2019-2020学年北京二中通州校区九年级(下)月考数学试卷(3月份)

2019-2020学年北京二中通州校区九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．（2分）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）
A．|a|＞b B．ad＞0C．a+c＞0D．c﹣b＜0
3．（2分）2019年2月，美国宇航局（NASA）的卫星监测数据显示地球正在变绿，分析发现是中国和印度的行为主导了地球变绿，尽管中国和印度的土地面积加起来只占全球的9%，但过去20年间地球三分之一的新增植被两国贡献的，面积相当于一个亚马逊雨林，已知亚马逊雨林的面积为6560000m2，则过去20年间地球新增植被的面积约为（）
A．6.56×106m2B．6.56×107m2C．2×107m2D．2×108m2
4．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）
A．三棱锥B．三棱柱C．长方体D．正方体
5．（2分）正十边形的外角和为（）
A．180°B．360°C．720°D．1440°
6．（2分）如果3x﹣4y＝0，那么代数式的值为（）
A．1B．2C．3D．4
7．（2分）用三个不等式a＞b，ab＞0，＞中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）
A．0B．1C．2D．3
8．（2分）某市为了解旅游人数的变化情况，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间的月接待旅游量（单位：万人次）的数据并绘制了统计图如下：根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（）
A．2017年至2019年，年接待旅游量逐年增加
B．2017年至2019年，各年的月接待旅游量高峰期大致在7，8月份
C．2019年的月接待旅游量的平均值超过300万人次
D．2017年至2019年，各年下半年（7月至12月）的月接待旅游量相对于上半年（1月至6月）波动性更小，变化比较平稳
二、填空题（本题共16分，每题2分）
9．（2分）写出一个比3大且比4小的无理数：．
10．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．
11．（2分）如图所示的网格是正方形网格，△ABC是三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
12．（2分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝．
13．（2分）2019年2月，全球首个5G火车站在上海虹桥火车站启动，虹桥火车站中5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输8千兆数据，5G网络快720秒，求这两种网络的峰值速率，设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆，依题意，可列方程为．
14．（2分）某班对思想品德，历史，地理三门课程的选考情况进行调研，数据如下：
科目思想品德历史地理
参考人数（人）191318
其中思想品德、历史两门课程都选了的有3人，历史、地理两门课程都选了的有4人，则该班选了思想品德而没有选历史的有人；该班至少有学生人．
15．（2分）将矩形纸片ABCD按如下步骤进行操作：
（1）如图1，先将纸片对折，使BC和AD重合，得到折痕EF；
（2）如图2，再将纸片分别沿EC，BD所在直线翻折，折痕EC和BD相交于点O．那么点O到边AB的距离与点O到边CD的距离的比值是．
16．（2分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，以下四个结论：①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC，其中一定正确的是．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）3 17．（5分）计算：|﹣|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1．
18．（5分）解不等式组：
19．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．
20．（5分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l 上取一点A ，作射线P A ，以点A 为圆心，AP 长为半径画弧，交P A 的延长线于点B ；
②在直线l 上取一点C （不与点A 重合），作射线BC ，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交BC 的延长线于点Q ；
③作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线． 根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．
证明：∵AB ＝ ，CB ＝ ， ∴PQ ∥l （ ）（填推理的依据）．
21．（5分）如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，BE ＝DF ，连接EF ． （1）求证：AC ⊥EF ；
（2）延长EF 交CD 的延长线于点G ，连接BD 交AC 于点O ．若BD ＝4，tan G ＝
，求AO 的长．
22．（5分）为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取40名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a ．甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下： 成绩x 学校 50≤x ＜60
60≤x ＜70
70≤x ＜80
80≤x ＜90
90≤x ≤100
甲 4 11 13 10 2 乙
6
3
15
14
2
（说明：成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格）
b．甲校成绩在70≤x＜80这一组的是：70 70 70 71 72 73 73 73 74 75 76 77 78
c．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如下：
学校平均分中位数众数
甲74.2n85
乙73.57684
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中n的值；
（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是校的学生（填“甲”或“乙”），理由是；
（3）假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（3，2），直线l：y＝kx﹣1（k≠0）与y轴交于点B，与图象G交于点C．
（1）求m的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，C之间的部分与线段BA，BC围成的区域（不含边界）为W．
①当直线l过点（2，0）时，直接写出区域W内的整点个数；
②若区域W内的整点不少于4个，结合函数图象，求k的取值范围．
24．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O是斜边AB上一定点，到点O的距离等于OB的所有点组成图形W，图形W与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，∠AED＝∠B．
（1）判断图形W与AE所在直线的公共点个数，并证明．
（2）若BC＝4，，求OB．
25．（6分）如图，P是直径AB上的一点，AB＝6，CP⊥AB交半圆于点C，以BC为直角边构造等腰Rt△BCD，∠BCD＝90°，连接OD．
小明根据学习函数的经验，对线段AP，BC，OD的长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，BC，OD的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置…
AP0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00…
BC 6.00 5.48 4.90 4.24 3.46 2.45…
OD 6.717.247.07 6.71 6.16 5.33…
在AP，BC，OD的长度这三个量中确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，推断：当OD＝2BC时，线段AP的长度约为．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．（1）求点A，B的坐标；
（2）已知点C（2，1），P（1，﹣a），点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4．
①求Q点的纵坐标（用含a的式子表示）；
②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
27．（7分）已知∠MON＝120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA＝OB，点C在线段OB上（不与点O，B 重合），连接CA．将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA′，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射
线CA′交于点D．
（1）根据题意补全图1；
（2）求证：
①∠OAC＝∠DCB；
②CD＝CA（提示：可以在OA上截取OE＝OC，连接CE）；
（3）点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，写出你的猜想并证明．
28．（7分）对于给定的△ABC，我们给出如下定义：
若点M是边BC上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称这样的半圆为BC边上的点M关于△ABC的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M关于△ABC的最大内半圆．
若点M是边BC上的一个动点（M不与B，C重合），则在所有的点M关于△ABC的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为BC关于△ABC的内半圆．
（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
①如图1，点D在边BC上，且CD＝1，直接写出点D关于△ABC的最大内半圆的半径长；
②如图2，画出BC关于△ABC的内半圆，并直接写出它的半径长；
（2）在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（3，0），点P在直线y＝x上运动（P不与O重合），将OE
关于△OEP的内半圆半径记为R，当≤R≤1时，求点P的横坐标t的取值范围．
2019-2020学年北京二中通州校区九年级（下）月考数学试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
2．【解答】解：由数轴可知a＜b＜0＜c＜d，于是可知
|a|＞0＞b，∴答案A正确；
a＜0，d＞0，∴ad＜0，∴答案B错误；
a＜0，c＞0，但是|a|＞|c|，∴a+c＜0，∴答案C错误；
a＜b＜0＜c＜d，∴c﹣b＞0，∴答案D错误；
故选：A．
3．【解答】解：过去20年间地球新增植被的面积＝6560000×3＝19680000m2≈2×107m2故选：C．
4．【解答】解：根据有一个视图为三角形，排除长方体和正方体，
根据有两个视图是矩形，排除掉三棱锥，
综上所述，该几何体为三棱柱，
故选：B．
5．【解答】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，
所以正十边形的外角和等于360°，．
故选：B．
6．【解答】解：∵3x﹣4y＝0，
∴x＝y，
∴＝•＝＝＝1．
故选：A．
7．【解答】解：①若a＞b，ab＞0，则＞；假命题：
理由：∵a＞b，ab＞0，
∴a＞b＞0，
∴＜；
②若ab＞0，＞，则a＞b，假命题；
理由：∵ab＞0，
∴a、b同号，
∵＞，
∴a＜b；
③若a＞b，＞，则ab＞0，假命题；
理由：∵a＞b，＞，
∴a、b异号，
∴ab＜0．
∴组成真命题的个数为0个；
故选：A．
8．【解答】解：从折线统计图的整体变化情况可得2017年至2019年，年接待旅游量逐年增加，因此选项A不符合题意，
2017年至2019年，各年的月接待旅游量高峰期大致在7，8月份，因此选项B不符合题意；
从2019年3月起，每个月的人数均超过300万人，并且整体超出的还很多，因此选项C不符合题意；
从统计图中可以看出2017年至2019年，各年下半年（7月至12月）的月接待旅游量相对于上半年（1月至6月）波动性要大，因此选项D符合题意；
故选：D．
二、填空题（本题共16分，每题2分）
9．【解答】解：写出一个比3大且比4小的无理数：π，
故答案为：π．
10．【解答】解：若在实数范围内有意义，
则x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
11．【解答】解：∵AB2＝32+12＝10，AC2＝12+42＝17，BC2＝32+42＝25，
∴AB2+AC2＞BC2，
∴△ABC为锐角三角形，
故答案为：锐角．
12．【解答】解：∵＝，∠CAD＝30°，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
∴∠DBC＝∠DAC＝30°，
∵∠ACD＝50°，
∴∠ABD＝50°，
∴∠ADB＝∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．
故答案为：70°．
13．【解答】解：设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆，则5G网络的峰值速率为每秒传输10x千兆，根据题意，得﹣＝720．
故答案为﹣＝720．
14．【解答】解：思想品德、历史两门课程都选了的有3人，∴选了思想品德而没有选历史的有19﹣3＝16人，设三门课都选的有x人，同时选择地理和政治的有y人，
则有总人数为19+18+13﹣3﹣4﹣2x﹣y＝43﹣2x﹣y，
∵选择历史没有选择政治的有6人，
∴2x＜6，
∴x＜3，
∴x＝1，2，
∵只选政治的现在有19﹣3﹣4﹣1﹣y＝11﹣y，
∴y最大是10，
该班至少有学生43﹣4﹣10＝29，
故答案为16；29；
15．【解答】解：由折叠的性质得到BE＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，△BOE∽△DOC，
∴△BOE与△DOC的相似比是，
∴点O到边AB的距离与点O到边CD的距离的比值是．
故答案为：．
16．【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故①错误，③正确；
∴∠ACD＝∠BCE，
∴∠A＝∠ADC＝（180°﹣∠ACD），∠CBE＝（180°﹣∠BCE），
∴∠A＝∠EBC，故④正确；
∵∠A+∠ABC不一定等于90°，
∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故②错误；
故答案为：③④．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）3 17．【解答】解：原式＝﹣1+2×+4＝﹣1++4＝3+．
18．【解答】解：，
解①得：x＜2，
解②得x＜，
则不等式组的解集为x＜2．
19．【解答】解：（1）由题意可知：△＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2
∵（m﹣2）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）由题意可知：x＝m﹣1或x＝1
∵方程有一个根为负数，
∴m﹣1＜0．
∴m＜1．
20．【解答】（1）解：直线PQ如图所示；
（2）证明：∵AB＝AP，CB＝CQ，
∴PQ∥l（三角形中位线定理）．
故答案为：AP，CQ，三角形中位线定理；
21．【解答】（1）证明：连接BD，交AC于O，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，
∵BE＝DF，
∴AB：BE＝AD：DF，
∴EF∥BD，
∴AC⊥EF；
（2）解：如图2所示：
∵由（1）得：EF∥BD，
∴∠G＝∠CDO，
∴tan G＝tan∠CDO＝＝，
∴OC＝OD，
∵BD＝4，
∴OD＝2，
∴OC＝1，
∴OA＝OC＝1．
22．【解答】解：（1）这组数据的中位数是第20、21个数据的平均数，
所以中位数n＝＝72.5；
（2）甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分，所以该学生在甲校排在前20名，在乙校排在后20名，而这名学生在所属学校排在前20名，说明这名学生是甲校的学生．
故答案为：甲，甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分．
（3）在样本中，乙校成绩优秀的学生人数为14+2＝16．
假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数为．
23．【解答】解：（1）把A（3，2）代入y＝得m＝3×2＝6，
（2）①当直线l过点（2，0）时，直线解析式为y＝x﹣1，
解方程＝x﹣1得x1＝1﹣（舍去），x2＝1+，则C（1+，），
而B（0，﹣1），
如图1所示，区域W内的整点有（3，1）一个；
②如图2，直线l在AB的下方时，直线l：y＝kx﹣1过（6，1）时，1＝6k﹣1，解得k＝，
当直线在OA的上方时，直线经过（1，4）时，4＝k﹣1，解得k＝5，
观察图象可知：当k≤或k≥5时，区域W内的整点不少于4个．
24．【解答】解：（1）图形W与AE所在直线的公共点个数为1．
理由：连接OE．
∵BD是⊙O是直径，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ABC+∠EDB＝90°，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵∠AED＝∠ABC，
∴∠AED+∠OED＝90°，
∴∠AEO＝90°，
∴OE⊥AE，
∴AE是⊙O的切线，
∴图形W与AE所在直线的公共点个数为1．
（2）在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，BC＝4，∴tan B＝＝，
∴AC＝2，
∵∠ACB＝∠DEB＝90°，
∴DE∥AC，
∴∠CAE＝∠AED＝∠ABC，
∵∠C＝∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴AC2＝CE•CA，
∴CE＝＝1，
∴BE＝BC﹣EC＝3，
∴tan B＝＝，
∴DE＝，
∴BD＝＝＝，∴OB＝BD＝．
25．【解答】解：（1）由图表观察，可看出随着AP的变化，BC和OD都在发生变化，且都有唯一确定的值和其对应，所以AP的长度是自变量，BC和OD的长度都是这个自变量的函数，
故答案分别为：AP，BC，OD；
（2）如右图，可先描点，再画出如图所示图象；
（3）由图象可推断：当OD＝2BC时，线段AP的长度约为4.5，
故答案为：4.5．
26．【解答】解：（1）令y＝0，即0＝ax2﹣4ax，
解得x1＝0，x2＝4，
∴A（0，0），B（4，0）．
答：点A、B的坐标为：（0，0），（4，0）；
（2）①设直线PC解析式为y＝kx+b，
将点C（2，1），P（1，﹣a）代入解得：
k＝1+a，b＝﹣3a﹣1，
∴直线PC解析式为y＝（1+a）x﹣3a﹣1，
当x＝4时，y＝3a+3，
所以点Q的纵坐标为3a+3．
②∵当点Q在B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，
3a+3≥0，∴a≥﹣1
∴当a＜0时，抛物线开口向下，抛物线只能与点Q相交，
∴﹣1≤a＜0
当a＞0时，抛物线开口向上，只能与点P相交，
当x＝1时，y＝﹣a，y＝﹣3a，
所以抛物线与点P不相交．
综上：a的取值范围是：﹣1≤a＜0
27．【解答】（1）解：根据题意补全图形，如图1所示：
（2）证明：①由旋转得：∠ACD＝120°，
∴∠DCB+∠ACO＝180°﹣120°＝60°，
∵∠MON＝120°，
∴∠OAC+∠ACO＝180°﹣120°＝60°，
∴∠OAC＝∠DCB；
②在OA上截取OE＝OC，连接CE，如图2所示：
则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣∠MON）＝（180°﹣120°）＝30°，
∴∠AEC＝180°﹣∠OEC＝180°﹣30°＝150°，
由旋转得：∠CBD＝150°，
∴∠AEC＝∠CBD，
∵OA＝OB，OE＝OC，
∴AE＝BC，在△AEC和△CBD中，，
∴△AEC≌△CBD（ASA），
∴CD＝CA；
（3）解：猜想OH﹣OC＝OA时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH；理由如下：在OH上截取OF＝OC，连接CF、CH，如图3所示：
则FH＝OA，∠COF＝180°﹣∠MON＝180°﹣120°＝60°，
∴△OFC是等边三角形，
∴CF＝OC，∠CFH＝∠COA＝120°，
在△CFH和△COA中，，
∴△CFH≌△COA（SAS），
∴∠H＝∠OAC，
∴∠BCH＝∠COF+∠H＝60°+∠H＝60°+∠OAC，∴∠DCH＝60°+∠H+∠DCB＝60°+2∠OAC，
∵CA＝CD，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠DCH＝2（∠CAD+∠OAC）＝2∠DAH．
28．【解答】解：（1）①如图1，过D作DE⊥AC于E，
∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴∠C＝∠B＝45°，
∵CD＝1，
∴BD＝2﹣1＞CD，
∴D到AC的距离小于到AB的距离，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴DE＝，
即点D关于△ABC的最大内半圆的半径长是；
②当D为BC的中点时，BC关于△ABC的内半圆为⊙D，如图2，
∴BD＝BC＝，
同理可得：BC关于△ABC的内半圆半径DE＝1．
（2）过点E作EF⊥OE，与直线y＝x交于点F，设点M是OE上的动点，
i）当点P在线段OF上运动时（P不与O重合），OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，分别与OP，PE相切的半圆，如图3，连接PM，
∵直线OF：y＝x
∴∠FOE＝30°
由（1）可知：当M为线段中点时，存在OE关于△OEP的内半圆，
∴当R＝时，如图3，DM＝，此时PM⊥x轴，P的横坐标t＝OM＝；
如图4，当P与F重合时，M在∠EFO的角平分线上，⊙M分别与OF，FE相切，
此时R＝1，P的横坐标t＝OE＝3；
∴当≤R≤1时，t的取值范围是≤t≤3．
ii）当点P在OF的延长线上运动时，OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，经过点E且与OP相切的半圆，如图5．
∴当R＝1 时，t的取值范围是t≥3．
iii）当点P在OF的反向延长上运动时（P不与O重合），OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，经过点O且与EP相切的半圆，如图6．
∵∠FOE＝∠OPE+∠OEP＝30°，
∴∠OEP＜30°，
∴OM＜1，
当R＝时，如图6，过P作P A⊥x轴于A，N是切点，连接MN，MN⊥PE，此时OM＝MN＝，ME＝3﹣＝，
∴EN＝＝＝，
Rt△OP A中，∠POA＝30°，OA＝﹣t，
∴P A＝﹣t，
∵∠ENM＝∠EAP＝90°，∠MEN＝∠AEP，
∴△EMN∽△EP A，
∴，即＝
解得：t＝﹣，
∴当≤R＜1时，t的取值范围是t≤﹣．
综上，点P在直线y＝x上运动时（P不与O重合），当≤R≤1时，t的取值范围是t≤﹣或t≥．。