高考数学高三模拟试卷试题压轴押题一对一个性化教案007
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高考数学高三模拟试卷试题压轴押题一对一个性化教案
学生签字:教学主任审批:
华实教育一对一个性化学案
教师:肖老师学生:日期: 年月日时间:
§教学内容: 高考专题——数列
◆教学目标:
掌握的数列、等差(比)数列的概念,掌握等差(比)数列的通项公式、求和公式及相关的性质,能够运用等差(比)数列的性质去解决相关问题
◆重难点:
能够运用等差(比)数列的性质与不等式、函数结合去解决综合问题
◆教学步骤及内容:
数列
一.数列的概念:数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n })的特殊函数,数列
的通项公式也就是相应函数的解析式。
如
(1)已知*
2
()156
n n a n N n =
∈+,则在数列{}n a 的最大项为.
(2)数列}{n a 的通项为1
+=
bn an
a n
,其中b a ,均为正数,则n a 与1+n a 的大小关系为.
(3)已知数列{}n a 中,2n a n n λ=+,且{}n a 是递增数列,则实数λ的取值范围.
二.等差数列的有关概念:
1.等差数列的判断方法:定义法1(n n a a d d +-=为常数)或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。
如
设{}n a 是等差数列,求证:以bn=n
a a a n
+++ 21*n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差
数列。
2.等差数列的通项:1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。
如
(1)等差数列{}n a 中,1030a =,2050a =,则通项n a =
(2)首项为24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是______
3.等差数列的前n 和:1()2n n n a a S +=
,1(1)
2n n n S na d -=+。
如 (1)数列 {}n a 中,*11(2,)2
n n a a n n N -=+≥∈,32n a =,前n 项和15
2n S =-,则1a =
_,n =_
(2)已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-,求数列{||}n a 的前n 项和n T
4.等差中项:若,,a A b 成等差数列,则A 叫做a 与b 的等差中项,且2
a b
A +=。
提醒:
(1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…(公差为d );偶数个数成等差,可设为…,
3,,,3a d a d a d a d --++,…(公差为2d )
三.等差数列的性质:
1.当公差0d ≠时,等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,且斜率为公差
d ;前n 和211(1)()222
n n n d d
S na d n a n -=+
=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 2.若公差0d >,则为递增等差数列,若公差0d <,则为递减等差数列,若公差0d =,则为常数列。
3.当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=.如
(1)等差数列{}n a 中,12318,3,1n n n n S a a a S --=++==,则n =____
(2)在等差数列{}n a 中,10110,0a a <>,且1110||a a >,n S 是其前n 项和,则
A 、1210,S S S 都小于0,1112,S S 都大于0;
B 、1219,S S S 都小于0,2021,S S 都大于0
C 、125,S S S 都小于0,67
,S S 都大于0 D 、12
20,S S S 都小于0,2122
,S S 都大于0
4.若{}n a 、{}n b 是等差数列,则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、
p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、
232,,n n n n n S S S S S -- ,…也成等差数列,而{}n a a 成等比数列;若{}n a 是等比数列,且0n a >,则{lg }n a 是等差数列. 如
等差数列的前n 项和为25,前2n 项和为100,则它的前3n 和为。
5.在等差数列{}n a 中,当项数为偶数2n 时,S S nd =偶奇-;项数为奇数21n -时,S S a -=奇偶中,
21(21)n S n a -=-⋅中(这里a 中即n a );:(1):奇偶S S k k =+。
如
(1)在等差数列中,S11=22,则6a =______
(2)项数为奇数的等差数列{}n a 中,奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的中间项与项数.
6.若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ,且
()n
n
A f n
B =,则 21
21
(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.如 设{n a }与{n b }是两个等差数列,它们的前n 项和分别为n S 和n T ,若
3
413-+=n n T S n n ,那么
=n
n
b a ___________
7.“首正”的递减等差数列中,前n 项和的最大值是所有非负项之和;“首负”的递增等差数列中,前n 项和的最
小值是所有非正项之和。
法一:由不等式组⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负(或非正);法二:因等差数列前n 项是关于n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性
*n N ∈。
上述两种方法是运用了哪种数学思想?(函数思想),由此你能求一般数列中的最大或最小项
吗?如
(1)等差数列{}n a 中,125a =,917S S =,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。
(2)若{}n a 是等差数列,首项10,a >200320040a a +>,200320040a a ⋅<,则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是
8.如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是
原两等差数列公差的最小公倍数. 注意:公共项仅是公共的项,其项数不一定相同,即研究n m a b =.
四.等比数列的有关概念:
1.等比数列的判断方法:定义法1(n n a q q a +=为常数),其中0,0n q a ≠≠或11
n n n n a a a a +-=
(2)n ≥。
如
(1)一个等比数列{n a }共有21n +项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则1n a +为____
(2)数列{}n a 中,n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1,若n n n a a b 21-=+ ,求证:数列{n b }是等比数列。
2.等比数列的通项:11n n a a q -=或n m n m a a q -=。
如
设等比数列{}n a 中,166n a a +=,21128n a a -=,前n 项和n S =126,求n 和公比q .
3.等比数列的前n 和:当1q =时,1n S na =;当1q ≠时,1(1)1n n a q S q
-=-11n a a q
q -=
-。
如 (1)等比数列中,q =2,S99=77,则=+++9963a a a .
特别提醒:等比数列前n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前n 项和时,首先要判断公比q 是否为1,再由q 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比q 是否为1时,要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解。
4.等比中项:若,,a A b 成等比数列,那么A 叫做a 与b 的等比中项。
提醒:不是任何两数都
有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个,()a b a b ≠的等差中项为A ,等比中项为B ,则A 与B 的大小关系为.
提醒:(1)等比数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、q 、n 、n a 及n S ,其中1a 、q 称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2;(2)为减少运算
量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为…,22,,,,a a
a aq aq q q
…(公比为q );但偶数个数成等
比时,不能设为 (33)
,,,aq aq q
a
q a ,…,因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为2q 。
如有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求此四个数。
(答:15,,9,3,1或0,4,8,16)
5.等比数列的性质:
(1)当m n p q +=+时,则有m n p q a a a a =,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a =.如
(1)在等比数列{}n a 中,3847124,512a a a a +==-,公比q 是整数,则10a =.
(2)各项均为正数的等比数列{}n a 中,若569a a ⋅=,则3132310log log log a a a ++
+=.
(2) 若{}n a 是等比数列,则{||}n a 、*{}(,)p nq a p q N +∈、{}n ka 成等比数列;若{}{}n n a b 、成等比数列,则
{}n n a b 、{}n n
a
b 成等比数列; 若{}n a 是等比数列,且公比1q ≠-,则数列232,,n n n n n S S S S S -- ,…也是等
比数列。
当1q =-,且n 为偶数时,数列232,,n n n n n S S S S S -- ,…是常数数列0,它不是等比数列. 如
(1)已知0a >且1a ≠,设数列{}n x 满足1log 1log a n a n x x +=+(*)n N ∈,且12100100x x x +++=,
则101102200x x x +++=.
(2)在等比数列}{n a 中,n S 为其前n 项和,若140,1330
101030=+=S S S S ,则20S 的值为.
(3)若10,1a q >>,则{}n a 为递增数列;若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列;若10,01a q ><< ,则{}n a 为递减数列;若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列;若0q <,则{}n a 为摆动数列;若1q =,则{}n a 为常数列.
(4) 当1q ≠时,b aq q
a
q q a S n n n +=-+--=
1111,这里0a b +=,但0,0a b ≠≠,这是等比数列前n 项和公式的一个特征,据此很容易根据n S ,判断数列{}n a 是否为等比数列。
如
若{}n a 是等比数列,且3n n S r =+,则r =.
(5) m n m n m n n m S S q S S q S +=+=+.如
设等比数列}{n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,若12,,n n n S S S ++成等差数列,则q 的值为.
(6) 在等比数列{}n a 中,当项数为偶数2n 时,S qS =偶奇;项数为奇数21n -时,1S a qS =+奇偶.
(7)如果数列{}n a 既成等差数列又成等比数列,那么数列{}n a 是非零常数数列,故常数数列{}n a 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
如设
数列{}n a 的前n 项和为n S (N ∈n ), 关于数列{}n a 有下列三个命题:①若)(1
N ∈=+n a a n n ,则
{}n a 既是等差数列又是等比数列;②若()R ∈+=b a n b n a S n 、
2,则{}n a 是等差数列;③若()n
n S 11--=,则{}n a 是等比数列。
这些命题中,真命题的序号是.
五.数列的通项的求法:
⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。
如已知数列 ,32
1
9,1617,815,413试写出其一个通项公式:__________
⑵已知n S (即12()n a a a f n ++
+=)求n a ,用作差法:{
11,(1),(2)
n n n S n a S S n -==
-≥。
如 ①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+,求n a
②数列{}n a 满足
12211
1
2522
2
n n a a a n +++
=+,求n a
⑶已知12()n a a a f n =求n a ,用作商法:(1),(1)()
,(2)
(1)
n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
如数列}{n a 中,,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ,则=+53a a ______
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法:11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+
+-
1a +(2)n ≥。
如已知数列{}n a 满足11a =,n
n a a n n ++=
--111(2)n ≥,则n a =________
⑸已知
1()n n a f n a +=求n a ,用累乘法:12
112
1
n n n n n a a
a a a a a a ---=⋅⋅⋅
⋅(2)n ≥。
如已知数列}{n a 中,21=a ,前n 项和n S ,若n n a n S 2=,求n a
⑹已知递推关系求n a ,用构造法(构造等差、等比数列)。
特别地,
(1)形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+(,k b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的
等比数列后,再求n a 。
如
①已知111,32n n a a a -==+,求n a ②已知111,32n n n a a a -==+,求n a
(2)形如1
1n n n a a ka b
--=+的递推数列都可以用倒数法求通项。
如
①已知1
111,31
n n n a a a a --==+,求n a ;
②已知数列满足1a =1
,
,求n a .
注意:(1)用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时,你注意到此等式成立的条件了吗?(2n ≥,当
1n =时,11S a =);(2)一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时,常需运用关系式1--=n n n S S a ,先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式,然后再求解。
如数列{}n a 满足
1115
4,3
n n n a S S a ++=+=,求n a
六.数列求和的常用方法:
1.公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式,特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与1的关系,必要时需分类讨论.;③常用公式:1123(1)2
n n n +++
+=+,
222112(1)(21)6n n n n ++
+=++,33332(1)123[]
2
n n n +++++=.如
(1)等比数列{}n a 的前n 项和S n=2n-1,则2
232221n
a a a a ++++ =_____
2.分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和. 如求:1357(1)(21)n n S n =-+-+-+--=.
3.倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n 和公式的推导方法). 如
①求证:012
35(21)(1)2n
n n n n n C C C n C n +++
++=+;
②已知22
()1x f x x =+,则111
(1)(2)(3)(4)()()()234
f f f f f f f ++++++=.
4.错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位
相减法(这也是等比数列前n 和公式的推导方法).
如(1)设{}n a 为等比数列,121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++,已知11T =,24T =,
①求数列{}n a 的首项和公比; ②求数列{}n T 的通项公式.
(2)设函数)1(4)()1()(2-=-=x x g x x f ,,数列}{n a 满足:
()()()()
++∈-==N n a g a a a f a n n n n ,,211,
①求证:数列}1{-n a 是等比数列; ②令212()(1)(1)h x a x a x =-+-(1)n n a x +
+-,求函数)(x h 在点38=
x 处的导数)3
8
(h ',并比较)3
8
(
h '与n n -22的大小。
5.裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有:
①
111(1)1n n n n =-++; ②1111()()n n k k n n k
=-++; ③22
11111
()1211
k k k k <=---+,211111111(1)(1)1k k k k k k k k k -=<<=-++--; ④1111
[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ;⑤11(1)!!(1)!
n n n n =-++;
⑥
=<<=. 如(1)求和:
111
1447
(32)(31)
n n +++
=⨯⨯-⨯+
(2)在数列{}n a 中,1
1++=
n n a n ,且S n=9,则n =_____
6.通项转换法:先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和。
如 ①求数列1×4,2×5,3×6,…,(3)n n ⨯+,…前n 项和n S =
②求和:111112123
123n
++++
=++++++
+
高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
4、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
的.
(1)已知集合{1,}A =2,3,{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ,则A
B =
(A ){1}(B ){1
2},(C ){0123},,,(D ){10123}-,,,, (2)已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限,则实数m 的取值范围是
(A )(31)
-,(B )(13)-,(C )(1,)∞+(D )(3)∞--,
(3)已知向量(1,)(3,2)m =-,=a b ,且()⊥a +b b ,则m= (A )-8(B )-6 (C )6 (D )8
(4)圆
22
28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1,则a= (A )43-
(B )3
4-
(C )3(D )2
(5)如图,小明从街道的E 处出发,先到F 处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
(A )24 (B )18 (C )12 (D )9
(6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为
(A )20π(B )24π(C )28π(D )32π
四、若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π
12个单位长度,则评议后图象的对称轴为
(A )x=kπ2–π6 (k ∈Z) (B )x=kπ2+π6 (k ∈Z) (C )x=kπ2–π12 (k ∈Z) (D )x=kπ2+π
12
(k ∈Z)
(8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图, 若输入的x=2,n=2,依次输入的a 为2,2,5,则输出的s=
(A )7 (B )12 (C )17 (D )34 (9)若cos(π4–α)=3
5,则sin 2α=
(A )725(B )15(C )–15(D )–7
25
(10)从区间[]
0,1随机抽取2n 个数
1x ,
2
x ,…,
n
x ,
1
y ,
2
y ,…,
n
y ,构成n 个数对()11,x y ,
()22,x y ,…,(),n n x y ,其中两数的平方和小于1的数对共有
m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率
π的近似值为
(A )4n m (B )2n m (C )4m n (D )2m n
(11)已知F1,F2是双曲线E 22
221x y a b
-=的左,右焦点,点M 在E 上,M F1与x 轴垂直,
sin 211
3
MF F ∠=
,则E 的离心率为
(A
B )
3
2
(C
D )2 (12)已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-,若函数1x y x
+=与()
y f x =图像的交点为
1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1
()m
i i i x y =+=∑
(A )0 (B )m (C )2m (D )4m
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共3小题,每小题5分
(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若cos A=
45,cos C=5
13
,a=1,则b=. (14)α、β是两个平面,m 、n 是两条直线,有下列四个命题:
(1)如果m ⊥n ,m ⊥α,n ∥β,那么α⊥β. (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n.
(3)如果α∥β,m ⊂α,那么m ∥β. (4)如果m ∥n ,α∥β,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.
其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)
(15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3。
甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是。
(16)若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln (x+2)的切线,则b=。
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本题满分12分)
n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且7=128.n a S =,记[]=lg n n b a ,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[][]0.9=0lg99=1,.
(I )求111101b b b ,,;
(II )求数列{}n b 的前1 000项和.
18.(本题满分12分)
某险种的基本保费为a (单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下: 上年度出险次数
1 2 3 4 ≥5 保费
0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
一年内出险次数
1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05
(I )求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(II )若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;
(III )求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
19.(本小题满分12分) 如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=54,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置,10OD '=
(I )证明:D H '⊥平面ABCD ;
(II )求二面角B D A C '--的正弦值.
20. (本小题满分12分)
已知椭圆E:22
13
x y t +=的焦点在x 轴上,A 是E 的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E 于A,M 两点,点N 在E 上,MA ⊥NA.
(I )当t=4,AM AN =时,求△AMN 的面积;
(II )当2AM AN =时,求k 的取值范围.
(21)(本小题满分12分)
(I)讨论函数x x 2f (x)x 2
-=+e 的单调性,并证明当x >0时,(2)20;x x e x -++> (II)证明:当[0,1)a ∈时,函数2
x =(0)x e ax a g x x -->()有最小值.设g (x )的最小值为()h a ,求函数()h a 的值域.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
(22)(本小题满分10分)选修41:集合证明选讲
如图,在正方形ABCD ,E,G 分别在边DA,DC 上(不与端点重合),且DE=DG ,过D 点作DF ⊥CE ,垂足为F.
(I) 证明:B,C,E,F 四点共圆;
(II)若AB=1,E 为DA 的中点,求四边形BCGF 的面积.
(23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy 中,圆C 的方程为(x+6)2+y2=25.
(I )以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;
(II )直线l 的参数方程是(t 为参数),l 与C 交于A 、B 两点,∣AB ∣=,求l 的斜率。
(24)(本小题满分10分),选修4—5:不等式选讲
已知函数f(x)= ∣x ∣+∣x+∣,M 为不等式f(x)<2的解集.
(I )求M ;
(II)证明:当a,b∈M时,∣a+b∣<∣1+ab∣。