九年级数学上册24.4.1解直角三角形及一般应用学案华东师大版

解直角三角形及一般应用
一、学习目标
1.理解直角三角形中六个元素之间的关系？
2.知道什么是解直角三角形，解直角三角形的工具是什么以及怎样应用？ 二、学习重点
重点: 锐角三角函数在解直角三角形中的灵活运用
难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决
问题． 三、自主预习 （一）旧知回顾 1.特殊角的三角函数？
四、合作探究 （一）定义
1.什么是解直角三角形？
2．在三角形中共有几个元素？
3．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系 sinA=
c a cosA=c b tanA=b
a (2)三边之间关系a 2
+b 2
=c 2
(勾股定理) (3)锐角之间关系 ∠A+∠B=90°
（二）已知直角三角形两边解直角三角形
例1.在直角三角形中，∠C=90°，c=34,32 a 解这个直角三角形？
（三）已知直角三角形的一边和一个锐角解直角三角形
例2.在直角三角形中，∠C=90°，∠B=
60，a=8求这个直角三角形的其他边和角？
（四）利用直角三角形的知识解决非直角三角形
例3.如图所示，在三角形ABC 中，∠B=
45，∠C=
30，BC=333 ，求AB 的长？
五、巩固反馈
1.在等腰三角形ABC 中，AC=AB, ∠A=
30,AB=12，则AB 边上的高为（ ） A.6 B.36 C.32 D.不能确定
2.在三角形ABC 中，AB=2，AC=2,∠B= 30则∠BAC=____________.
3.如图三角形ABC 中∠A=
45,∠B=
30,BC=8，求∠ACB 的度数及AB 、AC 的长。

A
C B
C
B A
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（）
A．9 B．7 C．﹣9 D．﹣7
【答案】C
【解析】先求出x=7时y的值，再将x=4、y=-1代入y=2x+b可得答案．
【详解】∵当x=7时，y=6-7=-1，
∴当x=4时，y=2×4+b=-1，
解得：b=-9，
故选C．
【点睛】
本题主要考查函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法．
2．关于x的不等式
2(1)4
x
a x
＞
＜
-
⎧
⎨
-
⎩
的解集为x＞3，那么a的取值范围为（）
A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3D．a≤3
【答案】D
【解析】分析：先解第一个不等式得到x＞3，由于不等式组的解集为x＞3，则利用同大取大可得到a的范围．
详解：解不等式2（x-1）＞4，得：x＞3，
解不等式a-x＜0，得：x＞a，
∵不等式组的解集为x＞3，
∴a≤3，
故选D．
点睛：本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
3．下列计算或化简正确的是（）
A
．= B
C 3=-
D 3=
【答案】D
【解析】解：A ．不是同类二次根式，不能合并，故A 错误；
B =，故B 错误；
C 3=，故C 错误；
D 3===，正确． 故选D ．
4 ） A ．±4 B ．4
C ．±2
D ．2
【答案】B
表示16的算术平方根，为正数，再根据二次根式的性质化简．
4=， 故选B ． 【点睛】
本题考查了算术平方根，本题难点是平方根与算术平方根的区别与联系，一个正数算术平方根有一个，而平方根有两个．
5．下列计算正确的是（ ） A ．（a+2）（a ﹣2）＝a 2﹣2 B ．（a+1）（a ﹣2）＝a 2+a ﹣2 C ．（a+b ）2＝a 2+b 2 D ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab+b 2
【答案】D
【解析】A 、原式=a 2﹣4，不符合题意； B 、原式=a 2﹣a ﹣2，不符合题意； C 、原式=a 2+b 2+2ab ，不符合题意； D 、原式=a 2﹣2ab+b 2，符合题意， 故选D
6的值在（ ） A ．2和3之间 B ．3和4之间
C ．4和5之间
D ．5和6之间
【答案】B
【解析】分析：直接利用23，进而得出答案．
详解：∵2＜7＜3，
∴3＜7+1＜4，
故选B．
点睛：此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出7的取值范围是解题关键．
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）
A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺
【答案】B
【解析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴
1.5 150.5
x
，
解得x=45（尺），
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．8．在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是()
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由几何体的三视图知识可知，主视图、左视图是分别从物体正面、左面看所得到的图形，细心观察即可求解.
【详解】A、正方体的左视图与主视图都是正方形，故A选项不合题意；
B、长方体的左视图与主视图都是矩形，但是矩形的长宽不一样，故B选项与题意相符；
C、球的左视图与主视图都是圆，故C选项不合题意；
D、圆锥左视图与主视图都是等腰三角形，故D选项不合题意；
故选B ． 【点睛】
本题主要考查了几何题的三视图，解题关键是能正确画出几何体的三视图.
9．某商品价格为a 元，降价10％后，又降价10％，因销售量猛增，商店决定再提价20％，提价后这种商品的价格为（ ） A ．0.96a 元 B ．0.972a 元
C ．1.08a 元
D ．a 元
【答案】B
【解析】提价后这种商品的价格=原价×（1-降低的百分比）（1-百分比）×（1+增长的百分比），把相关数值代入求值即可．
【详解】第一次降价后的价格为a×（1-10%）=0.9a 元， 第二次降价后的价格为0.9a×（1-10%）=0.81a 元， ∴提价20%的价格为0.81a×（1+20%）=0.972a 元， 故选B ． 【点睛】
本题考查函数模型的选择与应用，考查列代数式，得到第二次降价后的价格是解决本题的突破点；得到提价后这种商品的价格的等量关系是解决本题的关键．
10．函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】根据a 、b 的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除． 【详解】当a ＞0时，二次函数的图象开口向上，
一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限， 故A 、D 不正确；
由B 、C 中二次函数的图象可知，对称轴x=-2b
a
＞0，且a ＞0，则b ＜0， 但B 中，一次函数a ＞0，b ＞0，排除B ． 故选C ．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．中国的陆地面积约为9 600 000km 2，把9 600 000用科学记数法表示为 ． 【答案】9.6×
1． 【解析】将9600000用科学记数法表示为9.6×1． 故答案为9.6×
1．
12．用半径为6cm ，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为_______cm ． 【答案】1．
【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r ， 根据题意得1πr=0
20816
1π⨯，
解得r=1，
即圆锥的底面圆半径为1cm ． 故答案为：1． 【点睛】
本题考查圆锥的计算，掌握公式正确计算是解题关键．
13= . 【答案】２
【解析】根据算术平方根的定义，求数a 的算术平方根，也就是求一个正数x ，使得x 2=a ，则x 就是a 的算术平方根， 特别地，规定0的算术平方根是0.
【详解】∵22=4【点睛】
本题考查求算术平方根，熟记定义是关键.
14．二次函数()2
y ax bx c a 0=++≠中的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：
则2ax bx c 0++=的解为________． 【答案】x 2=-或1
【解析】由二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（-1，-2），（0，-2），可求得此抛物线的对称轴，又由此抛物线过点（1，0），即可求得此抛物线与x 轴的另一个交点．继而求得答案. 【详解】解：∵二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（-1，-2），（0，-2）， ∴此抛物线的对称轴为：直线x=-12
， ∵此抛物线过点（1，0），
∴此抛物线与x 轴的另一个交点为：（-2，0）， ∴ax 2+bx+c=0的解为：x=-2或1． 故答案为x=-2或1.
【点睛】
此题考查了抛物线与x 轴的交点问题．此题难度适中，注意掌握二次函数的对称性是解此题的关键. 15．如图，已知P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB ．若S 1表示以PA 为一边的正方形的面积，S 2表示长是AB 、宽是PB 的矩形的面积，则S 1_______S 2.（填“＞”“="”“" ＜”）
【答案】=．
【解析】黄金分割点，二次根式化简．
【详解】设AB=1，由P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB ， 根据黄金分割点的，51-，BP=5135
1--= ∴2
1151353535
S S 12222⎛⎫-===⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
S1=S1． 16．一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是______边形． 【答案】四
【解析】任何多边形的外角和是360度，因而这个多边形的内角和是360度．n 边形的内角和是（n-2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 【详解】解：设边数为n ，根据题意，得 （n-2）•180=360， 解得n=4，则它是四边形． 故填：四. 【点睛】
此题主要考查已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
17．如果点P 1(2，y 1)、P 2(3，y 2) 在抛物线22y x x =-+上，那么 y 1 ______ y 2.（填“>”，“<”或“=”）. 【答案】>
【解析】分析：首先求得抛物线y=﹣x 2+2x 的对称轴是x=1，利用二次函数的性质，点M 、N 在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小，得出答案即可．
详解：抛物线y=﹣x 2+2x 的对称轴是x=﹣2
2
-=1．∵a=﹣1＜0，抛物线开口向下，1＜2＜3，∴y 1＞y 2．
故答案为＞．
点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得对称轴，掌握二次函数图象的性质解决问题．
18．若a+b＝3，ab＝2，则a2+b2＝_____．
【答案】1
【解析】根据a2+b2=（a+b）2-2ab，代入计算即可．
【详解】∵a+b＝3，ab＝2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝9﹣4＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查对完全平方公式的变形应用能力，要熟记有关完全平方的几个变形公式．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC5
=，tanB
1
2
=，半径为2的⊙C分别交AC，BC于点D、
E，得到DE弧．求证：AB为⊙C的切线．求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析；(2)1-π.
【解析】（1）解直角三角形求出BC，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式求出CF，根据切线的判定得出即可；
（2）分别求出△ACB的面积和扇形DCE的面积，即可得出答案．
【详解】（1）过C作CF⊥AB于F．
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC5
=，tanB
1
2
AC
BC
==，∴BC＝25，由勾股定理得：
AB22
AC BC
=+=1．
∵△ACB的面积S
11
22
AB CF AC BC
=⨯⨯=⨯⨯，∴CF525
5
⨯
==2，∴CF为⊙C的半径．
∵CF⊥AB，∴AB为⊙C的切线；
（2）图中阴影部分的面积＝S△ACB﹣S扇形DCE
2
1902
525
2360
π⨯
=⨯⨯-=1﹣π．
【点睛】
本题考查了勾股定理，扇形的面积，解直角三角形，切线的性质和判定等知识点，能求出CF的长是解答此题的关键．
20．某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．求出y与x之间的函数关系式；写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y=-x+170；（2）W=﹣x2+260x﹣1530，售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是2元．
【解析】（1）先利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）用每件的利润乘以销售量得到每天的利润W，即W=（x﹣90）（﹣x+170），然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，根据题意得：
12050
14030
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得：
1
170
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴y与x之间的函数关系式为y=﹣x+170；
（2）W=（x﹣90）（﹣x+170）=﹣x2+260x﹣1．
∵W=﹣x2+260x﹣1=﹣（x﹣130）2+2，而a=﹣1＜0，∴当x=130时，W有最大值2．
答：售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是2元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，先利用利润=每件的利润乘以销售量构建二次函数关系式，然后根据二次函数的性质求二次函数的最值，一定要注意自变量x的取值范围．
21．先化简，再求值：
2
2
1
4422
x x x
x x x x
-
÷-
++++
，其中21．
21．【解析】试题分析：
试题解析：原式=
2
2
21 (2)2
x x x
x x x
+-
⨯-
++
=
1
22 x x
x x
-
-
++
=
1
2 x+
当x=21
-时，原式=
1
21 212
=--+
.
考点：分式的化简求值．
22．解方程：
25
2112
x
x x
+
--
＝1．
【答案】
1
2 x=-
【解析】先把分式方程化为整式方程，解整式方程求得x的值，检验即可得分式方程的解.
【详解】原方程变形为
25
3 2121
x
x x
-=
--
，
方程两边同乘以（2x﹣1），得2x﹣5＝1（2x﹣1），
解得
1
2
x=-．
检验：把
1
2
x=-代入（2x﹣1），（2x﹣1）≠0，
∴
1
2
x=-是原方程的解，
∴原方程的
1
2
x=-．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，把分式方程化为整式方程是解决问题的关键，解分式方程时，要注意验根. 23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，DE交AC于点E，且∠A＝∠ADE．求证：DE是⊙O的切线；若AD＝16，DE＝10，求BC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）15.
【解析】（1）先连接OD，根据圆周角定理求出∠ADB=90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=BE，推出∠EDB=∠EBD，∠ODB=∠OBD，即可求出∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可．
（2）首先证明AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC=12，设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC
中，BC2=（x+16）2-202，可得x2+122=（x+16）2-202，解方程即可解决问题．
【详解】（1）证明：连结OD，∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
又∵OD=OB，
∴∠B=∠BDO，
∵∠ADE=∠A，
∴∠ADE+∠BDO=90°，
∴∠ODE=90°．
∴DE是⊙O的切线；
（2）连结CD，∵∠ADE=∠A，
∴AE=DE．
∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°．
∴EC是⊙O的切线．
∴DE=EC．
∴AE=EC，
又∵DE=10，
∴AC=2DE=20，
在Rt△ADC中，22
-=
201612
设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，
在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202，
∴x2+122=（x+16）2﹣202，解得x=9，
∴22
+=.
12915
【点睛】
考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活综合运用所学知识解决问题.
24．如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点E在BC上．
求证：△ABC ≌△ADE ；（2）求证：∠EAC ＝∠DEB ．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．
【解析】（1）用“SSS”证明即可；
（2）借助全等三角形的性质及角的和差求出∠DAB ＝∠EAC ，再利用三角形内角和定理求出∠DEB ＝∠DAB ，即可说明∠EAC ＝∠DEB ．
【详解】解：（1）在△ABC 和△ADE 中
AB AD AC AE BC DE ⎧⎪⎨⎪⎩
＝，＝，
＝， ∴△ABC ≌△ADE （SSS ）；
（2）由△ABC ≌△ADE ，
则∠D ＝∠B ，∠DAE ＝∠BAC ．
∴∠DAE ﹣∠ABE ＝∠BAC ﹣∠BAE ，即∠DAB ＝∠EAC ．
设AB 和DE 交于点O ，
∵∠DOA ＝BOE ，∠D ＝∠B ，
∴∠DEB ＝∠DAB ．
∴∠EAC ＝∠DEB ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质求出相等的角，体现了转化思想的运用．
25．有A 、B 两组卡片共1张，A 组的三张分别写有数字2，4，6，B 组的两张分别写有3，1．它们除了数字外没有任何区别，随机从A 组抽取一张，求抽到数字为2的概率；随机地分别从A 组、B 组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？
【答案】（1）P （抽到数字为2）=13
；（2）不公平，理由见解析. 【解析】试题分析：（1）根据概率的定义列式即可；（2）画出树状图，然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，从而得解．
试题解析: （1）P=13
； （2）由题意画出树状图如下：
一共有6种情况，
甲获胜的情况有4种，P=42 63 =，
乙获胜的情况有2种，P=21 63 =，
所以，这样的游戏规则对甲乙双方不公平．
考点：游戏公平性；列表法与树状图法．
26．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C．求证：∠CBP=∠ADB．若OA=2，AB=1，求线段BP的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）BP=1.
【解析】分析：（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，再根据切线的性质得到∠OBC=90°，然后利用等量代换进行证明；
（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长．
详（1）证明：连接OB，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠A+∠ADB=90°，
∵BC为切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
而OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠CBP=∠ADB；（2）解：∵OP⊥AD，∴∠POA=90°，
∴∠P+∠A=90°，
∴∠P=∠D，
∴△AOP∽△ABD，
∴AP AO
AD AB
=，即
12
41
BP
+
=，
∴BP=1．
点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．某青年排球队12名队员年龄情况如下：
年龄18 19 20 21 22
人数 1 4 3 2 2
则这12名队员年龄的众数、中位数分别是（）
A．20，19 B．19，19 C．19，20.5 D．19，20
【答案】D
【解析】先计算出这个队共有1+4+3+2+2=12人，然后根据众数与中位数的定义求解．
【详解】这个队共有1+4+3+2+2=12人，这个队队员年龄的众数为19，中位数为2020
2
=1．
故选D．
【点睛】
本题考查了众数：在一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数．也考查了中位数的定义．
2．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（）
A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5
【答案】B
【解析】根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．
【详解】∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，设另一个根为m，
∴-2+m=−3
1
，
解得，m=-1，
故选B．
3．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）
A．1
2
B．
2
4
C．
1
4
D．
1
3
【答案】D
【解析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在
Rt△BCD中求tanB．
【详解】过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′=∠B．
在Rt△BCD中，tanB=
1
3 CD
BD
=，
∴tanB′=tanB=1
3
．
故选D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．
4．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠GEA+∠FEB=90°，
∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB，
∴△AEG∽△BFE，
∴AE AG BF BE
=，
又∵AE=BE，
∴AE2=AG•BF=2，
∴2
∴GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=1+2+2+4=9，∴GF的长为3，
故选B.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明
△AEG ∽△BFE ．
5．在直角坐标平面内，已知点M(4，3)，以M 为圆心，r 为半径的圆与x 轴相交，与y 轴相离，那么r 的取值范围为( )
A ．0r 5<<
B ．3r 5<<
C ．4r 5<<
D ．3r 4<<
【答案】D
【解析】先求出点M 到x 轴、y 轴的距离，再根据直线和圆的位置关系得出即可．
【详解】解：∵点M 的坐标是（4，3），
∴点M 到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，
∵点M （4，3），以M 为圆心，r 为半径的圆与x 轴相交，与y 轴相离，
∴r 的取值范围是3＜r ＜4，
故选：D ．
【点睛】
本题考查点的坐标和直线与圆的位置关系，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键． 6．如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果向这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度h 与时间t 之间的关系的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h 与t 的关系变为先快后慢．
【详解】根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h 与时间t 之间的关系分为两段，先快后慢。

故选：C.
【点睛】
此题考查函数的图象，解题关键在于观察图形
7．如图，一圆弧过方格的格点A 、B 、C ，在方格中建立平面直角坐标系，使点A 的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（ ）
A．（0，0）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（0，﹣1）
【答案】C
【解析】如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，
则点O即是该圆弧所在圆的圆心．
∵点A的坐标为（﹣3，2），
∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）．
故选C．
8．□ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）
A．BE=DF B．AE=CF C．AF//CE D．∠BAE=∠DCF
【答案】B
【解析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得.
【详解】A、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；
C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，
∵AF//CE，∴∠FAO=∠ECO，
又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，
∴AF//CE，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO，
∴AE//CF，
∴AE//CF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，
故选B.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键.
9．下列图形中，线段MN的长度表示点M到直线l的距离的是（）
A．B．C． D．
【答案】A
【解析】解：图B、C、D中，线段MN不与直线l垂直，故线段MN的长度不能表示点M到直线l的距离；
图A中，线段MN与直线l垂直，垂足为点N，故线段MN的长度能表示点M到直线l的距离．故选A．
10．设a，b是常数，不等式
1
x
a b
+>的解集为
1
5
x<，则关于x的不等式0
bx a
->的解集是（）
A．
1
5
x>B．
1
5
x<-C．
1
5
x>-D．
1
5
x<
【答案】C
【解析】根据不等式
1
x
a b
+>的解集为x＜
1
5
即可判断a,b的符号,则根据a,b的符号,即可解不等式
bx-a<0
【详解】解不等式
1
0 x
a b +>,
移项得:1-x a b ＞ ∵解集为x<15
∴1-5
a b = ，且a<0 ∴b=-5a>0，15 15a b
=- 解不等式0bx a ->, 移项得:bx ＞a
两边同时除以b 得:x ＞
a b , 即x ＞-
15
故选C
【点睛】
此题考查解一元一次不等式，掌握运算法则是解题关键
二、填空题（本题包括8个小题）
11．如图，矩形ABCD 面积为40，点P 在边CD 上，PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，足分别为E ，F ．若AC ＝10，则PE+PF ＝_____．
【答案】4
【解析】由矩形的性质可得AO=CO=5=BO=DO ，由S △DCO =S △DPO +S △PCO ，可得PE+PF 的值．
【详解】解：如图，设AC 与BD 的交点为O ，连接PO ，
∵四边形ABCD 是矩形
∴AO=CO=5=BO=DO ，
∴S △DCO =14
S 矩形ABCD =10， ∵S △DCO =S △DPO +S △PCO ，
∴10=12×DO×PF+12
×OC×PE ∴20=5PF+5PE
∴PE+PF=4
故答案为4
【点睛】
本题考查了矩形的性质，利用三角形的面积关系解决问题是本题的关键．
12．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是．
【答案】1．
【解析】试题分析：因为2+2＜4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2=1，答：它的周长是1，故答案为1．
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
13．一元二次方程x2﹣4=0的解是．_________
【答案】x=±1
【解析】移项得x1=4，
∴x=±1．
故答案是：x=±1．
14．计算：﹣1﹣2＝_____．
【答案】-3
【解析】-1-2=-1+(-2)=-(1+2)=-3，
故答案为-3.
15．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小等于__________度.
【答案】45
【解析】试题解析：设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°-∠ACE=90°-x-y．
∵AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC=x+y，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°-x-y+x=90°-y．
在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，
∴x+（90°-y）+（x+y）=180°，
解得x=45°，
∴∠DCE=45°．
考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形内角和定理.
16．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐
标为（2，0），若抛物线21y x k 2
=
+与扇形OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是 .
【答案】－2＜k ＜12。

【解析】由图可知，∠AOB=45°，∴直线OA 的解析式为y=x ，
联立2y x
{1y x k 2
==+，消掉y 得，2x 2x 2k 0-+=， 由()22412k 0∆=--⨯⨯=解得，12k =
. ∴当12
k =时，抛物线与OA 有一个交点，此交点的横坐标为1. ∵点B 的坐标为（2，0），∴OA=2，∴点A 22，.
∴交点在线段AO 上.
当抛物线经过点B （2，0）时，104k 2=
⨯+，解得k=－2. ∴要使抛物线21y x k 2=+与扇形OAB 的边界总有两个公共点，实数k 的取值范围是－2＜k ＜12
. 【详解】请在此输入详解！
17．若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是 边形．
【答案】七
【解析】根据多边形的内角和公式()2180n -⋅︒，列式求解即可.
【详解】设这个多边形是n 边形，根据题意得，
()2180900n -⋅︒=︒，
解得7n =.
故答案为7.
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键.
18．因式分解：3x 2-6xy+3y 2=______．
【答案】3（x ﹣y ）1
【解析】试题分析：原式提取3，再利用完全平方公式分解即可，得到3x 1﹣6xy+3y 1=3（x 1﹣1xy+y 1）=3
（x ﹣y ）1．
考点：提公因式法与公式法的综合运用
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，点B 在线段AD 上，BC DE ，AB ED =，BC DB =.求证：A E ∠=∠.
【答案】证明见解析
【解析】若要证明∠A=∠E ，只需证明△ABC ≌△EDB ，题中已给了两边对应相等，只需看它们的夹角是否相等，已知给了DE//BC ，可得∠ABC=∠BDE ，因此利用SAS 问题得解.
【详解】∵DE//BC
∴∠ABC=∠BDE
在△ABC 与△EDB 中
AB DE ABC BDE BC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABC ≌△EDB （SAS)
∴∠A=∠E
20．如图，在平面直角坐标系中，直线y 1=2x ﹣2与双曲线y 2=k x
交于A 、C 两点，AB ⊥OA 交x 轴于点B ，且OA=AB ．求双曲线的解析式；求点C 的坐标，并直接写出y 1＜y 2时x 的取值范围．
【答案】（1）24y x
=；（1）C （﹣1，﹣4），x 的取值范围是x ＜﹣1或0＜x ＜1． 【解析】（1）作高线AC ，根据等腰直角三角形的性质和点A 的坐标的特点得：x=1x ﹣1，可得A 的坐标，从而得双曲线的解析式；
（1）联立一次函数和反比例函数解析式得方程组，解方程组可得点C 的坐标，根据图象可得结论．
【详解】（1）∵点A 在直线y 1=1x ﹣1上，
∴设A （x ，1x ﹣1），
过A 作AC ⊥OB 于C ，
∵AB ⊥OA ，且OA=AB ，
∴OC=BC ，
∴AC=12OB=OC ， ∴x=1x ﹣1，
x=1，
∴A （1，1），
∴k=1×1=4，
∴24y x
=； （1）∵224y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩
，解得：1122x y =⎧⎨=⎩，2214x y =-⎧⎨=-⎩， ∴C （﹣1，﹣4），
由图象得：y 1＜y 1时x 的取值范围是x ＜﹣1或0＜x ＜1．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合；熟练掌握通过求点的坐标进一步求函数解析式的方法；通过观察图象，从交点看起，函数图象在上方的函数值大．
21．先化简，再求值：(1﹣11x x -+)÷22691
x x x ++-，其中x ＝1． 【答案】15
. 【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．
【详解】原式=2221(1)(1)1(3)x x x x x x +-++-⋅++=2(1)(1)(3)3113
x x x x x x x +-=-++⋅++ 当x=1时，原式2123-=
+=15． 【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
22．如图,AB=16,O 为AB 中点,点C 在线段OB 上(不与点O,B 重合),将OC 绕点O 逆时针旋转 270°后得到扇形COD,AP,BQ 分别切优弧CD 于点P ，Q ，且点P ，Q 在AB 异侧，连接OP.
求证：AP=BQ ；当BQ= 43时,求QD 的长(结果保留
π)；若△APO 的外心在扇形COD 的内部，求OC 的取值范围.
【答案】（1）详见解析；（2）143
π；（3）4<OC<1. 【解析】（1） 连接OQ ，由切线性质得∠APO=∠BQO=90°，由直角三角形判定HL 得
Rt △APO ≌Rt △BQO ，再由全等三角形性质即可得证.
（2）由（1）中全等三角形性质得∠AOP=∠BOQ ，从而可得P 、O 、Q 三点共线，在Rt △BOQ 中，根据余弦定义可得cosB=QB OB
， 由特殊角的三角函数值可得∠B=30°，∠BOQ=60° ，根据直角三角形的性质得 OQ=4， 结合题意可得 ∠QOD 度数，由弧长公式即可求得答案.
（3）由直角三角形性质可得△APO 的外心是OA 的中点 ，结合题意可得OC 取值范围.
【详解】（1）证明：连接OQ.
∵AP 、BQ 是⊙O 的切线，
∴OP ⊥AP ，OQ ⊥BQ ，
∴∠APO=∠BQO=90∘，
在Rt △APO 和Rt △BQO 中，
OP OQ OA OB =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △APO ≌Rt △BQO ，
∴AP=BQ.
（2）∵Rt △APO ≌Rt △BQO ，
∴∠AOP=∠BOQ ，
∴P 、O 、Q 三点共线，
∵在Rt △BOQ 中,cosB=433QB OB ==， ∴∠B=30∘,∠BOQ= 60° ，
∴OQ=1
2
OB=4，
∵∠COD=90°，
∴∠QOD= 90°+ 60° = 150°，
∴优弧QD的长=210414 1803
π
π
⋅⋅
=，
（3）解：设点M为Rt△APO的外心，则M为OA的中点，
∵OA=1，
∴OM=4，
∴当△APO的外心在扇形COD的内部时，OM＜OC，
∴OC的取值范围为4＜OC＜1．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心、弧长的计算、扇形面积的计算、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理HL证出Rt△APO≌Rt△BQO；（2）通过解直角三角形求出圆的半径；（3）牢记直角三角形外心为斜边的中点是解题的关键．
23．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y＝﹣1
2
x2+bx+c经过A，B两点，
与x轴的另外一个交点为C填空：b＝，c＝，点C的坐标为．如图1，若点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m．PQ与OQ的比值为y，求y与m的数学关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值．如图2，若点P是第四象限的抛物线上的一点．连接PB 与AP，当∠PBA+∠CBO＝45°时．求△PBA的面积．
【答案】（3）3，2，C（﹣2，4）；（2）y＝﹣1
8
m2+
1
2
m ，PQ与OQ的比值的最大值为
1
2
；（3）S△PBA
＝3．
【解析】（3）通过一次函数解析式确定A、B两点坐标，直接利用待定系数法求解即可得到b，c的值，令y=4便可得C点坐标．
（2）分别过P、Q两点向x轴作垂线，通过PQ与OQ的比值为y以及平行线分线段成比例，找到PQ ED OQ OD
=，
设点P坐标为（m，-1
2
m2+m+2），Q点坐标（n，-n+2），表示出ED、OD等长度即可得y与m、n之
间的关系，再次利用PE QD
OE OD
=即可求解．
（3）求得P点坐标，利用图形割补法求解即可．。