浙江省中考数学总复习 全程考点训练13 函数的应用(含解析)

全程考点训练13 函数的应用
一、选择题
(第1题)
1．某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为(A )
A ．20 kg
B ．25 kg
C ．28 kg
D ．30 kg
【解析】 易求得一次函数为y ＝30x －600，令y ＝0，得x ＝20.
(第2题)
2．某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p (kPa)是气球体积V 的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积应该(C )
A ．不小于54 m 3
B ．小于54 m 3
C ．不小于45 m 3
D ．小于45
m 3
【解析】 设p ＝k V
，则k ＝60×1.6＝96，∴p ＝96
V
.
∴当p ≤120时，V ≥4
5.
(第3题)
3．小明某次投篮中球的运动路线是抛物线y ＝－15x 2
＋3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，
则他与篮底的距离l 是(B )
A ．3.5 m
B ．4 m
C ．4.5 m
D ．4.6 m
【解析】 当y ＝3.05时，3.05＝－15x 2
＋3.5，解得x 1＝1.5，x 2＝－1.5(舍去)，故l ＝2.5＋
1.5＝4(m)．
(第4题)
4．如图，正三角形ABC 的边长为3 cm ，动点P 从点A 出发，以1 cm/s 的速度沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止，设运动时间为x (s)，y ＝PC 2
，则y 关于x 的函数图象大致为(C )
【解析】 过点C 作CD ⊥AB 于点D . ∵正三角形ABC 的边长为3， ∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，AC ＝3. ∴AD ＝32，CD ＝3
2
3.
①当0≤x ≤3，即点P 在线段AB 上时，AP ＝x ，PD ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－x (0≤x ≤3)．
∴y ＝PC 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3232＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫32－x 2
＝x 2
－3x ＋9(0≤x ≤3)．
∴该函数的图象在0≤x ≤3上是开口向上的抛物线．
②当3＜x ≤6，即点P 在线段BC 上时，PC ＝6－x (3＜x ≤6)， ∴y ＝(6－x )2
＝(x －6)2
(3＜x ≤6)，
∴该函数的图象在3＜x ≤6上是开口向上的抛物线．
综上所述，该函数为y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
－3x ＋9（0≤x ≤3），
（x －6）2
（3<x ≤6）.符合此条件的图象为C.
(第5题)
5．如图，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB ＝AC ＝2，直角顶点A 在直线y ＝x 上，其中点
A 的横坐标为1，且两条直角边A
B ，A
C 分别平行于x 轴，y 轴．若双曲线y ＝k
x
(k ≠0)与△ABC 有交
点，则k 的取值范围是(C )
A ．1<k <2
B ．1≤k ≤2
C ．1≤k ≤4 D．1＜k ＜4
【解析】 如解图，设直线y ＝x 与BC 交于点E ，分别过A ，E 两点作x 轴的垂线，垂足为D ，F ，
EF 交AB 于点M .
(第5题解)
∵点A 的横坐标为1，点A 在直线y ＝x 上， ∴点A (1，1)．
又∵AB ＝AC ＝2，AB ∥x 轴，AC ∥y 轴，
∴点B (3，1)，C (1，3)，且△ABC 为等腰直角三角形， ∴BC 的中点坐标为(2，2)． ∵点(2，2)满足直线y ＝x ， ∴点(2，2)即为点E 的坐标，
∴当双曲线经过点A 时，k ＝OD ·AD ＝1； 当双曲线经过点E 时，k ＝OF ·EF ＝4. ∴当双曲线与△ABC 有交点时，1≤k ≤4. 二、填空题
(第6题)
6．某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图所示，那么乙播种机参与播种4天．
【解析】 甲先播种了200亩，甲、乙合作每天播种350－200＝150(亩)，∴乙参与播种
800－200
150＝4(天)．
(第7题)
7．如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC ，BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形ACD 和BCE ，那么DE 长度的最小值是1．
【解析】 连结DE .设AC ＝x ，则BC ＝2－x . ∵△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形， ∴∠DCA ＝45°，∠ECB ＝45°，DC ＝22x ，CE ＝2
2
(2－x )， ∴∠DCE ＝90°，
∴DE 2＝DC 2＋CE 2＝12x 2＋12(2－x )2＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2
＋1.
当x ＝1时，DE 2
取得最小值，DE 也取得最小值，最小值为1.
8．如图是一副眼镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线，且关于y 轴对称．AB ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm.则右轮廓线DFE 所在抛物线的函数表达式为y ＝1
4(x －
3)2
．
(第8题)
【解析】 可设右轮廓线DFE 所在抛物线的函数表达式为y ＝a (x －m )2
，由已知，得D (1，1)，
E (5，1)，代入函数表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧a （1－m ）2
＝1，
a （5－m ）2
＝1，解得⎩⎪
⎨⎪⎧a ＝1
4，m ＝3.
∴函数表达式为y ＝14
(x －3)2
.
(第9题)
9．如图，有一种动画程序，屏幕上正方形ABCD 是黑色区域(含正方形边界)，其中点A (1，1)，
B (2，1)，
C (2，2)，
D (1，2)，用信号枪沿直线y ＝－2x ＋b 发射信号，当信号遇到黑色区域时，区
域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b 的取值范围为3≤b ≤6．
【解析】 直线y ＝－2x ＋b 过点A (1，1)时，b ＝3；过点C (2，2)时，b ＝6，故3≤b ≤6.
10．如图，两条抛物线y 1＝－12x 2＋1，y 2＝－12x 2
－1与分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于y
轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为___8__．
(第10题)
【解析】 把图象沿直线y ＝－1截成两部分，上半部分向下平移2个单位可以拼成一个2×4的矩形，∴阴影部分的面积为8.
三、解答题
11．利民商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：
(第11题)
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)甲、乙两种商品的进货单价各是多少元？
(2)该商店平均每天卖出甲商品500件、乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品的零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m 元．在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？
【解析】 (1)设甲商品的进货单价是x 元，乙商品的进货单价是y 元．根据题意，得
⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，3（x ＋1）＋2（2y －1）＝19，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. ∴甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元．
(2)设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s 元，则s ＝(1－m )⎝
⎛
⎭⎪⎫
500＋100×m 0.1＋(2－
m )⎝
⎛
⎭
⎪⎫
300＋100×
m 0.1，
即s ＝－2000m 2
＋2200m ＋1100＝－2000(m －0.55)2
＋1705.∴当m ＝0.55时，s 有最大值，最大值为1705.
∴当m 定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元．
12．企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水处理厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000 t ，由于污水处理厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行.1到6月，该企业向污水处理厂输送的污水量y 1(t)与月份x (1≤x ≤6，且x 取整数)之间满足的函数关系如下表：
月份x (月) 1 2 3 4 5 6 输送的污水 量y 1(t)
12000
6000
4000
3000
2400
2000
7到12月，该企业自身处理的污水量y 2(t)与月份x (7≤x ≤12，且x 取整数)之间满足二次函数表达式y 2＝ax 2
＋c (a ≠0)，其图象如图所示.1到6月，污水处理厂处理每吨污水的费用z 1(元)与月份x 之间满足函数表达式z 1＝1
2x ，该企业自身处理每吨污水的费用z 2(元)与月份x 之间满足函数表
达式z 2＝34x －112x 2
；7到12月，污水处理厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污
水的费用均为1.5元．
(第12题)
(1)请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y 1，y 2与x 之间的函数表达式．
(2)请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W (元)最多，并求出这个最多费用． (3)今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a %，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加(a －30)%.为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a 的整数值(参考数据：231≈15.2，419≈20.5，809≈28.4)．
【解析】 (1)根据表格中数据可以得出xy 为定值，则y 1与x 之间的函数关系为反比例函数关
系，设y 1＝k x
，将(1，12000)代入，得k ＝12000，故y 1＝12000x
(1≤x ≤6，且x 取整数)．
根据图象可以得出图象过(7，10049)，(12，10144)两点，代入y 2＝ax 2
＋c (a ≠0)，得
⎩
⎪⎨⎪⎧10049＝49a ＋c ，10144＝144a ＋c ， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，
c ＝10000，
故y 2＝x 2
＋10000(7≤x ≤12，且x 取整数)．
(2)当1≤x ≤6，且x 取整数时，W ＝y 1z 1＋(12000－y 1)·z 2＝
12000
x
·
1
2
x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12000－12000x ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫34x －112x 2＝－1000x 2＋10000x －3000＝－1000(x －5)2＋22000. ∴当x ＝5时，W 最大＝22000.
当7≤x ≤12，且x 取整数时，W ＝2×(12000－y 2)＋1.5y 2＝2×(12000－x 2
－10000)＋1.5(x 2
＋10000)＝－12
x 2
＋19000.
∵当7≤x ≤12时，W 随x 的增大而减小， ∴当x ＝7时，W 最大＝18975.5.
∵22000＞18975.5，∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元． (3)由题意，得12000(1＋a %)×1.5×[1＋(a －30)%]×(1－50%)＝18000， 设t ＝a %，整理，得10t 2
＋17t －13＝0， 解得t ＝－17±809
20
.
∵809≈28.4，∴t 1≈0.57，t 2≈－2.27(舍去)， ∴a ≈57，∴a 的整数值是57.。