数学建模论文答辩模板

Dz
2c z 2
vx
c x
vz
c z
三、模型的评价与改进
模型的优点：
（1）问题一中我们采用了surfer工具作出了重金属污染的空间分布， 然后根据单因子指数法，以污染指数来表示污染程度求得最终的 综合指标，这些方法对于处理此类问题都是比较可取的。
（2）因子分析法能反映事物的本质，用于分析事物成因、来源等问 题，将它应用于本题中，通过大量的统计数据来探究污染原因是 行之有效的。
二、模型的建立与求解
2.1、重金属空间分布与各区域污染程度
2.1.1重金属元素的空间分布 根据采样点各金属元素的浓度，应用surfer软件中的克立格
插值法对8种重金属的分布进行空间分析。则各金属的空间分布 图如下：
图1 As在不同区域的浓度分布图
图2 Cd在不同区域的浓度分布图
颜色越深代表该处重金属浓度越高。
2.3.1、污染源位置模型的建立
（1）首先对题目所给的各个取样点位置和相应所属的区域作
图（如下），观察取样点的在各个区域的分布状况.
4
x 10 2 1.8 1.6 1.4
生活区 工业区 山区 交通区 公园区
1.2
Y
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
图3采样点图X
4
x 10
通过观察图可发现工业区,生活区,公园绿林区,山区及交通区分布不够集中,
1.4、问题四的分析
问题四研究的是城市地质环境的演变模式。由于土壤的紧实程 度、质地、含水率对重金属污染物的运移产生重要影响，从而可 造成土壤中重金属污染物浓度空间分布的极大差异。所以当考虑 土壤环境时，我们根据土壤密度、土壤含水率、对流速度，通过 推导可建立重金属污染物浓度与时间、水平方向和铅垂方向的偏 微分方程。则此偏微分方程可用于求解新的条件下重金属污染的 时空分布。
占总变量 的百分率
累计贡献 率/%
/%
/%
F1 3.103 F2 1.575 F3 1.021
38.793 19.682 12.769
38.793 19.682 12.769
1.665 1.710 1.090
20.810 21.377 13.625
20.810 42.187 55.812
F4 0.766 F5 0.537
考虑到土壤的紧实程度、质地、含水率不同对重金属污染物的
运移产生重要影响，我们查找相关的资料，利用偏微分方程可得出 如下基本公式：
溶质在土壤中运移总通量是对流通量和水动力弥散通量的总和：
J
Jc
J dh
J wc
D
c z
d
S t
c t
Dij
c x j
x i
J wj c x j
S Kd C
i, j x, z
城市表层土壤重金属污染分析
目录
1 问题的理解和分析 2 模型的建立与求解 3 模型的评价与改进
4
一、问题的理解和分析
1.1、重金属元素的空间分布和不同区域的污染程度
问题一要求给出8种重金属在该城区的空间分布并分析不同 区域的污染程度，我们根据题中采样点重金属的位置和浓度等 信息，借助surfer软件来画出重金属元素的空间分布图。
分为8类为止，而权系数最大的类中的采样点作为污染源。
通过以上的过程，建立各个污染源与其相应分类的距离表如下：（其中的每 一类对应着相应的坐标和样本号）
类别
第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 第七类 第八类
污染物
Cu 0.012 2.126 0.155 0.269 9.143 0.442 1.330 1.232
9.570 6.709
9.570 6.709
1.058 0.995
13.227 69.039 12.343 81.482
F6 0.448 5.595 5.595 0.931 11.635 93.117
通过数据分析得到重金属污染的主要原因：工业“三废”，交通机 动车尾气排放，人类生活废水的排放等。
2.3、重金属传播特性和污染源位置模型的建立
（2）计算标准化数据的相关系数阵，并进行正交变换。
x1' 1
x1' 2
x1' m
X'
xi'j
nm
x2' 1
x2' 2
x2'
n
xn' 1 xn' 2 xn' n
（3）计算各因子对重金属污染的累积贡献率如下：
旋转前
旋转后
因子
总的特征 值
占总变量 的百分率
累计贡献 率/%
总的特征 值
（3）在问题三中我们采用数理统计中的聚类法，将具有共性的采样 点归为一类来确定具体的污染源的位置，这种思想是比较恰当的。
模型的改进：
由于传统的内梅罗公式存在以下缺点： （1）过分突出极大值对土壤重金属污染的影响； （2）未考虑次大值对土壤重金属污染的影响；
所以，现将内梅罗指数法进行改进，则改进公式为：
2.2、重金属污染原因模型的建立
（1）首先我们建立各样品与各污染物浓度的含量矩阵
x11 x12 x1m
X
xij
nm
x21
x22
x2
m
xn1
xn2
xnm
然后对此浓度矩阵进行规格化，以消除量纲的影响：
x'
xij - x jmin xi max- x jmin
其中 x jmax ， x jmin 分别为第j个变量的最大值和最小值.显然0 xi'j 1
对于不同区域的污染程度，我们分别从生活区、工业区、 山区、主干道路区及公园绿地区进行考虑，以污染指数来表现 污染程度，首先根据单因子指数法求出每种重金属的污染指数， 再利用内梅罗指数法分别求解出五类区域综合污染指数，最后 依据土壤综合污染程度分级标准，来评价每个区域的污染程度。
1.2、重金属污染的主要原因
Hg 1.378 4.056 12.41 8.053 -0.114 12.62 2.396 4.775 Zn 8.098 1.965 0.064 -0.178 -0.167 0.040 0.220 0.057
由问题一的结果可见Cu,Hg,Zn在各个区域的土壤中含量较高,而其他重金属 虽然也含有，但是含量权系数较小，故我们主要以Cu，Hg和Zn为指标来寻找污 染源。通过比较分析上表可以发现：Cu在第五类的污染权系数最大，因此此类 中的相应点作为污染源。而第五类中的样品号为：18，32，37，38，47，48， 96，99，89，90，235，236，234，237，238，239，29，30；每个样品号都 对应相应的区域。
（1）由上述过程（2）可得距离矩阵D0 ；
（2）选择
为A p,q
D0
；
中最小非零元素，设为
d
pq
，则将样品p
与样品
q合为一类，记
（3）计算新类 A与其他类的距离：将样品 p与样品q 对应列距离取平均值作为类
与其他类的距离，则形成一个新的距离矩阵；
（4）对D1 重复上述步骤（2）、（3），得 D2，如此做下去，直到将所有样品
（2）内梅罗综合污染指数法
根据上面公式求得的 PI ,可得到一类区的综合污染指数公式：
P综
MaxPI 2
1 nj
nj
PI
I 1
2
2
通过上述过程的求解，可得到如下结果：
功能区 生活区 工业区 综合指数 3.1706 7.3583 污染程度 中度污染 重度污染
山区 1.2484 警界线
交通区 公园绿地区 3.8290 2.7344 中度污染 轻度污染
用这些样品号再与样品的点坐标对应即可做出重金属Cu相应的污 染源区域如下图示：
12000
Cu主 要 污 染 源 的 分 布 图
11000
10000
9000
Y
8000
7000
6000
5000 0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
X
图10 Cu污染源的分布图
2
2.2
4
x 10
2.4、重金属污染物在土壤中二维运移模型：
c 2c c
Rd
t
D z 2
v z
Rd
1
d kd
其中vz 表示纵向对流系数，v x 表示横向对流系数，Dz 表示纵向弥散
系数，D
表示横向弥散系数，
x
d
表示土壤密度，S表示的是单位质量土
壤中吸附的溶质的量。
由以上公式进行推导即可得到污染物在各方向同性土壤中运移基本方程：
Rd
cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt
Dx
2c x 2
用确切的位置坐标来代表污染源缺乏科学性,所以我们采用统计回归中的聚类
法,将题中所给的采样点进行聚类 。
（2）然后将重金属污染的浓度矩阵进行标准化、距离化处理可得 到如下矩阵：
（3）聚类法的具体过程
d11 d12 d1n
D0
d
21
d22
d2n
dn1 dn2 dnn
定义类与类之间的距离最近样品的距离，用 Dij表示。
由于使用附件中的大量数据来探究重金属污染的主要原因， 在直观上难以发现，而多元分析法可以将多个变量转化为少数 几个线性不相关的综合指标来简化数据处理，即用少数具有代 表性的因子来代表众多变量所要提取的主要信息。故我们首先 建立重金属污染浓度矩阵，然后标准化处理消除量纲的影响， 进而借助matlab求得各因子对重金属污染的累积贡献率，依此 数据来分析重金属污染的主要原因。
2.1.2、城区重金属污染程度
（1）单因子污染指数法
其计算公式为：
Pi Ci Bi
其中 Pi 为土壤中金属元素的污染指数， 为重金属的种
类，Ci为 i金属元素的实测浓度，为城区土壤重金属的环境背
景值。则单项污染综合指数式为：
PI
1 nj
nj
Pi
i 1
其中PI为重金属元素的 nj 个采样点的污染综合指数，n为一类区中的 采样点数，其他符号跟上述相同。
1.3、污染源位置
通过对图中的各个区域作图，观察分析发现五类区域分布 比较分散,用确切的坐标位置来代表污染源，这种方法缺乏科学 性,而且我们也知道，污染源不止一个，那么作为同一种重金属 的污染源，应该有一定的共性。根据常识可知，污染源处的金 属浓度应该很高，所以污染源的重金属高浓度是它们的相似性。 我们通过分析得出重金属主要通过物理沉降和水平流动方式进 行传播的特性，进而借用数理统计中的聚类分析法建立重金属 污染浓度系数矩阵，然后进行标准化、距离化处理，再根据其 污染权系数进行分类，最后把污染权系数最大的类别中的采样 点所代表的区域作为污染源。
Pj
F' max
2
1 nj
nj
2
PI
I 1
2
F
' m
ax
2
Max
PI
PI
2
PI
1 nj
nj
PI
I 1
这样改进可以防止过分突出极大值对土壤重金属污染的 影响，同时也考虑了次大值的影响 。