高考数学讲义直线与圆锥曲线.板块一.直线与椭圆(1).教师版

1．椭圆的定义：平面内与两个定点12F F ，的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程：
①22
221(0)x y a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． ②22
221(0)y x a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． 3．椭圆的几何性质（用标准方程22
221(0)x y a b a b
+=>>研究）：
⑴范围：a x a -≤≤，b y b -≤≤；
⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；
⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212A A B B ，，，； ⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12A A ；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段
12B B ．
⑸椭圆的离心率：c
e a
=
，焦距与长轴长之比，01e <<，e 越趋近于1，椭圆越扁；
反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆．
M
y=-b y=b x=-a
x=a
B 2
B 1
A 2
A 1c b a
F 2
F 1
O y x
4．直线l ：0Ax By C ++=与圆锥曲线C ：()0f x y =，的位置关系：
直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：
板块一.直线与椭圆(1)
设直线l ：0Ax By C ++=，圆锥曲线C ：()0f x y =，，由0
()0Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩
，
消去y （或消去x ）得：20ax bx c ++=．
若0a ≠，24b ac ∆=-，0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切．
若0a =，得到一个一次方程：①C 为双曲线，则l 与双曲线的渐近线平行；②C 为抛物线，则l 与抛物线的对称轴平行．
因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．
5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．
求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；
另外一种求法是如果直线的斜率为k ，被圆锥曲线截得弦AB 两端点坐标分别为1122()()
x y x y ，，，，则弦长公式为2
2
12121||11AB k x x y y k ⎛⎫
=+-=+- ⎪⎝⎭
．
两根差公式：
如果12x x ，满足一元二次方程：20ax bx c ++=，
则2
22
1212124()44b c b ac x x x x x x a a a a -∆⎛⎫-=+-=--⋅==
⎪⎝⎭
（0∆>）． 6．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：
①从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质．
②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．
【例1】 直线2y kx =+2
213
x y +=交于不同两点A 和B ，且1OA OB ⋅=u u u r u u u r （其中O 为
坐标原点），求k 的值．
【考点】直线与椭圆 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无
【解析】将2y kx =2
213
x y +=，得22(13)6230k x kx +++=．
由直线与椭圆交于不同的两点，得
2
222
130
(62)12(13)12(31)0
k k k k ⎧+≠⎪⎨∆=-+=->⎪⎩，即213k >． 设()()A A B B A x y B x y ，，，，则2
623
13A B A B
k x x x x k +==+． 典例分析
由1OA OB ⋅=u u u r u u u r
，得2A B A B x x y y +=．
而2(2)(2)(1)2()2A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x k x x +=++=+++
2
2
22
36253(1)221331
k k k k k k -=+⋅=++． 于是2253131
k k -=+．解得6k =．故k 的值为6
． 【答案】6
【例2】 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(02)，且斜率为k 的直线l 与椭圆2
212
x y +=有
两个不同的交点P 和Q ．
⑴求k 的取值范围；
⑵设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得
向量OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r
共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．
【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无
【解析】⑴ 由已知条件，直线l 的方程为2y kx =+
代入椭圆方程得2
2(2)12
x kx ++=．
整理得22122102k x kx ⎛⎫
+++= ⎪⎝⎭ …………①
直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于 2221844202k k k ⎛⎫
∆=-+=-> ⎪⎝⎭
，
解得22k <或2
2k >．即k 的取值范围为22⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U -∞，∞． ⑵ 设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++u u u r u u u r
，
， 由方程①，1242k
x x +=． …………② 又1212()22y y k x x +=++ …………③
而(20)(01)(21)A B AB =，，，． 所以OP OQ +u u u r 与AB u u u r
共线等价于12122()x x y y +=-+， 将②③代入上式，解得2k =． 由⑴知2k <或2k ，故没有符合题意的常数k ．
【答案】⑴k 的取值范围为2222⎛⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U -∞，∞；
⑵没有符合题意的常数k ．
【例3】 已知1m >，直线2:02m l x my --=，椭圆2
22:1x C y m
+=，1F ，2F 分别为椭圆C
的左、右焦点．
⑴当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；
⑵设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，12AF F △，12BF F △的重心分别为G ，H ．若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．
O x
y
B
A
【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答
【解析】⑴因为直线2
:02
m l x my --=经过(
)
2
2
10F m -，，所以2
2
12
m m -=，得22m =
又因为 1.m >所以 2.m =故直线l 的方程为210.x y --= ⑵设11()A x y ，，22()B x y ，
由2222,21m x my x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 得222104m y my +++=
则由22
281804m m m ⎛⎫
=--=-+> ⎪⎝⎭
△，知28m < 且有122
m
y y +=-，212182m y y =-．
由于1(0)F c -，，2(0)F c ，，故O 为12F F 的中点，
由2AG GO =u u u r u u u r ，2BH HO =u u u r u u u r ，可知1133x y G ⎛⎫
⎪⎝⎭，，223
3y x H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
22
2
1212()()||.99
x x y y GH --=+
设M 是GH 的中点，则121266x x
y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
由题意可知，2||||MO GH <
即2222
12121212()()46699x x y y x x y y ⎡⎤++--⎛⎫⎛⎫+<+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
12120.x x y y +<
而221212121222m m x x y y my my y y ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22
1(1)82m m ⎛⎫=+-
⎪⎝
⎭， 所以21
0.82
m -<即2 4.m <
又因为1m >且0>△．所以1 2.m << 所以m 的取值范围是(12)，．
【答案】⑴210x y --=；
⑵(12)，．
【例4】 已知椭圆()222210x y a b a b +=>>短轴的一个端点()
0,3D ，离心率1
2
e =．过D 作
直线l 与椭圆交于另一点M ，与x 轴交于点A （不同于原点O ），点M 关于x 轴的对称点为N ，直线DN 交x 轴于点B ．
⑴求椭圆的方程；
⑵求OA OB ⋅u u u r u u u r
的值．
y x
D
M
N
B A O
【考点】直线与椭圆 【难度】3星 【题型】解答
【解析】⑴由已知，2,3a b ==．
所以椭圆方程为 22
143
x y +=．
⑵设直线l 方程为3y kx =+．令0y =，得3,0A k ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
． 由方程组 22
33412
y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 可得 ()
2
2
34312x kx ++=，即
()2
2
34830k x
kx ++=．
所以 2
8334M k
x k =-
+，
所以 2228383,33434k k M k k ⎛⎫--+ ⎪ ⎪++⎝⎭，2228383,33434k k N k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭
．
所以 2
22
832333448334DN k k k k k
k -+==+．
直线DN 的方程为 3
34y x k =+．
令0y =，得43,03k B ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
．
所以 OA OB ⋅u u u r u u u r =433
43k k
-⋅-=． 【答案】⑴22
143x y +=；
⑵4．
【例5】 已知椭圆中心在原点，一个焦点为1(022)F -，，且离心率e 满足：24
e 33，，成等
比数列．
⑴求椭圆方程；
⑵是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线
1
2
x =-平分，若存在，求出l 的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由．
【考点】直线与椭圆 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无
【解析】⑴依题意2
e 23
321a c b ===，
， ∴所求方程为2
2
19
y x +=．
⑵假设存在直线l ，依题意l 交椭圆所得弦MN 被1
2
x =-平分，
∴直线l 的斜率存在．
设直线:l y kx m =+，代入椭圆方程，整理得222(9)290k x kmx m +++-=， ∵l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，
∴222244(9)(9)0k m k m ∆=-+->，即2290m k --< …………①
设1122()()M x y N x y ，，，，则1221
292
x x km k +-==-+，292k m k +=
……② 把②代入①式中得22
22
(9)(9)04k k k +-+<， ∴3k 3k <-∴直线l 倾斜角πππ2π3223α⎛⎫⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U ，，
【答案】⑴2
2
19
y x +=；
⑵πππ2π3223α⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U ，，．
【例6】 直线y kx b =+与椭圆2
214
x y +=交于A 、B 两点，记AOB ∆的面积为S ，
⑴求在001k b =<<，的条件下，S 的最大值；
⑵当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．
【考点】直线与椭圆
【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无
【解析】⑴此时直线方程为y b =，代入椭圆方程解得：221x b =±-，
22221
4121112
S b b b b b b =
⋅-=-+-=，
当且仅当21b b =-，即2b （负值舍去）时，S 取到最大值1； ⑵联立22
14
y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：222
(41)84(1)0k x kbx b +++-=， 于是2222
2(8)16(1)(41)
1241
kb b k AB k
k --+=+=+，
又1S =，故原点到直线y kx b =+的距离为2211
b S
d AB k ===+，
解得：21
2
k =
，362b ==
． 故直线AB 的方程是：26y x 26y x 或26
y =+
或 26y =． 【答案】⑴2
b =
时，S 取到最大值1； ⑵直线AB 的方程是：26y x 26y x 或26
y =+
或 26
y =．
【例7】 已知椭圆的中心在原点O ，焦点在x 轴上，点(23,0)A -是其左顶点，点C 在
椭圆上且0,||||AC CO AC CO ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r
．
⑴求椭圆的方程；
⑵若平行于CO 的直线l 和椭圆交于,M N 两个不同点，求CMN △面积的最大值，
并求此时直线l 的方程．
【考点】直线与椭圆 【难度】3星 【题型】解答
【关键字】2010年，宣武二模
【解析】⑴设椭圆的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
∵左顶点(23,0),,||||A AC CO AC CO -⊥=． ∴212a =，(3,3)C -
又∵C 在椭圆上， ∴233
112b
+=，24b = ∴椭圆的标准方程为22
1124
x y +=．
⑵设1122(,),(,)M x y N x y
∵CO 的斜率为1-，∴设直线l 的方程为y x m =-+，
代入22
1124x y +=，得22463120x mx m -+-=．
22122123644(312)0323124m m m x x m x x ⎧
⎪∆=-⋅->⎪
⎪
+=
⎨⎪
⎪-⋅=⎪⎩ ∴22
12123||2()42124
m MN x x x x =+-=-
又C 到直线l 的距离|33|
||2
2
m m d -+-=
=
，
∴CMN △的面积22
13||(16)24S MN d m m =⋅⋅=⋅-223162342
m m +-⋅=≤，
当且仅当2216m m =-时取等号，此时22m =±满足题中条件， ∴直线l 的方程为220x y +±=．
【答案】⑴22
1124
x y +=；
⑵220x y +±=．
【例8】 如图，点A 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>短轴的下端点．过A 作斜率为1的直线交椭
圆于P ，点B 在y 轴上，且BP x ∥轴，9AB AP ⋅=u u u r u u u r
．
⑴若B 点坐标为(01)，，求椭圆方程； ⑵若B 点坐标为(0)t ，，求t 的取值范围．
P
A
B y
x
O
【考点】直线与椭圆 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无
【解析】⑴ 直线AP ：y x b =-，由1y =，得(11)P b +，．
∴(01)(11)9AB AP b b b ⋅=+⋅++=u u u r u u u r
，
，， 即2(1)92b b +=⇒=． 将(31)P ，代入椭圆方程，
2291
1124
a a +=⇒=． 因此椭圆方程为22
1124
x y +=．
⑵ 由y t y x b =⎧⎨=-⎩得()P t b t +，，又(0)(0)A b B t -，
，，， ∴(0)()AB t b AP t b t b =+=++u u u r u u u r ，，，，由9AB AP ⋅=u u u r u u u r
得3(00)t b t b +=>>，， ∴P 的坐标为(3)t ，，将(3)P t ，代入椭圆方程得：2
2291t a b +=，
即2
2
229b a b t
=-．
∵2
2
a b >，∴22222299
1b b b t b t
>⇒>--，又3t b =-，
∴93100962t t ->⇒<<-． 【答案】⑴22
1124x y +=；
⑵302
t <<
．
【例9】 已知椭圆C 的焦点是()10,3F -，()
20,3F ，点P 在椭圆上且满足
124PF PF +=．
⑴ 求椭圆C 的标准方程；
⑵ 设直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B ． ⅰ）求使PAB ∆的面积为
1
2
的点P 的个数；
ⅱ）设M 为椭圆上任一点，O 为坐标原点， (,)OM OA OB λμλμ=+∈R u u u u r u u u r u u u r
，求
22λμ+的值．
【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答
【解析】⑴ ∵12124PF PF F F +=>
∴点P 满足的曲线C 的方程为椭圆 ∵24,3a c == ∴2221b a c =-=
∴椭圆C 的标准方程为2
2
14
y x +=．
⑵ i ）∵ 直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B
∴()()1,0,0,2A B --，5AB = 若1122
PAB S AB d ∆== ∴55
d =
∵原点O 到直线:220l x y ++=的距离是
2255
555
=
> ∴在直线:220l x y ++=的右侧有两个符合条件的P 点 设直线:20l x y n '++=与椭圆相切，则
2
22014
x y n y x ++=⎧⎪
⎨+
=⎪⎩有且只有一个交点． ∴228440x nx n ++-=有且只有一个解
由0∆=解得22n =（设负）
此时，l '与l 间距离为2221
55
-< ∴在直线:220l x y ++=的左侧不存在符合条件的P 点 ∴符合条件的点P 有2个．
ii ）设(),M x y ，则,x y 满足方程：22
14
y x +=
∵ (,)OM OA OB λμλμ=+∈R u u u u r u u u r u u u r
∴()()()(),1,00,2,2x y λμλμ=-+-=--
即：2x y λμ=-⎧⎨=-⎩，从而有2
x
y λμ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩
∴222214
y
x λμ+=+=．
【答案】⑴22
14
y x +=；
⑵ i ）符合条件的点P 有2个；
ii ）2222
14
y x λμ+=+=．
【例10】 已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为63．
⑴若原点到直线0x y b +-=的距离为2，求椭圆的方程； ⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为45︒的直线l 和椭圆交于,A B 两点． i ）当||3AB =，求b 的值；
ii ）对于椭圆上任一点M ，若OM OA OB λμ=+u u u u r u u u r u u u r
，求实数,λμ满足的关系式．
【考点】直线与椭圆
【难度】4星 【题型】解答
【关键字】2010年，宣武二模
【解析】⑴∵22
b
d ==，∴2b =．
∵63c e a ==，∴2223
c a =．
∵222a b c -=，∴222
43
a a -=，解得2212,4a
b ==．
椭圆的方程为221124
x y
+=．
⑵
i ）∵63c a =，∴2222223,23a b c a b ===，椭圆的方程可化为
22233x y b += …………①
易知右焦点(2,0)F b ，据题意有AB ：2y x b =- ………② 由①，②有：2246230x bx b -+= …………③ 设1122(,),(,)A x y B x y ，
222
2
2
2
212122724824||()()(11)23344
b b b AB x x y y b -=-+-=+=⋅==
∴1b =
ii ）显然OA u u u r 与OB u u u r
可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平
面内的向量OM u u u u r
，有且只有一对实数,λμ，使得等式OM OA OB λμ=+u u u u r u u u r u u u r 成立． 设(,)M x y ，
∵1122(,)(,)(,)x y x y x y λμ=+，∴1212,x x x y y y λμλμ=+=+
又点M 在椭圆上，∴2221212()3()3x x y y b λμλμ+++= ……………④
由③有：2
1212323,24
b b x x x x +==
则 222212121212121233(2)(2)432()63960x x y y x x x b x b x x b x x b b b b +=+--=-++=-+=
……………⑤
又,A B 在椭圆上，故有222222
112233,33x y b x y b +=+= …………⑥
将⑥，⑤代入④可得：221λμ+=．
【答案】⑴22
1124x y +=；
⑵i ）1b =；
ii ）221λμ+=．
【例11】 已知椭圆()22
22:10x y M a b a b
+=>>的左右焦点分别为()()122,0,2,0F F -．在椭
圆M 中有一内接三角形ABC ，其顶点C 的坐标
(
)
3,1，AB 所在直线的斜率
为
3
3
． ⑴求椭圆M 的方程；
⑵当ABC ∆的面积最大时，求直线AB 的方程．
O
y
x
F 2
F 1
C
B
A
【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答
【解析】⑴由椭圆的定义知(
)
(
)
2
2
223
123
1a =
--++
-+．
解得26a =，所以2222b a c =-=．
所以椭圆M 的方程为22
162
x y +=．
⑵由题意设直线AB 的方程为33
x
y m =+，
由22
162,33x y y x m ⎧+
=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
得22223360x mx m ++-=． 因为直线AB 与椭圆M 于不同的两点,A B ，且点C 不在直线AB 上， 所以()22122420,3133m m m
⎧∆=-->⎪⎨⎪≠⋅+⎩
解得22m -<<，且0m ≠．
设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，
则2121236
3,2
m x x m x x -+=-=，112233,33y x m y x m =+=+．
所以()()()222
22121121244243AB x x y y x x x x m ⎡⎤=-+-=+-=-⎣
⎦． 点(
)
3,1C
到直线3
3
y x m =
+的距离32m d =．
于是ABC ∆的面积()22
2
4133432222
m m S AB d m m +-=⋅=
⋅⋅-⋅=≤． 当且仅当24m m =-，即2m =±时“=”成立．
所以2m =±时ABC ∆的面积最大，此时直线()1y k x =-的方程为()0k ≠． 即为360x y -±=．
【答案】⑴22
162
x y +=；
⑵360x y -±=．
【例12】 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，
且12||2F F =，点31,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
在椭圆C 上． ⑴求椭圆C 的方程；
⑵过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且2AF B ∆的面积为
122
7
，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程．
【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答
【解析】⑴设椭圆的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，由题意可得：
椭圆220x y +±=两焦点坐标分别为()11,0F -，()21,0F ．
∴22223353
2(11)()(11)()42222
a =+++-+=+=．
∴2a =，又1c =，2413b =-=，
故椭圆的方程为22
143
x y +=．
⑵当直线l x ⊥轴，计算得到：31,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，
21211
||||32322
AF B S AB F F ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意．
当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+， 由22(1)14
3y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消去y 得2222(34)84120k x k x k +++-=．
显然0∆>成立，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
则2122834k x x k +=-+，2122
412
34k x x k
-⋅=+．
又422
2
2
1212222
644(412)
||1()41(34)34k k AB k x x x x k k k -=+⋅+-⋅=+⋅-++
即222
22
12112(1)
||13434k k AB k k k ++=+⋅=++， 又圆2F 的半径22
|10|2||
11k k k r k k
⨯-+==
++． 所以2222221112(1)2||12||1122
||22343471AF B
k k k k S AB r k k k
∆++==⨯⋅==+++， 化简，得4217180k k +-=，即22(1)(1718)0k k -+=，解得1k =±． 所以，2
2||
21k r k
==+．
故圆2F 的方程为：22(1)2x y -+=． ⑵另解：设直线l 的方程为1x ty =-，
由22114
3x ty x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消去x 得22(43)690t y ty +--=，0∆>恒成立，
设()11,A x y ，()22,B x y ，则122643t y y t +=+，12
29
43y y t ⋅=-+． 所以2
121212||()4y y y y y y -=+-⋅222
23636(43)43t t t =+++22
121
43t t +=+． 又圆2F 的半径为2
|101|
1t r t
-⨯+=
+2
21t
=
+．
所以212121
||||2
AF B S F F y y ∆=⋅⋅-12||y y =-22
12143t t +=+1227=，解得21t =， 所以22
1r t
=
+2=． 故圆2F 的方程为：22(1)2x y -+=．
【答案】⑴22
143
x y +=；
⑵22(1)2x y -+=．
【例13】 已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，离心率为
12，且点31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
在该椭圆上．
⑴求椭圆C 的方程；
⑵过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若AOB ∆的面积为
62
7
，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程． 【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答
【关键字】2010年，海淀二模
【解析】⑴设椭圆C 的方程为22
221x y a b +=(0)a b >>，
由题意可得12c e a ==，又222a b c =+，所以223
4
b a =
因为椭圆C 经过31,2⎛⎫
⎪⎝⎭，代入椭圆方程有22914134a a +=，解得2a =
所以1c =，2
413b =-=故椭圆C 的方程为22143
x y +=．
⑵解法一：
当直线l x ⊥轴时，计算得到：31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，
1113
||||13222
AOB S AB OF ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意．
当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+，0k ≠
由22(1)14
3y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消去y ，得2222(34)84120k x k x k +++-=
显然0∆>成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，
则2122834k x x k +=-+，2122
412
34k x x k
-⋅=+ 又2222212121212||()()()()AB x x y y x x k x x =-+-=-+-
22221212121()1()4k x x k x x x x =+⋅-=+⋅+-⋅
422
222
644(412)
1(34)34k k k
k k -=+-++
即222
2212112(1)
||13434k k AB k k k ++=+⋅=
++ 又圆O 的半径22
|00|||
11k k k r k k
⨯-+==
++ 所以1
||2
AOB S AB r ∆=⋅⋅
222112(1)||
2341k k k k
+=⋅⋅++226||162347k k k +==+ 化简，得4217180k k +-=，即22(1)(1718)0k k -+=，
解得211k =，2218
17
k =-（舍）
所以2
||221k r k ==+，故圆O 的方程为221
2x y +=． ⑵解法二：
设直线l 的方程为1x ty =-，
由22114
3x ty x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消去x ，得22(43)690t y ty +--=
因为0∆>恒成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，
则1212
22
69
,4343t y y y y t t +=
⋅=-++ 所以2
121212||()4y y y y y y -=+-⋅22223636(43)43t t t =+++22
121
43t t +=
+ 所以21
12216162
||||2437
AOB t S FO y y t ∆+=⋅⋅-==+ 化简得到4218170t t --=，即22(1817)(1)0t t +-=，
解得211,t =2217
18
t =-（舍）
又圆O 的半径为22|001|1
11t r t t
-⨯+==
++ 所以2
1221r t =
=
+，故圆O 的方程为：2212
x y += 【答案】⑴22
143
x y +=；
⑵221
2
x y +=．
【例14】 椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为32，长轴端点与短轴端点间的距离为
5．
⑴求椭圆C 的方程；
⑵设过点D (0,4)的直线l 与椭圆C 交于,E F 两点，O 为坐标原点，若OEF △为
直角三角形，求直线l 的斜率．
【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答
【解析】⑴由已知
223,52
c a b a =+=， 又222a b c =+，解得224,1a b ==，
所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=；
⑵根据题意，过点(0,4)D 满足题意的直线斜率存在，设:4l y kx =+， 联立22
144x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得22(14)32600k x kx +++=，
222(32)240(14)64240k k k ∆=-+=-，
令0∆>，解得2154
k >
．
设E 、F 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， ⅰ）当EOF ∠为直角时，
则1212
22
3260
,1414k x x x x k k +=-
=++， 因为EOF ∠为直角，所以0OE OF ⋅=u u u r u u u r
，即12120x x y y +=， 所以21212(1)4()160k x x k x x ++++=，
所以22
22
15(1)32401414k k k k
⨯+-+=++，解得19k =±． ⅱ）当OEF ∠或OFE ∠为直角时，不妨设OEF ∠为直角，
此时，1OE k k ⋅=，所以11114
1y y x x -⋅=-，即221114x y y =-……①
又2
21114
x y +=…………② 将①代入②，消去1x 得2113440y y +-=，
解得12
3
y =
或12y =-（舍去）， 将123y =代入①，得12
5,3x =±所以1
145y k x -==±， 经检验，所求k 值均符合题意，综上，k 的值为19±和5±．
【答案】⑴2
214
x y +=；
⑵k 的值为19±和5±．
【例15】 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为
12，且经过点31,2M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，过点()2,1P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ．
⑴求椭圆C 的方程；
⑵是否存直线l ，满足2
PA PB PM ⋅=u u u r u u u r u u u u r ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答
【解析】⑴设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
由题意得22
22219141
2a b c a a b c ⎧+=⎪⎪
⎪=⎨⎪
⎪=+⎪⎩
解得224,3a b ==，
故椭圆C 的方程为22
143
x y += 5分
⑵若存在直线l 满足条件，设直线l 的方程为(2)1y k x =-+
由22
1,43
(2)1x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=-+⎩
得222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--= 因为直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ．
设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y
所以222[8(21)]4(34)(16168)0.k k k k k ∆=---⋅+⋅--> 整理，得32(63)0k +>
解得1
2
k >-．
又2121222
8(21)16168
,3434k k k k x x x x k k ---+==
++ 且2PA PB PM ⋅=u u u r u u u r u u u u r ．即12125(2)(2)(1)(1)4
x x y y --+--=．
所以2212(2)(2)(1)||x x k PM --+=5
4=
即212125
[2()4](1).4
x x x x k -+++=
所以222
222161688(21)445[24](1)3434344k k k k k k k k k ---+-⋅++==+++
解得12k =±．所以1
2
k =．
于是，存在直线l 满足条件，其方程为1
2
y x =．
【答案】⑴22
143x y +=；
⑵1
2
y x =．
【例16】 已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率2e =，右准
线方程为2x =．
⑴求椭圆的标准方程；（准线方程2
a x c
=）
⑵过点1F 的直线l 与该椭圆交于M ，N 两点，且22226
F M F N +=u u u u u r u u u u r ，求直线l 的
方程．
【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答
【关键字】2009年，四川高考
【解析】⑴由条件有2222c a a c
⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩，解得2a =1c =．∴221b a c =-=．
所以，所求椭圆的方程为2
212
x y +=．
⑵由⑴知1(10)F -，、2(10)F ，．
若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x =-． 将1x =-代入椭圆方程得2
y =． 不妨设21M ⎛- ⎝⎭，、21N ⎛-- ⎝⎭
，， ∴2222212(40)F M F N ⎛⎛+=-+-=- ⎝⎭⎝⎭
u u u u u r u u u u r ，，，． ∴224F M F N +=u u u u u r u u u u r
，与题设矛盾．
∴直线l 的斜率存在．
设直线l 的斜率为k ，则直线的方程为(1)y k x =+． 设11()M x y ，、22()N x y ，，
联立22
12(1)x y y k k ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消y 得2222(12)4220k x k x k +++-=．
由根与系数的关系知2122412k x x k -+=+，从而1212
2
2(2)12k
y y k x x k +=++=+， 又∵()2111F M x y =-u u u u u r ，，222(1)F N x y =-u u u u r
，， ∴221212(2)F M F N x x y y +=+-+u u u u u r u u u u r
，． ∴2
22221212(2)()F M F N x x y y +=+-++u u u u u r u u u u r 2
228221212k k k k ⎛⎫+⎛⎫
=+ ⎪ ⎪++⎝
⎭⎝⎭ 42424(1691)441k k k k ++=++．
∴42424(1691)226441k k k k ++=++⎝⎭
． 化简得424023170k k --=， 解得21k =或217
40
k =-（舍）．
∴1k =±．
∴所求直线l 的方程为1y x =+或1y x =--．
【答案】⑴2
212
x y +=．
⑵直线l 的方程为1y x =+或1y x =--．
【例17】 设椭圆22
221x y a b
+= (0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率2e =， M 、
N 是直线l ：2
a x c
=上的两个动点，且120F M F N ⋅=u u u u r u u u u r ． ⑴若12||||25F M F N ==u u u u r u u u u r
，求a 、b 的值．
⑵证明：当||MN u u u u r
取最小值时，12F M F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r 共线．
y
x
O F 2
F 1
N
M
【难度】4星 【题型】解答
【关键字】2008年，四川高考 【解析】⑴由已知，1(0)F c -，，2(0)F c ，．
由2e 2=，221
2
c a =，∴222a c =．
又222a b c =+，∴22b c =，222a b =．
∴l ：22
22a c x c c c
===，
因此1(2)M c y ，，2(2)N c y ，． 法一：
延长2NF 交1MF 于P ，记l 交x 轴于Q ．
P
Q M
N
F 1
F 2
O x y
12u u u u r u u u u r 12u u u u r u u u u r
12F M F N ⊥
由平面几何知识易证12Rt MQF Rt F QN ∆∆≌，
∴1
3QN FQ c ==，2QM F Q c ==，即1y c =，23y c =． ∵1225F M F N ==u u u u r u u u u r
，
∴22920c c +=，22c =，22b =，24a =．
∴2a =，2b =． 法二： ∵120F M F N ⋅=u u u u r u u u u r
，∴12(3)()0c y c y ⋅=，，，21230y y c =-<． 又1225F M F N ==u u u u r u u u u r
，
联立212221222392020y y c c y c y ⎧=-⎪
+=⎨⎪+=⎩
，消去1y 、2y 得：224(209)(20)9c c c --=，解得22c =．
∴2a =，2b =． ⑵∵1212(3)()0F M F N c y c y ⋅=⋅=u u u u r u u u u r
，
，，∴21230y y c =-<． 22
222121212121212222412MN y y y y y y y y y y y y c =-=+---=-=u u u u r ≥．
当且仅当123y y c =-=或213y y c =-=时，取等号．此时MN u u u u r
取最小值23c ．
此时1212(33)(3)(40)2F M F N c c c c c F F +=+==u u u u r u u u u r u u u u r
m ，
，，． ∴12F M F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r
共线．
另解： ∵120F M F N ⋅=u u u u r u u u u r
，∴12(3)()0c y c y ⋅=，，，2123y y c =-．
设1MF ，2NF 的斜率分别为k ，1k
-．
由1()32y k x c y kc x c =+⎧⇒=⎨=⎩；由21()
2y x c c y k
k x c
⎧
=--⎪⇒=-⎨⎪=⎩； 121323MN y y c k c k =-=⋅+u u u u r ≥．当且仅当13k k =即21
3
k =，3k =时取等号．
即当MN u u u u r 最小时，3
k =
此时1212(33)(33)(3)(40)2c F M F N c kc c c c c c c F F k ⎛
⎫+=+-±+== ⎪⎝
⎭u u u u r u u u u r u u u u r m ，
，=，，， ∴12F M F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r
共线．
【答案】⑴2a =，2b =;
⑵∵1212(3)()0F M F N c y c y ⋅=⋅=u u u u r u u u u r
，
，，∴21230y y c =-<． 22
222121212121212222412MN y y y y y y y y y y y y c =-=+---=-=u u u u r ≥．
当且仅当123y y c =-=或213y y c =-=时，取等号．此时MN u u u u r
取最小值23c ．
此时1212(33)(3)(40)2F M F N c c c c c F F +=+==u u u u r u u u u r u u u u r
m ，
，，． ∴12F M F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r
共线．
另解： ∵120F M F N ⋅=u u u u r u u u u r
，∴12(3)()0c y c y ⋅=，，，2123y y c =-．
设1MF ，2NF 的斜率分别为k ，1k
-．
由1()32y k x c y kc x c =+⎧⇒=⎨=⎩；由21()
2y x c c y k
k x c
⎧
=--⎪⇒=-⎨⎪=⎩； 121323MN y y c k c k =-=⋅+u u u u r ≥．
当且仅当13k k =即21
3
k =，3k =时取等号． 即当MN u u u u r 最小时，3
k =
此时1212(33)(33)(3)(40)2c F M F N c kc c c c c c c F F k ⎛⎫+=+-±+== ⎪⎝
⎭u u u u r u u u u r u u u u r m ，，=，，，
∴12F M F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r
共线．
【例18】 已知椭圆2
2
:14
y C x +=，过点()03M ，
的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ．
⑴若l 与x 轴相交于点N ，且A 是MN 的中点，求直线l 的方程；
⑵设P 为椭圆上一点，且OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r
（O 为坐标原点），求当3AB <数λ的取值范围．
【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答
【关键字】2009年，西城一模
【解析】⑴设()11A x y ，，因为A 为MN 的中点，且M 的纵坐标为3，N 的纵坐标为0，所
以132
y =
， 又因为点()11A x y ，在椭圆C 上， 所以22
11
14y x +=，即219
116
x +=，解得17x = 则点A 的坐标为732⎫⎪⎪⎝⎭，或732⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，， 所以直线l 的方程为77210x y -+=或677210x y +-=．
⑵设直线AB 的方程为3y kx =+或0x =，()11A x y ，，()22B x y ，，()33P x y ，， 当AB 的方程为0x =时，43AB => 当AB 的方程为3y kx =+时：
由题设可得A 、B 的坐标是方程组223
14
y kx y x =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩的解，
消去y 得()
224650k x kx +++=，
所以()()
2
262040k k ∆=-+>，即25k >， 则12264k x x k -+=+，12254x x k ⋅=+，()()1212
2
24
334y y kx kx k +=+++=+， 因为()
()2
2
12123AB x x y y =
-+-
2
2
22
6201344k k k k
-⎛⎫
+- ⎪++⎝⎭216813k -<<， 所以258k <<．
因为OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r
，即()()()112233x y x y x y λ+=，，，，
所以当0λ=时，由0OA OB +=u u u r u u u r r ，得122604k x x k -+==+，122
24
04y y k
+==+， 上述方程无解，所以此时符合条件的直线l 不存在；
当0λ≠时，()123264x x k x k λλ+-==+，()123
224
4y y y k λλ+==+， 因为点()33P x y ，在椭圆上，
所以()()2
2
22
61241444k k k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， 化简得22
36
4k
λ=
+， 因为258k <<，所以234λ<<， 则((
)
2332λ∈-U
，．
综上，实数λ的取值范围为())
2332-U
，．
【答案】⑴直线l 的方程为677210x y -+=或677210x y +-=．
⑵实数λ的取值范围为()
2332-U
，．
【例19】 已知1F 、2F 分别是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，右焦点2(0)F c ，到上
顶点的距离为2，若26a c =．
⑴求此椭圆的方程；
⑵点A 是椭圆的右顶点，直线y x =与椭圆交于M 、N 两点（N 在第一象限内），
又P 、Q 是此椭圆上两点，并且满足120||||NP NQ F F NP NQ ⎛⎫+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r u u u r
u u u u
r u u u r u u u r ，求证：向量PQ u u u r 与AM u u u u r 共线．
【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无
【解析】⑴ 由题知：222222642
43a c a a b a b c ⎧⎧=⎪⎪
=⇒⎨⎨=⎪⎪=+⎩⎩
， 所以椭圆方程为22
3144
x y +=．
⑵ ∵120||||NP NQ F F NP NQ ⎛⎫+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，而||||NP NQ
NP NQ +u u u r u u u r
u u u r u u u r 与PNQ ∠的平分线平行， ∴PNQ ∠的平分线垂直于x 轴．
由223144
y x x y =⎧⎪
⎨+
=⎪⎩，得(11)(11)M N --，，，．
不妨设PN 的斜率为k ，则QN 的斜率k -；因此PN 和QN 的方程分别为： (1)1y k x =-+、(1)1y k x =--+，其中0k ≠．
由22(1)13144
y k x x y =-+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩，得222(13)6(1)3610k x k k x k k +--+--=，
∵(11)N ，在椭圆上，∴1x =是上面方程的一个根．
从而22
36113P k k x k --=+，同理2236113Q k k x k +-=+，
于是直线PQ 的斜率为(1)1(1)11
3p Q P Q PQ P Q P Q y y k x k x k x x x x --++--=
==--． 又易知1
3
AM
k =，所以向量PQ u u u r 与AM u u u u r 共线． 【答案】⑴椭圆方程为22
3144
x y +=．
⑵ ∵120||||NP NQ F F NP NQ ⎛⎫+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，而||||NP NQ
NP NQ +u u u r u u u r
u u u r u u u r 与PNQ ∠的平分线平行， ∴PNQ ∠的平分线垂直于x 轴．
由223144
y x x y =⎧⎪
⎨+=⎪⎩，得(11)(11)M N --，，，．
不妨设PN 的斜率为k ，则QN 的斜率k -；因此PN 和QN 的方程分别为： (1)1y k x =-+、(1)1y k x =--+，其中0k ≠．
由22(1)13144
y k x x y =-+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩，得222(13)6(1)3610k x k k x k k +--+--=，
∵(11)N ，在椭圆上，∴1x =是上面方程的一个根．
从而22
36113P k k x k --=+，同理2236113Q k k x k +-=+，
于是直线PQ 的斜率为(1)1(1)11
3
p Q P Q PQ P Q P Q y y k x k x k x x x x --++--=
==--．
又易知1
3
AM
k =，所以向量PQ u u u r 与AM u u u u r 共线．
【例20】 一束光线从点1(10)F -，出发，经直线l ：230x y -+=上一点P 反射后，恰好穿过
点2(10)F ，，
⑴求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标； ⑵求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；
⑶设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，且不为A 、B ，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．
【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无
【解析】⑴设1F '的坐标为(,)m n ，则
112n m =-+，且123022
m n
-⋅-+=． 可得到点1F '的坐标为92,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭．
⑵∵11||||PF PF '=，根据椭圆定义，
得12122||||||a PF PF F F ''=+=2
2
92102255⎛⎫⎛⎫
=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴2a ，又1c =，∴211b =-=．
∴所求的椭圆C 的方程为2
212
x y +=．
⑶∵2
2a c
=，椭圆的准线方程为2x =±．
设点Q 的坐标为(,23)(22)t t t +-<<，1d 表示点Q 到2F 的距离，2d 表示点Q 到椭圆的右准线的距离，则2221(1)(23)51010d t t t t -++++2|2|d t =-． 2212251010225(2)d t t t t d t ++++==⋅-2t μ=-，则(40)μ∈-，，2t μ=+， 于是21222(2)2(2)2106551d d μμμμμ++++=⋅=++2
131
5210100μ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 1
14μ⎛
⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，，当1310μ=-，即103μ=-，43t =-时，有12min
22d d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，
此时点Q 的坐标为41,33⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
【答案】⑴点1F '的坐标为92,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
⑵2
212
x y +=． ⑶点Q 的坐标为41,33⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
【例21】 已知直线220x y -+=经过椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左顶点A 和上顶点
D ．
椭圆C 的右顶点为B ．点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线10
:3
l x =
分别交于M N ，两点． ⑴求椭圆C 的方程；
⑵求线段MN 的长度的最小值．
⑶当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TSB ∆的面积为1
5
？若存在，确定点T 的个数；若不存在，说明理由． l
N
M
D B
S
y
x
O
A 【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答
【关键字】2009年，福建高考
【解析】⑴由已知得，椭圆C 的左顶点为()20A -，，上顶点为()01D ，，∴2a =，1b =．
故椭圆C 的方程为2
214
x y +=．
⑵直线AS 的斜率k 显然存在，且0k >，故可设直线AS 的方程为(2)y k x =+， 从而10163
3k M ⎛⎫
⎪⎝⎭，．
由22
(2)
14
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()
222214161640k x k x k +++-=． 设()11S x y ，，则()212164214k x k --⋅=+得2122814k x k -=+，从而1
2414k
y k =+， 即2222841414k k S k k ⎛⎫
- ⎪++⎝⎭
，， 又()20B ，．故直线BS 的方程为()1
24y x k
=-
-．
由()124103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得10313x y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，∴10133N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，故161||33k MN k =+
． 又0k >，∴1611618
233333
k k MN k k =+⋅=≥， 当且仅当
16133k k =
，即1
4k =时等号成立． ∴14k =时，线段MN 的长度取最小值83
．
⑶由⑵可知，当MN 取最小值时，1
4
k =，
此时BS 的方程为20x y +-=，6455s ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，∴42BS =
要使椭圆C 上存在点T ，使得TSB ∆的面积等于1
5，只须T 到直线BS 的距离等于
2， 所以T 在平行于BS 且与BS 2
的直线l 上． 设直线:0l x y t '++=， 22=
解得32t =-或52
t =-． ①当32t =-时，由2
21430
2
x y x y ⎧+=⎪⎪
⎨⎪+-=⎪⎩，得251250x x -+=．
由于440∆=>，故直线l '与椭圆C 有两个不同的交点；
②当52t =-时，由2
21450
2
x y x y ⎧+=⎪⎪
⎨⎪+-=⎪⎩，得2520210x x -+=．
由于200∆=-<，故直线l '与椭圆C 没有交点．
综上所述，当线段MN 的长度最小时，椭圆上仅存在两个不同的点T ，使得TSB
∆的面积等于1
5
．
法二： ⑴同法一
⑵设()00S x y ，，则220014x y +=，∴22
0014
x y =-．
故2
000200012244
SA SO
y y y k k x x x ⋅=⋅==-+--． 设10
3
M
M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，103N N y ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，则0M y >，0N y <．
则9110106442233
N N N M SA SO y y y y k k ⋅=
⋅==-+-，()169M S y y ⋅-=． 故()()8
23
M N M N MN y y y y =+-⋅-≥，
当且仅当()4
3M N y y =-=时等号成立．
即MN 的长度的最小值为8
3
．
⑶由⑵可知，当MN 取最小值时，10
43
3N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．∵()20B ，，∴1BS BN k k ==-．
此时BS 的方程为20x y +-=，6455S ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，∴42BS =
设与直线BS 平行的直线方程为0x y t ++=． 由22
014
x y t x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，
，得2258440x tx t ++-=， 当直线与椭圆C 有唯一公共点时，有()
226420440t t ∆=--=，解得5t =±． 当5t =两平行直线:20BS x y +-=与1:50l x y +=间的距离1522
d +=
；
当5t =-时，两平行直线:20BS x y +-=与2:50l x y +=间的距离2522
d -=
∵1
5
TSO S ∆=
，且42BS =TSB ∆在BS 边上的高2d =．
∵21d d d <<，∴椭圆C 上存在两个不同的点T ，使得TSB ∆的面积等于1
5
．
即线段MN 的长度最小时，椭圆C 上仅存在两上不同的点T ，使得TSB ∆的面积等于15
． 【答案】⑴椭圆C 的方程为2
214
x y +=．
⑵14k =时，线段MN 的长度取最小值83
．
⑶线段MN 的长度最小时，椭圆C 上仅存在两上不同的点T ，使得TSB ∆的面积等于15
．。