高考数学压轴专题(易错题)备战高考《函数与导数》全集汇编及答案

【最新】数学高考《函数与导数》复习资料
一、选择题
1．函数()()2
ln 43f x x x =+-的单调递减区间是（ ）
A ．3,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
，
C ．31,2
⎛⎤- ⎥⎝
⎦
D ．342⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，
【答案】D 【解析】 【分析】
先求函数定义域，再由复合函数单调性得结论． 【详解】
由2430x x +->得14x -<<，即函数定义域是(1,4)-，
2232543()24
u x x x =+-=--+在3(1,]2-上递增，在3
[,4)2上递减，
而ln y u =是增函数，
∴()f x 的减区间是3[,4)2
． 故选：D ． 【点睛】
本题考查对数型复合函数的单调性，解题时先求出函数的定义域，函数的单调区间应在定义域内考虑．
2．已知3215()632f x x ax ax b =
-++的两个极值点分别为()1212,x x x x ≠，且2132
x x =，则函数12()()f x f x -=（ ） A ．1- B ．
1
6
C ．1
D ．与b 有关
【答案】B 【解析】 【分析】
求出函数的导数，利用韦达定理得到12,,a x x 满足的方程组，解方程组可以得到12,,a x x ，从而可求()()12f x f x -． 【详解】
()2'56f x x ax a =-+，故125x x a +=，126x x a =，且225240a a ->，
又213
2
x x =
，所以122,3x a x a ==，故266a a =，解得0a =（舎）或者1a =． 此时122,3x x ==， ()32
15632
f x x x x b =
-++，
故()()()()()1215182749623326
f x f x -=⨯---+-= 故选B ． 【点睛】
如果()f x 在0x 处及附近可导且0x 的左右两侧导数的符号发生变化，则0x x =必为函数的极值点且()00f x =．极大值点、极小值点的判断方法如下：
（1）在0x 的左侧附近，有()'0f x >，在0x 的右侧附近，有()'0f x <，则0x x =为函数的极大值点；
（2）在0x 的左侧附近，有()'0f x <，在0x 的右侧附近()'0f x >，有，则0x x =为函数的极小值点．
3．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2
42f x f x x +-=+，设()()2
2g x f x x =-，
若()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】B 【解析】
∵()()2
42f x f x x +-=+，()()2
2g x f x x =-
∴2222
()()()2()24242g x g x f x x f x x x x +-=-+--=+-= ∴函数()g x 关于点(0,1)对称
∵()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ∴122M m +=⨯= 故选B.
4．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ） A ．﹣2 B ．﹣1
C ．2
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据对称性即可求出答案． 【详解】
解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2， 故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．
5．已知2
1()cos 4
f x x x =
+，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图像是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
Q ()21f cos 4x x x =
+，()()1
'sin ,'2
f x x x y f x ∴=-=为奇函数，∴图象关于原点对称，排除,B D ，又()'10f <Q ，可排除C ，故选A.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择主要考查考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +
-
→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
6．曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积( ) A ．1 B ．
1
3
C ．
23
D ．
12
【答案】B 【解析】 【分析】
利用导数的几何意义，求得曲线在点(0,2)处的切线方程，再求得三线的交点坐标，利用三角形的面积公式，即可求解，得到答案． 【详解】 由题意，曲线21x
y e -=+，则22x y e -'=-，所以200|2|2x x x y e -=='=-=-，
所以曲线21x
y e
-=+在点(0,2)处的切线方程为22(0)y x -=--，即220x y +-=，
令0y =，解得1x =，令y x =，解得23
x y ==
， 所以切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积为121
1233
⨯⨯=，故选B ．
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两直线的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
7．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且当2x >时，
()()2()x f x f x f x ''⋅+>，若(1)1f =.则不等式1
()2
f x x <
-的解集是（ ） A ．(2,3) B ．(,1)-∞
C ．()(1,2)2,3⋃
D ．()(,1)3,-∞⋃+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
令()|2|()F x x f x =-，当2x >时，则()(2)()F x x f x =-，利用导数可得当2x >时，
()F x 单调递增，根据题意可得()F x 的图象关于2x =对称，不等式1
()|2|
f x x <
-等价
于|2|()1(2)x f x x -<≠，从而()(1)F x F <，利用对称性可得|2||12|x -<-，解不等式即可. 【详解】
当2x >时，()()2()x f x f x f x ''⋅+>，∴(2)()()0x f x f x '-+>， 令()|2|()F x x f x =-.
当2x >时，则()(2)()F x x f x =-，()(2)()()0F x x f x f x ''=-+>， 即当2x >时，()F x 单调递增. 函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，
所以(2)(2)F x F x +=-，即()F x 的图象关于2x =对称， 不等式1
()|2|
f x x <
-等价于|2|()1(2)x f x x -<≠， (1)|12|(1)(1)1F f f =-==，即()(1)F x F <，
所以|2||12|x -<-，解得13x <<且2x ≠，解集为(1,2)(2,3)U . 故选：C 【点睛】
本题考查了导数在解不等式中的应用、函数的对称性的应用以及绝对值不等式的解法，属于中档题.
8．已知()2
ln33,33ln3,ln3a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．c b a << B ．c a b <<
C ．a c b <<
D ．a b c <<
【答案】B 【解析】 【分析】
根据,,a b c 与中间值3和6的大小关系，即可得到本题答案. 【详解】
因为32
3e e <<，所以31ln 32
<<
，
则3
ln3
22
3336,33ln 36,(ln 3)3a b c <=<=<=+>=<，
所以c a b <<.
故选：B 【点睛】
本题主要考查利用中间值比较几个式子的大小关系，属基础题.
9．已知函数()3
2
2
f x x ax bx a =+++在1x =处取极值10，则a =（ ）
A ．4或3-
B ．4或11-
C ．4
D ．3-
【答案】C 【解析】
分析：根据函数的极值点和极值得到关于,a b 的方程组，解方程组并进行验证可得所求． 详解：∵3
2
2
()f x x ax bx a =+++， ∴2
()32f x x ax b '
=++．
由题意得2
(1)320
(1)110f a b f a b a =++=⎧⎨=+++='⎩， 即2
239a b a b a +=-⎧⎨++=⎩，解得33a b =-⎧⎨=⎩或4
11a b =⎧⎨=-⎩
． 当33
a b =-⎧⎨=⎩时，22()3633(1)0f x x x x '=-+=-≥，故函数()f x 单调递增，无极值．不符合题意． ∴4a =． 故选C ．
点睛：（1）导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．
（2）对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件，因此在根据函数的极值点或极值求得参数的值后需要进行验证，舍掉不符合题意的值．
10．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线
10mx ny +-=上，其中·0m n >，则
41
m n
+的最小值为（） A ．16 B ．24
C ．50
D ．25
【答案】D 【解析】 【分析】
由题A （4，1），点A 在直线上得4m+n ＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．
【详解】
令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，
则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴
41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n
++
=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，
故则
41
m n +的最小值为25， 故选D ． 【点睛】
本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．
11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,2()4f x x x =-,则不等式
(2)5f x +<的解集为（ ）
A ．(3,7)-
B ．()4,5-
C ．(7,3)-
D ．()2,6-
【答案】C 【解析】 【分析】
首先求出当0x ≥时不等式的解集，在根据偶函数的对称性求出当0x <时不等式的解集，从而求出()5f x <的解集，则525x -<+<，即可得解. 【详解】
当0x ≥时,2
()45f x x x =-<的解为05x <≤；
当0x <时，根据偶函数图像的对称性知不等式()5f x <的解为5x 0-<<， 所以不等式()5f x <的解集为{}
55x x -<<，
所以不等式(2)5f x +<的解集为{}{}
52573x x x x -<+<=-<<. 故选：C 【点睛】
本题考查偶函数的性质，涉及一元二次不等式，属于基础题.
12．设奇函数()f x 在[]11-，上为增函数，且()11f =，若[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，，
不等式()2
21f x t at ≤--成立，则t 的取值范围是（ ）
A ．22t -≤≤
B ．11
22
t -
≤≤
C ．2t ≥或2t ≤-或0t =
D ．1
2
t ≥
或12t ≤-或0t =
【答案】C 【解析】 【分析】
()f x 在[]11x ∈-，上为增函数,[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，,不等式()221f x t at ≤--成
立,只需对于[]11a ∀∈-，,()2
121f t at -≤--即可.
【详解】
∵奇函数()f x 在[]11x ∈-，上为增函数，且()11f =， ∴函数在[]11x ∈-，上的最小值为()()111f f -=-=-，
又∵[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，，不等式()2
21f x t at ≤--成立，
∴()2
2111t at f --≥-=-，
即220t at -≥， ①0t =时，不等式成立；
②0t >时，()2
220t at t t a -=-≥恒成立，从而2t a ≥，解得2t ≥；
③0t <时，()2
220t at t t a -=-≥恒成立，从而2t a ≤，解得2t ≤-
故选：C. 【点睛】
本题考查了含参数不等式恒成立问题，需要将不等式问题转化为函数最值问题，考查了理解辨析能力、运算求解能力和分类讨论思想，是中档题.
13．函数()3ln x
f x x
=
的部分图象是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
根据奇偶性排除B ，当1x >时，()3
ln 0x
f x x =>，排除CD ，得到答案. 【详解】
()()()33ln ln ,x x
f x f x f x x x
=
-==--， ()f x 为奇函数，排除B 当1x >时，()3ln 0x
f x x
=>恒成立，排除CD 故答案选A 【点睛】
本题考查了函数图像的判断，通过奇偶性，特殊值法排除选项是解题的关键.
14．若函数32
1()1232b f x x x bx ⎛⎫=
-++ ⎪⎝⎭
在区间[3,1]-上不是单调函数，则函数()f x 在R 上的极小值为（ ）.
A ．4
23
b -
B ．
3223
b - C ．0
D ．2
3
16
b b -
【答案】A 【解析】 【分析】
求出函数的导数，根据函数的单调性，求出b 的范围，从而求出函数的单调区间，得到
(2)f 是函数的极小值即可．
【详解】
解：2
()(2)2()(2)f x x b x b x b x '
=-++=--， ∵函数()f x 在区间[3,1]-上不是单调函数，
31b ∴-<<，
由()0f x '>，解得：2x >或x b <，
由()0f x '<，解得：2b x <<，
()f x ∴的极小值为()84
(2)424233
f b b b =-++=-，
故选：A. 【点睛】
本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题.
15．函数(
)
3
2x
y x x =-⋅的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】
排除法：根据函数(
)
3
2x
y x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称；函数有1-，0，1三个零点；当2x =时，函数值为正数，进行选项排除即可. 【详解】
函数(
)
3
2x
y x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称，故排除D ； 函数有1-，0，1三个零点，故排除A ； 当2x =时，函数值为正数，故排除B . 故选：C . 【点睛】
本题考查函数的图象，根据解析式求图像通常利用排除法，依据有函数奇偶性、单调性、零点、定义域、值域、特殊值等，属于中等题.
16．已知函数()(
)
2ln
1f x x x =+，设()3log 0.2a f =，()0.23b f -=，
()
1.13c f =-，则（ ）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
【答案】D 【解析】
∵())
ln
f x x =
∴())f x x ==
∴())f x x -=
∵当0x >1x >；当0x <时，01x <
∴当0x >时，())))f x x x x ==-=，
())f x x -=；
当0x <时()))f x x x ==；
()))f x x x -=-=.
∴()()f x f x =- ∴函数()f x 是偶函数
∴当0x >时，易得())f x x =为增函数
∴33(log 0.2)(log 5)a f f ==， 1.1 1.1
(3)(3)c f f =-=
∵31log 52<<，0.2031-<<， 1.133>
∴ 1.10.2
3(3)(log 5)(3)f f f ->>
∴c a b >> 故选D.
17．已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()()80f x f x ++=，且()55f =，则
()()20192024f f +=（ ）
A ．-5
B ．5
C ．0
D ．4043
【答案】B 【解析】 【分析】
根据(8)()0f x f x ++=得函数的周期为16，结合()55f =，(0)0f =即可求解. 【详解】
由(8)()0f x f x ++=，得(8)()f x f x +=-，
所以(16)(8)()f x f x f x +=-+=.故函数()y f x =是以16为周期的周期函数.
又在(8)()0f x f x ++=中，令0x =，得(8)(0)0f f +=，
且奇函数()y f x =是定义在R 上的函数，
所以(0)0f =.故(8)0f =.故(2024)(161268)(8)0f f f =⨯+==.
又在(8)()0f x f x ++=中，令3x =-，得(5)(3)0f f +-=.
得(5)(3)(3)5f f f =--==，则(2019)(161263)(3)5f f f =⨯+==.
所以(2019)(2024)5f f +=.
故选：B.
【点睛】
此题考查根据函数的周期性求抽象函数的函数值，关键在于根据函数关系准确得出函数周期，结合定义在R 上的奇函数的特征求值.
18．已知定义在R 上的函数()f x 满足()01f =，且()f x 的导函数
'()f x 满足'()1f x >，
则不等式()()ln ln f x ex <的解集为（ ）
A ．()0,1
B ．()1,e
C ．()0,e
D ．(),e +∞ 【答案】A
【解析】
【分析】
设()()g x f x x =-，由题得()g x 在R 上递增，求不等式()()ln ln f x ex <的解集，即求不等式(ln )(0)g x g <的解集，由此即可得到本题答案.
【详解】
设()()g x f x x =-，则(0)(0)01g f =-=，()()1g x f x '='-，
因为()1f x '>，所以()0g x '>，则()g x 在R 上递增，
又(ln )ln()1ln f x ex x <=+，所以(ln )ln 1f x x -<，即(ln )(0)g x g <，
所以ln 0x <，得01x <<.
故选：A
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，其中涉及到构造函数.
19．设函数()x
f x x e =⋅，则（ ） A ．()f x 有极大值1e B ．()f x 有极小值1e
- C ．()f x 有极大值e
D ．()f x 有极小值e -
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数求出函数()y f x =的极值点，分析导数符号的变化，即可得出结论.
【详解】
()x f x x e =⋅Q ，定义域为R ，()()1x f x x e '∴=+，令()0f x '=，可得1x =-. 当1x <-时，()0f x '<；当1x >-时，()0f x '>.
所以，函数()x f x x e =⋅在1x =-处取得极小值()11f e
-=-， 故选：B.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的极值，在求出极值点后，还应分析出导数符号的变化，考查计算能力，属于中等题.
20．已知函数221,0()log ,0
x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(4][2,)-∞-+∞U B ．[1,2]-
C ．[4,0)(0,2]-U
D ．[4,2]- 【答案】D
【解析】
【分析】
不等式()1f a ≤等价于0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩
或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩分别解不等式组后，取并集可求得a 的取值范围.
【详解】
()1f a ≤⇔0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩
或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩， 解得：40a -≤≤或02a <≤，即[4,2]a ∈-，故选D.
【点睛】
本题考查与分段函数有关的不等式，会对a 进行分类讨论，使()f a 取不同的解析式，从而将不等式转化为解绝对值不等式和对数不等式.。