史上最全直线与直线方程题型归纳

直线与直线方程
一、知识梳理
1.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.
2.斜率公式：经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式：)(211
212x x x x y y k ≠--=
7．斜率存在时两直线的平行：21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠. 8．斜率存在时两直线的垂直：⇔⊥21l l 121-=k k ．
9．特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．
二、典例精析
题型一：倾斜角与斜率
【例1】下列说法正确的个数是（ ） ①任何一条直线都有唯一的倾斜角；
②倾斜角为0
30的直线有且仅有一条； ③若直线的斜率为θtan ，则倾斜角为θ； ④如果两直线平行，则它们的斜率相等
A. 0个
B.1个
C.2个
D.3个
【练习】如果0<AC 且0<BC ，那么直线0=++C By Ax 不通过（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【例2】如图，直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，
则( )
A ．k sin α>0
B ．k cos α>0
C ．k sin α≤0
D ．k cos α≤0 【练习】图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )．
A ．k 1＜k 2＜k 3
B ．k 3＜k 1＜k 2
C ．k 3＜k 2＜k 1
D ．k 1＜k 3＜k 2
【例3】经过点()2,1P 作直线l ，若直线l 与连接()10—，
A ，()1,4
B 的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α与斜率k 的取值范围。

【练习】已知两点()4,3-A ，()2,3B ，过点()1-2，
P 的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围。

【例4】若直线l 的方程为2tan +=αx y ，则（ ） A.α一定是直线l 的倾斜角 B.α一定不是直线l 的倾斜角 C.α—π一定是直线l 的倾斜角 D.α不一定是直线l 的倾斜角
【练习】设直线0=++c by ax 的倾斜角为α，且0cos sin =+αα，则b a 、满足（ ） A.1=+b a B.1=b a — C.0=+b a D.0=b a —
题型二：斜率的应用
【例5】若点()()()4,0,0,2,2C a B A ，共线则a 的值为_________________.
【练习】若三点()()()b C a B A ,0,0,2,2， ()0≠ab 共线，则b a 1
1+的值为_____________. 【例6】已知实数y x 、满足82=+y x ，当32≤≤x 时，求x
y
的最大值为_______，最小
值为_________________
【练习】1、若4
5
ln ,23ln ,12ln =
==
c b a ，则（ ） A.c b a << B.a b c << C.b a c << D.c a b <<
2、求函数1
21
2+=x x y —的值域.
题型三：两直线位置关系的判断
已知，两直线21,l l 斜率存在且分别为21,k k ，若两直线平行或重合则有21__________k k ，若两直线垂直则有21__________k k .
【例7】已知直线1l 的倾斜角为ο
60，直线2l 经过点()3,1，A ，()
322—，
—B ，判断直线1l 与2l 的位置关系.
【练习】1、已知点()3,2P ，()5,4Q ,()a A ，—1
，()2,2a B 当a 为何值时，直线PQ 与直线AB 相互垂直？
2、已知直线1m 经过点()()3,23—，，a B a A ，直线2m 经过点()()5,6,3N a M ，，若
21m m ⊥，求a 的值.
【例8】在平面直角坐标系中，对R a ∈，直线012:012:21=+=+—和—y ax l ay x l （ ）
.A 互相平行 .B 互相垂直
.C 关于原点对称 .D 关于直线x y —=对称
【练习】直线()()()()07425084123=++=+++——与—y a x a y a x a 垂直，求a 的值.
题型四：求直线方程 （一）点斜式
【例9】根据条件写出下列直线的方程： （1）经过点A(1,2),斜率为2；
（2）经过点B （—1,4），倾斜角为ο
135； （3）经过点C （4,2），倾斜角为ο
90； （4）经过点D （—3，—2），且与x 轴平行. 已知直线过一点，可设点斜式
【练习】已知ABC ∆中，()()()0,26,241
—，，—，C B A ，BC AD ⊥于D ,求AD 的直线方程.
（二）斜截式
【例10】根据条件写出下列直线的方程： （1）斜率为2，在y 轴上的截距是5； （2）倾斜角为ο
150，在y 轴的截距为—2； （3）倾斜角为ο45，在y 轴上的截距为0. 已知斜率时，可设斜截式： 【练习】求斜率为4
3
，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线l 的方程.
（三）截距式
【例12】根据条件写出下列直线的方程：
（1)在x 轴上的截距为—3，在y 轴上的截距为2； （2)在x 轴上的截距为1，在y 轴上的截距为—4； 与截距相关的问题，可设截距式
【练习】直线l 过点()3,4P ，且在轴轴、y x 上的截距之比为1:2，求直线l 的方程.
（四）两点式
【例11】求经过下列两点的直线方程：
（1)A(2,5),B(4,3) (2)A(2,5),B(4,5) (3)A(2,5),B(2,7)
适时应用“两点确定一条直线”
【练习】过点()1,0M 作直线l ，使他被两条已知直线04:103:21=+++y x l y x l 和—所截得的线段AB 被点M 平分.求直线l 的方程.
【例12】1、已知点A （3,3）和直线l ：2
5
43—x y =
.求： （1）经过点A 且与直线l 平行的直线方程；
（2）经过点A 且与直线l 垂直的直线方程.
2、已知三角形三个顶点的坐标分别为A （—1,0），B （2,0），C （2,3），试求AB 边上的高的直线方程.(思考：如果求AB 边上的中线、角平分线呢？）
【例13】已知直线l 的斜率为2，且l 和两坐标轴围成面积为4的三角形，则直线l 的方程为________________．
【练习】已知，直线l 经过点（—5，—4），且与两坐标轴所围成的三角形面积为5，则直线l 的方程为________________
【例14】直线l 不经过第三象限，其斜率为k ，在y 轴上的截距为b （0≠b ），则（ ） A.00>≤b k 且 B.00<≥b k 且 C.00><b k 且 D.00>>b k 且 【练习】两条直线y=ax+b 与y=bx+a 在同一直角坐标系中的图象位置可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
三、课后练习
<一>选择题：
1、若直线l ：y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围（ ） A ．[
6π，3π) B ．(6π，2π) C ．(3π，2π) D ．[6π，2
π] 2、已知直线l1：（k-3）x+（5-k ）y+1=0与l2：2（k-3）x-2y+3=0垂直，则K 的值是（ ） A ．1或3 B ．1或5 C ．1或4 D ．1或2
3、直线y=3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ） A ．3131+
=x y —
B ．13
1
+=x y — C ．33—x y = D ．13+=x y <二>填空题：
1、在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点（x ，y ）为整点，下列命题中正确的是 _________________（写出所有正确命题的编号）． ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y=kx+b 不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点
④直线y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线．
2、若点()21
—，P 在直线l 上的射影为()1,1—Q ，则直线l 的方程为__________________. 3、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)=x
2
的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________________.
<三>解答题：
1、设直线1l ：11+=x k y ，2l ：12—x k y =，其中实数21,k k 满足0221=+•k k ，证明1l 与2l 相交.
2、已知直线方程为b kx y +=，当[][]13,8,4,3—时—∈∈y x ，求此直线的方程.
3、当20<<a 时，直线1l ：422:4222
22+=+=a y a x l a y ax 与——和两坐标轴围成一个四边形，问a 取何值时，这个四边形的面积最小?并求出最小面积.。