数学课例-奇妙的五角星-高杨

奇妙的五角星
【学习目标】
1.通过观察五角星，提出相关的数学问题，并能利用已学的知识和技能解决问
题；
2.经历观察、操作、推理的过程，了解五角星形、边、角、顶点的特点，并尝
试应用已学知识求一个角的度数和五角星的面积与周长，增强应用数学的能力；
3.结合五角星的现实材料和数学作品，感受五角星的数学美，感悟五角星的文
化价值。

【先学任务】
先学任务请学生在上课前一天回家完成。

如果有困难，可以同家长一起完成。

预学设计设计意图
一、五角星的“形”
你在哪些地方见到过五角星？请在画出一个五角星。

五角星是对称图形吗？有几条对称轴？
立足现实生活，通过平时日常的感知和画一画的操作，建立表象。

同时把学生平时观察习得的旧知与新课内容联系起来。

使学生置于熟悉的情境之中，调动学生的学习兴趣，使学生在较短的时间里尽快明确本课学习任务。

从五角星的整体形状入手，结合以前学过对称的知识，让学生回答五角星是否对称，有几条对称轴。

二、五角星的“点”
五角星的五个顶点有什么特点？
根据第一题表象的建立和先给出的五个点，让学生猜想五点共圆。

猜想
类型：综合实践课学科：小数六年级学校：党湾二小设计：高杨
是基础，严密的论证离不开大胆的猜想。

这一环节为后续上课验证五角星五点共圆作铺垫。

三、五角星的“角”
五角星有几个锐角？用你自己的方法得出它们的度数。

根据三角形内角和180度，推算出五角星的顶角度数。

也可以用量角器直接量出度数。

鼓励学生用自己的方法得出结果。

通过已有的基本数学知识和基本技能，拓展和推导新的知识。

使学生感到学有所用。

四、五角星的“新发现”和“疑惑”给予学生一定的个性空间，尊重学
生的个性需求。

通过开放，引导学生在
个性区域中大胆猜想和尝试，为进一步
推导和验证铺平道路。

【教学过程】
一、新课引入、提出数学问题（7分钟）
【设计】1．教师谈话引入课题
2．感知寻找标准五角星的共同点
3．观察标准的五角星，提出一些数学问题。

选择典型问题，制成展板、
准备和全班同学一起解决。

【现场】
1.师：这是我们国家的国旗和国徽，在国旗和国徽上都有一个共同的图形，是
什么图形？
生：五角星。

师：你认识五角星吗？
生：认识。

2.师追问：那你们能不能说说什么样的图形是五角星？
生：（虽然认识但是表达困难）
师：有些事物我们很熟悉，但当有人突然问是什么的时候会觉得比较困难，那我们就改改：说说五角星是什么样的？（学生尝试回答）
3.师：尽管你们很难说出五角星的特点，但是你们一定能判断下面哪个是标准
的五角星？如图1.1（说明：3号五角星在超级画板中是可以变化的，在变化过程中让学生判断是否为标准的五角星，判断的过程实际上就是感知寻找标准五角星的共同特点。

）
图1.1 一般和标准五角星对比
4.师：那么五角星到底有哪些特点呢？今天我们就一起来研究它。

5.师：请同学们观察标准的五角星，结合我们所学的知识和研究其他平面图形
的方法，能不能提一些数学问题？
生1：五角星有几个角？五角星的顶角是几度？
生2：五角星是否是对称图形？有几条对称轴？
生3：五角星的面积和周长如何计算？
生4：五角星的五个顶点连接起来是什么图形？
生：．．．．．．
6. 刚才大家提出了很多关于五角星的问题，我们选择其中的一些依次来解决它们。

【反思】
作为课程的“综合实践活动”，我觉得应该是立足现实生活背景针对数学
内容而展开的活动，应该把数学知识和技能的应用、数学活动经验的积累以及数学思想的渗透作为活动组织的价值取向。

关注学生提问能力和解决问题的策略。

看着一幅简单的图从数学的角度
提出问题，而这些问题恰恰是教学所预设要解决的问题，当面队纷繁复杂的问题时，如何分门别类地解决？引导学生从整体到局部，从点到线到图形的周长和面积，在解决问题的过程中学会解决问题。

二、独立思考、合作解决
【设计】1．研究五角星的“形”
2．研究五角星的“点”
3．研究五角星的“角”
4．研究五角星的“面积和周长”
5．研究五角星的“黄金比例”
【现场】
1．研究五角星的“形”
（1）师：五角星是不是对称图形？有几条对称轴？（学生作出判断）
（2）画出预习案上五角星的对称轴。

2．研究五角星的“点”
（1）师：五角星的点有什么特点？
生1：对称轴的焦点就是中心点。

生2：我昨天画了一个圆，发现五角星5个顶点都在一个圆上。

（2）师追问：是不是所有的五角星都是这样呢？
生：应该是的。

图2.1 学生画的五角星和对称轴
（3）教师运用超级画板演示。

请学生上台操作。

拖动其中一点，五角星
的大小任意变化，但是无论多大的五角星，其五点都在一个圆上。

如图
2.2：
3．研究五角星的“角”
（1）师：我们再来研究五角星的角，主要研究5个顶
角。

五角星的一个顶角是多少度？组织学生先观察图
形，然后估一估，大致集中在30°~50°；再用量角
器量一量，范围确定在35°-37°。

然后引导学生精确
地推算。

方法一：首先启发学生发现一个外角等于不相邻的两
个内角和。

学生所 需要的推理基础是已学内容：三角形的内角和是
180°，平角的度数是 180°。

具体过程如图2.1。

∠2+∠4=∠6，∠3+∠5=∠7，∠1+∠6+∠7=180°。

（如图2.4）
那么 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°；
所以五角星的一个角的度数是180°÷5=36°
图2.2 五角星五点共圆示意图 图2.3 外角等于不相邻的两个内角和
图2.4 五角星顶角度数推算方法示意图一
方法二：如方法一，根据三角形内角和是180°，推算出正五边形的内角和是540°，正五边形有五个内角，所以一个内角是108°，又因为∠1+∠6+∠7=180°，∠6+∠1=108°，这样可以推算出∠6=72°，∠7=72°,∠1=180°-72°×2=36°。

如图2.5
图2.5五角星顶角度数推算示意图二
方法三：五角星所在的五边形的内角和为180°×3=540°，540÷5÷3=36°。

（此方法有部分依赖学生的自觉，缺少严格的证明，但有学生这样作出判断，也值得肯定。

）
4．研究五角星的“周长和面积”
（1）师：要计算五角星的周长和面积，需要度量哪几条线段的长度？
生：只要量得一条边的长度，乘10就是五角星的周长。

（2）师：计算面积最少需要度量哪几条线段？为什么？
生：尝试测量与计算。

师生之间交流，引导学生量出OA，以及OA 边上的高，求得三角形OAF的面积，然后乘10就是五角星的面积，见图2.6
图2.6五角星面积计算方法
5．研究五角星的“黄金比”
（1）师：五角星中有很多的线段．它们的长度看上去特别的舒服．这些线段之间有着怎样的关系呢?(让学生试着先说说自己的直觉。

)
（2）引导学生在五角星中找出几组具有黄金比的线段。

学生按照提示找出对应的线段：IH ：( ) = EI ：( ) = EH ：( ) = 0．618
（3）应用超级画板展示动态五角星．验证不同的五角星相应的线段都具有黄金比的性质。

如图2.7：五角星的5个三角形均为底角是72°，顶角是36°的等腰三角形，这样的三角形也叫“黄金三角形”，如果画出底角的角平分线，又会产生两个三角形．仍然是黄金三角形。

可以通俗地认为：五角星中满是“黄金”。

图2.7五角星黄金比例超级画板演示图
【反思】)借助五角星巩固已有技能，拓展思维。

怎样应用已有知识“三角形的内角和180°来推算五角星一个顶角的度数，怎样计算五角星的周长和面积，怎样估计出哪些线段之间存在黄金比……这些问题的解决都是数学基本知识和基本技能的应用。

这节课上，这些知识和技能已经不是孤立的存在，而是贯穿在一起。

从另一个角度来说，这些技能也不是在原有水平上的重复，而是在综合应用中有了新的拓展，尤其是五角星一个角的度数的推导。

虽然有“估”和“量”的基础．但严谨的推导是对学生缜密的逻辑思维能力的重要挑战。

通过黄金分割点的知识，引领学生进行数学欣赏。

提升学生欣赏数学美的能力，能萌发学习数学的兴趣．更重要的是能够激发学生继续探索更广阔数学世界的欲望。

另外，相关的文化史料也富有教育意义。

三、实践动手操作（根据实际情况，如时间来不及，此过程省略）
【设计】1．画一画，先请学生自己在纸上画，后课件演示标准画法。

2．剪一剪，教师一遍演示，学生一遍操作。

【现场】
1．画一画
师：通过刚才的测量与推算，请同学们自己在纸上画一个五角星。

生：学生动手实践后发现自己画的五角星不标准、不美观, 当学生感到疑惑时, 教师用CAI演示画五角星的步骤, 学生在纸上学着画。

如图3.1
图3.1 五角星画法一
2.剪一剪
鼓励学生用多种方法剪出五角星，CAI演示部分方法。

【反思】在此实践过程中就是对五角星数学知识的运用。

如果在教学中采用教师先画、先折再剪，学生跟着模仿的教学方法，很容易造成教师独断专行，变成教师的表演，那么学生学会的只是“照葫芦画瓢”，别无他获。

在实际教学中，我借助CAI课件和教师的适时点拨，让学生发现五角星的画法；接着，让学生结合自己的体验和发现，将画五角星的原理进行推广。

在学习折叠法剪五角星时，我们也没有撇开先画后剪法，而是以先画后剪法得到的五角星为模型，试着将五角星“返璞归真”，返回到剪后还没展开时的状态，让学生在不断地折叠和尝试中探究和感悟，力求恢复当初发明者创造折叠法时的火热思考。

四、数学欣赏、课外延伸
【设计】介绍关于五角星的数学问题，欣赏带有五角星的图片。

【现场】1．师：关于五角星的问题还有很多很多，如著名的“奇妙的五共圆”：给出一个五角星，每个小三角形的外面都可以画一个圆，每相邻的两个圆交于两个点，其中之一是所得五边形的顶点，另五点在同一个圆上。

还有很多美妙多变的五角星：转动的五角星，神奇的五角星风车。

（如图4.1）
2．师:五角星如此奇妙,世界上有50多个国家的国旗上都有五角星,如美国、澳大利亚、新加坡等，我们国家的国旗上也有5个五角星。

其实五角星的起源很早，现在发现最早的五角星图案是幼发拉底河下游发现的一块公元前3200年左
右制成的泥板上。

更有趣的是，古希腊的毕达哥斯拉学派用五角星作为他们的徽章或标志，称之为“健康”，还有更多的关于五角星的美妙问题等待着我们去发现。

图4.1奇妙的五角星图案
【反思】
引领学生进行数学欣赏。

提升学生欣赏数学美的能力，能萌发学习数学的兴趣，更重要的是能够激发学生继续探索更广阔数学世界的欲望。

另外，相关的文化史料也富有教育意义，从中国的国旗到世界各国的国旗，从公元前3200年前的一块石板到毕达哥斯拉学派的标志，还有“健康”的名字，激起学生对数学的兴趣。

六年级数学“奇妙的五角星”预学案
学校：班级：姓名：同学们，我们已经学习了长方形、正方形、圆形、三角形等平面图形，今天我们继续来学习平面图形——五角星。

一、五角星的“形”
你在哪些地方见到过五角星？请根据下面的点画出一个五角星。

五角星是对称图形吗？有几条对称轴？在上面图中画一画.
二、五角星的“点”
五角星的五个顶点有什么特点？
三、五角星的“角”
五角星有几个锐角？用你自己的方法得出它们的度数。

四、对于五角星，你还有什么新发现或者疑问?
我的发现我的疑问。