2008广工高等数学A1试卷及答案

.
广东工业大学考试试卷
( A )
课程名称 :
高等数学 A(1)
试卷满分 100 分
考试时间 :
2008年 1 月 14 日
(
第 20 周
星期一 )
题 号
一
二
三
四
五
六
七
总分
2
3
1
4
： 名 评卷得分
姓
评卷签名
复核得分
复核签名
线
一、填空题：（每小题 4 分，共 20 分）
：
x 3
x
号 1. lim
.
学
=
x x
2
2. 设 y y( x) 是由方程 y
1 xe y
所确定的隐函数，则 dy
.
3. 设 f ( x) 可导 , 则 lim
f ( 2
2x) f (2) = .
x 0
x
订
4.
x(sin x e
x 2
)dx =
.
5. 微分方程 y
y tan x cos 2
x 满足初始条件 y x
1
的特解为
.
： 4 2
业 二、选择题：（每小题 4 分，共 20 分）
专
1
x 0
1. 设函数 f ( x)
x sin ,
0 处连续 , 则 k
( ) .
x
在 x
装
2x k ,
x
A ． 1
B. 0
C ． 1 D. 2
2. 设函数 f (x) 在 x
x 0 处取得极值 , 则有（
）.
： A ． f (x 0 ) 0
B. f ( x 0 )
院
C ． f
(x 0 )
0 或 f ( x 0 ) 不存在 D. f ( x 0 ) 不存在
学
x e t
2
3. 极限 lim
1 dt
） .
的值等于（
x 1
ln x
A . e
B.
e
C ． 1 D. 1
4．定积分
0 2 x 2
dx
a 2 x 2
dx 的值等于（
）.
a a
a
A .
a
2
B.
a
2
C ． a
2
D.
a 2
4
2
5． x 0
为 f (x)
x
的（
） .
1
2 e x
A . 可去间断点 B. 无穷间断点
C ． 跳跃间断点 D. 连续点
三、计算题（每小题 7 分，共 28 分）
1. 求由参数方程
x 3e t
所确定的函数的二阶导数
d 2
y .
y
2e t
dx
2
2．求曲线 y x 2
(12 ln x
7) 的凹凸区间和拐点 .
3. 计算定积分
2 ( x 3
sin 2
x) cos 2
xd x .
2
4. 求微分方程 y 8 y 16y e
4x
的通解 .
四、（8 分）证明 : 当 x 0时， 2x ln 2
(1 x) 2 ln(1 x) . 五、（ 8分）如果二阶可微函数 f ( x) 满足方程 :
f (x)
x
4 f (t )dt 0 , 且已知 f (0) 1 ,
求 f ( x) .
六、（7 分）设
f ( x) 在
[0， ] 上连续 , 在
内可导 , 求证 : 存在
, 使得
（0， ）
（0， ）
f ( )
f ( ) cot
x
七、（9 分）设 D 是位于曲线 y
xa
2a
(a 1, 0 x ) 下方、x 轴上方的无界
区域 .
(1) 求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V (a) ; ( 2 ) 当 a 为何值时 , V (a) 最小 ? 并求此最小值 .
广东工业大学考试
答题纸
课程名称 :
高等数学 A(1) 试卷满分 100 分
： 考试时间 : 2008 年 1
月 14 日 (
第 20
一 )
名 周 星期
姓
题 号
一
二
三
四
五
六
七
总分
1
2
3
4
评卷得分
线
评卷签名
复核得分 ： 复核签名
号
学
一、填空题：（每小题 4 分，共 20 分）
1. e 5
dy
e y
dx ;
;
2. 1
xe y 3. 2 f ( 2 ) ;
订
1 e x 2
sin x x cos x
C
5.
y
sin x cos x
4.
2
;
二、选择题：（每小题 4 分，共 20 分）
： 1
2
3
4
5
业
专
B
C
A
D
A
装
三、计算题（每小题 7 分，共 28 分）
dy
( 2e t
) 2 e 2 t
1. 解 : dx
( 3e t
)
3
（3 分）
：
d 2 y d ( dy ) d ( 2
e 2t ) dt
院
dx 2
dx dx
dt 3
dx
（5 分）
学
4 e 2 t 1
4 e 2 t 1 4 e 3 t
3 dx
3
3e t
9
dt
（7 分）
.
2. 解 :函数的定义域为 : (0, )
y
24x ln x
2 x ,
（1 分）
11
y 24ln x 22, 令 y
0 得 x e
12
（3 分）
列表讨论如下 :
x
11 11 11
(0, e
12
)
e
12
( e
12
, + )
y
+
y
凸
11
凹
18e
6
（5 分）
11
11
区间 (0,
e 12 ] 为曲线的凸区间 , 区间 [ e 12
, + ) 为曲线的凹区间 ,
11
11
曲线有拐点 : ( e
12
,
18e
6 )
（7 分）
3. 解:因为 x 3
cos x 为 [
2，
] 上连续的奇函数 ,
2
所以
2 x
3 cos xdx
（2 分）
2
2
(x
3
sin 2 x) cos 2 x d x =
2
sin 2 x cos 2 xd x
2
2
= 1
2
sin 2 2x d x = 1 2 (1
cos4x )d x
（5 分）
2 4
= 1 ( x
2 （7 分）
1 sin 4x)
8
4 4 0
4. 解: 特征方程为 :r 28r160 ,
特征根 :r1r24
齐次方程的通解为 :Y(C1C2 x)e4 x
由于 4 为特征方程的二重根,且P m(x )1
故可设原方程的一个特解为 :y*Ax 2e4x
将其代入原方程得 : 2Ae4 x e4x,解得: A 1 2
所以 y* 1 x2e4x,从而求得原方程的通解为2
y (C1
4 x12 4 x
C 2 x )e2x e
（分）证明
:令
f ( x)2x ln
2
(1x)2ln(1 x),
f (0) 0
四、 8
f ( x)
12( x ln(1x )) , x
令:g(x )x ln(1x), g(0)0
当 x 0时,g ( x) 1
1x
0 , 1x1x
所以 g( x ) 单调增加,当 x0时 ,g( x )g(0)0因此 f ( x)0 ,
f ( x ) 单调增加,故当x0时,f ( x ) f (0)0,即2x ln 2 (1x)2ln(1x)证毕
.（3 分）
（5 分）
（7 分）
（2 分）
（4 分）
（6 分）
（8 分）
五、（8 分）解 : 所给方程两边对x 求导得 :
f (x ) 4 f (x )0(1)（2 分）特征方程为 :r 240, 解之得:r i ,
方程 (1)的通解为 : f ( x)C1 cos2 x C 2 sin2x (2)（4 分）又 f (0)1, 代入(2)式得 :C11,所以
f ( x)cos2 x C2 sin 2x ,
f ( x) 2 sin 2x2C 2 cos2 x(3)（6 分）
由题目所给条件知 : f (0)(
x
f (t )dt )0, 4
0x 0
代入 (3)得 :C20,
于是求得 : f ( x)cos2x（8 分）
六、（7 分）证明 :设 F ( x) f ( x )sin x ,（3 分）
由题目所给条件知 : F( x) 在[0,] 上连续 , 在(0,)内可导, 且
F ( ) F (0)0, 所以由罗尔定理 ,至少存在一点(0, ),使得:
F()0（5 分）又 F ( )[ f( x )sin x f ( x) cos x] x
所以 f ( ) sin f ( ) cos0
因为(0,) ,所以 sin0,从而有
f ( )
cos
f () cot证毕（7 分）f ( )
sin
七、（9 分）解 : (1)所求旋转体的体积为
x
V (a)xa a dx（2 分）0
a x
xda a
ln a0
a x a x a2
xa a a a dx =（ 5分）ln a ln a ln a
（ 2）V (a)2a(ln a1)，
ln 3 a
令 V (a)0, 得 ln a1,a e（7 分）
当 1 a e 时，V (a)0,V (a) 单调减少，
当 a e时，V (a) 0, V (a)单调增加，
所以当 a e时，V最小，最小体积为
e2
V (e)e2.（ 9分）
ln e。