2022-2023学年甘肃省兰州市第一中学高三上学期期中考试数学理科试题及答案

兰州一中2022­2023-1学期期中考试试题
高三数学（理）
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120
分钟.答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知集合{3,1,0,2,4}U =--，{1,0}A =-，{0,2}B =，则()U A B ⋃=ð()
A ．{3,1}
-B ．{3,4}
-C ．{3,1,2,4}
--D ．{1,0,2}
-2．已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则=a ()A ．1
-B ．1
C ．3
-D ．3
3．
已知()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，它们的部分图像如图，则()()⋅f x g x
的图像大致是(
)
A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且918S =，71a =，则1a =()A ．4
B ．2
C ．1
2
-
D ．1
-5．已知x 、y 都是实数，那么“x y >”的充分必要条件是()．
A ．lg lg x y
>B ．22x y
>C ．
11x y
>D ．22
x y >6．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为2的一个半圆，则该几何体的体积为()
A
B
．
2
C
．
3
D ．
36
7．设x ，y 满足约束条件23
250y x x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪+-≥⎩
，则z x y =-+的最小值为()A ．2
B ．1
-C ．2
-D ．3
-8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()x f x e x =+，则3
2(2)a f =-，
2(log 9)b f =
，c f =的大小关系为()
A ．a b c
>>B ．a c b
>>C ．b c a
>>D ．b a c
>>9．设函数()f x 定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，
()21f x x =-+，则下列结论错误的是()A ．7324f ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
B ．()7f x +为奇函数
C ．()f x 在()6,8上为减函数
D ．()f x 的一个周期为8
10．已知函数222,2,
()36
6,2,x ax x f x x a x x ⎧--≤⎪
=⎨+->⎪
⎩
若()f x 的最小值为(2)f ，则实数a 的取值范围为()
A ．[2,5]
B ．[2,)+∞
C ．[2,6]
D ．(,5]
-∞11．已知双曲线2
221x y a
-=（0a >）的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作一条渐近线的
垂线，垂足为P 若12PF F △
的面积为，则该双曲线的离心率为()A
B
C ．3
D ．
143
12．已知函数3()5()R f x x x x =+∈，若不等式()2
2(4)0f m mt f t ++<对任意实数2t ≥恒成
立，则实数m 的取值范围为（）
A
．(2,-B ．4,3⎛
⎫-∞- ⎪
⎝
⎭C
．(
)
,-∞+∞
D
．(,-∞第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生，现有2男2女共4名学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是______．（用数字作答）
14．已知()1,2a = ，()1,1b = ，且a 与a b λ+
的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为______．15．已知()f x 是R 上的奇函数，()g x 是在R 上无零点的偶函数，()20f =，当0x >时，
()()()()0f x g x f x g x ''-<，则使得
()
()
lg 0lg f x g x <的解集是________
16．已知0x >，0y >，且24x y +=，则1
1
2x y y ++最小值为________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)
（一）必考题：共五小题，每题12分，共60分。

17．已知函数()2224f x sin x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.
（1）求f （x ）的最小正周期和单调递减区间；（2）将函数f （x ）的图象向右平移6
π
个单位，得到函数g （x ）的图象，求g （x ）在区间44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，上的值域.
18．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且bcos A c a ⋅=.（1）求角B ；
（2）若ABC 的面积为BC 边上的高1AH =，求b ，c .
19．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本()C x 万元，当年产量小于7万件时，()2123C x x x =+(万元)；当年产量不小于7万件时，()3
6ln 17e C x x x x
=++-（万
元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.
（1）写出年利润()P x （万元）关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？
(取320e =).20．已知函数()2ln 1e x
f x x
=
-.（1）求曲线()y f x =在点(1，()1f )处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间；
（3）已如函数()32
321g x x ax =++，若1x ∀，[]21,e x ∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，求实
数a 的取值范围.
21．已知函数()ln x a
f x x
+=
.（1）若函数()f x 的图象在1x =处的切线为1y =，求()f x 的极值；
（2）若()2
1x
f x e x
≤+
-恒成立，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多选，则按所做的第一题计分。

22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：12cos 2sin x y α
α=-+⎧⎨
=⎩
（α为参数），以原点O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭.
（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）已知点(2,0)P -，直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求
11
||||
PA PB +的值.23．已知函数()|1|||f x x x a =++-.
（1）当2a =时，求不等式()5f x <的解集；（2）若()2f x ≥的解集为R ，求a 的取值范围.
兰州一中2022­2023-1学期期中考试试题答案
高三数学（理）
参考答案：
BCCAB CCDCA BB 1．B
解：因为{3,1,0,2,4}U =--，{1,0}A =-，{0,2}B =，所以{}1,0,2A B ⋃=-所以(){}U 3,4A B =- ð故选：B 2．C
()213ai i i ai i a a i i +=-=-+=++=，
利用复数相等的充分必要条件可得：3,3a a -=∴=-.故选：C.3．C
【详解】又()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=，()()g x g x -=-，∴()()()()
f x
g x f x g x -⋅-=-∴函数()()⋅f x g x 为奇函数，其图象关于原点对称，A,B 错，由图可得当0x >时，()0f x >，()0>g x ，∴()()0f x g x ⋅>，D 错，故选：C.4．A
【详解】因为19
9599182
a a S a +=
⨯==，所以52a =；又因为752a a d =+，所以121
22
d -==-.所以51142a a d a =+=-，解得14a =.故选：A 5．B
【详解】对于A ，lg lg 0x y x y >⇔>>Q ，故“lg lg x y >”是“x y >”的充分不必要条件，不符合题意；
对于B ，22⇔>>Q x y x y ，即“22x y >”是“x y >”的充要条件，符合题意；对于C ，由
11
x y
>得，0x y <<或0x y >>，0x y <<，不能推出x y >，由x y >也不能推出11x y >，所以“11
x y
>”是“x y >”的既不充分也不必要条件，不符合题意；对于D ，由22
x y x y >⇔>，不能推出x y >，由x y >也不能推出22x y >，故“22x y >”是
“x y >”的既不充分也不必要条件，不符合题意；故选：B.6．C
【详解】圆锥底面周长为1
2222
ππ⨯⨯=，
所以圆锥的底面半径1r =，圆锥的高h ==，
所以圆锥的体积为2111333
V Sh π==⨯⨯=，
由祖暅原理，该几何体的体积也为3
.故选：C 7．C
【详解】作出可行域，如图所示，
目标函数z x y =-+的几何意义是直线y =x+z 在y 轴上的截距，
z x y =-+转化为y =x+z ，令0z =，则0x y -=，
作出直线0x y -=并平移使它经过可行域的点，经过A 时，所以3
{
250x x y =+-=，解得3
1x y =⎧⎨=⎩，所以()3,1A .
此时z 取得最小值，即min 312z =-+=-．故选：C.8．D
【详解】依题意得3
3
22(2)(2)a f f =-=，3
22223log 8log 9==<=<，
当0x ≥时，()x f x e x =+，
因为1e >，所以x y e =在R 上单调递增，
又y x =在R 上单调递增，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，
3
2
2(log 9)(2)f f f ∴>>，即b a c >>，
故选：D 9．C
【详解】由题设，(1)(1)f x f x --=--，则()f x 关于(1,0)-对称，所以[(1)1](11)f x f x ---=---，即()(2)f x f x -=--，则[(2)](22)f x f x --=---，即(2)(4)f x f x -=--，由(1)(1)-+=+f x f x ，则()f x 关于1x =对称，所以[(1)1](11)f x f x --+=-+，即(2)()f x f x -=，
综上，()(4)f x f x =--，则(4)(44)(8)f x f x f x -=---=--，故()(8)f x f x =-，即()(8)f x f x =+易知()f x 的周期为8，D 正确；773113(2)()(1)(1)()22222412f f f f f f ⎛⎫
=-=-=--=--=--=- ⎪⎝⎭
，A 正确；
由(1)(7)f x f x -=+，而()1f x -为奇函数，故()7f x +为奇函数，B 正确；
由()1,0x ∈-时()2
1f x x =-+递增，则()7,8x ∈时()f x 递增，显然C 错误.
故选：C 10．A
【详解】当2x >
时，3666126x a a a x +
-≥-=-，当且仅当6x =时，等号成立，即当2x >时，函数()f x 的最小值为126a -；当2x ≤时，2()22f x x ax =--，要使得函数()f x 的最小值为(2)f ，
则满足2,
(2)24126,
a f a a ≥⎧⎨=-≤-⎩解得25a ≤≤．
故选：A ．11．B
【详解】解：设过右焦点()2,0F c 且与渐近线0x ay -=垂直的直线为l ，则直线l 的方程为()y a x c =--.由1,
()
y x a y a x c ⎧
=⎪⎨⎪=--⎩，得2a x c =，a y c =，
即2,a a P c c ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
则12PF F △
的面积为1212P a
F F y c c
⨯=⨯=
∴a =∴2221819c a =+=+=，
∴324
e =
.故选：B 12．B
【详解】解：函数3()5f x x x =+的定义域为R ，
且()()()()
()3
3
55f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以()f x 为奇函数，
又3y x =与y x =在定义域R 上单调递增，所以()f x 在定义域R 上单调递增，
若不等式()
2
2(4)0f m mt f t ++<对任意实数2t ≥恒成立，
则()()()2
244f m mt f t f t +<-=-，即224m mt t +<-对任意实数2t ≥恒成立，
所以242
t
m t <-+对于任意实数2t ≥恒成立，即
42m t t
<-
+
任意实数2t ≥恒成立，因为函数()2g t t t =+在[)2,+∞上单调递增，所以()()min 23g t g ==，则42t t
-+有最小值4
3-，若
4
2m t t
<-
+对任意实数2t ≥恒成立，所以4
3m <-．即m 的取值范围为4,3⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭．
故选：B ．13．10
【详解】①丙选择一名男生和一名女生：111
2228C C A =.
②丙选择两名男子：22
222C A =.
所以不同的安排方法种数是：10种.故答案为：10.14．()
5,00,3⎛⎫
-⋃+∞ ⎪⎝⎭
【详解】解：因为
()1,2a = ，()1,1b = ，所以()1,2a b λλλ+=++
，因为a 与a b λ+ 的夹角为锐角，所以()
0a a b λ+⋅> ，且a 与a b λ+
不共线，
所以()1220λλ+++>且()212λλ+≠+，
解得53λ>-且0λ≠，所以λ的取值范围为()5,00,3⎛⎫
-⋃+∞ ⎪⎝⎭，
故答案为：()
5,00,3⎛⎫
-⋃+∞ ⎪⎝⎭
15．【详解】令()()()f x h x g x =，则()()()()[]
2
()()f x g x f x g x h x g x ''-'=，当0x >时，()0h x '<，故()h x 在()0,∞+上单调递减，
又()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，
故()h x 是奇函数，()h x 在(),0∞-上单调递减，又()20,(0)0f f ==，可得(2)0,(2)0,(0)0h h h =-==，故()h x 在()2,0,(2,)-+∞上小于0，由()
()
lg (lg )0lg f x h x g x =<，得2lg 0-<<x 或lg 2x >，解得
1
1100
<<x 或100x >.故答案为：11(100,)100⎛⎫
⋃+∞
⎪⎝⎭
,.
16．
38
+【详解】解：因为0x >，0y >，且24x y +=，即()4x y y ++=，所以
()11111242x y y x y y x y y ⎛⎫
+=+++⎡⎤ ⎪⎣
⎦++⎝⎭
131342242y x y x y y ⎛⎫⎛⎫+=++≥+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
，
当且仅当
2y x y
x y y +=+，即)41y =，)4
1y =、(43x =-时取等号；
故答案为：
38
+17．（Ⅰ）最小正周期π，[512
12
k k π
π
ππ-+
，]（k ∈Z ）．（Ⅱ）[0，3]．
【详解】（Ⅰ）函数()2224f x sin x x π⎛
⎫=-+= ⎪⎝
⎭1﹣cos （2x 2π-）
22212216x x sin x cos x π⎛
⎫=-+=++ ⎪⎝
⎭．
所以函数的最小正周期为22
T π
π==，令2226
k x k π
πππ≤+
≤+（k ∈Z ），整理得1212
k x k π5ππ-
≤≤π+（k ∈Z ），所以函数的单调递减区间为[512
12
k k π
π
ππ-
+
，]（k ∈Z ）．（Ⅱ）将函数f （x ）的图象向右平移6
π
个单位，得到函数g （x ）＝2cos （2x 3
6
π
π
-
+
）
+12216cos x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭的图象，
由于x ∈44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦，，所以22363x πππ-
≤-≤，故12126cos x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝
⎭，所以0≤g （x ）≤3，故函数的值域为[0，3]．
18．（1）6
π
；（2
）b =，2c =.
【详解】解：（1
）因为cos b A c =-
，所以2222b c a b c bc +-⋅=-，
所以22222b c a c +-=
，即222c a b +-=.
由余弦定理可得222cos 22
c a b B ac +-==
，因为(0,)B π∈，所以6
B π
=
.
（2）由正弦定理可得sin sin 22
sin sin
6
AH AH AHB
c B
ππ∠=
=
=.
因为ABC
的面积为
11
sin 22
ac B a ==
a =.
由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-
=48422282
+-⨯⨯=，
则b =19．（1）()2
3
142,073
15ln ,7x x x P x e x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩
；（2）当年产量320x e ==万件时，年利润最大，最大年利润为11万元.
【详解】（1）因为每件产品售价为6元，则x 万件商品销售收入为6x 万元，
由题意可得，当07x <<时，()()22
11626224233
P x x C x x x x x x =--=---=-+-；
当7x ≥时，()()33
6266ln 17215ln e e P x x C x x x x x x x ⎛⎫=--=-++--=-- ⎪⎝⎭；
所以()2
3
142,073
15ln ,7
x x x P x e x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩
；（2）由（1）可得，当07x <<，()()2
211426101033
P x x x x =-+-=--+≤，
当且仅当6x =时，等号成立；
当7x ≥时，()315ln e P x x x =--，则()33221e e x
P x x x x
-'=-+=，
所以，当3
7x e ≤<时，()0P x '>，即函数()315ln e P x x x
=--单调递增；当3x e >时，
()0P x '<，即函数()3
15ln e P x x x =--单调递减；
所以当3
x e =时，()315ln e P x x x =--取得最大值()333315ln 11e P e e e
=--=；
综上，当320x e ==时，()P x 取得最大值11万元；
即当年产量为320x e ==时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大年利润是11万元.20．（Ⅰ）2210ex y e ---=；（Ⅱ）()f x 在（0，e ）递增，在(),e +∞递减；（Ⅲ）3,2⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
.
【详解】（Ⅰ）∵()2ln 1e x
f x x
=-，定义域是()0,∞+，∴()11f =-，()2
22ln e e x
f x x
-'=
，()12f e '=，故切线方程为()121y e x +=-，即2210ex y e ---=；（Ⅱ）由（Ⅰ）()2
22ln e e x
f x x -'=
，令()0f x '>，解得0x e <<，令()0f x '<，解得x e >，故()f x 在（0，e ）递增，在(),e +∞递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）得()f x 的极大值是()2lne
11e f e e
=-=，即()f x 的最大值是()1f e =，
∵()32
321g x x ax =++，∴()294g x x ax '=+，
令()0g x '=，解得0x =或49
a x =-
，若1x ∀，[]21,e x ∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，则[]1,x e ∈时，()()max min f x g x ≤恒成立，①当419a -
≤即9
4
a ≥-时，()g x 在[]1,e 上单调递增，此时()()min 142g x g a ==+，令421a +≥，得3
2
a ≥-；
②当419a e <-
<时，即9944e a -<<-时，()g x 在41,9a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭递减，在4,9a e ⎛⎤
- ⎥⎝⎦
递增，此时()3
min
43219243
a a
g x g ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，
令33211243
a +≥，解得0a ≥，不符合题意；
③当49e e -
≥即94
e
a ≤-时，()g x 在[]1,e 递减，故()()32
min 321g x g e e ae ==++，
令323211e ae ++≥，解得3
2a e ≥-，不符合题意
综上，实数a 的取值范围是3,2⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
．
21．（1）()f x 的极大值为1，不存在极小值；（2）3a ≤.
【详解】（1）()2
1ln a x
f x x --'=，
由题意可得：()2
110a
f x -'=
=，解得：1a =此时函数()11f a ==，
函数()f x 的图象在1x =处的切线为1y =成立所以()ln 1x f x x
+=
，()2ln x
f x x -'=，
由()0f x '>可得01x <<，由()0f x '<可得1x >，所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.所以()f x 的极大值为()11f =，不存在极小值.
()2由()21x f x e x
≤+-可得ln 21
x x a e x x
+≤+-分离a 可得：()
1ln 2x
a x e x ≤--+()
0x >令()()
1ln 2,0
x
F x x e x x =--+>()()()111111,0x x x x x F x e xe e x x e x x x x '=-+⎛⎫
-= ⎪+--⎝
⎭
=++>()1
,0.
x h x e x x
=->令()2
1'0x
h x e x =+
>所以()h x 在()0,∞+上单调递增
()1
20,110,2h h e ⎛⎫
=<=-> ⎪⎝⎭
存在唯一的01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使得()0
00
10
x
h x e x =-=
当00x x <<时，()0h x <，即()0F x '<，当0x x >时，()0h x >，即()0F x '>，
故()F x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增.
()()
0000000min 12ln 2x x F x x e lnx x e x x =--+=--+，
由于()0
00
1
0x
h x e x =-
=，得001x x e =，再对001x
x e =两边取对数可得：00ln 0
x x +=所以()0000min ln 21023x
F x x e x x =--+=-+=，
所以3
a ≤即实数a 的取值范围3
a ≤【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法
22．（1）曲线C 的普通方程22(1)4x y ++=，l 的直角坐标方程20x y -+=（2
【详解】(1)已知曲线C :12cos 2sin x y αα=-+⎧⎨=⎩
(α为参数),
则曲线C 的普通方程22(1)4x y ++=,
直线l
的极坐标方程为sin 4πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭,
则l 的直角坐标方程20x y -+=;
(2)直线l
的参数方程为22
x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数)
代入曲线C :22(1)4x y ++=,
化简得230t --=,设A ,B 对应的参数分别为1t ,2t ,
则12t t +=123t t =-,
所以1212121212
1111
|||||t t t t PA PB t t t t t t +-+=+==
3
=
.
【点睛】本题考查参数方程,极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,考查直线参数方程的应用,难度不大.
23．
（1）-2,3（）；（2）13a a ≥≤-或【分析】（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；
（2）由绝对值三角不等式可得min ()1f x a =+，从而得12a +≥或12a +≤-，进而可得解.【详解】（1）当2a =时，原不等式可化为1-122
12535215
x x x x x <-≤≤>⎧⎧⎧⎨
⎨⎨-<<-<⎩⎩⎩或或解得()2,3x ∈-所以不等式的解集为()
2,3-（2）由题意可得min ()2f x ≥,1(1)()1x x a x x a a ++-≥+--=+ 当(1)()0x x a +-≤时取等号.min ()1
f x a ∴=+12a +≥或12a +≤-，即1a ≥或3
a ≤-【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解及绝对值三角不等式求最值，属于基础题.。