 1 1 M 1 y[n] = ∑ x[n k ] = ∑ h[k ]x[n k ] M k =0 k =0 求频响，并讨论收敛性。
1 = 2π
∫π
－π
∞ －jω n jω m ∑ x ( n )e e d ω n =∞
如果正变换式的展开式一致收敛于X (e jω )， 即满足一致收敛条件，即 M jω －jω n lim X (e )－ ∑ x(n)e =0 M →∞ n = M (对所有ω )
1 2π
∫π
－π
1 jω jω m X (e )e d ω = 2π
∫π
－π
∞ －jω n jω m ∑ x ( n )e e d ω n =∞
∞ 1 π jω ( m－n ) 1 π jω ( m－n ) Q d ω = ∑ x ( n) ∫ e dω ∫－π e 2π 2π －π n =∞ ∞ 1，当m＝n = ∑ x(n)δ ( m－n ) = n =∞ 0，当m ≠ n = x ( m) ＝δ ( m－n )
∞
0
+ 2π k )
(6) 正弦序列: cosω 0 n
∞ ∞ π ∑ δ (ω ω 0 + 2π k ) + ∑ δ (ω + ω 0 + 2π k ) k =∞ k =∞
(7) 单位阶跃序列: u ( n )
∞ 1 + π ∑ δ (ω + 2π k ) jω 1 e k =∞ sin ω c n (8) 采样函数序列: πn 1, ω < ωc jω X (e ) = 0, ω c < ω ≤ π
F [ x(n)] = X (e ) =
jω
n =∞
∑ x(n)e
∞
jω n
再根据 Z 反变换的公式，并将积分围线取在单位圆上 就可得到序列的傅里叶反变换公式
1 1 n 1 x(n) = F [ X (e )] = ∫|z|=1 X ( z ) z dz = 2π 2πj
1 jω
∫π
π
X (e jω )e jωn dω
一般性的周期为n的周期性序列的傅里叶变换iixnxninxnnin??设dtftxnidtftxndtftnin????????????????2n则2njkxek??????????????2222knjknkxe??knn??????????2xkkn??????2n2nxkxkxnxnn????周期为的周期性序列的傅里叶变换是一系列冲激函数串强度为而是的一个周期的傅里叶变换在频域中的整数倍的各抽样点上的抽样值
n
X (e jω ) = 1; ( a < 1).
0
X (e jω ) = 1/(1- ae - jω ),
(3) 延迟序列 :
δ ( n n0 ) e-jω n
(4) 常数序列: 1 2π
k =∞
∑ δ (ω + 2π k )
∞
(5) 复指数序列: e
jω 0 n
2π
k =∞
∑ δ (ω ω
第二章 Z变换 §2.5 序列的Z变换与连续信号的拉氏变换、傅立叶 变换的关系 采样序列的Z变换就等于其理想采样信号的拉普拉 斯变换：
X ( z ) z =e ST = X (e sT ) = X a ( s )
这说明，从理想采样信号的拉普拉斯变换到采样序列 的Z变换，就是由复变量S平面到复变量Z平面的映 射，其映射关系为:
这个公式成立的条件是X(z)在单位圆上必须收敛， 也即序列x(n)必须绝对可积。
§2.6
序列的傅立叶变换
一、定义
1.序列x(n) 的傅里叶正变换定义为 X (e ) = DTFT [ x(n)] =
jω n =∞
∑ x ( n )e
∞
jω n
推导序列x(n) 的傅里叶反变换：
1 2π
∫π
－π
X (e jω )e jω m d ω
ω 相应的增加一个2π，也即在Z平面上重复旋转一周,
即为ω的周期函数.因此S平面到Ｚ平面的映射是多值映
jΩ 3π / T
jIm[z]
π /T o －π / T
σ
－1
o
1
Re[z]
－3π / T S平面 Z平面
（1）连续信号xa(t)本身的拉普拉斯变换Xa(s)与采样序 列x(n)的Z变换X(z)之间的关系。 时域抽样，则在S 域为沿jΩ轴的周期延拓
Ω =ω / T
X ( z ) z =e jω = X (e jω ) = X a ( jΩ)
1 ∞ ω 2πk = ∑ Xa j T T k = ∞
可见，单位圆上的 Z 变换是和模拟信号的频谱相联系 的，因而常称单位圆上序列的 Z 变换为序列的傅里叶 变换，也称为数字序列的频谱。
因单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换，根 据Z变换的定义，用ejω代替z，从而就可以得到序列傅 里叶变换的定义为
傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴上的特例，即 s=jΩ，映射到Z平面上是单位圆z=ejΩT，得
1 ∞ jΩT ( jΩ) = ∑ X jΩ j 2π k X ( z ) | z =e jΩT = X (e ) = X a a T k = ∞ T 1 ∞ 2π jΩT X ( e ) = ∑ X a jΩ j k T k = ∞ T