轴向受力细长压杆临界力与形变状态的数学分析
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图5-1图5-2
其中 是作用在纤维上的纵向应力。有 ，于是
因为 ，有
（1）
若是令 ，那么
（2）
将上式再微分一次，
（3）
此式适用于大的，有限的侧向挠度，为了求解（3）式，两边乘积分因子2（ ），
（4）
积分上式，有
（5）
当x=0时， （初始倾斜），y=0；因此，有（2）式可有 =0.于是，由（5）式，有
二、借助图像进行分析
下面借助于图像分析模型三中近似公式的误差，由于资料来源只给出有限个点，因此无法绘制出精准值的完整曲线，于是借助于拉格朗日差值函数画出近似的曲线，定性地分析模型三的误差。
对照精准值函数与模型函数的图像，可定性地发觉
1.对轴向力与欧拉临界力之比模拟十分精准，其函数图像几乎完全吻合，而挠度与棒长模拟那么存在误差。
压杆为球铰支座提供的边界条件为
和 时， (5)
将其代入通解式，可解得
， (6)
上式中，假设A=0，那么 ；即压杆遍地挠度均为零，杆仍然维持直线状态，这与压杆处于微小弯曲的前提相矛盾。因此，只有
(7)
知足条件的 值为
(8)
那么有
(9)
于是，压力 为
(10)
取得杆件维持微小弯曲压力-临界压力 于是可得临界力为
亦即 （6）
此处取负平方根是因为 始终是负的。上式可变换为
(7)
下面引入一个变量置换，令
（8）
式中 是一个变量，且假设当x=0时， ； 时， =0，因此
（9）
那么
且 （10）
由（7）（8）（9）（10）式，有
（11）
积分（11）式并经历 的概念与在端点处数值
或
（12）式的右端项是代有模数k和变量 的第一类完全椭圆积分。关于任意给定的 ，能够取得一系列积分结果，用程序进行数值模拟，画出关系曲线。为了确信相应于 的数值，有方程（9）确信k。为了确信相应于 假定值的轴向力F，可将（12）式重写为如下形式
成立模型二解决：
采纳挠曲线的精准微分方程成立模型：
将该式两边对s取导数，并注意到 ，其中 为挠曲线转角那么有：
由上式可得挠度 与压力之间的近似关系式
（1）
式（1）可由图1-2中曲线AB表示，即曲线在A点处切线是水平的，当 时，压杆在微变平稳状态，压力F与挠度存在一一对应。
B
A
图1-2图1-3
由压杆的形变进程显然可知，当压杆两头点重合处于平稳状态，即F=F2时，压杆中间点的挠率最大。
(11)
问题二：F2 / F1的精准的理论比值；高度与棒长之比
分析：
模型一解决了临界力的问题，但存在这明显的局限性，由于模型一是成立在微小的弯曲变形这一假设下的，而当压杆失稳后，形变慢慢变得超级明显，不知足微变假设条件，这使咱们寻觅新的、普适的模型。为此，咱们引入角坐标θ和弧长坐标s，成立挠曲线的精准微分方程。
2. 对挠度与棒长模拟中，随着轴端弯角的增大，误差也愈来愈大。
六、模型评估
模型一：模型比较简单，但并非具有普遍性，只在失稳之前利用。
模型二：模型具有必然的普遍性，在失稳以后仍然能够利用。
模型三：模型涉及的概念较多，但计算结果误差较大。
模型四：高精度数字拟合，具有普遍性，与真实数据很接近。
咱们借助数学模型的成立和Matlab，Maple等数学软件，对轴向受力压杆进行了详细的分析和模拟仿真，为此咱们采取针对不同问题“各个击破”的思路，关于不同的问题需求，咱们成立了不同的模型来别离知足之。咱们模型的成立思路和改良可分为以下几步：
第一步：成立微变弯曲变形条件下的压杆模型（模型一）。这种模型是基于侧向绕度超级小这一假设，依照这一假设，咱们利用微小变形的挠曲线近似常微分方程推导出欧拉公式，以求出欧拉临界力。
二、假设忽略剪力对压杆形变的阻碍。
三、符号说明
广义位移 挠度
弯矩 轴向压力
临界力 轴端弯角
棒长 弹性模量
惯性矩
四、模型的成立与求解
问题1-1：临界力F1的表达式；
成立模型一求解：
在棒的弯曲变形超级微小这一假设下，在成立弹性挠曲线近似微分方程曲率能够近似看成 ,于是能够成立利用微小形变挠曲近似常微分方程成立模型一，并进一步推导出临界力.
失稳后，继续施加轴向压力，压杆不断形变。依照平面弯曲的理论，现在压杆产生的持续、滑腻而平坦的曲线，称之为挠曲线或弹性曲线。随着轴向压力的增加，压杆的挠曲线愈来愈弯曲，当压力F近似增加到临界力F1的两倍时，压杆的两头点重合（见图1），在此平稳状态下压杆知足一系列的几何特点。
图1
二、问题假设
一、假设在所有形变进程中，压杆的长度维持不变。
设两头铰支中心受压的直杆如图1-1所示。设压杆处于临界状态，即具有微弯的平稳形式。成立ω-x坐标系，任意界面x处的弯矩绝对值为Fω,当ω为正时，M为正；ω为负时，M为负，即M与ω符号相同，成立以下模型：
(1) (2)
令
取得：
(3)
该模型中微分方程的通解为
(4)
式中A、B——积分常数，可由边界条件确信
各个量求解算
1．
2.
3.利用算得的转角算出K,将K代入方程，即可算得F2
该思想用图形表示可为：
五、结果分析
问题1-1：临界力表达式：
问题1-2：F2 / F1的精准的理论比值
模型二解得：F2 / F1=1.67此模型精度较差
模型三解得：F2 / F1=2.1331 此模型精度较好
问题2-1：
问题2-2：高度与棒长之比:
式中，(x)为棒上任一点变形后的曲率半径，M(x)为相应截面的弯矩。
平面曲线的曲率可写成
弯矩方程
代入曲率公式
令 ，即z表示棒上任一点切线的斜率。
于是原方程化为
利用Maple解得
考虑小变形时，v’远小于1，且v”的正负号与弯矩正负号相同，曲率公式那么表示成
即咱们所称的挠曲线近似微分方程。
两边积分得
固定端处挠度和转角均为零，即
模型二解得：0.4901
问题2-3：两头点重合处的夹角：
78o
下面对模型三进行误差分析：
一．成立表格进行分析
表1 模型三中近似公式的误差比较表
10o
20o
30o
60o
90o
130o40
150o
170o
F1/F2(精)
F1/F2
（精）
0.511
分析表中数据，发觉关于F2 / F1来讲，模型三的近似公式与精准值吻合地专门好。但关于 ，在角度不太大（小于90o）时,利用模型算出的结果大体精准，但从90o到往后，误差趋于增大。
第二步：模型一中的假设成立在微小的弯曲变形条件下，而当压杆失稳后，形变慢慢变得超级明显，不知足微变假设条件，这使咱们寻觅新的、普适的模型。为此，咱们引入角坐标θ和弧长坐标s，成立挠曲线的精准微分方程，推导出挠度与压力之间的一个近似关系式（模型二）。在此模型下，能够完整地模拟处轴向受力压杆的形变状态，并能够求出挠度与棒长的比值。
最后，咱们将对接触的结果进行分析，然后对各个模型进行评判。
关键词：轴向受力 大挠度 临界力 微分方程 第一类椭圆积分 有限挠曲模型 数值模拟
一、问题重述
关于细长压杆，在棒的两头施加方向相反大小相等的轴向压力。把压杆从直线形式的稳固平稳开始转变成不稳固的轴向压力值，称为压杆的临界力，记为F1。该力值关于维持细长压杆的微弯构形是恰好有效的，当轴向压力超过压杆的临界力时，压杆将突然变弯，丧失其原有的稳固性。由稳固的平稳状态变成不稳固的平稳状态的现象，称为失稳。
（13）
为了取得发生在 处的最大挠度，有几何学，有
（14）
由（11）式，可有
令（14）和（15）右端项相等，有
或
积分上式，有
当y=0时， ，由上式得出 =0.当 时， ， ，由上式有
或
（17）
至此，有限挠曲理论模型成立完毕。
在那个地址需要说明的是：为了精准地计算第一型椭圆积分，咱们选用了龙贝格积分法。
图2
在具体实现上，咱们利用数值模拟的思想，编写Matlab程序，画出 函数的图形并找到极值点，最后求出F2.
下面给出有限挠曲模型的推导：
引入角坐标 和弧长S，作为对x,y的补充
图4
变形杆放大后的图5-1更清楚地说明角坐标，注意到 是负的，咱们研究由两个相邻界面限定的弧长元素 ,加载前是彼此平行的， 可是在杆发生侧向挠曲后，这些截面的情形如图5-2所示。那个圆弧微段中两个截面的对弧角为 。取得与中性层相距y处的法应变。
将其代入得
将C、D值代入得
设微段dx弯曲变形后为ds，在截面处引发的轴向位移为d△，由于ds在中性层上，因此有ds=dx;d△=dx-dscos ≈dx· 2/2,由此得
当 时，解得 。
成立有限挠曲理论模型(模型四)解决：
模型二最后给出的是一个挠度与压力之间近似的关系式，其算出的结果不可幸免会有较大误差，为了给出关于Fx的精准值，咱们利用变分法和第一类全椭圆积分成立有限挠曲模型，来确信侧向挠曲的幅值。利用那个模型，咱们能够取得压杆在整个进程中每一个状态角度与挠度的对应关系，定性地分析挠度与角度的关系式，并结合图2进行形状观看知， 转变趋势是先增大后减小的，因此存在一个极大值，而那个极值对应的正是题目要求的两头点重合பைடு நூலகம்的状态。现在能够回代解出F2。
第三步：通过挠曲线近似微分方程（模型三）及直接积分方式，求出宽度与棒长之比及端点重合处的夹角。
第四步：依照题目要求，咱们不但需要求出失稳后的轴向压力，还需要分析平稳状态曲线的几何特点。而且模型二提供的是一个近似的关系式。为此咱们利用变分法和椭圆积分，构建一个精准度很高有限挠曲模型（模型四）。而且咱们利用数值模拟的方式，利用Matlab计算出必然角度范围的数值特点转变趋势，加以分析求出高精度下高度与棒长之比、压力F2和夹角。
轴向受力细长压杆临界力与大挠度形变状态的数学分析
摘要
在工程实践中，受压杠件是很常见的。研究受压杆件专门是受轴向力压杆的临界力及失稳以后的形变状态，从而更好得保证受压杆件的正常利用，增强其稳固性，是受压杆件研究的重要课题。本篇文章针对这一问题，成立了四种模型，旨在用不同的精准的模型来分析压杆的稳固和失稳后的各个状态，从而为压杆生产和利用提供专门好的指导意义。
式（1）两边对F求导，得
令 ，解得 ,即 。
代入式（1）得 。
问题三：宽度与棒长之比；端点重合处的夹角
细长弹性棒变形后的挠曲线是一条持续而滑腻的曲线，挠度和转角随截面位置而转变，于是挠曲线和转角方程可别离表示为
，
挠曲线上任一点A的切线与x轴的夹角等于A点所在横截面的转角ɑ。于是在小变形条件下有
即挠曲线上任一点处切线的斜率，等于该点处横截面的转角。对细长弹性棒，剪力对棒变形阻碍很小，因此其纯弯曲的曲率公式为
其中 是作用在纤维上的纵向应力。有 ，于是
因为 ，有
（1）
若是令 ，那么
（2）
将上式再微分一次，
（3）
此式适用于大的，有限的侧向挠度，为了求解（3）式，两边乘积分因子2（ ），
（4）
积分上式，有
（5）
当x=0时， （初始倾斜），y=0；因此，有（2）式可有 =0.于是，由（5）式，有
二、借助图像进行分析
下面借助于图像分析模型三中近似公式的误差，由于资料来源只给出有限个点，因此无法绘制出精准值的完整曲线，于是借助于拉格朗日差值函数画出近似的曲线，定性地分析模型三的误差。
对照精准值函数与模型函数的图像，可定性地发觉
1.对轴向力与欧拉临界力之比模拟十分精准，其函数图像几乎完全吻合，而挠度与棒长模拟那么存在误差。
压杆为球铰支座提供的边界条件为
和 时， (5)
将其代入通解式，可解得
， (6)
上式中，假设A=0，那么 ；即压杆遍地挠度均为零，杆仍然维持直线状态，这与压杆处于微小弯曲的前提相矛盾。因此，只有
(7)
知足条件的 值为
(8)
那么有
(9)
于是，压力 为
(10)
取得杆件维持微小弯曲压力-临界压力 于是可得临界力为
亦即 （6）
此处取负平方根是因为 始终是负的。上式可变换为
(7)
下面引入一个变量置换，令
（8）
式中 是一个变量，且假设当x=0时， ； 时， =0，因此
（9）
那么
且 （10）
由（7）（8）（9）（10）式，有
（11）
积分（11）式并经历 的概念与在端点处数值
或
（12）式的右端项是代有模数k和变量 的第一类完全椭圆积分。关于任意给定的 ，能够取得一系列积分结果，用程序进行数值模拟，画出关系曲线。为了确信相应于 的数值，有方程（9）确信k。为了确信相应于 假定值的轴向力F，可将（12）式重写为如下形式
成立模型二解决：
采纳挠曲线的精准微分方程成立模型：
将该式两边对s取导数，并注意到 ，其中 为挠曲线转角那么有：
由上式可得挠度 与压力之间的近似关系式
（1）
式（1）可由图1-2中曲线AB表示，即曲线在A点处切线是水平的，当 时，压杆在微变平稳状态，压力F与挠度存在一一对应。
B
A
图1-2图1-3
由压杆的形变进程显然可知，当压杆两头点重合处于平稳状态，即F=F2时，压杆中间点的挠率最大。
(11)
问题二：F2 / F1的精准的理论比值；高度与棒长之比
分析：
模型一解决了临界力的问题，但存在这明显的局限性，由于模型一是成立在微小的弯曲变形这一假设下的，而当压杆失稳后，形变慢慢变得超级明显，不知足微变假设条件，这使咱们寻觅新的、普适的模型。为此，咱们引入角坐标θ和弧长坐标s，成立挠曲线的精准微分方程。
2. 对挠度与棒长模拟中，随着轴端弯角的增大，误差也愈来愈大。
六、模型评估
模型一：模型比较简单，但并非具有普遍性，只在失稳之前利用。
模型二：模型具有必然的普遍性，在失稳以后仍然能够利用。
模型三：模型涉及的概念较多，但计算结果误差较大。
模型四：高精度数字拟合，具有普遍性，与真实数据很接近。
咱们借助数学模型的成立和Matlab，Maple等数学软件，对轴向受力压杆进行了详细的分析和模拟仿真，为此咱们采取针对不同问题“各个击破”的思路，关于不同的问题需求，咱们成立了不同的模型来别离知足之。咱们模型的成立思路和改良可分为以下几步：
第一步：成立微变弯曲变形条件下的压杆模型（模型一）。这种模型是基于侧向绕度超级小这一假设，依照这一假设，咱们利用微小变形的挠曲线近似常微分方程推导出欧拉公式，以求出欧拉临界力。
二、假设忽略剪力对压杆形变的阻碍。
三、符号说明
广义位移 挠度
弯矩 轴向压力
临界力 轴端弯角
棒长 弹性模量
惯性矩
四、模型的成立与求解
问题1-1：临界力F1的表达式；
成立模型一求解：
在棒的弯曲变形超级微小这一假设下，在成立弹性挠曲线近似微分方程曲率能够近似看成 ,于是能够成立利用微小形变挠曲近似常微分方程成立模型一，并进一步推导出临界力.
失稳后，继续施加轴向压力，压杆不断形变。依照平面弯曲的理论，现在压杆产生的持续、滑腻而平坦的曲线，称之为挠曲线或弹性曲线。随着轴向压力的增加，压杆的挠曲线愈来愈弯曲，当压力F近似增加到临界力F1的两倍时，压杆的两头点重合（见图1），在此平稳状态下压杆知足一系列的几何特点。
图1
二、问题假设
一、假设在所有形变进程中，压杆的长度维持不变。
设两头铰支中心受压的直杆如图1-1所示。设压杆处于临界状态，即具有微弯的平稳形式。成立ω-x坐标系，任意界面x处的弯矩绝对值为Fω,当ω为正时，M为正；ω为负时，M为负，即M与ω符号相同，成立以下模型：
(1) (2)
令
取得：
(3)
该模型中微分方程的通解为
(4)
式中A、B——积分常数，可由边界条件确信
各个量求解算
1．
2.
3.利用算得的转角算出K,将K代入方程，即可算得F2
该思想用图形表示可为：
五、结果分析
问题1-1：临界力表达式：
问题1-2：F2 / F1的精准的理论比值
模型二解得：F2 / F1=1.67此模型精度较差
模型三解得：F2 / F1=2.1331 此模型精度较好
问题2-1：
问题2-2：高度与棒长之比:
式中，(x)为棒上任一点变形后的曲率半径，M(x)为相应截面的弯矩。
平面曲线的曲率可写成
弯矩方程
代入曲率公式
令 ，即z表示棒上任一点切线的斜率。
于是原方程化为
利用Maple解得
考虑小变形时，v’远小于1，且v”的正负号与弯矩正负号相同，曲率公式那么表示成
即咱们所称的挠曲线近似微分方程。
两边积分得
固定端处挠度和转角均为零，即
模型二解得：0.4901
问题2-3：两头点重合处的夹角：
78o
下面对模型三进行误差分析：
一．成立表格进行分析
表1 模型三中近似公式的误差比较表
10o
20o
30o
60o
90o
130o40
150o
170o
F1/F2(精)
F1/F2
（精）
0.511
分析表中数据，发觉关于F2 / F1来讲，模型三的近似公式与精准值吻合地专门好。但关于 ，在角度不太大（小于90o）时,利用模型算出的结果大体精准，但从90o到往后，误差趋于增大。
第二步：模型一中的假设成立在微小的弯曲变形条件下，而当压杆失稳后，形变慢慢变得超级明显，不知足微变假设条件，这使咱们寻觅新的、普适的模型。为此，咱们引入角坐标θ和弧长坐标s，成立挠曲线的精准微分方程，推导出挠度与压力之间的一个近似关系式（模型二）。在此模型下，能够完整地模拟处轴向受力压杆的形变状态，并能够求出挠度与棒长的比值。
最后，咱们将对接触的结果进行分析，然后对各个模型进行评判。
关键词：轴向受力 大挠度 临界力 微分方程 第一类椭圆积分 有限挠曲模型 数值模拟
一、问题重述
关于细长压杆，在棒的两头施加方向相反大小相等的轴向压力。把压杆从直线形式的稳固平稳开始转变成不稳固的轴向压力值，称为压杆的临界力，记为F1。该力值关于维持细长压杆的微弯构形是恰好有效的，当轴向压力超过压杆的临界力时，压杆将突然变弯，丧失其原有的稳固性。由稳固的平稳状态变成不稳固的平稳状态的现象，称为失稳。
（13）
为了取得发生在 处的最大挠度，有几何学，有
（14）
由（11）式，可有
令（14）和（15）右端项相等，有
或
积分上式，有
当y=0时， ，由上式得出 =0.当 时， ， ，由上式有
或
（17）
至此，有限挠曲理论模型成立完毕。
在那个地址需要说明的是：为了精准地计算第一型椭圆积分，咱们选用了龙贝格积分法。
图2
在具体实现上，咱们利用数值模拟的思想，编写Matlab程序，画出 函数的图形并找到极值点，最后求出F2.
下面给出有限挠曲模型的推导：
引入角坐标 和弧长S，作为对x,y的补充
图4
变形杆放大后的图5-1更清楚地说明角坐标，注意到 是负的，咱们研究由两个相邻界面限定的弧长元素 ,加载前是彼此平行的， 可是在杆发生侧向挠曲后，这些截面的情形如图5-2所示。那个圆弧微段中两个截面的对弧角为 。取得与中性层相距y处的法应变。
将其代入得
将C、D值代入得
设微段dx弯曲变形后为ds，在截面处引发的轴向位移为d△，由于ds在中性层上，因此有ds=dx;d△=dx-dscos ≈dx· 2/2,由此得
当 时，解得 。
成立有限挠曲理论模型(模型四)解决：
模型二最后给出的是一个挠度与压力之间近似的关系式，其算出的结果不可幸免会有较大误差，为了给出关于Fx的精准值，咱们利用变分法和第一类全椭圆积分成立有限挠曲模型，来确信侧向挠曲的幅值。利用那个模型，咱们能够取得压杆在整个进程中每一个状态角度与挠度的对应关系，定性地分析挠度与角度的关系式，并结合图2进行形状观看知， 转变趋势是先增大后减小的，因此存在一个极大值，而那个极值对应的正是题目要求的两头点重合பைடு நூலகம்的状态。现在能够回代解出F2。
第三步：通过挠曲线近似微分方程（模型三）及直接积分方式，求出宽度与棒长之比及端点重合处的夹角。
第四步：依照题目要求，咱们不但需要求出失稳后的轴向压力，还需要分析平稳状态曲线的几何特点。而且模型二提供的是一个近似的关系式。为此咱们利用变分法和椭圆积分，构建一个精准度很高有限挠曲模型（模型四）。而且咱们利用数值模拟的方式，利用Matlab计算出必然角度范围的数值特点转变趋势，加以分析求出高精度下高度与棒长之比、压力F2和夹角。
轴向受力细长压杆临界力与大挠度形变状态的数学分析
摘要
在工程实践中，受压杠件是很常见的。研究受压杆件专门是受轴向力压杆的临界力及失稳以后的形变状态，从而更好得保证受压杆件的正常利用，增强其稳固性，是受压杆件研究的重要课题。本篇文章针对这一问题，成立了四种模型，旨在用不同的精准的模型来分析压杆的稳固和失稳后的各个状态，从而为压杆生产和利用提供专门好的指导意义。
式（1）两边对F求导，得
令 ，解得 ,即 。
代入式（1）得 。
问题三：宽度与棒长之比；端点重合处的夹角
细长弹性棒变形后的挠曲线是一条持续而滑腻的曲线，挠度和转角随截面位置而转变，于是挠曲线和转角方程可别离表示为
，
挠曲线上任一点A的切线与x轴的夹角等于A点所在横截面的转角ɑ。于是在小变形条件下有
即挠曲线上任一点处切线的斜率，等于该点处横截面的转角。对细长弹性棒，剪力对棒变形阻碍很小，因此其纯弯曲的曲率公式为