山东省枣庄市滕州市官桥镇中心中学高二数学理下学期期末试卷含解析

山东省枣庄市滕州市官桥镇中心中学高二数学理下学期期末
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. “”是“”的（）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条
件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
由题意，则或，
所以“”是“”的必要不充分条件，故选B．
2. 设两点A、B的坐标为A（﹣1，0）、B（1，0），若动点M满足直线AM与BM的斜率之积为﹣2，则动点M的轨迹方程为（）
A．x2﹣=1 B．x2﹣=1（x≠±1）
C．x2+=1 D．x2+=1（x≠±1）
参考答案：
D
【考点】轨迹方程．
【分析】由题意可得：设M（x，y），写出直线AM与直线BM的斜率分别为，，结合题意得到x与y的关系，进而得到答案．
【解答】解：由题意可得：设M（x，y），
所以直线AM与直线BM的斜率分别为，，x≠±1．
因为直线AM与直线BM的斜率之积为﹣2，
所以?=﹣2，化简得：x2+=1．x≠±1所以动点M的轨迹E的方程为x2+=1（x≠±1）．
故选：D．
【点评】本题主要考查求曲线轨迹方程的方法，注意x的范围，考查转化思想以及计算能力．
3. 函数图象交点的横坐标所在区间是( )
A. （1，2）
B. （2，3）
C. （3，4）
D. （1，5）
参考答案：
C
试题分析：设
的零点在区间与图象交点的横坐标所在区间是，故选C．考点：曲线的交点．
【方法点晴】本题考曲线的交点，涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、综合程度高，属于较难题型．设
的零点在区间与图象交点的横坐标所在区间是
4. 双曲线C的方程为，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，过点F2作直线与双曲线C的右半支交于点P，Q，使，则的内切圆半径为（）
A．B．2 C．3 D．
参考答案：
B
5. 复数i﹣1（i是虚数单位）的虚部是（）
A
6. “1＜m＜2”是“方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
C
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据椭圆的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，
则，
即，
解得1＜m＜2，即“1＜m＜2”是“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，故选：C
7. 设非空集合P，Q满足P∩Q=P，则（）
A．?x∈Q，有x∈P B．?x?Q，有x?P
C．?x0?Q，使得x0∈P D．?x0∈P，使得x0?P
参考答案：
B
【考点】特称命题．
【分析】根据交集运算结果判定集合关系，再结合Venn图判断元素与集合的关系即可．
【解答】解：∵P∩Q=P，∴P?Q
∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选B．
8. 物体的运动位移方程是S=10t－t2 (S的单位：m), 则物体在t=2s的速度是
（）
A．2 m/s B．4 m/s C．6 m/s D．8 m/s
参考答案：
C
略
9. 椭圆的左、右焦点分别是F1、F2，P是椭圆上一点，则△PF1F2的周长为（）A．10 B．16 C．18
D．20
参考答案：
B
10. 下列命题中的假命题是( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若数列{a n}是等差数列，且，则数列{b n}是等差数列．类比上述性质，相应地，若数列{c n}是等比数列，且c n＞0，d
n= ，则有数列{d n}也是等比数列．
参考答案：
【考点】F3：类比推理．
【分析】由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，可类比推理出结论．
【解答】解：在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时， 由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法， 由算术平均数类比推理为几何平均数等，
则对于，则数列{b n }也是等差数列．
类比推断：若数列{c n }是各项均为正数的等比数列，则当d n =时，数列{d n }也是等比数
列． 故答案为：
【点评】本题主要考查了类比推理，找出两类事物之间的相似性或一致性，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题，属于中档题． 12. f′（x ）是
的导函数，则f′（﹣1
）的值是 ．
参考答案：
3
【考点】函数的值；导数的运算．
【专题】计算题．
【分析】利用求导法则（x n
）′=nx n ﹣1
，求出f （x ）的导函数，然后把x 等于﹣1代入导函数中求出f′（﹣1）即可．
【解答】解：f′（x ）=x 2+2，把x=﹣1代入f′（x ）得：f′（﹣1）=1+2=3 故答案为：3
【点评】此题考查学生灵活运用求导法则求函数的导函数，会求自变量对应的导函数的函数值，是一道基础题． 13. 函数
的导函数为
，若对于定义域内任意
，
，有
恒成立，则称
为恒均变函数．给出下列函数：①
；
②；③；④；⑤．其中为恒均变函数的序号
是 ．（写出所有满足条件的函数的序号）
参考答案：
①②
14. 直线l 1：（3+a ）x+4y=5﹣3a 和直线l 2：2x+（5+a ）y=8平行，则a= ．
参考答案：
﹣7
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】直线与圆．
【分析】根据两直线平行的条件可知，（3+a ）（5+a ）﹣4×2=0，且5﹣3a≠8．进而可求出a 的值．
【解答】解：直线l 1：（3+a ）x+4y=5﹣3a 和直线l 2：2x+（5+a ）y=8平行，
则 （3+a ）（5+a ）﹣4×2=0，
即a 2+8a+7=0．
解得，a=﹣1或a=﹣7．
又∵5﹣3a≠8，
∴a≠﹣1． ∴a=﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查两直线平行的条件，其中5﹣3a≠8是本题的易错点．属于基础题．
15. （几何证明选讲选做题）
如图，AD 为圆O 直径，BC 切圆O 于点E ，AB⊥BC，DC⊥BC，AB=4，DC=1，则AD 等于 ．
参考答案：
5
考点：与圆有关的比例线段．
专题：计算题．
分析：先连接OE ，根据切线的性质得OE⊥BC．又AB⊥BC，DC⊥BC，O 是AD 中点，再根据梯形的中位线定理得出OE=（AB+DC ），即可得出答案． 解答： 解：连接OE ，∵BC 切圆O 于点E ，
∴OE⊥BC．又∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴AB∥OE∥DC，又O 是AD 中点，
∴OE=（AB+DC ）， ∴AD=2OE=5． 故答案为：5．
点评：本题考查的是切线的性质及中位线定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出垂直关系进行解答．
16. 已知曲线y=x 2 （x ＞0）在点P 处切线恰好与圆C ：x 2+（y+1）2=1相切，则点P 的坐标为 ． 参考答案：
（
，6）
略
17. 设A ，B 为抛物线y 2=2px （p ＞0）上相异两点，则
的最小值为 ．
参考答案：
﹣4p 2
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ）．则=4（x A ?x B +y A ?y B ），分类讨论，结合韦
达定理，
=4（a 2
﹣2ap ）=4[（a ﹣p ）2
﹣p 2
]≥﹣4p 2
即可得出结论．
【解答】解：设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ）．则+=（x A +x B ，y A +y B ），=﹣=（x B ﹣x A ，y B ﹣
y A ），
=4（x A ?x B +y A ?y B ），
若直线AB 斜率存在，设为y=k （x ﹣a ），
则
，整理得：k 2x 2﹣2（ak 2+p ）x+k 2a 2=0，
x A ?x B =a 2，y A ?y B =k 2（x A ﹣a ）（x B ﹣a ）=﹣2ap ，
=4（x A ?x B +y A ?y B ）=4（a 2
﹣2ap ）=4[（a ﹣p ）2
﹣p 2
]≥﹣4p 2
，．
若直线不存在，当x A =x B =a ，y A =﹣y B =
时，上式也成立．
故所求最小值为﹣4p 2．
当且仅当直线AB 过点（p ，0）时等号成立， 故答案为：﹣4p 2．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据. 单价（万元） 销量
（件）
(1)①求线性回归方程；②谈谈商品定价对市场的影响；
(2)估计在以后的销售中，销量与单价服从回归直线，若该产品的成本为4.5元/件，为使科研所获利最大，该产品定价应为多少？
（附：
）
参考答案：
（1）①依题意：
，
∴回归直线的方程为.
②由于
，则
负相关，故随定价的增加，销量不断降低.
（2）设科研所所得利润为，设定价为，∴，
∴当时，.故当定价为元时，取得最大值.
19. 有甲，乙两班进行数学考试，按照大于等于80分为优秀，80分以下为非优秀统计成绩后，得列联
表，已知全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为
，
本题可以参考独立性检验临界值表
（1）请完成上面的列联表；
（2）根据列联表中数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩优秀与班级有关系”？
参考答案：
解：（1）优秀的学生人数为
，所以列联表为
（2）根据列联表的数据
＞3.841，因此有95%的把握认为
“成绩与班级有关”（4分）
略
20. （本小题满分12分）设△
的内角
所对的边分别为
,
且
,
,
.
(Ⅰ)求
的值； (Ⅱ)求△
的面积.
参考答案：
(Ⅰ)由余弦定理
,得
,
又,
,
,所以
…… 4分,
解得
,
. …… 6分
(Ⅱ)在△中, …… 9分
因此. …… 12分
21. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。

某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。

该建筑物每年的能源消耗费用C
（单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=若不建隔热层，
每年能源消耗费用为8万元。

设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。

（Ⅰ）求k 的值及f (x )的表达式。

（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值。

参考答案：
，因此
.,当隔热层修建
厚时，总费用达到最小值为70万元。

解：（Ⅰ）设隔热层厚度为
，由题设，每年能源消耗费用为
.
再由，得
，因此.
而建造费用为
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
（Ⅱ）
，令
，即
.
解得，（舍去）.
当时，，当时，，故是的最小值点，对应的最小值
为。

当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元。

22. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，在线段PC上是否存在点M，使二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°．若存在，试确定点M的位置，若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）由已知得PQ⊥AD，BQ⊥AD，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．
（2）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在点M为线段PC靠近P的三等分点满足题意．
【解答】（1）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，
又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，
又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
又∵AD?平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD．
（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD，
以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，如图
则Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣2，，0）
设，0＜λ＜1，则M（﹣2λ，，），
平面CBQ的一个法向量=（0，0，1），设平面MBQ的法向量为=（x，y，z），
由，得=（，0，），
∵二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°，
∴cos60°=|cos＜＞|=||=，
解得，∴ =，
∴存在点M为线段PC靠近P的三等分点满足题意．
【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．。