九年级下册数学课件28.1.2锐角三角函数(余弦、正切)

余弦（cosine），记作cosA， 即
B
cos
A
A的邻边 斜边
b c
斜边c
对边a
A 邻边b C
★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的
正切（tangent），记作tanA， 即
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
注意
▪ cosA，tanA是一个完整的符号，它表示 ∠A的余弦、正切，记号里习惯省去角的符 号“∠”；
A
C
sin A BC 6 3，cos A AC 8 4，tan A BC 6 3
AB 10 5
AB 10 5
AC 8 4
sin B AC 8 4，cos B BC 6 3，tan B AC 8 4 .
AB 10 5
AB 10 5
BC 6 3
延伸：由上面的计算，你能猜想∠A，∠B的正弦、 余弦值有什么规律吗？正切呢?
BC 3
例题示范
变题： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
cosA＝
15 17
，求sinA、tanA的值．
B
解：∵ cos A AC 15
AB 17
设AC=15k，则AB=17k
A
C
所以 BC AB2 AC 2 (17k)2 (15k)2 8k
sin A BC 8k 8 , AB 17k 17
2、sinA、cosA、tanA是一个比值（数值）。
3、sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的 大小有关，而与直角三角形的边长无关。
推广
若已知锐角α的始边在x轴的正半轴 上,(顶点在原点)终边上一点P的坐 标为(x, y)，它到原点的距离为r求 角α的四个三角函数值。
y
sinα= r ， r = x 2 + y 2
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
BC=6，sin
A
3 5
，求cosA和tanB的值．
B
解：sin A BC ，
6
AB
AB BC 6 5 10.
A
C
sin A 3
又AC AB2 BC 2 102 62 8,
cos A AC 4，tan B AC 4 .
AB 5
＝∠A’ ，那么 AC 与 A'C' 有什么关系．你能解释一
AB
A' B'
下吗？
B'
B
A
C A'
C'
∵∠C＝∠C’＝90°， ∠A＝∠A’ ∴Rt△ABC∽Rt△A’B’C’
AC AB , 即 AC A'C'. A'C' A' B' AB A' B'
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
C
A
小结
如图，Rt△ABC中， ∠C=90度，
sin A BC , cos A AC , tan A BC
AB
AB
AC
sin B AC , cos B BC , tan B AC
AB
AB
BC
因为0＜sinA ＜1, 0＜sinB ＜1,
0＜cosA ＜1, 0＜cosB ＜1,
tan A＞0, tan B＞0
所以，对于任何一个锐角α ，有 0＜sin α ＜1， 0＜cos α ＜1， tan α ＞0，
sin A cos B;cos A sin B
tan A sin A ;tan A 1
cos A
tan B
sin2 A cos2 A 1
B
A
C
定义中应该注意的几个问题:
1、sinA、cosA、tanA是在直角三角形中 定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造 直角三角形)。
tan A BC 8k 8 AC 15k 15
例3： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°
1.求证：sinA=cosB，sinB=cosA
2.求证：tan A sin A ;tan A 1
cos A
tan B
3.求证：sin2 A cos2 A 1
sin2 A sin A sin A B
D
B
(2)
cosA
( AD) =
AC
=
AC (AB )
A
C
(3) sinB=
( AC) AB
=
CD (BC)
ห้องสมุดไป่ตู้(4)
cosB= (BC) AB
=
BD (CD)
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=6，
AB=10，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值． B
解：在RtABC中，
10
6
AC AB2 BC 2 102 62 8,
x
cosα= r ，
y
tanα= x ，
x
y P (x,y)
αr O
M
x
cotα= y ．
▪ cosA，tanA没有单位，它表示一个比值， 即直角三角形中∠A的邻边与斜边的比、对 边与邻边的比；
▪ cosA不表示“cos”乘以“A”， tanA不表 示“tan”乘以“A”
sin
A
A的对边 斜边
a c
cos
A
A的邻边 斜边
b c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
锐角A的正弦、余弦、 正切都叫做∠A的锐 角三角函数.
结论:一个锐角的正弦等于它余角的余弦,或一个锐角的余 弦等于它余角的正弦.一个锐角的正切和它余角的正切互 为倒数.
结论：一个锐角的正弦等于它余角的 余弦，或一个锐角的余弦等于它余角 的正弦。一个锐角的正切和它余角的 正切互为倒数.
sin A cos(900 A) cos A sin(900 A) t an A t an(900 A) 1
A
C
练习1. 分别求出下列直角三角形中两个锐角 的正弦值、余弦值和正切值．
C
解：由勾股定理
12
B 13
A
2. 在Rt△ABC中，如果各边长都扩大2倍， 那么锐角A的正弦值、余弦值和正切值有什 么变化？
解：设各边长分别为a、b、c，∠A的三个三角函数分别为
B
则扩大2倍后三边分别为2a、2b、2c
CA B
——余弦 正切
复习与探究： 在 RtABC 中，C 90
B 1.锐角正弦的定义
c
A
b
∠A的正弦：
a
sinA
A的对边 斜边
BC AB
a c
C
2、当锐角A确定时，∠A的邻边与斜边 的比， ∠A的对边与邻边的比也随之确 定吗？为什么？交流并说出理由。
思考探究
在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，∠C＝∠C’＝90°，∠A
斜边c
B 对边a
A 邻边b C
对于锐角A的 每一个确定的值， sinA有唯一确定的 值与它对应，所以 sinA是A的函数。
同样地， cosA， tanA也是A的函数。
练习 1.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂
足为D.指出∠A和∠B的对边、邻边.
(CD) (1)sinA = AC
=
BC (AB)