【华东师大版】初二数学上期末试题带答案

一、选择题
1．若关于x 的分式方程
3
211m x x =---有非负实数解，且关于x 的不等式组102
x x m +≥⎧⎨+≤⎩有解，则满足条件的所有整数m 的和为（ ） A ．9- B ．8-
C ．7-
D ．6-
2．计算()
3
222()m m m -÷⋅的结果是（ ）
A ．2m -
B ．22m
C ．28m -
D ．8m -
3．下列各式中正确的是（ ）
A ．26
3333()22=x x y y B ．2
22
2
24()=++a a a b a b
C ．22
222
()--=++x y x y x y x y D ．3
33
()()()++=--m n m n m n m n 4．计算a b
a b a
÷⨯的结果是（） A ．a
B ．2
a
C ．2b a
D ．
21a
5．将4个数a 、b 、c 、d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a c b d ，定义a c b
d
=ad
－bc ．上述记号就叫做2阶行列式，若11x x +-
11
x x -+=12，则x=( )．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
6．下列计算中能用平方差公式的是（ ）． A ．()()a b a b -+- B ．1133x y y x ⎛⎫⎛
⎫+-
⎪⎪⎝⎭⎝
⎭
C ．2
2x x
D ．()()21x x -+
7．如果单项式223a b a b m n -+-与38b m n 是同类项，那么这两个单项式的积是（ ） A ．6163m n -
B ．6323m n -
C ．383m n -
D ．6169m n -
8．已知(
)(
)
2
2
113(21)a b ab ++=-，则1b a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．-2 D ．-1 9．等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）度 A ．25或60
B ．40或60
C ．25或40
D ．40 10．已知点(),3M a ，点()2,N b 关于x 轴对称，则2020
()a b +的值（ ）
A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3
11．如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等．若110BOC ∠=°，则A ∠的度数为( )
A ．40︒
B ．45︒
C ．50︒
D ．55︒
12．如图，盖房子时，在窗框没有安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（ ）
A ．两点之间线段最短
B ．长方形的对称性
C ．长方形四个角都是直角
D ．三角形的稳定性
二、填空题
13．若分式方程
13322a x x x
--=--有增根，则a 的值是________． 14．某校要建立两个计算机教室，为此要购买相同数量的A 型计算机和B 型计算机．已知一台A 型计算机的售价比一台B 型计算机的售价便宜400元，如果购买A 型计算机需要224 000元，购买B 型计算机需要240 000元．求一台A 型计算机和一台B 型计算机的售价分别是多少元． 设一台B 型计算机的售价是x 元，依题意列方程为__． 15．若2a x =，3b x =，则32a b x -=___________． 16．已知a ＋b ＝5，且ab ＝3，则a 3＋b 3＝_____．
17．如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//EF BC 交BD 于点G ，若
130BEG ∠=︒，则DGF ∠=______．
18．如图，已知∠AOB=60°，点P 在边OA 上，OP=24，点M ，N 在边OB 上，PM=PN ，若NM=6，则OM=______________．
19．如图，在直角坐标系中，AD 是Rt △OAB 的角平分线，已知点D 的坐标是（0，-3），AB 的长为12，则△ABD 的面积是_____
20．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A 落在F 处，折痕为BC ，FBD ∠的角平分线为BE ，将FBD ∠沿BF 折叠使BE ，BD 均落在FBC ∠的内部，且BE 交CF 于点M ，BD 交CF 于点N ，若BN 平分CBM ∠，则ABC ∠的度数为_________．
三、解答题
21．小红到离家2100米的学校参加艺术节联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，此时距联欢会开始还有45分钟，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校．已知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍．
（1）小红步行的平均速度（单位：米/分）是多少？
（2）小红能否在联欢会开始前赶到学校？（通过计算说明你的理由） 22．计算：
22
12y
x y x y ---． 23．在通常的日历牌上，可以看到一些数所满足的规律，表①是2020年12月份的日历牌．
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
26
27
28 29
30
31
（1）在表①中，我们选择用如表②那样22⨯的正方形框任意圈出22⨯个数，将它们先交叉相乘，再相减．如：用正方形框圈出3,4,10,11四个数，然后将它们交叉相乘，再相减，即3114107⨯-⨯=-或4103117⨯-⨯=．请你用表②的正方形框任意圈出22⨯个数，将它们先交叉相乘，再相减．列出算式并算出结果（选择其中一个算式即可)． （2）在用表②的正方形框任意圈出的22⨯个数中，将它们先交叉相乘，再相减．若设左上角的数字为n ，用含n 的代数式表示其它三个位置的数字，列出算式并算出结果（选择其中一个算式即可)．
（3）若选择用表③那样33⨯的正方形方框任意圈出33⨯个数，将正方形方框四角．．．．位置上的4个数先交叉相乘，再相减，你发现了什么．选择一种情况说明理由．
24．如图，ABC 是边长为10的等边三角形，现有两点P 、Q 沿如图所示的方向分别从点A 、点B 同时出发，沿ABC 的边运动，已知点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的运度为每秒2个单位长度，当点P 第一次到达B 点时，P 、Q 同时停止运动． （1）点P 、Q 运动几秒后，可得到等边三角形APQ ？ （2）点P 、Q 运动几秒后，P 、Q 两点重合？
（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能否得到以PQ 为底边的等腰APQ ？如存在，请求出此时P 、Q 运动的时间．
25．如图，已知∠AOC 是直角，∠BOC =46°，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOB ． （1）试求∠DOE 的度数；
（2）当∠BOC =α（0°≤α≤90°），请问∠DOE 的大小是否变化？并说明理由．
26．如图，已知点D ，E 分别在ABC 的边AB ，AC 上，//DE BC ．
（1若80ABC ∠=︒，40AED ∠=︒，求A ∠的度数： （2）若180BFD CEF ∠+∠=︒，求证：EDF C ∠=∠．
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
先根据方程3
211m x x =---有非负实数解，求得5m ≥-，由不等式组102x x m +≥⎧⎨+≤⎩
有解求
得3m ≤，得到m 的取值范围53m -≤≤，再根据10x -≠得3m ≠-，写出所有整数解计算其和即可．
【详解】 解：
3
211
m x x =--- 解得：5
2m x +=
， ∵方程有非负实数解， ∴0x ≥即
5
02
m +≥， 得5m ≥-；
∵不等式组10
2x x m +≥⎧⎨+≤⎩
有解，
∴12x m -≤≤-，
∴21m -≥-， 得3m ≤， ∴53m -≤≤， ∵10x -≠，即5
02
m +≠， ∴3m ≠-，
∴满足条件的所有整数m 为：-5，-4，-2，-1,0,1,2,3， 其和为：-6， 故选：D ． 【点睛】
此题考查利用分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解的情况求参数，正确掌握方程及不等式组的解的情况确定m 的取值范围是解题的关键．
2．C
解析：C 【分析】
先分别计算积的乘方运算，再利用单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】 解：(
)
3
222()m m m -÷⋅
＝()4
6
8m
m -÷ ＝()4
6
8m m -÷
＝28m -， 故选：C ． 【点睛】
本题考查单项式除以单项式，积的乘方运算．在做本题时需注意运算顺序，先计算积的乘方，再算除法．
3．D
解析：D
【分析】
根据分式的乘法法则计算依次判断即可．【详解】
A、
26
3
3
327
()
28
=
x x
y y
，故该项错误；
B、
2
2
2
24
()
()
=
++
a a
a b a b
，故该项错误；
C、
2
2
2
()
()
()
--
=
++
x y x y
x y x y
，故该项错误；
D、
3
3
3
()
()
()
++
=
--
m n m n
m n m n
，故该项正确；
故选：D．
【点睛】
此题考查分式的乘方计算法则：等于分子、分母分别乘方，熟记法则是解题的关键．4．C
解析：C
【分析】
先把除法变成乘法，然后约分即可．
【详解】
解：
2
a b b b b
a a
b a a a a
÷⨯=⋅⋅=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握乘除混合运算法则．
5．B
解析：B
【分析】
根据题中的新定义将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x的值．【详解】
解：根据题意化简
11
11
x x
x x
+-
-+
=12，得（x+1）2-（x-1）2=12，
整理得：x2+2x+1-（1-2x+x2）-12=0，即4x=12，解得：x=3，
故选：B．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算，属于新定义的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键．
6．B
解析：B 【分析】
根据平方差公式()()2
2
a b a b a b -+=-一项一项代入判断即可．
【详解】
A 选项：两项都是互为相反数，故不能用平方差公式；
B 选项：两项有一项完全相同，另一项为相反数，故可用平方差公式；
C 选项：两项完全相同，故不能用平方差公式；
D 选项：有一项2-与1不同，故不能用平方差公式． 故选：B ． 【点睛】
此题考查平方差的基本特征：()()2
2
a b a b a b -+=-中a 与b 两项符号不同，难度一
般．
7．B
解析：B 【分析】
根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同，即可求出a 和b ，再利用单项式乘以单项式计算结果即可． 【详解】 解：由题意可得：
23
28a b a b b -=⎧⎨
+=⎩
， 解得：72a b ==，，
则这两个单项式分别为：3163m n -，316m n ， ∴它们的积为：3163166323?3m n m n m n -=-， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考察同类项的概念、单项式乘以单项式，掌握同类项的概念是解题的关键．
8．D
解析：D 【分析】
先对(
)(
)
2
2
113(21)a b ab ++=-进行变形，可以解出a ，b 的关系，然后在对1b a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
进行因式分解即可． 【详解】
∵(
)(
)
2
2
113(21)a b ab ++=-， ∴2222163a b a b ab +++=-，
22222440a b ab a b ab +-+-+=，
()()
22
20a b ab -+-=，
∴a b =，2ab =，
∴1121b
b a ab a a
⎛⎫-=-=-=-
⎪⎝⎭ 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了因式分解的应用，在解题时要注意符号变换，同时掌握正确的运算是解答本题的关键．
9．C
解析：C 【分析】
当顶角为50°时和底角为50°两种情况进行求解． 【详解】
当顶角为50°时，底角为：（180°−50°）÷2＝65°． 此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−65°＝25°．
当底角为50°时，此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−50°＝40°． 故选：C ． 【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两个底角相等．同时考查了分类讨论的思想．
10．C
解析：C 【分析】
根据关于坐标轴对称的规律，关于谁对称谁不变，另一个坐标变为相反数即可获得a 和b 的值，然后即可得解． 【详解】
∵点(),3M a ，点()2,N b 关于x 轴对称 ∴2a =，3b =- ∴()()
2018
2018
231a b +=-=
故选：C ．
【点睛】
本题考查了在坐标平面直角坐标系中关于x 轴对称的点的坐标的变化规律，点(),x y 关于
x 轴对称的点的坐标为()x y -，，熟记规律即可得到正确答案．
11．A
解析：A 【分析】
由条件可知BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ，利用三角形内角和可求得∠A ． 【详解】
解：∵点O 到ABC 三边的距离相等， ∴BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠， ∴ ()180A ABC ACB ∠=︒-∠+∠
()1802OBC OCB =︒-∠+∠ ()1802180BOC =︒-⨯︒-∠ ()1802180110︒=︒-⨯-︒
40=︒． 故选A ．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．
12．D
解析：D 【分析】
在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，据此即可判断是利用了三角形的稳定性． 【详解】
在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性，D 正确． 故答案选D ． 【点睛】
本题比较简单主要考查三角形稳定性的实际应用，通常要使一些图形具有稳定的结构，往往是将其转化为三角形而获得．
二、填空题
13．【分析】分式方程去分母转化为整式方程由分式方程有增根求出x 的值代入整式方程计算即可求出a 的值【详解】去分母得：1-3x+6＝-3a+x 由分式方程有增根得到x−2＝0即x ＝2把x ＝2代入得：1-6+6
解析：1
3
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x 的值，代入整式方程计算即可求出a 的值．
【详解】
去分母得：1-3x+6＝-3a+x ，
由分式方程有增根，得到x−2＝0，即x ＝2，
把x ＝2代入得：1-6+6＝-3a+2，
解得：a ＝13
， 故答案为：
13． 【点睛】
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14．【分析】本题的等量关系是：224000元购买A 型计算机的数量=240000元购买B 型计算机数量依此列出方程即可【详解】解：设B 型计算机每台需x 元则A 型计算机每台需（x-400）元依题意有故填【点睛】 解析：240000224000400
x x =- 【分析】
本题的等量关系是：224 000元购买A 型计算机的数量=240 000元购买B 型计算机数量，依此列出方程即可．
【详解】
解：设B 型计算机每台需x 元，则A 型计算机每台需（x-400）元，依题意有
240000224000400
x x =- 故填，
240000224000400
x x =-． 【点睛】 考查了分式方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系，本题重点是熟悉单价，总价，数量之间的关系．
15．【分析】根据同底数幂除法逆运算及积的乘方逆运算解答【详解】∵∴故答案为：【点睛】此题考查整式的运算公式：积的乘方计算及同底数幂除法计算正确掌握计算公式并熟练应用是解题的关键 解析：89
【分析】
根据同底数幂除法逆运算及积的乘方逆运算解答．
【详解】
∵2a x =，3b x =，
∴32a b x -=3232328()()239a b a b x
x x x ÷=÷=÷=， 故答案为：
89
． 【点睛】 此题考查整式的运算公式：积的乘方计算及同底数幂除法计算，正确掌握计算公式并熟练应用是解题的关键．
16．80【分析】先求出再将a ＋b ＝5代入a3＋b3公式中计算即可【详解】∵a ＋b ＝5且ab ＝3∴∴∴故答案为：80【点睛】此题考查完全平方公式的变形计算立方和公式正确掌握立方和的计算公式是解题的关键
解析：80
【分析】
先求出2216a b ab +-=，再将a ＋b ＝5，2216a b ab +-=代入a 3＋b 3公式中计算即可．
【详解】
∵a ＋b ＝5，且ab ＝3，
∴2222()253219a b a b ab +=+-=-⨯=，
∴2222()353316a b ab a b ab +-=+-=-⨯=，
∴3322()()51680a b a b a ab b +=+-+=⨯=
故答案为：80．
【点睛】
此题考查完全平方公式的变形计算，立方和公式，正确掌握立方和的计算公式是解题的关键．
17．25°【分析】由角平分线和平行线的性质证明则是等腰三角形由顶角的度数算出底角的度数即可得出结果【详解】解：∵BD 平分∴∵∴∴∴是等腰三角形∵∴∴故答案是：【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定解题的 解析：25°
【分析】
由角平分线和平行线的性质证明EBG EGB ∠=∠，则BEG 是等腰三角形，由顶角的度数算出底角EGB ∠的度数，即可得出结果．
【详解】
解：∵BD 平分ABC ∠，
∴EBG CBG ∠=∠，
∵//EF BC ，
∴CBG EGB ∠=∠，
∴EBG EGB ∠=∠，
∴BEG 是等腰三角形，
∵130BEG ∠=︒，
∴180130252
EGB ︒-︒∠=
=︒， ∴25DGF EGB ∠=∠=︒．
故答案是：25︒．
【点睛】 本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定定理． 18．9【分析】过P 作PD ⊥OB 交OB 于点D 在直角三角形POD 中求出OD 的长再由PM=PN 利用三线合一得到D 为MN 中点根据MN 求出MD 的长由OD-MD 即可求出OM 的长【详解】解：过P 作PD ⊥OB 交OB 于点
解析：9
【分析】
过P 作PD ⊥OB ，交OB 于点D ，在直角三角形POD 中，求出OD 的长，再由PM=PN ，利用三线合一得到D 为MN 中点，根据MN 求出MD 的长，由OD-MD 即可求出OM 的长．
【详解】
解：过P 作PD ⊥OB ，交OB 于点D ，
∵∠AOB=60°，
∴∠OPD=30°，
∴OD =12
OP=12． ∵PM =PN ，PD ⊥MN ， ∴MD =ND =
12MN =3， ∴OM =OD ﹣MD =12﹣3=9．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查的是含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，根据题意添加适当辅助线是解本题的关键．
19．18【分析】过点D 作DE ⊥AB 于点E 由角平分线的性质可得出DE 的长再根据三角形的面积公式即可得出结论【详解】解：过点D 作DE ⊥AB 于点E ∵D （0-3）∴OD=3∵AD 是Rt △OAB 的角平分线OD ⊥O
解析：18
【分析】
过点D 作DE ⊥AB 于点E ，由角平分线的性质可得出DE 的长，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】
解：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，
∵D （0，-3）
∴OD=3，
∵AD 是Rt △OAB 的角平分线，OD ⊥OA ，DE ⊥AB ，
∴DE=OD=3，
∴S △ABD =12AB•DE=12
×12×3=18． 故答案为：18．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
20．5°【分析】根据角平分线的定义可得再根据折叠的性质可得再根据平分可得进而可得【详解】解：∵的角平分线为∴又∵与关于对称∴∵与关于对称∴又∵平分∴又∵为折痕∴∵∴又∵∴∴又∵∴故答案为：675°【点睛 解析：5°．
【分析】
根据角平分线的定义可得1FBE ∠=∠，再根据折叠的性质可得1MBF FBE ∠=∠=∠，NBF FBD ∠=∠，CBA CBF ∠=∠， 再根据BN 平分CBM ∠可得CBN NBM ∠=∠，进而可得318067.58ABC ∠=⨯
=． 【详解】
解：∵FBD ∠的角平分线为BE ，
∴
1FBE ∠=∠， 又∵BM 与BE 关于BF 对称，
∴1MBF FBE ∠=∠=∠， ∵BN 与BD 关于BF 对称，
∴NBF FBD ∠=∠
FBE EBD =∠+∠
11=∠+∠
21=∠，
又∵BN 平分CBM ∠，
∴CBN NBM ∠=∠，
又∵BC 为折痕，
∴CBA CBF ∠=∠
CBN NBF =∠+∠
21NBM =∠+∠，
∵NBM NBF MBF ∠=∠-∠
211=∠=∠
1=∠，
∴31CBA ∠=∠，
又∵180CBA CBF FBD ∠+∠+∠=，
∴3112121180∠+∠+∠+∠=，
∴81180∠=，
又∵31ABC ∠=∠， ∴318067.58
ABC ∠=⨯=， 故答案为：67.5°．
【点睛】 本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，平角的定义，解题的关键是理解题意，找到
31808
ABC ∠=⨯． 三、解答题
21．（1）70米/分；（2）能，见解析
【分析】
（1）设小红步行的平均速度为x 米/分，则骑自行车的平均速度为3x 米/分．由小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟为等量关系建立方程求出其解即可； （2）根据（1）求出的结论计算小红往返的时间之和与45分钟作比较就可以得出结论．
【详解】
（1）解：设小红步行的平均速度是x 米/分，则骑自行车的平均速度是3x 米/分． 根据题意，得
21002100203x x
-=， 方程两边同乘最简公分母3x ，得
6300210060x -=，
解得70x =．
检验：把70x =代入最简公分母3x ，得
33700x =⨯≠，
因此，70x =是原方程的根．
答：小红步行的平均速度是70米/分．
（2）由（1），得70x =，3210x =，
所以小红骑自行车的速度是210米/分，
于是，小红回家取道具共花时间：
2100210030104070210
+=+=（分）， 由于4045<，
因此，小红能在联欢会开始前赶到学校．
【点睛】
本题是一道行程问题的应用题，考查了列分式方程解实际问题，分式方程的解法，解答时小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟为等量关系建立方程是关键．
22．1x y
+ 【分析】
首先把两分式通分化为同分母分式后，再按照分母不变，分子相加减的法则计算．
【详解】 解：原式2()()()()
x y y x y x y x y x y +=-+-+- 2()()x y y x y x y +-=
+-. ()()x y x y x y -=
+-. 1x y
=+. 【点睛】
本题考查分式的加减运算，熟练掌握异分母分式的加减法则是解题关键．
23．（1）91710167⨯-⨯=-或10169177⨯-⨯=，（2）+1n ,n+7，n+8，()()()+178n n n n +-+，7，或()()()8+17n n n n +-+，-7；（3）1×17-3×15=-28或
3×15-1×17=28，发现：它们最后得结果是28或-28，n ，+2n ，n+14，n+16，()()()+21416n n n n +-+，28，()()()16+214n n n n +-+，-28，它们的结果与n 的值无关，最终结果保持不变，值是28或-28．
【分析】
（1）先画出选出的各数，再计算即可；
（2）设左上角的数字为n ，用含n 的代数式表示其它三个位置的数字分别为
+1n+7n+8n ，，,列出算式()()()+178n n n n +-+或()()()8+17n n n n +-+，求出即可；
（3）先圈出各个数，列出算式，设左上角的数字为n ，用含n 的代数式表示其它三个位置的数字分别为+2n+14n+16n ，，，列出算式，求出即可．
【详解】
（1）圈出的数如图，9,10；16,17，
91710161531607⨯-⨯=-=-或10169171601537⨯-⨯=-=，
（2）设左上角的数字为n ，用含n 的代数式表示其它三个位置的数字分别为，+1n+7n+8n ，，,
()()()+178n n n n +-+，
=22878n n n n ++--，
=7，
或()()()8+17n n n n +-+，
=22887n n n n +---，
=-7；
（3）圈出的数为1,2,3；8,9,10；15,16,17四角数位1,3,15,17
1×17-3×15=17-45=-28或3×15-1×17=35-17=28，
发现：它们最后得结果是28或-28，
理由是：设设左上角的数字为n ，用含n 的代数式表示其它三个位置的数字分别为+2n+14n+16n ，，,
()()()+21416n n n n +-+，
=22162816n n n n ++--，
=28，
()()()16+214n n n n +-+，
=22161628n n n n +---，
=-28．
结论：它们的结果与n 的值无关，最终结果保持不变，值是28或-28．
【点睛】
本题考查整式的混合运算的应用，掌握整式的混合运算法则，能理解题意，会按要求列式是解题关键，培养阅读能力和计算能力．
24．（1）点P 、Q 运动103秒后，可得到等边三角形APQ ；（2）点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合；（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为
403秒． 【分析】
（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，利用,AP AQ = 列方程，解方程可得答案；
（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，由追及问题中的相等关系：Q 的运动路程等于P 的运动路程加上相距的路程，列方程，解方程即可得到答案；
（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．先证明：ACP △≌ABQ △，可得CP BQ =，再列方程，解方程并检验即可得到答案．
【详解】
解：（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，
如图①，AP t =，102AQ AB BQ t =-=-，
∵三角形APQ 是等边三角形，
,AP AQ ∴=
∴102t t =-，解得103t =
， ∴点P 、Q 运动103
秒后，可得到等边三角形APQ ．
（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，
102x x +=，解得：10x =．
∴点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合．
（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．理由如下： 由（2）知10秒时P 、Q 两点重合，恰好在C 处，
如图②，假设APQ 是等腰三角形，
∴AP AQ =，
∴APQ AQP ∠=∠，
∴APC AQB ∠=∠，
∵ACB △是等边三角形，
∴C B ∠=∠，
在ACP △和ABQ △中，
,,
,AC AB C B APC AQB =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩
， ∴ACP △≌ABQ △，
∴CP BQ =，
设当点P 、Q 在BC 边上运动时，P 、Q 运动的时间y 秒时，APQ 是等腰三角形， 由题意得：10CP y =-，302QB y =-，
∴ 10302y y -=-， 解得：403
y =， P 的最长运动时间为
2020,1s = Q 从B A C B →→→的最长时间为30=152s ， 由403
＜15， ∴ 403y =
符合题意， ∴当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为
403
秒． 【点睛】 本题考查的是三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，动点问题，掌握以上知识是解题的关键．
25．（1）45︒；（2）不会变化，理由见解析．
【分析】
（1）根据题意可知DOE BOD BOE ∠=∠-∠，12
BOD AOB ∠=∠，
12
BOE BOC ∠=∠．即可推出12DOE AOC ∠=∠，即可求出DOE ∠． （2））根据（1）可知DOE ∠的大小与∠BOC 的大小无关，所以DOE ∠的大小不会变化．
【详解】
（1）由图可知DOE BOD BOE ∠=∠-∠，
∵OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOB ． ∴12BOD AOB ∠=
∠，12BOE BOC ∠=∠． ∴1111()2222
DOE AOB BOC AOB BOC AOC ∠=∠-∠=∠-∠=∠， ∵∠AOC 是直角，
∴90AOC ∠=︒， ∴1452
DOE AOC ∠=
∠=︒． （2）根据（1）可知DOE ∠的大小与∠BOC 的大小无关， ∴DOE ∠的大小不会变化且大小为
12AOC ∠． 【点睛】
本题考查角的计算，角平分线的性质．利用角平分线的性质找出图形中角的关系是解答本题的关键．
26．（1）60A ∠=︒；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据平行线的性质可得80ADE ABC ∠=∠=︒，再根据三角形内角和定理即可求得A ∠的度数；
（2）根据三角形外角的性质可得BFD EDF DEF ∠=∠+∠，再结合
180BFD CEF ∠+∠=︒可得180EDF DEC ∠+∠=︒，根据两直线平行同旁内角互补即可证明结论．
【详解】
解：（1）∵//DE BC ，80ABC ∠=︒，
∴80ADE ABC ∠=∠=︒，
∵40AED ∠=︒，
∴18060AE A ADE D ∠=︒-∠=∠-︒；
（2）∵BFD EDF DEF ∠=∠+∠,180BFD CEF ∠+∠=︒，
∴180EDF DEF CEF ∠+∠+∠=︒，即180EDF DEC ∠+∠=︒，
∵//DE BC ，
∴180C DEC ∠+∠=︒，
∴EDF C ∠=∠．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理．能正确理解定理，根据图形得出角度之间的关系是解题关键．。