人教版七年级上册(新) 第1张 有理数 幻方 研究课 教案

幻方研究课教案
第一课时幻方（一）
一、内容和内容解析
1.内容
幻方的基本知识
2.内容解析
幻方是本章的选学内容，是学生初次接触组合数学，也是小学“找规律”问题的二维提升，也是提升学生数学兴趣的一次好机会。

本节内容结合学生前期自己查资料绘制的小报汇总出关于幻方的中外故事，从而引出关于三阶幻方的唯一性讨论、方程思想填数字、某些简单的填幻方的方法，
进而为下节课做出铺垫。

本节课的重点是方程思想的应用。

二、目标和目标解析
1.目标
知识技能：
（1）了解幻方的历史背景和演变；
（2）体会奇偶分析在整数问题中的使用；
数学思考：
（3）会用方程思想解决问题；
问题解决：
（4）在预习作业和课堂讨论的过程中体会数学的神奇和解决问题的成就感；
情感态度：
（5）通过讨论问题和同学讲解，体会分享和倾听的收获；
（6）对数学产生浓厚的兴趣，养成钻研思考的好习惯。

2.目标解析
目标（1）是对学生数学文化的丰富，也是对学生前期作业的肯定；由目标（1）引出问题，通过教师引导、学生讨论汇总达成目标（2）（3）；而后目标（4）（5）
也就顺水推舟般实现了。

三、教学问题诊断分析
本节难点是三阶幻方唯一性的证明。

四、教学过程设计
1.背景故事汇总
《周易》之一：“河图”（伏羲氏、衍生出八卦）
《周易》之二：“洛书”（大禹、城市建筑规划的风水问题）
印度寺庙“完美幻方”
名画《忧郁》中的4阶幻方
西班牙巴塞罗那圣家堂
外星人的礼物
杨辉《续古摘奇算法》之“对易法”
九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。

1
4 2
7 5 3
8 6
9
2. 神秘问题科学化
（1） 幻方的定义：将2
n 个数填入n×n 的方阵中，使每行、每列、以及每条对角
线上的n 个数之和相等（幻和），这个方阵称为n 阶幻方。

一般地，研究1, 2, 3, (2)
n 构成的幻方，该幻方的幻和S= （2） 三阶幻方的唯一性讨论：
幻和：S=15 中心数字：
（方法1）若中心数小于等于4，则无论1填在周围何处，1和中间数组成的行或列或对角线之和最大不超过14，与幻和为15矛盾；同样的道理，若中
心数大于等于6，则无论9填在何处都不行。

故中心数为5。

（方法2）利用两条对角线、两条中轴线各自和为15，而所有数字的和为45得154453x ⨯=+，故中心数字x 为5。

进而奇数阶幻方的中心数为平均数。

四角的奇偶性讨论：除5之外还有4奇4偶，在5的异侧两两配对（和为10，故同奇偶性配对）1-9、2-8、3-7、4-6。

如果四角都是奇数，则x 的左右上下为偶数，那么不含
x 的行列都是两奇一偶，与和为15矛盾；如果四角是一对奇数和一对偶数，则不妨设x 左右是另一对奇数，x 上下是另一对偶数，于是左右两列分别是两奇一偶，与和为15矛盾；所以四角都是偶数，x 的左右上下各一对奇数。

唯一确定：基于上述分析，所填3阶幻方通过有限的旋转、翻折都会回到洛书的样子。

即3阶幻方唯一确定。

（3） 三阶幻方填空
例1. 在图中空格处填上适当的数，构成一个三阶幻方
21(1)
2
n n +
例2. 如图为一个三阶幻方的一部分，求x 的值。

第二课时 幻方（二）
一、
内容和内容解析 1. 内容
对易法的理论依据和推广简化，奇数阶幻方的罗伯法、马步法，幻方与正交拉丁方 2. 内容解析
基于上节课对幻方的基本认识，深入研究典型算法的理论依据和一般性规律，最后从正交拉丁方的角度重新审视幻方，并且剖析、回顾以上方法。

本节教学重点是古今中外这些填写幻方的方法到底是“为什么”。

二、
目标和目标解析
1. 目标
（1） 理解对易法的本质，进而实现简化；
（2） 学会奇数阶幻方的几种经典填法，探究原理，进而得出一般性规律； （3） 了解正交拉丁方和幻方的关系。

2. 目标解析
目标（1）是对上节课的一次深入探究，究其缘由才能理解本质，这是开拓创新的前提；目标（2）中所提的经典方法已经出现在了学生的预习小报上，这节课在会操作的基础上讲清道理，激发学生的数学热情；在谈上述方法的道理时，学生难免遇到困难，换个角度对幻方再认识一次，然后回过头来看目标（2）中的方法，或许就一目了然豁然开朗了，这就是目标（3）中提到的正交拉丁方。

三、
教学问题诊断分析
对于罗伯法、马步法的原理探究，学生的回答难以预测，需有前期调查和充分预案；对正交拉丁方与幻方的结合，理解起来比较困难。

3(6)25d e d
e +-+=++=-3(2)2
1
a a
b b ++-=++=-3(1)(5)3
S =+-+-=-4,4,0
a c d =-==()()[(4)](8)
2(4)8
2
x a c x b d a b c d x x +++++=++-+++=-+=
四、
教学过程设计
1. 对易法的理论依据和简化
对易法也可以看成奇数不动，偶数对角互换再“四维挺出”。

以5阶幻方为例，幻和为65。

25个数字如图斜排之后，每行都是公差为-4的等差数列，每列都是公差为6的等差数列，计算每行每列的和发现：第1行加第6行为65，第2行
加第7行为65，第3行加第8行为65，第4行加第9行为65，第5行和即65。

列也具有同样的特点。

由此，后续步骤仿照“对易法”，有以下几种预案： （1）对角对调偶数（轴对称） （2）直接“上下对易、左右相更”
（3）先横排数字，推出偶数，得到斜排幻方
2. 奇数阶幻方的罗伯法、马步法
首先要把幻方的每行每列都看成封闭的，即每行最后一格的右边是左边第一格，每行第1个格的左边是最右一格，每列最下一格的下边是最上一格，每列最上一格的上边是最下边一格。

（1） 把1填入第一行正中间；
（2） 罗伯法：把1~n 依次填入前一个数的右上角；
马步法：把1~n 依次填入前一个数的“右1下2”的位置（中国象棋中马跳“日”字）；
（3） 第n+1个数放在第n 个数的下面一格，再按（2）的对应方法依次填入下一
个数，直到2n ；
（4） 第2n+1个数放在第2n 个数的下面一格；
……
（5）依此类推，直到放完最后一个数。

以1~25构成的5阶幻方为例，使用“罗伯法”填写如下：
4
16 17 23 4 10
马步法图略。

思考问题：为什么？（为什么行列满足、对角线满足？为什么1的位置被固定？换其他
地儿行不行？其他步伐行不行？）
尝试其他步伐，例如“右2下2”，发现也可以构成幻方；尝试改变1的位置，发现行列仍然满足，但对角线不满足，通过改变kn+1和kn 的衔接方式可以得到对角线的成功。

带着这些问题进入下面的话题——
3. 幻方与正交拉丁方
游戏：将一副扑克牌中3种花色的A 、2、3共9张牌摆成3行3列，使得每行每列跑遍各种花色和各种数字。

其中花色形成的方阵（或者数字形成的方阵），满足每行每列分别跑遍3种花色（或者3个数字），就叫做拉丁方。

而这两个拉丁方组合在一起后恰好跑遍9种花色和数字的不同配搭，这个组合后的牌阵就叫做正交拉丁方。

再看一个5阶正交拉丁方（图1），将颜色和图案分别数字化：将“黑红蓝绿紫”分别记作01234，写在对应格的左上角，将5种图案分别记作12345，写在对应格的右下角，见图2。

之后将这个5阶正交拉丁方转化成1~25这25个自然数：把左上角的数字作为除以5的商，把右下角的数作为除以5的余数，例如（2，3）表示13，而（3，5）表示20，见图3。

此时每行每列的和都是幻和65，但对角线不满足，于是只需进行行列交换调整即可。

进行几次行列交换后得图4，两条对角线和各为65，即为幻方。

图1 图2
1 9 13 17 25
8
12 20 21
4 1
5 1
6 24
3
7
1 1
4
2
3
3
2
4
5
1
3 2
2
3
5
4
1
4 2
5 3
1
4
4
3
1
2
3
4 4
3
2
1
5
2
1
4
2
0 5 1
1
2
4
3
3
图3 图4
回看刚才的扑克牌游戏，自己把不同花色分别定义成012，仿照上述方法把自己排出的正交拉丁方数量化，得到的3阶方阵每行每列和都是15，但对角线很可能不满足，通过行列交换不难得到合适的对角线（把5调到中心位置），即“洛书”。

再回看在“奇数阶罗伯法马步法”中遗留的问题（以5阶为例说明）：
无论是罗伯法还是马步法，都使得1~5这5个数字没有两个数在同一行或者同一列（即跑遍行和列），同样使6~10这5个数字没有两个数在同一行或者同一列，……排满后每行每列上的数字除以5的商取遍0、1、2、3、4，余数取遍1、2、3、4、5，（整除的记为余5，例如10除以5商1余5），所以每行每列的和都是幻和65。

而只有1在第一行正中时（或者最后一行正中，或者第1列、第5列正中），对角线才会和为65。

其中一条对角线商跑遍0~4，余数跑遍1~5，即跑遍颜色和图案，和自然是65；而另外一条对角线商都是2，余数跑遍1~5，即为同一颜色的不同图案，和为 . 这与5-6之间、10-11之间、15-16之间、20-21之间的衔接方式有关，改变起始1的位置，通过调整kn 与kn+1（k=1,2,3,…,n-1）的衔接方式可以得到其他的排列方法。

例如起点1放在第1行第2个格，把原来正下方的衔接方式改为右下角，即kn+1放在kn 的右下角，即可完成此幻方。

接下来可以考虑自己发明其他步伐走法了，比如说像“小飞象”一样“右2下2”每次飞过一个“井”字格，起点和衔接方式不变，最后也会成功的。

其实，对于奇数阶幻方，怎样的步伐（当然一定是斜向的，不能横平或竖直的）都会使1~n,n+1~2n,2n+1~3n,……分别占满各行各列，保持起点和衔接方式不变，则对角线也会满足要求。

4. 小结 5. 作业 五、反思
(01234)51234565
++++⨯+++++=25
51234565⨯⨯+++++=。