高三数学12月一模考试试题含解析 试题

松江区2021届高三数学12月一模考试试题〔含解析〕
一.填空题〔本大题一一共12题，1-6每一小题4分，7-12每一小题5分，一共54分〕
{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，那么A B ⋂=_____ 【答案】{}12，
【解析】 【分析】
求解不等式化简集合A ，再由交集的运算性质得答案． 【详解】由集合A 得x 1≥,所以{}A B 1,2⋂= 故答案为{}1,2
【点睛】此题考察了交集及其运算，是根底题． 的终边过点(4,3)P -，那么3sin()2
π
α+的值是_____________. 【答案】45
- 【解析】 【分析】
由题意可得 x ＝4，y ＝﹣3，r ＝5，再由任意角的三角函数的定义可得4
cos 5
α= ，由诱导公式化简，代入即可求解．
【详解】解：∵角α的终边过点P 〔4，﹣3〕，那么 x ＝4，y ＝﹣3，r ＝5，4cos 5
α=
， 34sin(
)cos 25
παα+=-=-． 【点睛】此题主要考察任意角的三角函数的定义，两点间的间隔 公式的应用，属于根底题．
3.设121i
z i i
-=
++，那么||z =______. 【答案】1. 【解析】
分析：首先求得复数z ，然后求解其模即可.
详解：由复数的运算法那么有：
()()()()
11122221112i i i
i z i i i i i i i ----=
+=+=+=++-， 那么：1z i ==.
点睛：此题主要考察复数的运算法那么，复数模的计算等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.
4.5
22x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中4x 项的系数为_______．
【答案】40 【解析】 【分析】
根据二项定理展开式，求得r 的值，进而求得系数．
【详解】根据二项定理展开式的通项式得()
52
1035
522r
r
r r r r
C x C x x --⎛⎫= ⎪
⎝⎭
所以1034r -= ，解得2r
所以系数22
5240C ⨯=
【点睛】此题考察了二项式定理的简单应用，属于根底题．
22
194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，假设椭圆上的点P 满足12||2||PF PF =，那么1||PF =________
【答案】4 【解析】
【分析】
根据椭圆定义，得到1226PF PF a +==，再由题中条件，即可得出结果.
【详解】由题意，在椭圆22194
x y +=中，1226PF PF a +==，
又122PF PF =，所以13
62
=PF ，因此14PF =. 故答案为：4
【点睛】此题主要考察椭圆上的点到焦点的间隔 ，熟记椭圆的定义即可，属于根底题型.
x 、y 的二元一次方程组42
mx y m x my m
+=+⎧⎨+=⎩无解，那么实数m =________
【答案】2- 【解析】 【分析】
根据方程组无解，得到直线42+=+mx y m 与直线+=x my m 平行，根据两直线平行的充要条件，即可求出结果.
【详解】因为关于x 、y 的二元一次方程组42
mx y m x my m
+=+⎧⎨
+=⎩无解，
所以直线42+=+mx y m 与直线+=x my m 平行，
所以24024
m m m m ⎧-=⎪
⎨+≠⎪
⎩，解得：2m =-.
故答案为：2-
【点睛】此题主要考察由方程组无解求参数，熟记直线与直线平行的断定条件，灵敏运用转化与化归的思想即可，属于常考题型.
(1,2)a =，(,3)b m =-，假设向量(2)a b -∥b ，那么实数m =________
【答案】32
- 【解析】 【分析】
先由题意，得到2(12,8)-=-a b m ，根据向量一共线的坐标表示，得到
()12(3)80-⨯--=m m ，求解，即可得出结果.
【详解】因为向量(1,2)a =，(,3)b m =-，所以2(12,8)-=-a b m ， 又(2)a b -∥b ，所以()12(3)80-⨯--=m m ，即230m +=，
解得：32m =-
. 故答案为：3
2
-
【点睛】此题主要考察由向量一共线求参数，熟记向量一共线的坐标表示即可，属于常考题型.
()y f x =存在反函数1()y f x -=，假设函数()2x y f x =+的图像经过点(1,6)，那么函数
12()log y f x x -=+的图像必经过点________
【答案】(4,3) 【解析】 【分析】
先由题意，得到6(1)2=+f ，推出函数()y f x =的图像过点(1,4)，其反函数过点(4,1)，求出1
(4)1-=f
，得到12(4)log 4123-+=+=f ，进而可求出结果.
【详解】因为函数()2x y f x =+的图像经过点(1,6)，
所以6(1)2=+f ，因此(1)4f =，即函数()y f x =的图像过点(1,4)
又()y f x =存在反函数1()y f x -=，所以1
()y f x -=的图像过点(4,1)，
即1
(4)1-=f
，所以12(4)log 4123-+=+=f ，
即函数12()log y f x x -=+的图像必经过点()4,3. 故答案为：()4,3
【点睛】此题主要考察反函数的应用，熟记反函数的性质即可，属于常考题型.
{}n a 中，假设121
lim()3
n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=，那么1a 的取值范围是________
【答案】112(0,)
(,)333
【解析】 【分析】
先设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，得到1q <且0q ≠，
11
13
=-a q ，分别讨论10q -<<，和01q <<，即可得出结果.
【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，那么其前n 项和为：11
(1)
,11,1n n a q q S q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩，
假设1q =时，1211lim()lim 3
→∞
→∞
++⋅⋅⋅+=≠
n n n a a a na ， 假设1q ≠时，112(1)1
lim()lim 13
→∞→∞-++⋅⋅⋅+==-n n n n a q a a a q ， 因此1q <且0q ≠，
1113=-a q ，即()11
13
=-a q ， 所以当10q -<<时，()11121,333⎛⎫
=
-∈ ⎪⎝⎭
a q ； 当01q <<时，()11110,33⎛⎫
=
-∈ ⎪⎝⎭
a q .
因此，1a 的取值范围是1
12(0,)
(,)333
.
故答案为：112(0,)
(,)333
【点睛】此题主要考察由等比数列的极限求参数的问题，熟记极限的运算法那么，以及等比数列的求和公式即可，属于常考题型.
ax b
y cx d
+=
+的大致图像如图，假设函数图像经过(0,1)-和(4,3)-两点，且1x =-和2y =是其两条渐近线，那么:::a b c d =________
【答案】2:1:1:1- 【解析】 【分析】
先由函数图像，得到函数ax b
y cx d +=+关于()1,2-对称，推出02c d a c -+=⎧⎪⎨=⎪⎩，化原函数为
2+=
+cx b
y cx c
，再由函数图像所过定点，即可求出参数，得出结果.
【详解】由图像可得：函数ax b
y cx d
+=
+关于()1,2-对称， 所以有0
2c d a c
-+=⎧⎪⎨=⎪⎩，即2c d a c =⎧⎨=⎩，因此2++==++ax b cx b
y cx d cx c ，
又函数图像经过(0,1)-和(4,3)-两点，
所以1834b
c
c b c c
⎧=-⎪⎪⎨-+⎪=⎪-+⎩，解得：11b c =-⎧⎨=⎩，因此12d a =⎧⎨=⎩，
所以:::2:1:1:1=-a b c d . 故答案为：2:1:1:1-
【点睛】此题主要考察由函数图像求参数，熟记函数的对称性，以及待定系数法求函数解析式即可，属于常考题型.
,0a b >，满足abc a b c =++，221a b +=，那么实数c 的最小值为________
【答案】- 【解析】 【分析】
先由题意，根据根本不等式，得到12≤
ab ，得出1
12
-≤-ab ，再由221a b +=，得到()2
12+-=a b ab ，根据abc a b c =++得()
()()()
2
22
33+==+-+-+a b c a b a b a b ，令
=+t a b
，根据题意得到(
=+∈t a b ，由函数单调性，得到3
=-y t t 的最值，进而
可求出结果.
【详解】因为,0a b >，221a b +=，所以2212a b ab +=≥，即1
2
≤ab ，当且仅当a b =时，取等号；因此111122
-≤
-=-ab ， 又221a b +=，所以22212++=+a b ab ab ，即()2
1
2
+-=
a b ab ，
由abc a b c =++得1
+=
-a b
c ab ，所以()
()
()()
2
22
33
+=
=
+-+-
+a b c a b a b a b ， 令=+t a b
，因为
+=
==a b ，当且仅当
a b =时取等号.
所以(
=+∈t a b ， 又易知函数3
=-
y t t
在(
t ∈上单调递增，
因此3=-
≤=y t t 因此
()(
)
2
23
3
=
=
≥=-+-
-+c a b t a b t
即实数c
的最小值为-.
故答案为：-
【点睛】此题主要考察由根本不等式求最值，熟记根本不等式即可，属于常考题型.
1A 、2A 、3A 、4A 、5A 、6A ，集合{|(,1,2,3,4,5,6,)}i j M a a A A i j i j ===≠，在M 中
任取两个元素m 、n ，那么0m n ⋅=的概率为________ 【答案】
851
【解析】 【分析】
先以41A A 的中点为坐标原点O ，以41A A 所在直线为x 轴，以41A A 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，得到各顶点坐标，列举出集合M 中所有元素，以及满足条件的组合，根据古典概型的概率计算公式，即可求出结果.
【详解】以41A A 的中点为坐标原点O ，以41A A 所在直线为x 轴，以41A A 的垂直平分线为y 轴，建立如下图的平面直角坐标系，
因为正六边形的边长为1，
所以易得：()11,0A -、2132⎛- ⎝⎭A 、313,22⎛ ⎝⎭A 、()41,0A 、513,22⎛- ⎝⎭A 、613,22⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭
A ， 因此12541
32⎛== ⎝⎭A A A A ，1364332⎛== ⎝⎭
A A A A ，()142,0=A A ，()412,0=-A A ，152433,22⎛==- ⎝⎭A A A A ，163413,22⎛==- ⎝⎭A A A A ，214513,22⎛==- ⎝⎭
A A A A ，
()23651,0==A A A A ，(251,3=-A A ，(523=-A A ，(26350,3==-A A A A ，314633,22⎛==- ⎝⎭
A A A A ，()32561,0==-A A A A ，(361,3=-A A ，(633=A A ，425133,22⎛==- ⎝⎭A A A A ，436113,22⎛==- ⎝⎭
A A A A ，(53623==A A A A ；
一共18个向量.
因此{|(,1,2,3,4,5,6,)}i j M a a A A i j i j ===≠中含有18个不同的元素.
又在M 中任取两个元素m 、n ，满足0m n ⋅=的有：132⎛ ⎝⎭与33,2⎛ ⎝⎭或者33,22⎛- ⎝⎭；13,2⎛- ⎝⎭与33,2⎛ ⎝⎭或者3322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭； 13,2⎛ ⎝⎭与332⎛ ⎝
⎭或者
33,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭与33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
或者33,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；()2,0与()
0,3-或者()
0,3；()2,0-与()0,3-
或者()0,3； ()1,0与()0,3-或者()0,3；()1,0-与()
0,3-或
者(
)0,3；()
1,3与33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；()
1,3--与33,22⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
或者33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；()1,3-与33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭；()
1,3-与33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
或者33,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
；一共24种选法，又由m 、n 的任意性，因此满足0m n ⋅=的情况一共有：222448=A 种；
又在M 中任取两个元素m 、n ，一共有2
2
182C A 种情况； 因此，满足0m n ⋅=的概率为：22
182488
51
=
=P C A . 故答案为：
8
51
【点睛】此题主要考察古典概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型. 二.选择题〔本大题一一共4题，每一小题5分，一共20分〕 13.l 是平面α的一条斜线，直线m
α，那么〔 〕
A. 存在唯一的一条直线m ，使得l m ⊥
B. 存在无限多条直线m ，使得l m ⊥
C. 存在唯一的一条直线m ，使得l ∥m
D. 存在无限多条直线m ，使得l ∥m
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，作出图形，结合直线与直线，直线与平面位置关系，即可得出结果. 【详解】因为l 是平面α的一条斜线，直线m
α，画出图形如下：
显然在平面内必存在直线m 与直线l 垂直， 且平面内有无数条直线与直线m 平行， 故存在无限多条直线m ，使得l m ⊥. 应选：B
【点睛】此题主要考察直线与直线位置关系的断定，熟记线面，线线位置关系即可，属于常考题型.
,x y ∈R ，那么“2x y +>〞是“x 、y 中至少有一个数大于1〞的〔 〕
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.
【详解】假设2x y +>，那么x 、y 中至少有一个数大于1，即“2x y +>〞是“x 、y 中至少有一个数大于1〞的充分条件，
反之，假设“x 、y 中至少有一个数大于1〞，那么x y +不一定大于2，如：2,1x y ==-； 因此，“2x y +>〞是“x 、y 中至少有一个数大于1〞的充分不必要条件. 应选：A
【点睛】此题主要考察命题的充分不必要条件，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.
,b c R ∈，使2++≤x bx c M 对任意的[]0,4x ∈恒成立，那么〔 〕
A. M 的最小值为1
B. M 的最小值为2
C. M 的最小值为4
D. M 的最小值为8
【答案】B 【解析】 【分析】
先令2
()f x x bx c =++，由题意，得到(0)(4)()2f M
f M b f M
⎧
⎪≤⎪⎪≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，推出2164222
c M b c M b c M ⎧⎪≤⎪⎪++≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，
三式相加得2
221644-++++≤b c b c c M ，根据绝对值不等式的性质定理，得到22
216416422-++++≥++b b c b c c b ，再由题中存在,b c R ∈，使结论成立，可得：只需2
min
44126≥++b M b ，进而可得出结果. 【详解】因为2
++≤x bx c M 对任意的[]
0,4x ∈恒成立，令2
()f x x bx c =++，
那么只需(0)(4)()2f M f M b f M ⎧
⎪≤⎪⎪
≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，即2
1644c M b c M b c M
⎧⎪≤⎪⎪++≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，所以2164222
c M b c M b c M ⎧⎪≤⎪⎪++≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，
所以以上三式相加可得：2
22
1644-++++≤b c b c c M ，
由绝对值不等式的性质定理可得：
222
21642162224416-++++≥-++++=++b b b c b c c c b c c b ， 因此只需()222min min
min 14416412822648⎛⎫⎛⎫
≥++=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b b M b b b
即2M ≥. 应选：B
【点睛】此题主要考察求最值的问题，熟记绝对值不等式的性质，以及不等式的性质即可，属于常考题型.
{1,2,3,,10}M =⋅⋅⋅，集合A M ⊆，定义()M A 为A 中元素的最小值，当A 取遍M 的所有
非空子集时，对应的()M A 的和记为10S ，那么10S =〔 〕 A. 45 B. 1012 C. 2036 D. 9217
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意先确定()M A 可能取的值是1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，再得到对应的个数，根据错位相减法，即可求出结果.
【详解】因为集合{1,2,3,,10}M =⋅⋅⋅，集合A M ⊆，()M A 为A 中元素的最小值，当A 取遍M 的所有非空子集，由题意可得：()M A 可能取的值是1,2,3,4,5,6,7,8,9,10， 那么一共有92个1；82个2；72个3；62个4；……，02个10；
因此98760
102223242102=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯S ， 所以109871
1022223242102=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯S ，
两式作差得1010
9
8
7
6
1
102(12)
222222101012
--=------⋅⋅⋅-+=-+-S
112122036=-+=-，
所以102036=S . 应选：C
【点睛】此题主要考察含n 个元素的集合的子集的应用，以及数列的求和，熟记错位相减法求和，会求集合的子集个数即可，属于常考题型.
三.解答题〔本大题一一共5题，一共14+14+14+16+18=76分〕
17.如图，圆锥的底面半径2OA =，高6PO =，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点.
〔1〕求圆锥的侧面积和体积；
〔2〕求异面直线CD 与AB 所成角的大小.〔结果用反三角函数表示〕 【答案】〔1〕侧面积410π，体积8π；〔2〕14
14
. 【解析】 【分析】
〔1〕根据圆锥的侧面积公式，以及体积公式，结合题中数据，即可得出结果；
〔2〕先由题意，得到OC ，OB ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，以OC ，OB ，OP 所
在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出()2,1,3=--CD ，
()0,4,0AB =，根据向量夹角公式，即可求出结果.
【详解】〔1〕因为圆锥的底面半径2OA =，高6PO =， 所以其母线长为22210=
+=PA PO OA ，
因此圆锥的侧面积为1
24102
ππ=⋅⋅⋅=S PA OA ； 体积为：21
83
ππ=
⋅⋅⋅=V OA PO ； 〔2〕由题意，易得：OC ，OB ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，以OC ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如下图的空间直角坐标系， 那么(2,0,0)C ，(0,2,0)A -，(0,2,0)B ，(0,0,6)P ， 又点D 是母线PA 的中点，所以(0,1,3)-D ， 因此()2,1,3=--CD ，()0,4,0AB =， 记异面直线CD 与AB 所成角的大小为θ， 所以414cos cos ,14
144
θ⋅-=<>=
=
=
⨯CD AB CD AB CD AB
， 因此，异面直线CD 与AB 所成角的大小为14arccos
14
.
【点睛】此题主要考察求圆锥的侧面积与体积，以及异面直线所成的角，熟记圆锥的侧面积
公式与体积公式，以及空间向量的方法求异面直线所成的角即可，属于常考题型.
2()cos 2sin f x x x x =-.
〔1〕求()f x 的最大值；
〔2〕在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，假设()0f A =，b 、a 、
c 成等差数列，且2AB AC ⋅=，求边a 的长.
【答案】〔1〕最大值为1；〔2〕2a =. 【解析】 【分析】
〔1〕先将函数解析式化简整理，得到()2sin 216f x x π⎛
⎫
=+- ⎪⎝
⎭
，根据正弦函数的性质，即可得出最大值；
〔2〕先由题意得到1sin 262A π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，求出3
A π=；由b 、a 、c 成等差数列，得: 2a b c =+；由2A
B A
C ⋅=得4bc =，再由余弦定理，即可得出结果.
【详解】〔1〕
2()cos 2sin 2(1cos2)2cos21=-=--=+-f x x x x x x x x
2sin 216x π⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭，
由x ∈R 可得26π
+
∈x R ，因此1sin 216x π⎛
⎫-≤+≤ ⎪⎝
⎭，
所以max ()211=-=f x ；
〔2〕由()0f A =得2sin 2106π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭A ，即1sin 262A π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭， 又0A π<<，所以
1326
6
6π
π
π<+
<
A ，因此5
266ππ+=A ，所以3
A π=；
由b 、a 、c 成等差数列，可得: 2a b c =+； 又2AB AC ⋅=，所以1
cos 22
=
=bc A bc ，即4bc =， 由余弦定理可得：222222cos ()22cos 412=+-=+--=-a b c bc A b c bc bc A a ， 解得：2a =.
【点睛】此题主要考察求正弦型函数的最大值，以及解三角形，熟记正弦函数的性质，以及余弦定理即可，属于常考题型.
19.汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的间隔 〔并结合车速转化为所需时间是〕，当此间隔 等于HY 间隔 时就开场HY 提醒，等于危险间隔 时就自动刹车，某种算法〔如下列图所示〕将HY 时间是划分为4段，分别为准备时间是0t 、人的反响时间是1t 、系统反响时间是2t 、制动时间是3t ，相应的间隔 分别为0d 、1d 、2d 、3d ，当车速为v 〔米/秒〕，且[0,33,3]v ∈时，通过大数据统计分析得到下表〔其中系数k 随地面湿滑等路面情况而变化，[0.5,0.9]k ∈〕.
阶段 0、准备 1、人的反响 2、系统反响 3、制动
时间是
0t 10.8t =秒 20.2t =秒 3t
间隔
020d =米 1d 2d 2
3120d v k
=
米
〔1〕请写出HY 间隔 d 〔米〕与车速v 〔米/秒〕之间的函数关系式()d v ，并求0.9k =时，
假设汽车到达HY 间隔 时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，那么汽车撞上固定障碍物的最短时间是〔准确到0.1秒〕；
〔2〕假设要求汽车不管在何种路面情况下行驶，HY 间隔 均小于80米，那么汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时？
【答案】〔1〕22020v d v k
=++，最短时间是3.1秒〔2〕汽车的行驶速度应限制在20米/秒，
合72千米/小时 【解析】 【分析】
〔1〕根据题意，得到0123=+++d d d d d ，结合题中数据，即可得出函数关系式；再由
0.9k =，得到汽车撞上固定障碍物的最短时间是20118
=
=++d v t v v ，根据根本不等式，即可求出最值；
〔2〕根据题意，得到当0.5k =时，HY 间隔 最大，推出22
2020802010
++≤++<v v v v k ，
求解即可得出结果.
【详解】〔1〕由题意：HY 间隔 2
01232020=+++=++v d d d d d v k ，
当0.9k =时，2
2018
=++v d v ，
那么汽车撞上固定障碍物的最短时间是为：
20111 3.118==++≥=+≈d v t v v 秒；
〔2〕由题意可得：2
208020v d v k
=++<，因为[0.5,0.9]k ∈， 所以当0.5k =时，HY 间隔 最大，
因此，只需：2
208010
++<v v ，解得：3020-<<v ，所以汽车的行驶速度应限制在20米/
秒，合72千米/小时.
【点睛】此题主要考察函数模型的应用，以及根本不等式的应用，熟记根本不等式，以及不等关系即可，属于常考题型.
2:4y x Γ=的焦点为F ，
经过x 轴正半轴上点(,0)M m 的直线l 交Γ于不同的两点A 和B .
〔1〕假设||3FA =，求点A 的坐标；
〔2〕假设2m =，求证：原点O 总在以线段AB 为直径的圆的内部；
〔3〕假设||||FA FM =，且直线1l ∥l ，1l 与Γ有且只有一个公一共点E ，问：△OAE 的面积是否存在最小值？假设存在，求出最小值，并求出M 点的坐标，假设不存在，请说明理由.
【答案】〔1〕(2,2)±；〔2〕证明见解析；〔3〕存在，最小值2，(3,0)M . 【解析】 【分析】
〔1〕由抛物线方程以及抛物线定义，根据||3FA =求出横坐标，代入2
4y x =，即可得出点的坐标；
〔2〕设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程是：2x my =+，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，以及向量数量积运算，得到12120OA OB x x y y ⋅=+<，推出AOB ∠恒为钝角，即可得结论成立；
〔3〕设()11,A x y ，那么110≠x y ，由||||FA FM =得1(2,0)+M x ，推出直线AB 的斜率
12=-
AB y k ．设直线1l 的方程为12
y
y x b =-+，代入抛物线方程，根据判别式等于零，得12b y =-
．设(),E E E x y ，那么1
4E y y =-，21141
E x y x ==，由三角形面积公式，以及根本
不等式，即可求出结果.
【详解】〔1〕由抛物线方程知，焦点是(1,0)F ，准线方程为1x =-，
设()11,A x y ，由||3FA =及抛物线定义知，12x =，代入24y x =
得y =± 所以A
点的坐标(2,A
或者(2,A - 〔2〕设()11,A x y ，()22,B x y ， 设直线AB 的方程是：2x my =+，
联立224x my y x =+⎧⎨=⎩
，消去x 得：2
480y my --=，由韦达定理得121248y y m y y +=⎧⎨=-⎩，
所以1212OA OB x x y y ⋅=+22
2
12121212()4804416
y y y y y y y y =⋅+=+=-<，
故AOB ∠恒为钝角，
故原点O 总在以线段AB 为直径的圆的内部． 〔3〕设()11,A x y ，那么110≠x y ，
因为||||FA FM =，那么111-=+m x ，由0m >得12=+m x ，故1(2,0)+M x ． 故直线AB 的斜率1
2
=-
AB y k ． 因为直线1l 和直线AB 平行，设直线1l 的方程为1
2
y y x b =-
+，代入抛物线方程 得211880b y y y y +
-=，由题意21164320b y y ∆=+=，得1
2b y =-． 设(),E E E x y ，那么1
4E y y =-
，21141
E x y x ==，
11
1111
1
1
001
4111222141
OAE
y x S x y x y x y ∆==+≥-，
当且仅当
11
11
4y x x y =，即22
114y x =时等号成立， 由22
1121
144y x y x ⎧=⎨=⎩得2
1144x x =，解得11x =或者10x =〔舍〕，
所以M 点的坐标为(3,0)M ，min ()2OAE S ∆=.
【点睛】此题主要考察求抛物线上的点，以及抛物线中三角形面积的最值问题，熟记抛物线的HY 方程，以及抛物线的简单性质即可，属于常考题型，但计算量较大.
{}n a 满足：①n a ∈N 〔*n ∈N 〕；②当2k n =〔*k ∈N 〕时，2
n n
a =
；③当2k n ≠〔*k ∈N 〕时，1n n a a +<，记数列{}n a 的前n 项和为n S . 〔1〕求1a ，3a ，9a 的值；
〔2〕假设2020n S =，求n 的最小值；
〔3〕求证：242n n S S n =-+的充要条件是211n a +=〔*n ∈N 〕.
【答案】〔1〕10a =，30a =或者1，90a =或者1；〔2〕115；〔3〕证明见解析. 【解析】 【分析】
〔1〕先根据题中条件，求出21a =，42a =，168a =，再结合题意，即可得出结果； 〔2〕先由题意，得到1
22
()k k a k N -*=∈，当122k k n -<≤(,)n k N *∈时，
1111212223202k k k k k a a a a ----+++≤<<<
<=，由于n a N ∈，所以121k m a m -+=-或者m ，
11,2,3,
,2 1.k m -=-分别求出()64max S ，()128max S ，进而可求出结果；
〔3〕先由242n n S S n =-+，根据题中条件，求出21+n a ，证明必要性；再由211()n a n N *+=∈，
求出242n n S S n =-+，证明充分性即可.
【详解】〔1〕因21a =，12a a <，且1a 是自然数，10a ∴=；
42a =，340a a ≤<，且34,a a 都是自然数；∴30a =或者31a =； 168a =，9101608a a a ≤<<
<=，且*()i a N i N ∈∈，∴90a =或者91a =．
〔2〕由题意可得：1
22
()k k a k N -*=∈，当122k k n -<≤(,)n k N *∈时， 1111212223202k k k k k a a a a ----+++≤<<<
<=，由于n a N ∈，
所以121k m a m -+=-或者m ，11,2,3,
,2 1.k m -=-
∴()64max (01)(12)(1234)(128)(1216)S =++++++++++
+++++
23458916173233
(1232)171422222
⨯⨯⨯⨯⨯++++=+
++++=，()128max 6465
71427942
S ⨯=+
=， 71420202794<<，64128n ∴<<，
又20207141306-=，
123501275130612350511326++++=<<+++++=
所以min 6451115n =+=
〔3〕必要性：假设242n n S S n =-+， 那么：122422n n n
S S +=-+①
122214(21)2n n n S S +++=-++②
①-②得：1121222141()n n n a a a n N ++*
++++=-∈③
由于1121220,1n n a a ++++=⎧⎨=⎩或者1121221,2n n a a ++++=⎧⎨=⎩或者1121220
2
n n a a ++++=⎧⎨=⎩，且210,n a +=或者1
只有当112121221,1,2n n n a a a +++++===同时成立时，等式③才成立，
211()n a n N *+∴=∈；
充分性：假设211()n a n N *
+=∈，由于1212223212n n n n n a a a a ++++=<<<<=
所以2(,,2)n n
k a k n N k N k *
*
+=∈∈≤，
即211n a +=，222n a +=，233n a +=，…，12121n n a +-=-，又122n n
a +=
所以对任意的n *∈N ，都有2211n n a a -=+…〔I 〕
另一方面，由2n k a k +=，1222n k a k ++=(,,2)n n N k N k **∈∈≤ 所以对任意的n *∈N ，都有22n n a a =…〔II 〕
21221321242()()n n n n S a a a a a a a a a -∴=+++=++++++
+
2422232()24()n n a a a n a a a a n =++
+-=+++
+-，
由于120,1a a ==2124()242n n n S a a a n S n ∴=+++-+=-+.
【点睛】此题主要考察数列的综合应用，熟记等差数列与等比数列的求和公式，由递推关系求通项公式的方法，以及充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型，难度较大.
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。

敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。