高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 二 绝对值不等式 2 绝对值不等式的解法讲义(含解析)新人教

2．绝对值不等式的解法
1．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法
只需将ax ＋b 看成一个整体，即化成|x |≤a ，|x |≥a (a >0)型不等式求解．
|ax ＋b |≤c (c >0)型不等式的解法：先化为－c ≤ax ＋b ≤c ，再由不等式的性质求出原不等式的解集．
不等式|ax ＋b |≥c (c >0)的解法：先化为ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集．
2．|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．
(2)以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．
(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．
|f (x )|≥g (x )和|f (x )|≤g (x )型不等式的解法
(1)1<|x －2|≤3； (2)|2x ＋5|>7＋x ； (3)
1x 2
－2≤1
|x |
. [思路点拨](1)可利用公式转化为|ax ＋b |>c (c >0)或|ax ＋b |<c (c >0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式；
(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式； (3)可分类讨论去掉分母和绝对值． [解](1)法一：原不等式等价于不等式组
⎩
⎪⎨
⎪⎧
|x －2|>1，|x －2|≤3，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x <1或x >3，
－1≤x ≤5，
解得－1≤x <1或3<x ≤5，
所以原不等式的解集为[－1,1)∪(3,5]． 法二：原不等式可转化为：
①⎩⎪⎨⎪⎧
x －2≥0，
1<x －2≤3，
或②⎩⎪⎨
⎪⎧
x －2<0，
1<－(x －2)≤3，
由①得3<x ≤5，由②得－1≤x <1， 所以原不等式的解集是[－1,1)∪(3,5]．
法三：原不等式的解集就是1<(x －2)2
≤9的解集，即
⎩⎪⎨⎪
⎧
(x －2)2
≤9，(x －2)2>1，
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
－1≤x ≤5，x <1或x >3，
∴－1≤x <1或3<x ≤5.
∴原不等式的解集是[－1,1)∪(3,5]． (2)由不等式|2x ＋5|>7＋x ，
可得2x ＋5>7＋x 或2x ＋5<－(7＋x )， 整理得x >2或x <－4.
∴原不等式的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
(3)①当x 2
－2<0且x ≠0，即－2<x <2，且x ≠0时，原不等式显然成立． ②当x 2
－2>0时，
原不等式可化为x 2
－2≥|x |，即|x |2
－|x |－2≥0， ∴|x |≥2，∴不等式的解为|x |≥2， 即x ≤－2或x ≥2.
∴原不等式的解集为(－∞，－2]∪(－2，0)∪(0，2)∪[2，＋∞)．
含绝对值不等式的常见类型及其解法
(1)形如|f (x )|<a ，|f (x )|>a (a ∈R)型不等式 此类不等式的简单解法是等价命题法，即 ①当a >0时，|f (x )|<a ⇒－a <f (x )<a ； |f (x )|>a ⇔f (x )>a 或f (x )<－a . ②当a ＝0时，|f (x )|<a 无解；
|f(x)|>a⇔f(x)≠0.
③当a<0时，|f(x)|<a无解．
|f(x)|>a⇔f(x)有意义．
(2)形如|f(x)|<|g(x)|型不等式
此类问题的简单解法是利用平方法，即
|f(x)|<|g(x)|⇔[f(x)]2<[g(x)]2
⇔[f(x)＋g(x)][f(x)－g(x)]<0.
(3)形如|f(x)|<g(x)，|f(x)|>g(x)型不等式
此类不等式的简单解法是等价命题法，即
①|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)；
②|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)(其中g(x)可正也可负)．若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂．
(4)形如a<|f(x)|<b(b>a>0)型不等式
此类问题的简单解法是利用等价命题法，即
a<|f(x)|<b(0<a<b)⇔a<f(x)<b或－b<f(x)<－a.
(5)形如|f(x)|<f(x)，|f(x)|>f(x)型不等式
此类题的简单解法是利用绝对值的定义，即
|f(x)|<f(x)⇔x∈∅，
|f(x)|>f(x)⇔f(x)<0.
1．解下列不等式：
(1)|3－2x|<9；
(2)4＜|3x－2|＜8；
(3)|x2－3x－4|>x＋1.
解：(1)∵|3－2x|<9，∴|2x－3|<9.
∴－9<2x－3<9.
即－6<2x<12.
解得－3<x<6.
∴原不等式的解集为{x|－3<x<6}．
(2)由4＜|3x －2|＜8，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
|3x －2|＞4，
|3x －2|＜8⇒
⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x －2＜－4或3x －2＞4，
－8＜3x －2＜8⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x ＜－2
3或x ＞2，－2＜x ＜10
3
.
∴－2＜x ＜－23或2＜x ＜10
3
.
∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
－2＜x ＜－23或2＜x ＜
10
3. (3)不等式可转化为x 2
－3x －4>x ＋1或x 2
－3x －4<－x －1， ∴x 2
－4x －5>0或x 2
－2x －3<0. 解得x >5或x <－1或－1<x <3，
∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1,3)∪(5，＋∞).
|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法
[例2]解不等式|x ＋7|－|x －2|≤3. [思路点拨]解该不等式，可采用三种方法： (1)利用绝对值的几何意义； (2)利用各绝对值的零点分段讨论； (3)构造函数，利用函数图象分析求解．
[解] 法一：|x ＋7|－|x －2|可以看成数轴上的动点(坐标为x )到－7对应点的距
离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x ＝－1.由图易知不等式|x ＋7|－|x －2|≤3的解为x ≤－1，即x ∈(－∞，－1]．
法二：令x ＋7＝0，x －2＝0得x ＝－7，x ＝2. ①当x ＜－7时，不等式变为－x －7＋x －2≤3， ∴－9≤3成立，∴x ＜－7.
②当－7≤x ≤2时，不等式变为x ＋7＋x －2≤3， 即2x ≤－2，∴x ≤－1，∴－7≤x ≤－1. ③当x ＞2时，不等式变为x ＋7－x ＋2≤3， 即9≤3不成立，∴x ∈∅.
∴原不等式的解集为(－∞，－1]．
法三：将原不等式转化为|x ＋7|－|x －2|－3≤0， 构造函数y ＝|x ＋7|－|x －2|－3， 即y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－12，x ＜－7，2x ＋2，－7≤x ≤2，
6，x ＞2.
作出函数的图象，由图可知，当x ≤－1时，有y ≤0， 即|x ＋7|－|x －2|－3≤0， ∴原不等式的解集为(－∞，－1]．
|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．
2．解不等式|2x ＋1|－|x －4|>2. 解：法一：令y ＝|2x ＋1|－|x －4|，
则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x －5，x ≤－12
，
3x －3，－12
<x <4，
x ＋5，x ≥4.
作出函数y ＝|2x ＋1|－|x －4|与函数y ＝2的图象，
它们的交点为(－7,2)和⎝ ⎛⎭
⎪⎫53，2.
∴|2x ＋1|－|x －4|>2的解集为(－∞，－7)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫53，＋∞. 法二：当x ≥4时，(2x ＋1)－(x －4)>2， 解得x >－3，∴x ≥4.
当－1
2≤x <4时，(2x ＋1)＋(x －4)>2，
解得x >53，∴5
3
<x <4.
当x <－1
2时，－(2x ＋1)＋(x －4)>2，
解得x <－7，∴x <－7.
综上可知，不等式的解集为(－∞，－7)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫53，＋∞. 3．解不等式|x －1|＋|2－x |＞3＋x . 解：把原不等式变为|x －1|＋|x －2|＞3＋x ， ①当x ≤1时，
∴原不等式变为－(x －1)－(x －2)＞3＋x ，解得x ＜0； ②当1＜x ≤2时，
∴原不等式变为x －1－(x －2)＞3＋x ，解得x ∈∅； ③当x ＞2时，
∴原不等式变为x －1＋x －2＞3＋x ，解得x ＞6. 综上，原不等式解集为(－∞，0)∪(6，＋∞).
含绝对值不等式的恒成立问题
[例3] X 围． (1)若不等式有解； (2)若不等式解集为R ； (3)若不等式解集为∅.
[思路点拨]解答本题可以先根据绝对值|x －a |的意义或绝对值不等式的性质求出|x ＋2|－|x ＋3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m 的取值X 围．
[解]法一：因为|x ＋2|－|x ＋3|的几何意义为数轴上任意一点P (x )与两定点A (－2)，
B (－3)距离的差．
即|x ＋2|－|x ＋3|＝|PA |－|PB |.
由图象知(|PA|－|PB|)max＝1，
(|PA|－|PB|)min＝－1.
即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的取值X围为(－∞，1)．
(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值小即可，即m＜－1，m的取值X围为(－∞，－1)．
(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值X围为[1，＋∞)．
法二：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，
可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)．
(2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)．
(3)若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞)．
问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式解集为R或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a，f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.
4．把本例中的“>”改成“<”，即|x＋2|－|x＋3|<m，其他条件不变时，分别求出m 的取值X围．
解：由例题知－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1，所以
(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值大即可，即m∈(－1，＋∞)．
(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值大即可，即m∈(1，＋∞)．
(3)若不等式的解集为∅，m只要不大于|x＋2|－|x＋3|的最小值即可，即m∈(－∞，－1]．
5．把本例中的“－”改成“＋”，即|x＋2|＋|x＋3|>m，其他条件不变时，分别求出m 的取值X围．
解：|x ＋2|＋|x ＋3|≥|(x ＋2)－(x ＋3)|＝1， 即|x ＋2|＋|x ＋3|≥1.
(1)若不等式有解，m 为任何实数均可，即m ∈R. (2)若不等式解集为R ，即m ∈(－∞，1)． (3)若不等式解集为∅，这样的m 不存在，即m ∈∅.
1．若不等式|ax ＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a 的取值为() A ．8 B ．2 C ．－4
D ．－8
解析：选C 原不等式化为－6<ax ＋2<6， 即－8<ax <4. 又∵－1<x <2，
∴验证选项易知a ＝－4适合． 2．不等式⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪x 2－x >x 2－x
的解集是()
A ．{x |0<x <2}
B ．{x |x <0或x >2}
C ．{x |x <0}
D ．{x |x >2}
解析：选B 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－x >x 2－x
，可知x 2－x <0，
∴x <0或x >2.
3．若关于x 的不等式|x ＋1|≥kx 恒成立，则实数k 的取值X 围是() A ．(－∞，0] B ．[－1,0] C ．[0,1]
D ．[0，＋∞)
解析：选C 作出y ＝|x ＋1|与l 1：y ＝kx 的图象如图所示，当
k <0时，直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k
＝0时，直线为x 轴，符合题意；当k >0时，要使|x ＋1|≥kx 恒成立，只需k ≤1.综上可知k ∈[0,1]．
4．如果关于x 的不等式|x －a |＋|x ＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a 的取值X 围是()
A ．(－∞，3]∪[5，＋∞)
B ．[－5，－3]
C ．[3,5]
D ．(－∞，－5]∪[－3，＋∞)
解析：选D 在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a ≤－5或a ≥－3. 5．不等式|x ＋2|≥|x |的解集是________．
解析：∵不等式两边是非负实数，所以不等式两边可以平方，两边平方得(x ＋2)2
≥x 2
，∴x 2
＋4x ＋4≥x 2
.
即x ≥－1.∴原不等式的解集为{x |x ≥－1}． 答案：{x |x ≥－1}
6．不等式|2x －1|－x <1的解集是__________． 解析：原不等式等价于|2x －1|<x ＋1⇔
－x －1<2x －1<x ＋1⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x >0，
x <2⇔0<x <2.
答案：{x |0<x <2}
7．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|＜a 的解集为∅，则a 的取值X 围为________． 解析：法一：由|x ＋2|＋|x －1|＝|x ＋2|＋|1－x |≥|x ＋2＋1－x |＝3，知a ≤3时，原不等式无解．
法二：数轴上任一点到－2与1的距离之和最小值为3.
所以当a ≤3时，原不等式的解集为∅. 答案：(－∞，3]
8．解不等式|2x －4|－|3x ＋9|<1. 解：(1)当x >2时，原不等式可化为
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x >2，
(2x －4)－(3x ＋9)<1，
解得x >2.
(2)当－3≤x ≤2时，原不等式可化为
⎩
⎪⎨
⎪⎧
－3≤x ≤2，－(2x －4)－(3x ＋9)<1，
解得－6
5
<x ≤2.
(3)当x <－3时，原不等式可化为
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x <－3，－(2x －4)＋(3x ＋9)<1，
解得x <－12.
综上所述，原不等式的解集为
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫xx <－12或x >－65.
9．已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|. (1)解不等式f (x )>1；
(2)当x >0时，函数g (x )＝ax 2－x ＋1
x
(a >0)的最小值大于函数f (x )，试某某数a 的取值
X 围．
解：(1)当x >2时，原不等式可化为x －2－x －1>1，解集为∅. 当－1≤x ≤2时，原不等式可化为2－x －x －1>1，即－1≤x <0； 当x <－1时，原不等式可化为2－x ＋x ＋1>1，即x <－1. 综上，原不等式的解集是{x |x <0}． (2)因为g (x )＝ax ＋1
x
－1≥2a －1，
当且仅当x ＝
a
a
时等号成立，所以g (x )min ＝2a －1， 当x >0时，f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－2x ，0<x ≤2，
－3，x >2，所以f (x )∈[－3,1)，
所以2a －1≥1，即a ≥1， 故实数a 的取值X 围是[1，＋∞)． 10．已知f (x )＝|ax －2|＋|ax －a |(a ＞0)． (1)当a ＝1时，求f (x )≥x 的解集；
(2)若不存在实数x ，使f (x )＜3成立，求a 的取值X 围． 解：(1)当a ＝1时，
f (x )＝|x －2|＋|x －1|≥x ，
当x ≥2时，原不等式可转化为x －2＋x －1≥x ，解得x ≥3；
当1＜x ＜2时，原不等式可转化为2－x ＋x －1≥x ，解得x ≤1，∴x ∈∅； 当x ≤1时，原不等式可转化为2－x ＋1－x ≥x ，解得x ≤1. 综上可得，f (x )≥x 的解集为{x |x ≤1或x ≥3}．
word
(2)依题意，对∀x∈R，都有f(x)≥3，
则f(x)＝|ax－2|＋|ax－a|≥|(ax－2)－(ax－a)|＝|a－2|≥3，∴a－2≥3或a－2≤－3，
∴a≥5或a≤－1(舍去)，
∴a的取值X围是[5，＋∞)．
11 / 11。