2019-2020学年辽宁省大连市高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年辽宁省大连市高一第二学期期末数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．已知i是虚数单位，复数＝（）
A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
2．若＜α＜，则点P（cosα﹣sinα，sinα﹣tanα）位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．函数f（x）＝cos（2x+）的一条对称轴为（）
A．B．C．D．﹣
4．已知两条直线l，m和一个平面α，下列说法正确的是（）
A．若l⊥m，m∥α，则l⊥αB．若l⊥m，l⊥α，则m∥α
C．若l⊥α，m∥α，则l⊥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
5．已知一个圆柱上，下底面的圆周都在同一个球面上，球的直径为10，圆柱底面直径为6，则圆柱的侧面积为（）
A．12πB．24πC．36πD．48π
6．平面上的单位向量，，满足（﹣）2＝（||+||）2，则（）A．﹣═||+||B．•＝C．﹣＝D．+＝
7．已知向量＝（，tanα），＝（1，cosα），若⊥，则cos（α+）＝（）A．﹣B．C．﹣D．
8．若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（）
A．B．1C．D．2
9．三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD＝，AB＝BC＝CA＝，当三棱锥体积最大时，侧棱BD的长为（）
A．1B．C．D．2
10．已知函数y＝A sin（ωx+φ）+B（其中A，ω，φ，B均为常数，A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ的值为（）
A．B．C．D．
11．已知向量＝，||＝5，，则||＝（）A．3B．3C．4D．4
12．已知点O为△ABC的外心，且A＝，＝，则△ABC的形状是（）A．直角三角形
B．等边三角形
C．直角三角形或等边三角形
D．钝角三角形
二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷卡的相应位置上）13．已知tanα＝，π＜α＜2π，则cosα＝．
14．如果复数z满足|z﹣i|＝1，则|z+1+i|的最小值为．
15．半正多面体亦称“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的几何体，体现了数学的对称美．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，如图所示，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若二十四等边体的棱长为2，且其各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为．
16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱AD1，B1C上的动点，且满足AP＝B1Q，则下列命题中，所有正确命题的序号为．
①当点P异于点A时，直线PB1与直线AQ一定异面；
②△BPQ的面积为定值；
③P，Q运动过程中，均有BC⊥PQ；
④P，Q运动过程中，线段PQ在面BB1C1C内射影所形成的区域面积是四边形BB1C1C
面积的一半，
三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知复数z＝．
（Ⅰ）当实数m为何值时，复数z为实数；
（Ⅱ）若实数m＝1，且az+b＝（为z的共轭复数），求实数a，b的值．
18．在△ABC中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b cos C+c sin B．（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若2b＝a+c，试判断△ABC的形状并加以证明．
19．已知在四面体ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，点E，F，G，M分别为棱AD，BD，DC，BC上的点，且BM＝MC，DF＝2FB，DG＝2GC，AE＝λAD（0≤λ≤1）．（Ⅰ）当λ＝时，求证：AM∥平面EFG；
（Ⅱ）当λ变化时，求证：平面ADM⊥平面EFG．
20．已知在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，二面角C1﹣AB﹣C的大小为60°，点F为棱DD1的中点，点E在核BB1上，且BE＝BB1．
（Ⅰ）在图1中，过A，E，F三点作正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的截面，并指出截面和棱C1C交点G的位置（不必说明画法和理由）；
（Ⅱ）求直线A1B和平面BB1D1D所成角的余弦值（如图2）；
（Ⅲ）求四面体A1EBF的体积（如图
2）．
21．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+，g（x）＝sin x．
（Ⅰ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）将函数f（x）图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数h（x）的图象，并设F（x）＝h（x）+t（g（x）+g（x+））．若F（x）＞0在[0，]上有解，求实数t的取值范围．
22．今年春节，突如其来的疫情对消费市场造成巨大冲击，全国范围内餐饮业都受到重大影响．进入五月随着天气转暖，国内新冠肺炎疫情防控形势持续向好，各大城市在做好防控工作的同时，在灯火通明的城市商圈和步行街也逐渐开放了夜市以发展经济．在“全民夜市练摊”的热潮中，某商场经营者贾某准备在商场门前经营冷饮生意．已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中顶角A＝120°，且在该区域内点P处有一棵树，经测量点P到区域边界AM，AN的距离分别为PH＝3m，PG＝2m（m为长度单位）．贾某准备过点P修建一条长椅BC（点B，C分别落在AM，AN上，长椅的宽度及树的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息．
（Ⅰ）若∠PCA＝30°，求长椅BC的长度；
（Ⅱ）求点A到点P的距离；
（Ⅲ）为优化经营面积，当AB等于多少时，该三角形ABC区域面积最小？并求出最小面积．
参考答案
一.选择题（共12小题）.
1．已知i是虚数单位，复数＝（）
A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
解：复数＝＝＝2+i，
故选：A．
2．若＜α＜，则点P（cosα﹣sinα，sinα﹣tanα）位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：若＜α＜，则sinα∈（，1），cosα∈（0，），tanα∈（1，+∞），所以cosα﹣sinα＜0，sinα﹣tanα＜0，
所以点P（cosα﹣sinα，sinα﹣tanα）位于第三象限．
故选：C．
3．函数f（x）＝cos（2x+）的一条对称轴为（）
A．B．C．D．﹣
解：对于函数y＝cos（2x+），令2x+＝kπ，求得x＝kπ﹣，k∈Z，故当k＝1时，它的图象的一条对称轴方程为x＝．
故选：B．
4．已知两条直线l，m和一个平面α，下列说法正确的是（）
A．若l⊥m，m∥α，则l⊥αB．若l⊥m，l⊥α，则m∥α
C．若l⊥α，m∥α，则l⊥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
解：由两条直线l，m和一个平面α，知
对于A，若l⊥m，m∥α，则l与α相交、平行或l⊂α，故A错误；
对于B，若l⊥m，l⊥α，则m∥α或m⊂α，故B错误；
对于C，若l⊥α，m∥α，则由线面垂直和线面平行的性质得l⊥m，故C正确；
对于D，若l∥α，m∥α，则l与m相交、平行或异面，故D错误．
故选：C．
5．已知一个圆柱上，下底面的圆周都在同一个球面上，球的直径为10，圆柱底面直径为6，则圆柱的侧面积为（）
A．12πB．24πC．36πD．48π
解：设圆柱的高为h，圆的半径为R，圆柱底面半径为r，
根据题意，R＝＝5，r＝＝3，
根据勾股定理，可得h＝＝4，
∴h＝8．
∴S侧＝2πrh＝2π•3•8＝48π．
故选：D．
6．平面上的单位向量，，满足（﹣）2＝（||+||）2，则（）A．﹣═||+||B．•＝C．﹣＝D．+＝
解：（﹣）2＝+﹣2＝+﹣2||||cos＜＞，（||+||）2＝++2||||，
因为（﹣）2＝（||+||）2，所以可得+﹣2||||cos＜＞＝++2||||，
即有cos＜＞＝﹣1，故、是一组反向的单位向量，
即有+＝，
故选：D．
7．已知向量＝（，tanα），＝（1，cosα），若⊥，则cos（α+）＝（）A．﹣B．C．﹣D．
解：∵向量＝（，tanα），＝（1，cosα），若⊥，
∴＝+sinα＝0，即sinα＝﹣，
则cos（α+）＝sinα＝﹣，
故选：A．
8．若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（）
A．B．1C．D．2
解：圆锥的轴截面顶角为，母线长为l＝2，
所以过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为
S最大值＝l2＝×22＝2．
故选：D．
9．三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD＝，AB＝BC＝CA＝，当三棱锥体积最大时，侧棱BD的长为（）
A．1B．C．D．2
解：∵三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD＝，AB＝BC＝CA＝，
∴当三棱锥体积最大时，平面ADC⊥平面ABC，
取AC中点O，连结DO，BO，
则DO⊥AC，DO＝＝，
BO⊥AC，BO＝＝，
∵平面ADC⊥平面ABC，∴DO⊥BO，
∴侧棱BD＝＝＝．
故选：C．
10．已知函数y＝A sin（ωx+φ）+B（其中A，ω，φ，B均为常数，A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ的值为（）
A．B．C．D．
解：由函数y＝A sin（ωx+φ）+B的部分图象知，
，解得A＝B＝；
又＝﹣（﹣）＝，解得T＝；
所以|ω|＝＝；
（1）当ω＞0时，函数的解析式为y＝sin（x+φ）+，
又f（﹣）＝sin（×（﹣）+φ）+＝3，
sin（﹣+φ）＝1，﹣+φ＝2kπ+，k∈Z；
解得φ＝2kπ+，k∈Z；
又|φ|＜，此时φ取不到符合题意的值；
（2）当ω＜0时，函数的解析式为y＝﹣sin（x﹣φ）+，
又f（﹣）＝﹣sin（×（﹣）﹣φ）+＝3，
sin（﹣﹣φ）＝﹣1，﹣﹣φ＝2kπ+，k∈Z；
解得φ＝﹣2kπ﹣，k∈Z；
又|φ|＜，
可得k＝﹣1时，φ＝，
综上，φ的值为．
故选：A．
11．已知向量＝，||＝5，，则||＝（）A．3B．3C．4D．4
解：由题得||＝1，则•＝（）＝﹣＝1×5×cos A﹣1＝3，解得cos A＝，
则||2＝（）2＝+﹣2＝25+1﹣2×5×1×cos A＝26﹣8＝18，则||＝3，
故选：B．
12．已知点O为△ABC的外心，且A＝，＝，则△ABC的形状是（）A．直角三角形
B．等边三角形
C．直角三角形或等边三角形
D．钝角三角形
解：取AB、AC的中点E、F，
则＝（）＝＝（）•（）＝（a2﹣b2），同理＝（c2﹣a2），所以2a2＝b2+c2．
又A＝，由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣bc，
即b2+c2＝a2+bc，所以bc＝a2，
由正弦定理，得sin B sin C＝sin2A＝，即sin B sin（﹣B）＝，
所以sin B sin（﹣B）＝sin B（cos B+sin B）＝sin2B+＝，
所以sin2B﹣cos2B＝2，所以2sin（2B﹣）＝2，即sin（2B﹣）＝1，
因为B，2B﹣∈（﹣，），
所以2B﹣＝，解得B＝，
所以A＝B＝C＝，△ABC的形状是等边三角形．
故选：B．
二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷卡的相应位置上）13．已知tanα＝，π＜α＜2π，则cosα＝﹣．
解：∵tanα＝＞0，π＜α＜2π，
∴π＜α＜，
∴cosα＝﹣＝﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
14．如果复数z满足|z﹣i|＝1，则|z+1+i|的最小值为﹣1．
解：|z﹣i|＝1的几何意义是以A（0，1）为圆心，半径为1的圆，
|z+1+i|的几何意义为圆上点P，到点B（﹣1，﹣1）的距离，
则由圆的性质知|z+1+i|的最小值为|AB|﹣1＝﹣1＝﹣1，
故答案为：﹣1
15．半正多面体亦称“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的几何体，体现了数学的对称美．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，如图所示，其中八个面为正三
角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若二十四等边体的棱长为2，且其各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为16π．
解：由题意根据几何体的对称性可得，
该几何体的外接球即为底面棱长为2，侧棱长为2的正四棱柱的外接球，
设外接球的半径为R，则（2R）2＝2×22+）2＝16，
所以外接球的表面积S＝4πR2＝16π，
故答案为：16π．
16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱AD1，B1C上的动点，且满足AP＝B1Q，则下列命题中，所有正确命题的序号为①③④．
①当点P异于点A时，直线PB1与直线AQ一定异面；
②△BPQ的面积为定值；
③P，Q运动过程中，均有BC⊥PQ；
④P，Q运动过程中，线段PQ在面BB1C1C内射影所形成的区域面积是四边形BB1C1C
面积的一半，
解：①若直线PB1与直线AQ共面，则AP与B1Q共面，矛盾，故①正确；
②当P在A处时，△BPQ的面积为，
当P在AD1中点时，triangleBPQ的面积为，面积不是定值，故②错误；
③BC垂直于PQ在平面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PQ，故③正确；
④因为PQ在面BB1C1C内射影的中点为AC与BD的交点O，
故线段PQ在面BB1C1C内射影所形成的区域面积为△OAD与△OBC的面积之和，故④正确．
故答案为：①③④．
三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知复数z＝．
（Ⅰ）当实数m为何值时，复数z为实数；
（Ⅱ）若实数m＝1，且az+b＝（为z的共轭复数），求实数a，b的值．
解：（Ⅰ）若z是实数，则，得m＝4．
（Ⅱ）若m＝1，则z＝2﹣3i，
由az+b＝得a（2﹣3i）+b＝2+3i，
即2a+b﹣3ai＝2+3i，
则，得．
18．在△ABC中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b cos C+c sin B．（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若2b＝a+c，试判断△ABC的形状并加以证明．
解：（Ⅰ）因为a＝b cos C+c sin B，
所以sin A＝sin B cos C+sin C sin B，
即sin（B+C）＝sin B cos C+sin C sin B，
整理得sin B cos C+cos B sin C＝sin B cos C+sin C sin B，
所以cos B sin C＝sin C sin B，解得tan B＝，即内角B＝；
（Ⅱ）因为b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac，
又因为2b＝a+c，所以（）2＝a2+c2﹣ac，
整理可得（a﹣c）2＝0，解得a＝c，
又因为B＝，
所以△ABC为正三角形．
19．已知在四面体ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，点E，F，G，M分别为棱AD，BD，DC，BC上的点，且BM＝MC，DF＝2FB，DG＝2GC，AE＝λAD（0≤λ≤1）．
（Ⅰ）当λ＝时，求证：AM∥平面EFG；
（Ⅱ）当λ变化时，求证：平面ADM⊥平面EFG．
【解答】证明：（Ⅰ）当λ＝时，，
∵四面体ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，
点E，F，G，M分别为棱AD，BD，DC，BC上的点，BM＝MC，DF＝2FB，DG＝2GC，∴EF∥AB，EG∥AC，又EF∩EG＝E，AB∩AC＝A，
∴平面ABC∥平面EFG，
∵AM⊂平面ABC，∴AM∥平面EFG．
（Ⅱ）∵AB＝AC，DB＝DC，点E，F，G，M分别为棱AD，BD，DC，BC上的点，BM＝MC，DF＝2FB，DG＝2GC，AE＝λAD（0≤λ≤1）．
∴AM⊥BC，DM⊥BC，BC∥GF，
∵AM∩DM＝M，∴BC⊥平面ADM，
∵GF∥BC，∴GF⊥平面ADM，
∵GF⊂平面EFG，
∴当λ变化时，平面ADM⊥平面EFG．
20．已知在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，二面角C1﹣AB﹣C的大小为60°，点F为棱DD1的中点，点E在核BB1上，且BE＝BB1．
（Ⅰ）在图1中，过A，E，F三点作正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的截面，并指出截面和棱C1C交点G的位置（不必说明画法和理由）；
（Ⅱ）求直线A1B和平面BB1D1D所成角的余弦值（如图2）；
（Ⅲ）求四面体A1EBF的体积（如图2）．
解：（Ⅰ）截面AEGF如图所示，其中G为CC1靠近C1的四等分点．
（Ⅱ）连结A1C1，设其与B1D1的交点为点O1，连结O1B，
由题意可知AB⊥平面BCC1B1，
BC⊂平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，
∴AB⊥BC，AB⊥BC1，
∴∠C1BC为二面角C1﹣AB﹣C的平面角，∴∠C1BC＝60°．
∴C1C＝2，
∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴A1C1⊥B1D1，
∵A1C1⊥B1B，B1B∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，
∴直线O1B是直线A1B在平面BB1D1D上的射影，
∴∠A1BO1即为A1B和平面BB1D1D所成角，
在Rt△A1BO1中，A1B＝＝＝4，
BO1＝＝＝，
∴cos∠A1BO1＝，
∴直线A1B和平面BB1D1D所成角的余弦值为．
（Ⅲ）∵BE＝，
∴＝＝，
由（Ⅱ）知：A1O1⊥平面BB1F，
又A1O1＝，∴四面体A1EBF的体积＝＝．
21．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+，g（x）＝sin x．
（Ⅰ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）将函数f（x）图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数h（x）的图象，并设F（x）＝h（x）+t（g（x）+g（x+））．若F（x）＞0在[0，]上有解，求实数t的取值范围．
解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+＝sin2x﹣2•+＝
sin2x+cos2x＝2sin（2x+），
∵x∈[0，]，
∴2x+∈[，π]，
∴sin（2x+）∈[0，1]，
∴f（x）＝2sin（2x+）∈[0，2]，函数f（x）的值域为[0，2]…4分
（Ⅱ）∵由题意可得h（x）＝4sin2x，…6分
∴F（x）＝4sin2x+t[sin x+sin（x+）]＝4sin2x+t（sin x+cos x），（0≤x≤），设u＝sin x+cos x＝sin（x+），
∵x∈[0，]，
∴u∈[1，]，且sin2x＝u2﹣1，
∴F（x）＞0在[0，]上有解，等价于不等式4（u2﹣1）+tu＞0在u∈[1，]时有解，即存在u∈[1，]使得﹣t＜4（u﹣）成立，
∵y＝4（u﹣）在u∈[1，]时单调递增，
∴y＝4（u﹣）≤4（）＝2，
∴﹣t＜2，即t＞﹣2，即实数t的取值范围为（﹣2，+∞）…12分
22．今年春节，突如其来的疫情对消费市场造成巨大冲击，全国范围内餐饮业都受到重大影响．进入五月随着天气转暖，国内新冠肺炎疫情防控形势持续向好，各大城市在做好防控工作的同时，在灯火通明的城市商圈和步行街也逐渐开放了夜市以发展经济．在“全民夜市练摊”的热潮中，某商场经营者贾某准备在商场门前经营冷饮生意．已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中顶角A＝120°，且在该区域内点P处有一棵树，经测量点P到区域边界AM，AN的距离分别为PH＝3m，PG＝2m（m为长度单位）．贾某准备过点P修建一条长椅BC（点B，C分别落在AM，AN上，长椅的宽度及树的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息．
（Ⅰ）若∠PCA＝30°，求长椅BC的长度；
（Ⅱ）求点A到点P的距离；
（Ⅲ）为优化经营面积，当AB等于多少时，该三角形ABC区域面积最小？并求出最小
面积．
解：（I）当∠PCA＝30°时，∠PBA＝30°，
∵PG＝2，PH＝3，∴PB＝2PH＝6，PC＝2PG＝4，
∴BC＝PB+PC＝10（m）．
（II）由四边形的内角和可知：∠GPH＝180°﹣120°＝60°，
连接GH，在△PGH中，由余弦定理可得：GH2＝4+9﹣2×2×3×cos60°＝7，
∴GH＝．
故cos∠PGH＝＝，∴sin∠AGH＝．
在△AGH中，由正弦定理可得：，即，
∴AH＝，
在Rt△APH中，由勾股定理可得：AP＝＝＝（m）．
（III）∵S△ABC＝+＝AC+AB，S△ABC＝
＝AB•AC，
∴AC+AB＝AB•AC，
又AC+AB≥2，
∴AB•AC≥2，故AB•AC≥32，当且仅当AC＝AB即AB＝时取等号，
∴当AB＝m时，三角形ABC的面积最小，最小面积为••4＝8．。