江西省南昌县莲塘第一中学2019_2020学年高二数学4月线上测试试题理

江西省南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高二数学4月线上测试试
题 理
一、单选题（15小题，每题5分，共75分）
1．若命题2
:,10p x R x x ∀∈++≥；命题[]2
00:1,2,10q x x ∃∈-<，则下列命题为真命题的
是（ ） A ．()()p q ⌝∧⌝
B ．()p q ⌝∨
C ．()p q ∧⌝
D ．p q ∧
2．在ABC ∆中，“2
C π
=”是“sin cos A B =”的（ ）
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知条件p ：()()30x m x m --->；条件q ：2340x x +-<，若q 是p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(],7[1,)-∞-+∞U
B ．(,7)(1,)-∞-+∞U
C ．()7,1-
D ．[]7,1- 4．下列说法正确的是（ ）
A ．命题“,0x x R e ∀∈>”的否定是“,0x
x R e ∃∈>”
B ．命题“已知,x y R ∈，若3,x y +≠则2x ≠或1y ≠”是真命题
C ．命题“若1,a =-则函数2
()21f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为真命题
D ．“22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”2min min (2)()x x ax ⇔+≥在[]
1,2x ∈上恒成立
5．椭圆以双曲线22
1169
x y -=的焦点为顶点，以双曲线顶点为焦点，则椭圆的标准方程为（ ）
A ．221259x y +=
B ．221259y x +=
C ．22
12516x y += D ．2212516
y x +=
6．设12,F F 是椭圆22
2:1(6)16
x y
C a a +=>的左、右焦点，P 是椭圆上的一点且满足三角形
12PF F 的面积是12，则12tan F PF ∠=（ ）
A ．
3
4
B ．
32
C ．
43
D ．
247
7．已知1F ，2F 为双曲线C ：22
214
x y a -=（0a >）的左、右焦点，P 为双曲线C 左支上一点，
直线1PF 与双曲线C 的一条渐近线平行，12PF PF ⊥，则a =（ ） A ．5
B ．2
C ．1
D ．5
8．已知椭圆22
195
y x +=的上焦点为F ，M 是椭圆上一点，点()
23,0A ，当点M 在椭圆
上运动时，MA MF +的最大值为( ) A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
9．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点为F ，M 是双曲线右支上的一点，点M 关于
原点的对称点为N ，若F 在以MN 为直径的圆上，且5,312FNM ππ⎡⎤
∠∈⎢⎥⎣⎦
，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2]
B ．[2,31]+
C ．(1,31]+
D ．[2,)+∞
10．下列函数求导运算正确的个数为（ ）
①3(3)'3log x x
e =；②21(log )'ln 2x x =
；③()'x x
e e =；④1()'ln x x
=；⑤()'1x x xe e =+．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．已知函数()x
f x e =，()
g x x =
，直线l 分别与曲线()y f x =，()y g x =相切于点
()()1
1
,x f x ，()()2
2
,x g x ，则1
2
x x
+=（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．e
12．已知三次函数()3
2
26f x ax ax bx =++的导函数为()f x '，则函数()f x 与()f x '的图
象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
13．给出定义：如果函数()f x 在[]
,a b 上存在1x ，()212x a x x b <<<，满足
()()()1f b f a f x b a -'=
-，()()()
2f b f a f x b a
-'=-，则称实数1x ，2x 为[],a b 上的“对望数”，
函数()f x 为在[]
,a b 上的“对望函数”.已知函数()3
213
f x x x m =-+是[]0,m 上的“对望函数”，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()2,3
C ．32
⎛ ⎝
D ．(2,
14．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '>+其中()f x '是()f x 的导数，且
()03f =，则不等式()14x f x e +<的解集为（ ）
A ．(),1-∞
B ．()1,+∞
C ．(),0-∞
D ．()0,∞+
15．函数()()
2
3x
f x x e =-，关于x 的方程()()2
10f
x mf x -+=恰有四个不同实数根，则
正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2 B ．()2,+∞
C ．3360,6e e
⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
D ．336,6e e ⎛⎫
++∞ ⎪⎝⎭
二．填空题（5题，每题5分，共25分）
16．为迎接2022年北京冬奥会，短道速滑队组织甲、乙、丙等6名队员参加选拔赛，比赛结
果没有并列名次.记“甲得第一名”为p ，“乙得第一名”为q ，“丙得第一名”为r ，若p q ∨是真命题，()p r ⌝∨是真命题，则得第一名的是__________.
17．已知1F 、2F 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O 为坐
标原点，2POF ∆为正三角形，则C 的离心率为__________．
18．已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，A 在第一象限，AM l ⊥，BN l ⊥，垂足分别为M ，N ，且MAB △的面积是NAB △的面积的3倍，则直线l 的斜率为________.
19．已知函数2
()(1)2()2
x x f x m e m =+++∈R 有两个极值点，则实数m 的取值范围为
________.
20．已知函数1()1
f x x x =-
+，2
()24g x x ax =-+，若任意[]10,1x ∈，存在[]21,2x ∈，使()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是__________．
三、解答题（21题12分，22题12分，23题13分，24题13分，共50分）
21．设a R ∈，p ：函数(
)
2
ln 41y x ax =++的定义域为R ，q ：函数2
()4f x x x a =--在区
间[]0,3上有零点.
（1）若q 是真命题，求a 的取值范围； （2）若()p q ∨⌝是真命题，求a 的取值范围.
22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>12,F F
分别为椭圆C 的左，右焦点，
直线l 过点1F 与椭圆C 交于,A B 两点，当直线l 的斜率为1时，线段AB 的长为8
3
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点1F 且与直线l 垂直的直线l '与椭圆C 交于,D E 两点，求四边形ADBE 面积的最小值.
23．已知a 为常数，函数2()ln .f x x ax x =+-
（1）过坐标原点作曲线()y f x =的切线，设切点为00(,)P x y ，求0x ； （2）令()
()x f x F x e
=，若函数()F x 在区间(0,1]上是单调减函数，求a 的取值范围.
24．已知函数2
1()(1)ln 2
f x x a x ax =
+--，其中a ∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）设1a >，若对于任意的12,(0,)x x ∈+∞，12x x ≠，有()()
1212
1f x f x x x ->--，求实数a 的
取值范围．
莲塘一中2019-2020学年高二年级4月网络考试
理科数学试卷参考答案
1．C 【详解】对命题p ，2
23104
12x x x ⎛
⎫++⎪⎝
⎭
+=+> ，所以命题p 是真命题；
对命题q ，[]01,2x ∈时，2
010x -≥，所以命题q 为假命题；
所以()()p q ⌝∧⌝、()p q ⌝∨、p q ∧为假命题，()p q ∧⌝为真命题.故选：C 2．B 【解析】当2
C π
=
时，
2A B π
=-，所以sin sin()cos 2
A B B π
=-=，成立；当sin cos A B
=时，如取120,30A B =︒=︒时，sin cos A B =成立，此时30C =︒，所以不成立；综上知“2
C π
=
”是“sin cos A B =”的”的充分不必要条件，
3．A 【详解】对于条件q ，()()2
34410x x x x +-=+-<，解得41x -<<. 对于条件p ，由()()30x m x m --->，解得x m <或3x m >+.
由于q 是p 的充分不必要条件，所以34m +≤-或m 1≥，解得(],7[1,)m ∈-∞-+∞U . 4．B 【详解】A ．“,0x x R e ∀∈>”的否定为“,0x
x R e ∃∈≤”，故错误；
B ．原命题的逆否命题为“若2x =且1y =，则3x y +=”，是真命题，所以原命题是真命题，故正确；
C ．原命题的逆命题为“若函数2
()21f x ax x =+-只有一个零点，则1a =-”， 因为0a =时，()21f x x =-，此时也仅有一个零点，所以逆命题是假命题，故错误；
D ．“2
2x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”⇔“min
2x a x ⎛
⎫+≥ ⎪⎝⎭在[]1,2x ∈上恒成立”，故错误.故选：B.
5．A 【详解】双曲线22
1169
x y -
=的一个焦点(5)0，，则(5)0，是椭圆的一个顶点，则所求椭圆方程中的长半轴5a =．
双曲线22
1169
x y -=的一个顶点为40（，）
，则(40)，是椭圆的一个焦点，则椭圆的半焦距4c ＝，则3b =．
椭圆的标准方程为
22
1259
x y +=故选：A ． 6．D 【详解】解：设12F PF α∠=，12,PF m PF n ==，
则1sin 122mn α⋅=，即24
sin mn
α=， 22222224()2444264232
cos 12222m n c m n mn c a c mn mn mn mn mn mn mn
α+-+-----=====-，
32
cos 1mn
α∴+=
， sin 243
cos 1324
αα∴
==+，22sin
cos
32
242cos 2α
α
α∴
=，得3tan 24α=，122
23
2tan
22424tan 731tan
124F PF αα⨯∠===⎛⎫-- ⎪⎝⎭
.故选：D. 7．C 【详解】可设12,PF m PF n ==，由斜率定义和三角函数可得：
21212
tan PF n b PF F PF m a a
∠=
===， 由双曲线第一定义可得;212PF PF n m a -=-=，又
12PF PF ⊥， 故(
)
2
2
2
2144PF PF a +=+，由以上三式解得1a = 故选：C
8．D 【详解】如图所示,设椭圆的下焦点为F ',则
||4AF AF '==，||26MF MF a '+==∵||MA MF AF ''-≤,
当且仅当A ,F ′,M 共线且F ′在线段AM 上时等号成立, ∴AMF V 的周长为
||||||||||6AF MA MF AF MA MF '++=++-46414≤++=，
所以AMF V 的周长的最大值为14，
此时||1441140A MA MF F ==--=+，故选：D .
9．B 【详解】由题意，得点N 也在双曲线上，且FM FN ⊥，设双曲线的右焦点为2F 根据双曲线的定义：2||2MF MF a -= 又因为2||MF NF =，所以||||2MF NF a -= 因为O 是Rt MFN V 斜边上的中点，所以||22MN OF c ==
设FNM θ∠=，则||2sin ,||2cos MF c NF c θθ==，所以2sin 2cos 2c c a θθ-=
所以1
1
sin cos 4c a πθθ
θ==-⎛⎫- ⎪⎝
⎭ 因为5,312ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以,4126πππθ⎡⎤
-∈⎢⎥⎣⎦
所以sin 412πθ⎤
⎛
⎫-
∈⎥ ⎪⎝
⎭⎣
⎦
所以1]c
a
∈ 故选：B ． 10．B 详解：对于①()
3'3ln3x
x
=,所以错误；对于②()21
log 'ln2
x x =
，所以正确； 对于③()
'x x
e e =，所以正确；对于④1'ln x ⎛⎫=
⎪⎝⎭
21ln x x ，所以错误； 对于⑤()'x
x
x xe
e
xe =+,所以错误.故答案为：B
11．B 【详解】由己知得直线l 的方程为：()1
1
1e e x x y x x -=-
，)2y x x =
-，
∴(
)1
1
1e e 1x x x ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
，∴消去1e x 整理得121x x =+. 故选：B.
12．D 【详解】已知()f x 是三次函数，故0a ≠，
()()32'226612f x ax ax bx f x ax ax b =++⇒=++，二次函数的对称轴为1x =-，且
(0)0f =，因此可以排除A ，B 两个选项.
对于选项D ：二次函数()f x '过(4,0),(2,0)-，因此42486b
b a a
-??-，且0a >， 因此()'
26126(2)(4)f
x ax ax b a x x =++=-+，当2x >时，()'0f x >，所以()f x 单调
递增；当4x <-时，()'
0f
x >，
所以()f x 单调递增；当42x -<<时，()'
0f x <，所以()f x 单调递减，此时图象D 符合；
对于选项C ：二次函数()f x '过原点，因此0b =，所以()'
26126(2)f
x ax ax ax x =+=+且
0a >，当0x >时，()'0f x >，所以()f x 单调递增；当2x <-时，()'
0f x >，所以()
f x 单调递增；当20x -<<时，()'
0f
x <，所以()f x 单调递减，因此0x =是三次函数的极
小值点，图象C 不符合. 故选：D 13．A 【详解】由题：
()()2013
f m f m m m -=-， ()2
2f x x x '=-，
根据题意函数()32
13f x x x m =-+是[]0,m 上的“对望函数”，即22123
x x m m -=-在区间
()0,m 上有两个解，
令()2
2
123
g x x x m m =--+，()0,x m ∈，
()()222444031(0,)100
3203m m m g m m g m m m ⎧
∆=+->⎪⎪
∈⎪⎪
⎨
=-+>⎪⎪
⎪=->⎪⎩
，解得332m << 故选：A 14．C 【详解】令()1()x f x g x e +=
，有()()1
()0x
f x f x
g x e
'--'=>，故函数()g x 为增函数， 由()()0014g f =+=，不等式()14x
f x e +<可化为()14x
f x e
+<，即()()0g x g <， 故不等式()14x
f x e +<的解集为(),0-∞. 故选：C
15．D 【详解】()()
()()2
2331x
x
x x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，
当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且
()0f x >;
当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增.
所以极大值()3
6
3f e -=
，极小值()12f e =-，作出大致图象： 令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根， 且一个根在360,
e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
内，或者两个根都在()2,0e -内.
因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内. 令()2
1g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫
<
⎪⎝⎭
，即6336610m e e -+<，得3
366
e m e >+，
即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫
++∞ ⎪⎝⎭
. 故选：D
16．乙【详解】因为第一名只有一个，所以由p q ∨是真命题，可得命题p 与命题q 有且只有一个为真命题，则r 必为假命题，又因为()p r ⌝∨是真命题，则p ⌝为真命题，故p 为假命题，故q 为真命题.
17．31【详解】如图,因为2POF V 为正三角形，所以12||||||OF OP OF ==，
所以12F PF ∆是直角三角形.因为2160PF F ∠=o
，21||2F F c =，所以
2||PF c =,1||3PF c =.因为21||||2PF PF a +=，所以32c c a =
即
3131
c a ==+，所以31e =. 183【详解】如图所示:过B 作BD AM ⊥于点D ,则BN MD =, 根据抛物线的定义可知:,AM AF BN BF ==,又MAB △的面积是NAB △的面积的3倍,
则有3,2AM BN AD BN ==,所以4AB AF BF AM BN BN =+=+=,
所以22
tan 3BD AB AD DAB AD -∠==
=所以直线l 3,
19．11,1e
⎛⎫--- ⎪⎝
⎭
【详解】由题意得：()()1x
f x x m e '=++.
()f x Q 有两个极值点，()0f x '∴=有两个不等实根，
即1x x m e +=-有两个不等实根，可等价为1y m =+与()
x
x
g x e =-有两个不同交点，
()21
x x x
x e xe x g x e e
--'=-=Q ，∴当(),1x ∈-∞时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x ∴在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，
()()min 1
1g x g e
∴==-；当x →-∞时，()g x →+∞；当x →+∞时，()0g x →，
可得()g x 图象如图所示：由图象可知，若1y m =+与()x x
g x e
=-有两个不同交点，则
1
10m e
-<+<， 解得：111m e --
<<-，即实数m 的取值范围为11,1e ⎛⎫
--- ⎪⎝⎭
.
20．9
,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【详解】解：∵1
()1
f x x x =-+，[]0,1x ∈，2
1()10(1)f x x '∴=+>+，∴()f x 在[]0,1上单调递增，
min ()(0)1f x f ∴==-；根据题意可知存在[]1,2x ∈，使得2()241g x x ax =-+≤-.即
5
22x a x
≥
+能成立， 令5
()22x h x x =+，则要使()a h x ≥在[]1,2x ∈能成立，只需使min ()a h x ≥，
又2'
22
55
()02221x h x x x
-=-=<在[]1,2x ∈上恒成立 则函数5()22x h x x =+在[]1,2x ∈上单调递减，
min 9()(2)4h x h ∴==
， 94a ∴≥，即实数a 的取值范围是9,4⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
. 21．（1）[]4,0-（2）{4a a <-或1
}2
a >-
解：（1）当q 是真命题时，24a x x =-在[]0,3x ∈上有解，即函数y a =与函数
[]24,0,3y x x x =-∈有交点
又[]
2
4,0,3y x x x =-∈的值域为[]4,0- 所以a 的取值范围为[]4,0-.
（2）当p 是真命题时，由题意，2410x ax ++>在x ∈R 上恒成立，则2(4)40a -<，则
1122
a -<<. 记当p 是真命题时，a 的取值集合为A ，则1122A a a ⎧⎫
=-<<⎨⎬⎩⎭
；
记当q ⌝是真命题时，a 的取值集合为B ，则{|4B a a =<-或}0a >， 因为()p q ∨⌝是真命题，所以a 的取值范围是A B =U {4a a <-或1
}2
a >-
22．（1）22
142
x y +=（2）
329
（1）由题意得：2
c e a =
=
，a ∴=，b c ∴==. ∴当直线l 斜率为1时，A 与上顶点重合，12AF AF a ∴==，290BAF ∠=o
，
设1BF x =，则22BF a x =-，22
222AB AF BF +=∴，即()()22
22a x a a x ++=-，解
得：3
a
x =
， 48
33AB a ∴==，解得：2a =，b ∴=∴椭圆C 的方程为22
142
x y +=.
（2）由（1）知：()
1F .当直线l 斜率不存在或斜率为0时，四边形ADBE 面积为4；
当直线l 斜率为()0k k ≠时，设直线l 的方程为：(y k x =，()11,A x y ，()22,B x y ，
则直线l '的方程为：(1
y x k
=-
，将直线l 代入椭圆C 的方程得：()()
2
2
2212410k x
x k +++-=，
2
12212x x k ∴+=-+，()
2122
4112k x x k
-=+
AB
∴==
()
2
2
41
12
k
k
+
=
+
，
将k换作
1
k
-可得：
()
2
2
41
2
k
DE
k
+
=
+
.
∴四边形ADBE面积
()()
22
22
1
2
4141
1
2122
k k
S AB DE
k k
++
=⋅⋅=⋅
⨯≥
++
()()
22
2
22
4141
132
29
122
2
k k
k k
+⋅+
⨯=
⎛⎫
+++
⎪
⎝⎭
（当且仅当22
122
k k
+=+，即1
k=±时取等号），
32
4
9
<
Q，∴四边形ADBE面积最小值为
32
9
.
23．（1）
1
x=；（2）2
a≤.
【详解】（1）
1
()2
f x x a
x
'=+-，所以切线的斜率为00
1
()2
f x x a
x
'=+-，切线方程为
000
1
(2)()
y y x a x x
x
-=+--。

将(0,0)
O代入得22
00000
ln21
x ax x x ax
+-=+-，即2
00
ln10
x x
+-=，显然
1
x=是方程的解，又2ln1
y x x
=+-
Q在(0,)
+∞上是增函数，∴方程2
00
ln10
x x
+-=只有唯一解，故
1
x=；（2）
2
2
1
(2)ln
ln
(),(),
x x
x a x a x
x ax x x
F x F x
e e
-+-+-+
+-
'
==
设2
1
()(2)ln
h x x a x a x
x
=-+-+-+，
2
11
()22
h x x a
x x
'=-+++-在(0,1]上是减函数，()(1)2
h x h a
'
∴≥=-，
当20
a
-≥时，即2
a≤时，()0
h x
'≥，()
h x
∴在(0,1)是增函数，又(1)0
h=，
()0
≤
h x在(0,1]恒成立，即()0
F x
'≤在(0,1]恒成立，()
F x
∴在(0,1]上单调递减函数，所以2
a≤，满足题意，
当20a -<时，即2a >，0,()x h x '→→+∞，函数()h x '有唯一的零点，设为0x ，则()h x 在0(0,)x 上单调递增，
在0(),1x 单调递减，又0(1)0,()0h h x =∴>Q ，又()0,()a h e h x -<∴在(0,1)内唯一零点m ， 当(0,)x m ∈时，()0,()0h x F x '<<，当(,1)x m ∈时，()0,()0h x F x '>>，
从而()F x 在(0,)m 单调递减，在(,1)m 单调递增，不合题意，所以a 的取值范围是2a ≤. 24．（1）见解析（2）(1,5]
（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1(1)(1)
()a x x a f x x a x x
---+'=+
-=． ①若1a ≤，则当(0,1)x ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在区间(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增． ②若12a <<，则当(0,1)x a ∈-或(1,)x ∈+∞时，()0f x '>， 所以函数()f x 在区间(0,1)a -，(1,)+∞上均单调递增；
当(1,1)x a ∈-时，()0f x '<，所以函数()f x 在区间(1,1)a -上单调递减．
③若2a =，则当(0,)x ∈+∞时，()0f x '≥，所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增． ④若2a >，则当(0,1)x ∈或(1,)x a ∈-+∞时，()0f x '>， 所以函数()f x 在区间(0,1)，(1,)a -+∞上均单调递增；
当(1,1)x a ∈-时，()0f x '<，所以函数()f x 在区间(1,1)a -上单调递减．
综上所述，当1a ≤时，函数()f x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增； 当12a <<时，函数()f x 在区间(0,1)a -，(1,)+∞上均单调递增，在区间(1,1)a -上单调递减；
当2a =时，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；
当2a >时，函数()f x 在区间(0,1)，(1,)a -+∞上均单调递增，在区间(1,1)a -上单调递减．
（2）不妨设12x x <，则
()()
1212
1f x f x x x ->--可化为()()1122f x x f x x +<+．
令2
1()()(1)ln 2
F x f x x x a x ax x =+=
+--+，则函数()F x 在区间(0,)+∞上单调递增． 所以21(1)1
()(1)0a x a x a F x x a x x
---+-'=--+=≥在区间(0,)+∞上恒成立．
即2
(1)10x a x a --+-≥在区间(0,)+∞上恒成立．（*） 因为1a >，所以
1
02
a ->，所以，要使（*）成立，只需2(1)4(1)0a a ∆=---≤， 解得15a <≤．故所求实数a 的取值范围为(1,5]．。