代数稳定判据

例4.5 已知系统的特征方程为 ：
D(s) s 6 s 5 2s 4 3s 3 7s 2 4s 4 0
用劳思稳定判据判别系统稳定性。
解 劳斯表构成如下：
s6 s s s s
5 4 3 2
s1
s0
1 1 1 4 -3 -50 -8
-2 -3 -3 -6 -8
-7 -4 -4
赫尔维兹稳定判据 ：系统稳定的充分必要
条件是 i 0 ，(i 1,2, , n) 。
3 李纳德-戚帕特稳定判据
李纳德 - 戚帕特（ Lienard Chipart ）证明， 在特征多项式系数为正的条件下，若所有奇数 i 3,5, ， 阶赫尔维兹行列式均为正，即 0 ， 则所有偶数阶赫尔维兹行列式也为正， i 2,4, ，反之亦然。所以，有下 即 0 ， 列李纳德-戚帕特稳定判据。 李纳德-戚帕特稳定判据：设特征多项式系数全 为正，则系统稳定的充分必要条件是: i 0 i 2,4, , n 1 （若为奇数)(4.27a) i 0 i 3,5, , n 1 （若为偶数)(4.28b)

因为 是一个很小的正数，所以
3
3
0
设劳思表中 行的数分别 为 t1 , t 2 , t 3 等，则辅助多项式为
F (s) t1 s k t 2 s k 2 t 3 s k 4
,，
s k 1 行全为 0 ，s
k
（4.23) （4.24）
对 s求导得
d F (s) t1ks k 1 t 2 (k 2)s k 3 t 3 (k 4)s k 5 ds
b2
c2
d
2

b3
c3
d3
c4
d

s0


b4

4

表中
b1 1 a n 1 an a n 1 a n2 a a a n a n 3 n 1 n 2 a n 3 a n 1
b2
1 a n 1
a n a n 4 a n 1 a n 4 a n a n 5 a n 1 a n 5 a n 1
例4.3 已知系统的特征方程为:
用劳思稳定判据判别系统稳定性。 解：显然特征方程系数的符号不相同,不满足稳 定的必要条件,所以系统是不稳定的. 下面用劳思判据判别系统稳定性，不仅得到相 同的结论，而且可以确定有几个不稳定的特征 根。劳思表构成如下：
s s s s
4 3 2 1
1
1 -2 3/2 1
n
n1
a1s a0 0

(4.22)
劳思（ Routh ）稳定判据是利用劳思表第一列 数的符号变化判别系统的稳定性。劳斯表构成 如下：
s
n
பைடு நூலகம்
s n1
s n 2
s n 3
s n4
an a an4 an6 a n 1 an 3 an 5 an7
n2
b 1
c1
d1
a0 0
。所以，二阶系统
稳定的条件是特征多项式的系数全为正,或者全为负。
例4.8 推导三阶系统稳定的条件。
解 : 设三阶系统的特征方程为:
D(s) a3 s 3 a 2 s 2 a1 s a0 0
由李纳德-戚帕特稳定判据，系统稳定的充要条件是: a 3 0 a 2 0 a1 0 a 0 0 2 a2 a3 a 2 a1 a3 a0 0 解得: a 3 0 a 2 0 a1 0 a 0 0
R(s)
n
E ( s)
)
n2 s( s 2 n )
K1 s
C (s)
特征方程为：
图4.3 例4.6控制系统
2 2 D(s) s 3 2 n s 2 n s K1 n 0
劳思表构成如下：
3
s s
s 2
1
2 2 n K 1 n
2

2 n
1 2 n K1 n 2 0 2 K 1 n s
b3 b c b1c 3 3 1 c3 c1
d3
1 b1 c1 c1
b4 b c b1 c 4 4 1 c4 c1
直至其余全为0。
在列劳思表时，为了简化运算，可以 用一个正数遍乘同一行中的所有元素， 不影响判别结果.
劳思稳定判据 ：系统稳定的充分必
要条件是劳思表的第一列数的符号相同。 而且，系统正实部特征根的个数等于劳 思表第一列数的符号变化次数.
(4.25)
不失一般性，设 a n 0 .因为当 an 0 时，只 要用-1乘以式（4.25）的两边，即可满足假设 条件。构造赫尔维兹（Hurwitz）行列式如下:
1 a n 1 2 a n 1 a n 3 a n 1 a n 3 a n 5
an a n2 a n4 a n 6 a n 8 0 0 a n 1 a n 3 a n 5 a n 7 0
i i
例4.7 推导二阶系统稳定的条件。
解 :设二阶系统的特征方程为:
D( s) a 2 s 2 a1 s a 0 0
由李纳德 - 戚帕特稳定判据，系统稳定的充要条件 是: , , , a 2 0 a1 0 a 0 0 1 a1 0 解得 :
a2 0
a1 0
b1
bn2


… …
… …
a1
bn 1
a
j
b2

bn j

bn 1


bj

b1
a
j


2n-5 2n-4 2n-3
s0
s1
s2
s2 s1
r2
s3
s0
s3
r0
r 1
an
a0
an
其中
bj a0 an
s0 s3 s3 s0
a n j aj
s0 s3
cj
C1,1 a n C1, 2 a n 1 1
C1, j

j 1 j 2
( j 3,4, , n 1)
因此，在 a n 0 的情况下，如果所有的赫尔维 兹行列式为正值，那么，劳思表的第一列元素 必大于零，反之亦然。
4.2.2 线性离散系统的代数稳定 判据
判别离散系统稳定性的代数方法有： 朱利（ Jury ）判据和舒尔 — 科恩 (SchurCohn)判据。这些方法和连续系统中的劳 斯、赫尔维兹判据很相似。 设系统的特征方程:
由劳思稳定判据，系统稳定的充分必要条件为： 2 K 1 n 0 1. 2 n 2 K1 n 0 2. 解上面的不等式，保证系统稳定的参数的取值范围为 0 K 1 2 n .当 K1 2 n 时，系统临界稳定。
2. 赫尔维茨稳定判据
设系统的特征方程为:
D(s) an s n a n1 s n1 a1s a0 0 a n 0
D( z) an z n an1 z n1 a1 z a0 0
(4.28)
不失一般性,设系统特征方程（4.28）中 an 0 。列 表：
1. 朱里稳定判据
1 3
a0
a1
a2

… …
an j
a
j

… …
an2 an1 a2
bn 2
2 4
5 6

an1 an2
4.2 代数稳定判据
上面得到了系统稳定的充分必要条件， 但直接检查系统的全部特征根是否都在 复平面左半部，或者是否都在复平面的 单位圆内是很困难的。本节介绍代数稳 定判据，从特征方程的系数之间的关系， 判别系统稳定性。
4.2.1 线性连续系统的 代数稳定判据
1. 劳思稳定判据
设系统的特征方程为:
D(s) an s an1 s
n n
注意到, n 阶系统的赫尔维兹行列式 n 的主对角线上的元素依次为 an1 , an2 , , a1 , a0 ，每列 元素是以主对角线元素为基准，往下按注脚递 减的顺序排列，往上按注脚递增的顺序排列， 凡是注脚大于 n 或小于零的系数均为零。而 低阶赫尔维兹行列式 是的各阶顺序主子式。
例4.2 已知系统的特征方程为：
D(s) s 4 6s3 12s 2 11s 6 0
用劳思稳定判据判别系统稳定性。
解：劳思表的构成如下：第一列数符号相同，故系统 稳定。 12 6 s 4 1 11 0 s 3 6 61/6 6 s 2 61/6 45 1 s 455/61 0 5/61 6 s0 6
D(s) s 3s s 3s 1 0
4 3 2
用劳思稳定判据判别系统稳定性。 解 劳思表构成如下：
s4 s
3
1
1

1
3
s2
1 3 3 s

3
1
0

0
s0 1
，因 此劳思表第一列数符号变化2次，所以系统是 不稳定的，有2个特征根在右半S平面。 在列劳思表时，还可能遇到另一种特殊情 况：劳思表中某一行的数全为 0 。这时可以用 上一行的数构成所谓辅助多项式，将辅助多项 式对变量 s 求导，得到一个新的多项式，然后， 用这个新多项式的系数代替全为 0 这一行的数， 继续列劳斯表。
则 s k 1 行的系数分别替换为 …。
t1 k
, t 2 (k 2) , t3 (k 4) ,
劳思表中出现某一行的数全为 0 ，表明系 统存在对称于原点的特征根。就是说，系统特 征根中或者存在两个符号相反、绝对值相等的 实根；或者存在一对共轭纯虚根；或者存在实 部符号相反、虚部数值相等的两对共轭复根； 或者上述几类根同时存在。 对称于原点的所有特征根都可以通过求解 辅助方程得到，而且，辅助方程的根都是对称 于原点的所有特征根。正因为如此，辅助方程 或多项式的最高幂次总是偶数，等于对称于原 点的特征根的个数。
b3
1 a n 1
an a n 1
a n 6 a n 1 a n 6 a n a n 7 a n 7 a n 1
直至其余全为0。
c1
1 a n 1 b1 b1
a n 3 b a b2 a n 1 1 n 3 b2 b1
1 a n 1 c2 b1 b1
,
应用劳思判据可以确定保证系统稳定的系 统参数取值范围，这在系统设计中是很有用的。 下面举例说明。
0 ， n 0 ，确 例4.6所示的系统，其中， 定保证系统稳定的参数 K1 的取值范围。
解 系统的开环传递函数为：
2 n K1 G ( s ) (1 ) s s ( s 2
-1
1 1 0
1
0
s
0
因为劳思表第一列数符号变化2次，所以系统是不稳定 的，有2个特征根在右半S平面。 在列劳思表时，可能遇到一种特殊情况：劳思表 中某一行的第一列数为 0，其余不全为 0。这时可以用 一个很小的正数（也可以是负数）代替这个0，然后继 续列劳思表。

例4.4 已知系统 的特征方程为
an a n2 an a n2 a n4
0 an a n2 a n4 a n 6 0 0 0 a n 1 a n 3 a n 5 0
0 a n 1 a n 3
0 0 0 0 0 a0
3
n
a n 1 a n 3 a n 5 a n 7 a n 9 0


-4
F (s) s 4 3s 2 4
F ( s) 4s 3 6s
因为劳思表第一列数符号变化 1 次，所以系统 是不稳定的，有1个特征根在右半S平面。 求解辅助方程 ： 4 2
F (s) s 3s 4 0
s1,2 2
可得系统对称于原点的特征根为 s3,4 j .
a n 5 b1 a n 5 b3 a n 1 b3 b1
c3
1 a n 1 b1 b1
a n 7 ba b4 a n 1 1 n 7 b4 b1
直至其余全为0。
d1
1 b1 c1 c1
b2 b c b1c 2 2 1 c2 c1
d2
1 b1 c1 c1
a 0 a1
a 2 a1 a 3 a 0
所以，三阶系统稳定的条件是特征多项式的系数全为 正，并且 a a a a
2 1 3 0
用赫尔维兹稳定判据也得到同样的结果。
4. 劳思判据与赫尔维兹判据的关系
劳思判据与赫尔维兹判据虽然是独立提出的， 但本质上是一样的。劳思表的第一列元素 i 和 赫尔维兹行列式 C1, j 的关系是：