2022年高中数学新人教版A版精品教案《2.1.1 合情推理》

归纳、类比————一把探索真理的钥匙
----------合情推理小结课教学设计
湖北省枝江市第一高级中学 王晓华
教学目标
1.
掌握归纳推理和类比推理的技巧，并能运用之解决实际问题 2. 利用多媒体作工具，让学生参与其中，认识规律的形成过程，提升学习兴趣，
激发探索热情。

教学重难点
掌握归纳推理和类比推理的技巧，并能运用之解决实际问题
教学过程
一、知识回忆
引例：以下推理中属于归纳推理且结论正确的选项是
A ．由a n =2n-1，求出S 1=12,S 2=22,S 3=32, 推断：数列{a n }的前n 项和S n =n 2
B ．由f=co ，满足f-=-f ，推断：f=co 为奇函数
C ．由22=r 2的面积S=πr 2，推断：椭圆的面积S=πab
D ．由〔11〕2>21、212>22、312>23推断对一切nN n12>2n
．
请问：选项C
知识回忆：类比推理是从____________到______________的推理，归纳推理是从____________到______________的推理。

它们的结果也可能是______________的。

r r
二、典例分析
〔一〕平面区域划分问题的类比和归纳
自己动手找规律
例1在平面内，如果画n条直线至多将平面分割成个局部，那么
=____,=____,=____,=____,………
归纳一下：=___________________；-=_____________
方法类比探究1：平面上有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，如果画n个这样的圆将平面分割成个局部那么：
=____,=____,=____,=____,………
归纳一下：=___________________；-=_____________
二、平面到立体的类比
例2将三条侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥〞，三棱锥的侧面和底面分别称为直角三棱锥的“直角面和斜面〞；过“直角三棱锥〞的“直角顶点〞及斜面任意两边中点的截面均称为斜面的“中面〞．请仿照直角三角形以下性质：
〔1〕斜边上的中线长等于斜边边长的一半；
〔2〕两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；
〔3〕斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1．
〔4〕直角三角形的外接圆的直径等于斜边长。

你能归纳出直角三棱锥相应性质吗？请填表。

〔几何画板1〕〔学生发现，教师展示证明〕
点评：点对线、线对面、面对体；边长对面积、面积对体积、平面角对空间二面角。

〔课后作业1：请将你类比所得的结论证明一下。

〕
〔三〕、圆锥曲线间性质的类比和归纳
例3，利用几何画板作图，探求点M的轨迹。

试一下：类比双曲线，作相应角的内角平分线，会有何收获？
归纳一下：轨迹是____________，方程是_____________________
类比探究2：〔备用〕
〔1〕用几何画板验证：“过椭圆C：〔a、b为定值且a>b>0〕一个焦点F作与轴不垂直的任意直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交轴于点M，那么比值为定值〞．
注：命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线C，过该圆锥曲线焦点F的弦AB，AB的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点M，AB的长度与F、M 两点间距离的比值．〔几何画板5〕
〔2〕试类比上述命题，写出一个关于双曲线的的类似的命题
____________________________________________________________________ ___________
____________________________________________________________________ _______。

〔不妨也用几何画板验证一下吧！〕
〔3〕通过将弦AB旋转到特殊位置，你能得出这个定值是多少吗？______________________
〔4〕试推广此命题，写出关于圆锥曲线〔椭圆、双曲线、抛物线〕的统一的一般性命题〔不必证明〕．
________________________________________________________________ ___________
________________________________________________________________ ___________
______〔几何画板6、7〕
〔5〕对于椭圆，在上述条件下，得到的定值是_______。

〔课后作业2：将此命题写完整并证明之〕。

1合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论，常常能为我们提供证明的思路和方向
2合情推理常常应用于求数列的通项公式、空间命题与平面命题的类比、向量与实数的类比
3合情推理获得的结论不一定正确，往往需要证明但是它由特殊到一般、由具
体到抽象的认知功能，对于科学的发现是十分有用的观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的结论，乃是科学发现的最根本的方法之一朗颂：
“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能提示自然界的秘密。

—开普勒
“即使在数学里，发现真理的的主要工具也是归纳和类比。

〞
—法国数学家拉普拉斯。