2022年甘肃省武威(初三学业水平考试)中考数学真题试卷含详解

武威市2022年初中毕业、高中招生考试
数学试卷
考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．所有试卷均在答题卡上作答，否则无效．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1.2-的相反数为（）A.2
- B.2
C.2
± D.
12
2.若40A ∠=︒，则A ∠的余角的大小是（）
A .
50°
B.60°
C.140°
D.160°
3.不等式324x ->的解集是（）
A.2
x >- B.2
x <- C.2x > D.2x <4.用配方法解方程x 2-2x =2时，配方后正确的是（）A.
()
2
13
x += B.
()
2
16
x += C.
()
2
13
x -= D.
()
2
16
x -=5.
若ABC DEF :△△，6BC =，4EF =，则
AC
DF
=（）
A.
49
B.
94 C.
23
D.
32
6.2022年4月16日，神州十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，飞行任务取得圆满成功．“出差”太空半年的神州十三号航天员乘组顺利完成既定全部任务，并解锁了多个“首次”．其中，航天员们在轨驻留期间共完成37项空间科学实验，如图是完成各领域科学实验项数的扇形统计图，下列说法错误的是（
）
A.完成航天医学领域实验项数最多
B.完成空间应用领域实验有5项
C.完成人因工程技术实验项数比空间应用领域实验项数多
D.完成人因工程技术实验项数占空间科学实验总项数的24.3%
7.大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF ，若对角线AD 的长约为8mm ，则正六边形ABCDEF 的边长为（
）
A.2mm
B. C. D.4mm
8.《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x 天相遇，根据题意可列方程为（）
A.11179x ⎛⎫
+=
⎪⎝
⎭ B.11179x ⎛⎫
-=
⎪⎝
⎭ C.
()971
x -= D.
()971
x +=9.如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（ AB ），点O 是这段弧所在圆的圆心，半径90m OA =，圆心角80AOB ∠=︒，则这段弯路（ AB ）的长度为（
）
A.20m π
B.30m π
C.40m π
D.50m
π10.如图1，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，动点P 从点A 出发，沿折线AD DC CB →→方向匀速运动，运动到点B 停止．设点P 的运动路程为x ，APB △的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则AB 的长为（
）
A.
3
B.23
C.
33 D.43
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．
11.计算：323a a ⋅=_____________．12.因式分解：34m m -=_________________．
13.若一次函数y =kx −2的函数值y 随着自变量x 值的增大而增大，则k =_________（写出一个满足条件的值）．14.如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若25cm AB =，4cm AC =，
则BD 的长为_________cm ．
15.如图，在⊙O 内接四边形ABCD 中，若100ABC ∠=︒，则ADC ∠=________︒．
16.如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，AD BC ∥，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD 成为一个矩形，只需添加的一个条件是_______________．
17.如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s
）之间具有函数关系：2520h t t =-+，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t =_________s
．
18.如图，在矩形ABCD 中，AB =6cm ，BC =9cm ，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，AE =2cm ，BD ，EF 交于点G ，若G 是EF 的中点，则BG 的长为____________cm
．
三、解答题：本大题共5小题，共26分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19.
-．20.
化简：
()2
233322x x x x x x
++÷-++．
21.中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：原文
释义
甲乙丙为定直角．
以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；
再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；
乙与己及庚相连作线．
如图2，ABC ∠为直角．
以点B 为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA ，BC 分别于点D ，E ；以点D 为圆心，以BD 长为半径画弧与 DE
交于点F ；再以点E 为圆心，仍以BD 长为半径画弧与 DE
交于点G ；作射线BF ，BG ．
（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据（1）完成的图，直接写出DBG ∠，GBF ∠，FBE ∠的大小关系．
22.灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图1），该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图2，点C 为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取A ，B 两处分别测得∠CAF 和∠CBF 的度数（A ，B ，D ，F 在同一条直线上），河边D 处测得地面AD 到水面EG 的距离DE （C ，F ，G 在同一条直线上，DF ∥EG ，CG ⊥AF ，FG =DE ）．
数据收集：实地测量地面上A ，B 两点的距离为8.8m ，地面到水面的距离DE =1.5m ，∠CAF =26.6°，∠CBF =35°．问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C 到水面的距离CG （结果保留一位小数）．
参考数据：sin26.
6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
23.第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4至20日在我国北京-张家口成功举办，其中张家口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为：A ．云顶滑雪公园、B ．国家跳台滑雪中心、C ．国家越野滑雪中心、D ．国家冬季两项中心．小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．
（1）小明被分配到D ．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率．
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
24.受疫情影响，某初中学校进行在线教学的同时，要求学生积极参与“增强免疫力、丰富学习生活”为主题的居家体育锻炼活动，并实施锻炼时间目标管理．为确定一个合理的学生居家锻炼时间的完成目标，学校随机抽取了30名学生周累计居家锻炼时间（单位：h ）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：【数据收集】7865910467511128764
6
3
6
8
9
10
10
13
6
7
8
3
5
10
【数据整理】
将收集的30个数据按A ，B ，C ，D ，E 五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（说明：A ．35t ≤<，B ．57t ≤<，C ．79t ≤<，D ．911t <≤，E ．1113t ≤≤，其中t 表示锻炼时间）
；
【数据分析】统计量平均数众数
中位数锻炼时间（h ）
7.3
m
7
根据以上信息解答下列问题：（1）填空：m =___________；（2）补全频数分布直方图；
（3）如果学校将管理目标确定为每周不少于7h ，该校有600名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？说明理由．
25.如图，B ，C 是反比例函数y =
k
x
（k ≠0）在第一象限图象上的点，过点B 的直线y =x -1与x 轴交于点A ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，CD 与AB 交于点E ，OA =AD ，CD =3．
（1）求此反比例函数的表达式；（2）求△BCE 的面积．
26.如图，ABC 内接于O ，AB ，CD 是O 的直径，E 是DB 延长线上一点，且DEC ABC ∠=∠．
（1）求证：CE 是O 的切线；
（2）若DE =2AC BC =，求线段CE 的长．27.已知正方形ABCD ，E 为对角线AC 上一点．
（1）【建立模型】如图1，连接BE ，DE ．求证：BE DE =；
（2）【模型应用】如图2，F 是DE 延长线上一点，FB BE ⊥，EF 交AB 于点G ．①判断FBG △的形状并说明理由；②若G 为AB 的中点，且4AB =，求
AF 的长．
（3）【模型迁移】如图3，F 是DE 延长线上一点，FB BE ⊥，EF 交AB 于点G ，BE BF =．求证：
)
1GE DE =
-．
28.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线()()1
34
y x x a =
+-与x 轴交于A ，()4,0B 两点，点C 在y 轴上，且OC OB =，D ，E 分别是线段AC ，AB 上的动点（点D ，E 不与点A ，B ，C 重合）
．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接DE 并延长交抛物线于点P ，当DE x ⊥轴，且1AE =时，求DP 的长；（3）连接BD ．
①如图2，将BCD △沿x 轴翻折得到BFG ，当点G 在抛物线上时，求点G 的坐标；②如图3，连接CE ，当CD AE =时，求BD CE +的最小值．
武威市2022年初中毕业、高中招生考试
数学试卷
考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．所有试卷均在答题卡上作答，否则无效．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1.2-的相反数为（）A.2- B.2
C.2
± D.
12
【答案】B
【分析】根据相反数的概念得出答案．【详解】∵()22--=∴2-的相反数为2．故选：B
【点睛】本题考查了相反数的概念，熟练掌握相关概念是解本题的关键．2.若40A ∠=︒，则A ∠的余角的大小是（）
A.50°
B.60°
C.140°
D.160°
【答案】A
【分析】用90°减去40°即可求解．【详解】解：∵40A ∠=︒，∴A ∠的余角=904050︒-︒=︒，故选A
【点睛】本题考查了求一个角的余角，掌握和为90°的两角互为余角是解题的关键．3.不等式324x ->的解集是（）
A.2x >-
B.2
x <- C.2
x > D.2
x <【答案】C
【分析】按照解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1即可得出答案．
【详解】解：3x -2＞4，移项得：3x ＞4+2，
合并同类项得：3x ＞6，系数化为1得：x ＞2．故选：C ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1是解题的关键．
4.用配方法解方程x 2-2x =2时，配方后正确的是（）A.
()
2
13
x += B.
()
2
16
x += C.
()
2
13
x -= D.
()
2
16
x -=【答案】C
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．【详解】解：x 2-2x =2，x 2-2x +1=2+1，即（x -1）2=3．故选：C ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．5.若ABC DEF :△△，6BC =，4EF =，则AC
DF
=（）
A.
49
B.
94
C.
23
D.
32
【答案】D
【分析】根据△ABC ∽△DEF ，可以得到,BC AC
EF DF
=然后根据BC =6，EF =4，即可求解．【详解】解：∵ABC DEF :△△∴
,BC AC
EF DF
=
6BC =，4EF =，
∴
AC DF =63
=42
故选D
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．6.2022年4月16
日，神州十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，飞行任务取得圆满成功．“出差”太空半年的神州十三号航天员乘组顺利完成既定全部任务，并解锁了多个“首次”．其中，航天员们在轨驻留期间共完成37项空间科学实验，如图是完成各领域科学实验项数的扇形统计图，下列说法错误的是（）
A.完成航天医学领域实验项数最多
B.完成空间应用领域实验有5项
C.完成人因工程技术实验项数比空间应用领域实验项数多
D.完成人因工程技术实验项数占空间科学实验总项数的24.3%
【答案】B
【分析】根据扇形统计图中的数据逐项分析即可．
【详解】解：A．由扇形统计图可得，完成航天医学领域实验项数最多，所以A选项说法正确，故A选项不符合题意；
B．由扇形统计图可得，完成空间应用领域实验占完成总实验数的5.4%，实验次项数为5.4%×37≈2项，所以B选项说法错误，故B选项符合题意；
C．完成人因工程技术实验占完成总实验数的24.3%，完成空间应用领域实验占完成总实验数的5.4%，所以完成人因工程技术实验项数比空间应用领域实验项数多，说法正确，故C选项不符合题意；
D．完成人因工程技术实验项数占空间科学实验总项数的24.3%，所以D选项说法正确，故D选项不符合题意．故选：B．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图，熟练掌握扇形统计图的应用是解决本题的关键．
7.大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（）
A.2mm
B.
C.
D.4mm
【答案】D 【分析】如图，连接CF 与AD 交于点O ，易证△COD 为等边三角形，从而CD =OC =OD =12AD ，即可得到答案．
【详解】连接CF 与AD 交于点O ，
∵ABCDEF 为正六边形，
∴∠COD =3606
︒=60°，CO =DO ，AO =DO =12AD =4mm ，∴△COD 为等边三角形，
∴CD =CO =DO =4mm ，
即正六边形ABCDEF 的边长为4mm ，
故选：D ．
【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键．8.《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x 天相遇，根据题意可列方程为（
）A.11179x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ B.11179x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C.()971x -= D.()971
x +=【答案】A
【分析】设总路程为1，野鸭每天飞17，大雁每天飞19
，当相遇的时候，根据野鸭的路程+
大雁的路程=总路程即可得出答案．
【详解】解：设经过x 天相遇，根据题意得：17x +19
x =1，∴（17+19
）x =1，故选：A ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，本题的本质是相遇问题，根据等量关系：野鸭的路程+大雁的路程=总路程列出方程是解题的关键．
9.如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（ AB ）
，点O 是这段弧所在圆的圆心，半径90m OA =，圆心角80AOB ∠=︒，则这段弯路（ AB ）的长度为（）
A.20m
π B.30m π C.40m π D.50m
π【答案】C 【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路（ AB ）的长度．
【详解】解：∵半径OA =90m ，圆心角∠AOB =80°，
∴这段弯路（ AB ）的长度为：
809040(m)180
ππ⨯=，故选C 【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长计算公式.180
n r l π=10.如图1，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，动点P 从点A 出发，沿折线AD DC CB →→方向匀速运动，运动到点B 停止．设点P 的运动路程为x ，APB △的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则AB 的长为（
）
A.3
B.23
C.33
D.43
【答案】B
【分析】根据图1和图2判定三角形ABD 为等边三角形，它的面积为33【详解】解：在菱形ABCD 中，∠A =60°，
∴△ABD 为等边三角形，
设AB =a ，由图2可知，△ABD 的面积为33∴△ABD 的面积23334
a =
=解得：a =23
故选B
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．
11.计算：323a a ⋅=_____________．
【答案】5
3a 【分析】根据单项式的乘法直接计算即可求解．
【详解】解：原式＝323a a ⋅=53a ．
故答案为：53a ．
【点睛】本题考查了单项式的乘法，正确的计算是解题的关键．
12.因式分解：34m m -=_________________．
【答案】()()
22m m m +-【分析】原式提取m ，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式=m （m 2-4）=m （m +2）（m -2），
故答案为：m （m +2）（m -2）
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13.若一次函数y =kx −2的函数值y 随着自变量x 值的增大而增大，则k =_________（写出一个满足条件的值）．
【答案】2（答案不唯一）
【分析】根据函数值y 随着自变量x 值的增大而增大得到k ＞0，写出一个正数即可．
【详解】解：∵函数值y 随着自变量x 值的增大而增大，
∴k ＞0，
∴k =2（答案不唯一）．
故答案为：2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大；k ＜0，y 随x 的增大而减小是解题的关键．
14.如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若AB =
，4cm AC =，
则BD 的长为_________cm ．
【答案】8
【分析】利用菱形对角线互相垂直且平分的性质结合勾股定理得出答案即可．
【详解】解： 菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC =4，
AC BD ∴⊥，12
BO OD BD ==，AO =OC =12AC =2AB =Q
，
4BO ∴==，
28BD BO ∴==，
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理解直角三角形，是解题关键．
15.如图，在⊙O 内接四边形ABCD 中，若100ABC ∠=︒，则ADC ∠=________︒．
【答案】80
【分析】根据圆内接四边形的性质计算出18080ADC ABC ∠∠=︒-=︒即可．
【详解】解：∵ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠ABC ＝100°，
∴∠ABC +∠ADC =180°，
∴180********ADC ABC ∠∠=︒-=︒-︒=︒．
故答案为80．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质．
16.如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，AD BC ∥，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD 成为一个矩形，只需添加的一个条件是_______________．
【答案】90A ∠=︒（答案不唯一）
【分析】】先证四边形ABCD 是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．
【详解】解：需添加的一个条件是∠A =90°，理由如下：
∵AB ∥DC ，AD ∥BC ，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
又∵∠A =90°，
∴平行四边形ABCD 是矩形，
故答案为：∠A =90°（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
17.如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系：2520h t t =-+，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t =_________s ．
【答案】2
【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．
【详解】解：∵h =-5t 2+20t =-5（t -2）2+20，
且-5＜0，
∴当t =2时，h 取最大值20，
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．
18.如图，在矩形ABCD 中，AB =6cm ，BC =9cm ，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，AE =2cm ，BD ，EF 交于点G ，若G 是EF 的中点，则BG 的长为____________cm ．
【答案】【分析】根据矩形的性质可得AB =CD =6cm ，∠ABC =∠C =90°，AB ∥CD ，从而可得∠ABD =∠BDC ，然后利用直角三角形斜边上的中线可得EG =BG ，从而可得∠BEG =∠ABD ，进而可得∠BEG =∠BDC ，再证明△EBF ∽△DCB ，利用相似三角形的性质可求出BF 的长，最后在Rt △BEF 中，利用勾股定理求出EF 的长，即可解答．
【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB =CD =6cm ，∠ABC =∠C =90°，AB ∥CD ，
∴∠ABD =∠BDC ，
∵AE =2cm ，
∴BE =AB -AE =6-2=4（cm ），
∵G 是EF 的中点，
∴EG =BG =12EF ，
∴∠BEG =∠ABD ，
∴∠BEG =∠BDC ，
∴△EBF ∽△DCB ，∴EB BF DC CB
=，∴469
BF =，∴BF =6，
∴EF =
=cm ），
∴BG =12EF （cm ），
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题：本大题共5小题，共26分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19.-
．
【答案】【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：原式==
【点睛】本题考查了次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
20.化简：()2
233322x x x x x x ++÷-++．【答案】1
【分析】将除法转化为乘法，因式分解，约分，根据分式的加减法法则化简即可得出答案．
【详解】解：原式()()23232
3x x x x x x
++=⋅-++33x x x +=-=1．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，考查学生运算能力，掌握运算的结果要化成最简分式或整式是解题的关键．
21.中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：
原文释义甲乙丙为定直角．
以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；
以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点
己；
再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点
庚；
乙与己及庚相连作线．如图2，ABC ∠为直角．以点B 为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA ，BC 分别于点D ，E ；以点D 为圆心，以BD 长为半径画弧与 DE 交于点F ；再以点E 为圆心，仍以BD 长为半径画弧与 DE 交于点G ；作射线BF ，BG ．
（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）完成的图，直接写出DBG ∠，GBF ∠，FBE ∠的大小关系．
【答案】（1）见解析（2）DBG GBF FBE
∠=∠=∠【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）连接DF ，EG ，可得BDF 和BEG 均为等边三角形，60DBF EBG ∠=∠=︒
，进而可得30DBG GBF FBE ∠=∠=∠=︒．
【小问1详解】
解：（1）如图：
【小问2详解】
DBG GBF FBE ∠=∠=∠．
理由：连接DF ，EG 如图所示
则BD =BF =DF ，BE =BG =EG
即BDF 和BEG 均为等边三角形
∴60DBF EBG ∠=∠=︒
∵90ABC ∠=︒
∴30DBG GBF FBE ∠=∠=∠=︒
【点睛】本题考查了尺规作图，根据题意正确作出图形是解题的关键．
22.灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图1），该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图2，点C 为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取A ，B 两处分别测得∠CAF 和∠CBF 的度数（A ，B ，D ，F 在同一条直线上），河边D 处测得地面AD 到水面EG 的距离DE （C ，F ，G 在同一条直线上，DF ∥EG ，
CG ⊥AF ，FG =DE ）
．数据收集：实地测量地面上A ，B 两点的距离为8.8m ，地面到水面的距离DE =1.5m ，∠CAF =26.6°，∠CBF =35°．问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C 到水面的距离CG （结果保留一位小数）．
参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
【答案】16.9m
【分析】设BF=x m，根据题意可得：DE=FG=1.5m，然后在Rt△CBF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，再在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：设BF=x m，
由题意得：
DE=FG=1.5m，
在Rt△CBF中，∠CBF=35°，
∴CF=BF•tan35°≈0.7x（m），
∵AB=8.8m，
∴AF=AB+BF=（8.8+x）m，
在Rt△ACF中，∠CAF=26.6°，
∴tan26.6°=
0.7
8.8
CF x
AF x
=
+
≈0.5，
∴x=22，
经检验：x=22是原方程的根，
∴CG=CF+FG=0.7x+1.5=16.9（m），
∴灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG约为16.9m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
23.第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4至20日在我国北京-张家口成功举办，其中张家口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为：A．云顶滑雪公园、B．国家跳台滑雪中心、C．国家越野滑雪中心、D．国家冬季两项中心．小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．
（1）小明被分配到D．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率．
【答案】（1）1 4
（2）1 4
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：小明被分配到D．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是1 4；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，
∴小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率为41 164
．
【点睛】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
24.受疫情影响，某初中学校进行在线教学的同时，要求学生积极参与“增强免疫力、丰富学习生活”为主题的居家体育锻炼活动，并实施锻炼时间目标管理．为确定一个合理的学生居家锻炼时间的完成目标，学校随机抽取了30名学生周累计居家锻炼时间（单位：h）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：【数据收集】
786591046751112876 4636891010136783510
【数据整理】
将收集的30个数据按A ，B ，C ，D ，E 五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（说明：A ．35t ≤<，B ．57t ≤<，C ．79t ≤<，D ．911t <≤，E ．1113t ≤≤，其中t 表示锻炼时间）
；
【数据分析】统计量平均数众数
中位数锻炼时间（h ）
7.3
m
7
根据以上信息解答下列问题：（1）填空：m =___________；（2）补全频数分布直方图；
（3）如果学校将管理目标确定为每周不少于7h ，该校有600名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？说明理由．【答案】（1）6
（2）见解析
（3）340名；合理，见解析
【分析】（1）由众数的定义可得出答案．
（2）结合收集的数据，求出C 组的人数，即可补全频数分布直方图．
（3）用总人数乘以样本中每周不少于7h 的人数占比，即可得出答案；过半的学生都能完成目标，即目标合理．【小问1详解】
由数据可知，6出现的次数最多，∴m =6．故答案为：6．【小问2详解】
补全频数分布直方图如下：
【小问3详解】
86317
6006003403030
++⨯
=⨯=.答：估计有340名学生能完成目标；目标合理．
理由：过半的学生都能完成目标．
【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，从收集的数据中获取必要的信息是解决问题的关键．25.如图，B ，C 是反比例函数y =
k
x
（k ≠0）在第一象限图象上的点，过点B 的直线y =x -1与x 轴交于点A ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，CD 与AB 交于点E ，OA =AD ，CD =3．
（1）求此反比例函数的表达式；（2）求△BCE 的面积．【答案】（1）6
y x
=（2）1
【分析】（1）根据直线y =x -1求出点A 坐标，进而确定OA ，AD 的值，再确定点C 的坐标，代入反比例函数的关系式即可；
（2）求出点E 坐标，进而求出EC ，再求出一次函数与反比例函数在第一象限的交点B
的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可．【小问1详解】
解：当y =0时，即x -1=0，∴x =1，
即直线y =x -1与x 轴交于点A 的坐标为（1，0），∴OA =1=AD ，又∵CD =3，
∴点C 的坐标为（2，3），而点C （2，3）在反比例函数y =k
x
的图象上，∴k =2×3=6，
∴反比例函数的图象为y =6x
；【小问2详解】
解：方程组1
6y x y x =-⎧⎪
⎨=⎪⎩
的正数解为32x y =⎧⎨
=⎩，∴点B 的坐标为（3，2），当x =2时，y =2-1=1，
∴点E 的坐标为（2，1），即DE =1，∴EC =3-1=2，
∴S △BCE =1
2×2×（3-2）=1，答：△BCE 的面积为1．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式，将一次函数、反比例函数的关系式联立方程组是求出交点坐标的基本方法，将点的坐标转化为线段的长是正确解答的关键．
26.如图，ABC 内接于O ，AB ，CD 是O 的直径，E 是DB 延长线上一点，且DEC ABC ∠=∠
．。