高三数学12月摸底考试试题 文 试题

卜人入州八九几市潮王学校二中2021届高
三数学12月摸底考试试题文
本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，一共2页。

总分值卡和答题纸规定的地方。

第一卷〔选择题一共50分〕
一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分. 1．设集合{}(){}1,0,1,2,110M N x g x M N =-=+>⋂=，则()
A.
{}01，B.{}012，，C.{}1,2 D.{}101-，，
2．复数z 满足4312i
z i
+=
+，则z=() A.2i +
B.2i -
C.12i +
D.12i -
3．平面向量,a b ，
1,2,25a b a b ==-=，那么向量,a b 的夹角为()
A.
6
π
B.
3
π
C.
4
π
D.
2
π
4．() A.2,2
x
x R x ∀∈> B.,0x x R e ∃∈<
C.假设,a b c d >>，那么a c b d ->-
D.2
2
ac bc <是a b <的充分不必要条件
5．实数,x y 满足401010x y y x +-≤⎧⎪
-≥⎨⎪-≥⎩
，那么22(1)z x y =-+的最大值是()
A ．1
B ．9
C ．2
D ．11
6．将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是() A.12
x
π
=-
B.12
x π
=
C.6
x π
=
D.3
x π
=
7．执行如下列图的程序框图，输出的i 为() A.4
B.5
C.6
D.7
8．函数
()()2,14x f x ax e f '=--=-，那么函数()y f x =的零点所
在的区间是()
A.
()3,2--
B.
()1,0- C.()0,1 D.()4,5
9．假设函数
)(log )(b x x f a +=的大致图像如右图，
其中b a ,为常数，那么函数b a x g x +=)(的大致图
象是() ABCD
10．设函数
()()()2log ,0112f x x a b f b f a a b =<<<=++若且，则的取值范围为()
A.
[)4,+∞ B.
()4,+∞
C.
[)5,+∞
D.
()5,+∞
第二卷〔非选择题一共100分〕
二、填空题:本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分.
11．设函数
3(1)()3
(1)
x
x b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，假设
1
(())92
f f =，那么实数b 的值是______
12.设θ为第二象限角，假设1
tan()32
θ
π+=，那么sin 3cos θθ+=______
13．等比数列{a n }的前6项和S 6＝21，且4a 1、a 2、a 2成等差数列，那么a n =______ 14．球的直径4PC
=，,A B 在球面上，2AB =，45CPA CPB ∠=∠=︒，那么棱锥P ABC -的
体积为______
15．函数
()31
,1
,1x f x x
x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩
，假设关于x 的方程()f x x m =+有两个不同的实根，那么m 的取值范围为______
三、解答题：本大题一一共6小题，一共75分.
16．〔本小题总分值是12分〕 向量(1,cos 2),(sin 2,3)a
x b x ==-，函数()f x a b =⋅．
〔1〕假设
26
23
5
f θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos2θ的值；
〔2〕假设0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，求函数()f x 的值域． 17．〔本小题总分值是12分〕
为增强民的环保意识，面向全征召宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如下列图．
〔1〕假设从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取 6名志愿者参加的宣传活动，应从第3，4，5组 各抽取多少名志愿者？
〔2〕在〔Ⅰ〕的条件下，决定在这6名志愿者中 随机抽取2名志愿者介绍宣传经历，求第4组至少有 一名志愿者被抽中的概率． 18．〔本小题总分值是12分〕
()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()(2)e 2x f x x -=+-
〔1〕当x ＞0时，求()f x 的解析式；
〔2〕假设[02]x ∈，时，方程()f x m =有实数根，务实数m 的取值范围．
19．〔本小题总分值是12分〕
在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧面SAD 为边长为2的正三角形，且面SAD ⊥面ABCD ，AB=，E 、 F 分别为AD 、SC 的中点；
〔1〕求证：BD ⊥SC ； 〔2〕求四面体EFCB 的体积. 20．〔本小题总分值是13分〕
数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n S +=-〔*n ∈N 〕.
〔1〕求数列{}n a 的通项公式；
〔2〕令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 21．〔本小题总分值是14分〕
设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数．
〔1〕当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
〔2〕求证：
1
()0f a
≤； 〔3〕假设函数()f x 有且只有1个零点，求a 的值．
高三数学文科考试试题
参考答案
一.选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分〕
二、填空题:本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分
112
-5-321
-n 4.334 15.39
23920-<<
<
m m 或 三.解答题 16．解： 〔1
〕∵向量(1,cos 2),(sin 2,a
x b x ==，
∴
()sin 222sin(2)3
f x a b x x x π
=⋅==-，
∴
246()2sin()2sin 23335
f ππθθπθ+=+-=-=， 那么3sin 5θ
=-
，2
cos 212sin θθ=-97122525
=-⨯=； 〔2〕由[0,
]2
x π
∈，那么22[,]3
33
x π
ππ
-
∈-
，
∴
sin(2)[,1]32
x π-∈-，
那么
()[f x ∈．那么()f x
的值域为[．
17．解：
〔1〕第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20,
第5组的人数为0.1×100=10.
因为第3,4,5组一共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:
第3组:
3060×6=3；第4组:2060×6=2；第5组:1060
×6=1； 即应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. 〔2〕记第3组的3名志愿者为1A ,2A ,
3A ,第4组的2名志愿者为1B ,2B ,第5组的1名志愿者为1C .
那么从6名志愿者中抽取2名志愿者有: (1A ,2A ),(1A ,3A ),(1A ,1B ),(1A ,2B ),(1A ,1C ),
(2A ,3A ),(2A 1B ),(2A ,2B ),(2A ,1C ),
(
3A ,1B ),3A ,2B ),(3A ,1C ),
(1B ,2B ),(1B ,1C ),(2B ,1C ),一共有15种.
其中第4组的2名志愿者1B ,2B 至少有一名志愿者被抽中的有: (1A ,1B ),(1A ,2B ),(2
A 1
B ),(2A ,2B ),(3A ,1B ),(3A ,2B ),(1B ,2B ),
(1B ,1C ),(2B ,1C ),一共有9种, 所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为93
155
= 18．解：
(1)当x ≤0时，()(2)e 2x f x x -=+-，
当x ＞0时，那么－x ＜0时，()(2)e 2x f x x -=-+-， 由于()f x 奇函数，那么()()[(2)e 2]x f x f x x =--=--+-， 故当x ＞0时，()(2)e 2x f x x =-+． (2)当0x =时，(0)0f =．
当02x <≤时，()(2)e 2x f x x =-+，()(1)e x f x x '=-，由()0f x '=，得1x =，
当01x <<时，()0f x '<，当12x <<时，()0f x '>，那么()f x 在(0,1)上单调递减；在(1,2)上单
调递增．那么()f x 在1x =处获得极小值(1)2e f =-， 又(0)0f =，(2)2f =，故当02x <≤时，()[2e 2]f x ∈-，． 综上，当[02]x ∈，时，()[2e 2]f x ∈-，， 所以实数m 的取值范围是[2e 2]-，．
19．解：
〔1〕证明：连接BD ，设BD ∩CE=O 易证：△CDE ∽△BCD ∴∠DBC=∠ECD ∵∠DBC+∠BDC=90
∴∠ECD+∠BDC=90∴∠COD=90
∴BD ⊥CE
∵△SAD 为正三角形，E 为AD 中点∴SE ⊥AD 又∵面SAD ⊥面ABCD ，且面SAD ∩面ABCD=AD ∴SE ⊥面ABCD ∵BD
面ABCD ∴SE ⊥BD
∵BD ⊥CE ，SE ⊥BD ，CE ∩SE=E ，∴BD ⊥面SECSC 面SEC ∴BD ⊥SC
〔2〕∵F 为SC 中点∴V F-EBD =V S-EBC
连接SE ，面SAD ⊥面ABCD ∵△SAD 为正三角形∴SE ⊥AD 又∵面SAD ⊥面ABCD ∴SE ⊥面ABCDSE= S △EBC =×2×= ∴V F-EBD =V S-EBD =×××= 20．解：
(1)由122n n S +=-， 当1n =时，21222a =-=， 当2n ≥，122n n S -=-，
那么1122(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=，当n=1时，12a =满足上式，所以2n n a =． (2)由(Ⅰ)，2n n n b na n ==⨯． 那么1212222n n T n =⨯+⨯++⨯， 所以231212222n n T n +=⨯+⨯+
+⨯，
那么2
1
2222
n n n T n +-=++
+-⨯12(12)212
n n n +-=-⨯-1(1)22n n +=--．
所以1(1)22n n T n +=-+． 21．解：
〔1〕当
2a =时，
2()ln 22f x x x x =-+，那么1
'()42f x x x
=
-+，所以'(1)1f =-，又(1)0f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=．
〔2〕因为
111()ln 1f a a a =-+，设函数()ln 1g x x x =-+，那么11'()1x
g x x x
-=-=
， 令'()0g x =，得1x =，列表如下：
所以()g x
的极大值为(1)0g =
．所以
()ln 10f a a a
=-+≤． 〔3〕212
1
'()2ax ax f x ax a x x
--=-+=-，0x >，
令
'()0f x >
，得
44a a x a a +<
<，因为04a a
<， 所以()f x
在上单调增，在)+∞上单调减． 所以
()(4a f x f a
+≤．
设0x =()f x 只有1个零点，而(1)0f =，
所以1是函数()f x 的唯一零点．
当01x =时，()(1)0f x f =≤，()f x 有且只有1个零点，
此时
14a a
=，解得1a =． 下证，当01x ≠时，()f x 的零点不唯一．
假设01x >，那么
0()(1)0f x f >=，此时
14a a >，即01a <<，那么11a
>． 由〔2〕知，
1
()0f a
<，又函数()f x 在以0x 和1a 为端点的闭区间上的图象不连续，
所以在0x 和
1
a
之间存在()f x 的零点，那么()f x 一共有2个零点，不符合题意；
假设01x <，那么
0()(1)0f x f >=1<，即1a >，那么101a
<<． 同理可得，在
1
a
和0x 之间存在()f x 的零点，那么()f x 一共有2个零点，不符合题意． 因此01x =，所以a 的值是1．。