线性代数第2版课件-用正交变换化 二次型为标准形

2
4 −14
从而得特征值 1 = 9, 2 = 3 = 18.
用正交变换化二次型为标准形
例1
将二次型 f = 17 x12 + 14 x22 + 14 x32 − 4 x1x2 − 4 x1x3 − 8x2 x3
通过正交变换化为标准形
解
写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 1 = 9, 2 = 3 = 18.
分析 分析 f ( x1, x2, x3 ) = 1 表示何种二次曲面？
正交变换为 x = Qy，
f = 17 x12 + 14 x22 + 14 x32 − 4 x1x2 − 4 x1x3 − 8x2 x3 = 9 y12 + 18 y22 + 18 y32 17 x12 + 14 x22 + 14 x32 − 4 x1x2 − 4 x1x3 − 8x2 x3 = 1 ---椭球
2. 求出A的所有特征值 1,2 , ,n; 3. 求出对应于特征值的特征向量 1,2 , ,n; 4. 将特征向量 1,2 , ,n 正交化，单位化，得， 1,2 , ,n
记 Q = (1,2 , ,n );
5. 作正交变换 x = Qy ，则得 f 的标准形 f = 1 y12 + + n yn2
4)．将正交向量组单位化，得正交矩阵Q 令
i
=
i i
,
(i = 1, 2,3) ,
得
1
=
1 2 2
3 3, 3
2
=
−2 5
1 5 ,
0
3
−2
=
−4545 Fra bibliotek45 . 45
1 3 −2 5
Q = (1,2 ,3 ) = 2 3
2 3
15 0
9
满足
QT
AQ
=
18
18
−2 45
用正交变换化 二次型为标准形
引例
二次方程 x12 + x1x2 + x22曲=线1 是什么？
1 1
令
x1 x2
=
2 1
2
2
-
1 2
y1 y2
进一步化简整理，得
3 4
y12
+
1 4
y22
=
1
y2 y1
用正交变换化二次型为标准形
由于对任意实对称矩阵A一定存在正交矩阵Q， 使Q−1AQ = ,即QT AQ = . 因此,我们有
用正交变换化二次型为标准形
例1 解
将二次型 f = 17 x12 + 14 x22 + 14 x32 − 4 x1x2 − 4 x1x3 − 8x2 x3 通过正交变换化为标准形
17 −2 −2
写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
−17 2
2
A
=
−2 −2
14 −4
−4 14
E − A = 2 −14 4 = ( −18)2 ( − 9)
其中 1,2 , , n 是矩阵 A = (aij的) 特征值.
标准形中的平方项个数----r(A)=r 正平方项个数----正特征值个数， 称为正惯性指数p 负平方项个数----负特征值个数， 称为负惯性指数r-p 缺平方项个数---- 0特征值个数 n-r
用正交变换化二次型为标准形
具体步骤
1. 将二次型表示成矩阵的形式 f = xT Ax ，求出矩阵A;
− 4 45 .
5 45
于是所求正交变换为 x=Qy，即
x1 x2 x3
=
1 2 2
3 3 3
−2 5 15
0
−2 −4 5
45 45 45
y1 y2 y3
,
而且
( ) f = xT Ax = (Qy)T A(Qy) = yT QT AQ y.
= 9 y12 + 18 y22 + 18 y32 .
将1 = 9代入( E − A) x = 0,得基础解系
= (1 2,1,1)T. 1
将2 = 3 = 18代入( E − A) x = 0,得基础解系
2 = (−2,1,0)T, 3 = (−2,0,1)T.
用正交变换化二次型为标准形
例1
将二次型 f = 17 x12 + 14 x22 + 14 x32 − 4 x1x2 − 4 x1x3 − 8x2 x3
定理1 若实对称矩阵A的特征值是 1,2, ,n , 则存在正交矩阵Q，使
QT AQ = diag (1,2 , ,n )
说明对称矩阵A一定与对角阵合同。 此结论用于二次型，则有下面的定理：
用正交变换化二次型为标准形
n
定理2 (主轴定理) 任给二次型 f = aij xi x j ; (aij = a ji ), 总有正交变换 x = Qy i , j=1 使 f 化为标准型, f = 1 y12 + 2 y22 + + n yn2
正交变换
9 y12 + 18 y22 + 18 y32 = 1 ---椭球
化简二次型带来的方便： 结论1：方便计算二次型函数值 结论2：方便判断二次型的图形
课堂小结
01 用正交变换化二次型为标准形 0 2 合同的矩阵表示的是同一个二次型（二次函数）的几何图形
通过正交变换化为标准形
解
写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 1 = 9, 2 = 3 = 18.
求特征向量
将特征向量正交化
= ,
1
1
2 = 2,
3
=
3
−
(2 ,3 (2 ,2
) )
2
,
得正交向量组
1= (1 2 1 1)T 2 = (-2 1 0)T 3 = ( − 2 5 − 4 5 1)T
解