新教材2020_2021学年高二数学下学期期末备考金卷

（新教材）2020-2021学年下学期高二期末名师备考卷数学
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}
1,A x ax a ==∈R ，{}1,1B =-，若A B ⊆，则所有a 的取值构成的集合为（ ）
A ．{}1-
B ．{}1,1-
C ．{}0,1
D ．{}1,0,1- 【答案】D
【解析】0a =时，A =∅满足题意；
0a ≠时，1ax =，得1x a =
，所以11a
=或1
1a =-，1a =或1a =-， 所求集合为{1,0,1}-，故选D ．
2．设复数1z 、2z 在复平面内对应的点关于实轴对称，若12i z =+，则
1
2
z z =（ ） A ．
34i 55+B ．34i 55-C ．34i 55-+D ．34i 55
-- 【答案】A
【解析】由题意可得22i z =-，因此，
()()()2
1
2
2i 2i
34i 34i 2i 2i 2i 555
z z +++====+--+， 故选A ．
3．为达成“碳达峰､碳中和”的目标，我们需坚持绿色低碳可持续发展道路，可再生能源将会有一个快速发展的阶段．太阳能是一种可再生能源，光伏是太阳能光伏发电系统的简称，主要有分布式与集中式两种方式．下面的图表是近年来中国光伏市场发展情况表，则下列结论中正确的是（）
A．2013~2020年，年光伏新增装机规模同比(与上年相比)增幅逐年递减
B．2013~2020年，年光伏发电量与年份成负相关
C．2013~2020年，年新增装机规模中，分布式的平均值大于集中式的平均值D．2013~2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关
【答案】D
【解析】A，2013~2020年，年光伏新增装机规模同比(与上年相比)增幅逐年递减，
前几年递增，后面递减，故A错误；
B，2013~2020年，年光伏发电量与年份成正相关，故B错误；
C，由图表可以看出，每一年装机规模，集中式都比分布式大，
因此分布式的平均值小于集中式的平均值，故C错误；
D ，根据图表可知，2013~2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重随年份逐年增加，
故每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关，故D 正确，
故选D ．
4．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin a B A a =，则B =
（ ）
A ．
π6B ．π3C ．π2D ．2π3
【答案】D
【解析】由正弦定理知sin (cos )sin A B B A =，
而sin 0A ≠，∴π
cos 2sin()16
B B B +=+
=， 又
ππ7π666B <+<，即5ππ66B +=，∴2π3
B =， 故选D ．
5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据∶lg112005≈．．，lg13011≈．．，
lg 20.30≈）
A ．2021年
B ．2022年
C ．2023年
D ．2024年
【答案】D
【解析】设在2020年后第n 年超过200万，
则130(112%)200⨯+≥n
，21.12 1.3n ≥
，2lg1.12lg 1.3
n
≥， 即lg1.12lg 2lg1.3n ≥-，0.050.300.110.19n ≥-=， 3.8n ≥， 第4年满足题意，即为2024年，故选D ．
6．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，且{}n S 是等差数列，则下列结论错误的是（ ）
A ．{}n n a S +是等差数列
B ．{}n n a S ⋅是等比数列
C ．{}
2
n a 是等差数列D ．n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等比数列 【答案】B
【解析】由{}n S 是等差数列，可得2132S S S =+，即()1211232a a a a a a +=+++，
23a a ∴=，
设等比数列{}n a 的公比为q ，
{}n a 是各项均为正数的等比数列，则3
2
1a q a =
=，10n a a ∴=>．
对于A 选项，()11n n
a S n a +=+，所以，数列{}n n a S +是等差数列，因此A 正确；
对于C 选项，22
1n a a =，{}
2
n a ∴是常数列，且为等差数列，因此C 正确；
对于D 选项，
10n S a n =>，n S n ⎧⎫
∴⎨⎬⎩⎭
是等比数列，因此D 正确；
对于B 选项，2
1n n a S na =，
则111
n n n n a S n a S n
+++=不是常数，{}n n a S ∴⋅不是等比数列，因此B
不正确，
故选B ．
7．已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上
的一点，若线段1PF 与y 轴的交点M 恰好是线段1PF 的中点，2
114
MF MO b ⋅=，其中，O 为坐标原点，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．1
2
y x =±
B ．y x =±C
．y =D ．2y x =± 【答案】B
【解析】设双曲线C 的半焦距为c ，则点()1,0F c -， 由题意知2PF x ⊥轴，所以点P 的横坐标为c ， 由双曲线的对称性特点不妨设点()()00
,0P c y y >，
所以220221y c a b
-=，解得20b y a =，
所以点2,b P c a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
所以点M 的坐标为20,2b a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
所以21,2b MF c a ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
，20,2b MO a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
故21,2b MF MO c a ⎛⎫⋅=--⋅ ⎪⎝
⎭2422
10,244b b b a a ⎛
⎫-== ⎪⎝⎭， 所以22a b =，所以a b =，
所以双曲线C 的渐近线方程为y x =±，故选B ．
8．过点()2,1A 作直线l 交圆2
2
:2170C x y y ++-=于,M N 两点，设AM AN λ=，则
实数λ的取值X 围为（ ）
A ．15,5⎡
⎤--⎢⎥⎣
⎦
B ．[]
5,1--C ．5,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
D ．51,25
⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦
【答案】A
【解析】由已知得，圆C 是以(0,1)-
为圆心，以
AC =<，∴点A 在圆的内部，
故当直线MN 经过圆心C 时，λ取得最值．
（1）当MA NA >
时，MA r CA =+=
NA r AC =-=
此时，λ取最小值为5MA NA
λ=-
=-；
（2）当MA NA <
时，NA r CA =+=
MA r AC =-=
此时，λ取最大值为15
MA
NA λ=-
=-， 所以，1
[5,]5
λ∈--，故选A ．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若21n
ax x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭展开式所有项的系数之和与二项式系数之和均为32，则下面结论正确的
是（ ）
A ．5n =
B ．展开式中含4x 的系数为270
C ．展开式的第4项为90-x
D ．展开式中含有常数项
【答案】ABC
【解析】令1x =，由题意可得()1232-==n
n
a ，∴5n =，3a =，
∴二项式为5
213⎛⎫
- ⎪⎝
⎭x x ，∴A 对；
∴()
()5251031551C 331C ---+⎛⎫=-=⋅-⋅⋅ ⎪⎝⎭
r
r
r r
r r r r T x
x x ， 令2r ，计算可知展开式中含4x 的系数为270，∴B 对；
令3r =，所以()3
5331033
4531C 90T x x --⨯=⋅-⋅⋅=-，所以展开式的第4项为90-x ，∴C 对；
令1030r -=，解得10
3
r =
，而r *∉N ，所以展开式中不含有常数项， 故选ABC ．
10．已知m ，n 是两条不相同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中真命题
A ．若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβ
B ．若m α⊥，m β⊥，n α⊂，则βn//
C ．若αβ⊥，m α⊥，m n ⊥，则βn//
D ．若//αβ，m α⊥，βn//，则m n ⊥
【答案】BD
【解析】对于选项A ，平面α和β可能相交，所以选项A 是假命题；
对于选项B ，由m α⊥，m β⊥可知//αβ，再由n α⊂，可得βn//，故选项B 是真命题； 对于选项C ，直线n 与平面β可能相交，故选项C 是假命题；
对于选项D ，由//αβ，m α⊥可知m β⊥，再由βn//，可得m n ⊥，故选项D 是真命题，
故选BD ．
11．函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A ．()f x 的最小正周期为2π
B ．()f x 的最大值为2
C ．()f x 在区间5ππ,1212⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增D ．π6f x ⎛
⎫
+ ⎪⎝⎭为偶函数
【解析】由已知11π5π2(
)π1212T =⨯-=，所以2π
2T
ω==，A 错； 由五点法得5π
2π,12
k k ϕ⨯
+=∈Z ， 又0πϕ<<，所以6π=
ϕ，π
(0)sin 16f A ==，2A =，B 正确； 所以π()2sin(2)6
f x x =+，
5ππ,1212x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ2,633x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，ππ262x +=-时，min ()2f x =-，函数()f x 在
区间5ππ,1212⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上不单调，C 错； ππππ2sin 2()2sin(2)2cos 26662f x x x x ⎛⎫⎡
⎤+=++=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦是偶函数，D 正确，
故选BD ．
12．已知函数()33,021,0
x x x x f x x -⎧-<=⎨-≥⎩，若关于x 的方程()()2
44230
f x a f x a -⋅++=有5个不同的实根，则实数a 可能的取值有（ ）
A ．32-
B ．43-
C ．54-
D ．76
- 【答案】BCD
【解析】当0x <时，()3
3=-f x x x ，则()()()2
33311f x x x x '=-=-+，
当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,0x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增，
作出()f x 的图象，如图所示，
令()f x t =，则244230t at a -++=，
令()2
4423g t t at a =-++，由题意得方程()0g t =有两个不同的根：
①有两个不同的根1t ，2t ，且(]
12,1t ∈--，()21,0t ∈-， 则有()()()20
1000
g g g ⎧->⎪
-<⎨⎪>⎩
，解得3726a -<≤-；
②有两个不同的根1t ，2t ，且11t =-，()21,0t ∈-， 则有()()11670g t g a =-=+=，则76
a =-，
方程为26710t t ++=，得11t =-，()211,06
t =-∈-，满足条件； ③有两个不同的根1t ，2t ，且10t =，()21,0t ∈-， 因为()()10230g t g a ==+=，则32
a =-
， 方程为2
302t t +
=，得10t =，()23
1,02
t =-∉-，不符合题意，舍去， 综上所述，实数37,26a ⎛⎤
∈-
- ⎥⎝⎦
，
故选BCD．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.9，超过2年的概率为0.63，若一个这种元件使用1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为_________．
【答案】0.7
【解析】设一个这种元件使用1年的事件为A，使用2年的事件为B，
则
()0.63
()0.7
()0.9
P AB
P B A
P A
===
∣，故答案为0.7．
14．给出下列命题：
①由变量x和y的数据得到其回归直线方程ˆ
:ˆˆ
l y bx a
=+，则l一定经过点(),
P x y；
②在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；
③线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱；
④在回归直线方程0.510
y x
=-+中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量y增加0.5个单位．
其中真命题的序号是______．
【答案】①②
【解析】回归直线一定过样本中心点()
,P x y ，故①正确；
残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故②正确；
线性相关系数r 的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，故③错误；
在回归直线方程0.510y x =-+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y 减少0.5个单位，故④错误，
故答案为①②．
15．若函数()x
f x e x =-图象在点()()
00,x f x 处的切线方程为y kx b =+，则k b -的最
小值为__________．
【答案】11e
-
- 【解析】已知()x
f x e x =-，得()1x
f x e '=-，
设切点为()()
00,x f x ，故()001x
f x e '=-，
故()x
f x e x =-图象在点()()
00,x f x 处的切线斜率为01x k e =-，
所求切线方程为()()00001x
x
x x y e x e =-+--，即()
00001x
x
x
e e y e x x =-+-⋅，
则01x k e =-，000x x b x e e =-⋅+，则001x
k e x b -=⋅-， 令()1x
g x xe =-，()()1x
g x e
x '=+，
当1x <-时，()0g x '<；当1x >-时，()0g x '>，
所以()g x 在(),1-∞-上递减，在()1,-+∞上递增，
故()1x
g x xe =-在1x =-处取得最小值，则k b -的最小值是11e
--
， 故答案为1
1e
-
-． 16．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，11，3443，94249等，显然2位回文数有9个：11，22，33，，99，3位回文数有90个：101，111，121，
，191，202，
，999．
（1）4位回文数有__________个．
（2）21()n n ++∈N 位回文数有__________个． 【答案】90，910n ⨯
【解析】（1）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零， 第一步，选千位和个位数字，共有9种选法， 第二步，选中间两位数字，有10种选法， 故4位回文数有91090⨯=个．
（2）第一步，选左边第一个数字，有9种选法， 第二步，分别选左边第2、3、4、、n 、1n +个数字，共有1010101010n
⨯⨯⨯
⨯=种选法，
故21()n n +∈*
N 位回文数有910n ⨯个．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
tan (2)tan a B c a A =-．
（1）求B ；
（2）若π
4
A =
，b =ABC △的面积． 【答案】（1）π
3
；（2
）3+
【解析】（1）因为tan (2)tan a B c a A =-，所以()sin sin sin 2sin sin cos cos B A
A C A
B A
⋅
=-⋅． 又sin 0A ≠，所以sin cos 2sin cos sin cos B A C B A B =-， 即sin cos sin cos 2sin cos B A A B C B +=，
即sin()sin 2sin cos A B C C B +==． 又sin 0C ≠，所以1cos 2B =
，则由0πB <<，得π
3
B =． （2）由正弦定理
sin sin a b
A B
=
，得sin sin b A a B =
==，
则由余弦定理得22221
cos 22
a c
b B a
c +-=
==
，解得c =负值舍去)，
所以
11
sin 322
2
ABC S ac B =
=⨯⨯
=+△． 18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，当2n ≥时，1
2n n n a S -=-．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2log n n b S =，设n n n c b S =⋅，求数列{}n c 的前n 项和为n T ．
【答案】（1）1
2,12,2
n n n a n -=⎧=⎨
≥⎩；（2）()1
212n n T n +=+-⋅． 【解析】（1）当2n ≥时，
112n
n n a S ++=-，1
1111222n
n n n n n n n a a S S a --+++∴-=--+=-，
整理可得1
2
n n a -=，
经检验：12a =不满足1
2
n n a -=，
12,
12,2n n n a n -=⎧∴=⎨≥⎩
．
（2）由（1）可知：当2n ≥时，1
2
2n n n n S a -=+=；经检验：112S a ==满足2n n S =，
()
2n n S n *∴=∈N ，则2log 2n n b n ==，2n n c n ∴=⋅，
()1231122232122n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅， ()23412122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，
两式作差得()
()211231212222222212
n n n n n T n n -++--=-⋅+++⋅⋅⋅+=-⋅+
-
()1112224212n n n n n +++=-⋅+-=-+-⋅，
()1212n n T n +∴=+-⋅．
19．（12分）三阶魔方为333⨯⨯的正方体结构，由26个色块组成．常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原．
（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度y （秒）与训练天数x （天）有关，经统计得到如下数据：
现用y a x
=+
，作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度y 约为多少秒（精确到1秒）；
（2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面．某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动90︒，记顶面白色色块的个数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．
参考数据（其中1
i i
z x =
）． 参考公式：
对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v 其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小
二乘法估计公式分别为1
22
1
ˆn
i i i n
i
i u v nuv
u
nu
β
==-=-∑∑，v u αβ=-．
【答案】（1）100ˆ13y
x =+，13秒；（2）分布列见解析，50
9
． 【解析】（1）由题意可知：99994532302421
507
y ++++++=
=，
7
1
7
221
7184.570.375055
1000ˆ.550.55
7i i i i i z y zy
b
z z ==--⨯⨯==
==-∑∑，
所以50ˆˆ1000.3713a
y bz =-=-⨯=， 因此y 关于x 的回归方程为100
ˆ13y
x
=+， 所以最终每天魔方还原的平均速度y 约为13秒．
（2）由题意可知：X 的可能取值为3，4，6，9，
()141369A 6P X ===⨯；()14
2A 24669P X ===⨯；()()1111
42241A A 56669
A A P X ++===⨯；
()1122
A A 19669
P X ===⨯，
所以X 的分布列为
所以数学期望为()125150346999999
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=． 20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，
AD PD =．
（1）求证：AC ⊥平面PBD ； （2）求钝二面角A PB C --的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）1
2
-
． 【解析】（1）
底面ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥，
PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PD AC ∴⊥，
又PD
BD D =，AC ∴⊥平面PBD ．
（2）以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方形边长为1，则()()()()1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1A B C P ， 则()1,0,1AP =-，()0,1,0AB =，()0,1,1CP =-，()1,0,0CB =， 设平面APB 的一个法向量为()111,,x y z =n ，
则00
AP AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即11100x z y -+=⎧⎨=⎩，令11x =，则110,1y z ==，即()1,0,1=n ；
设平面PBC 的一个法向量为()222,,x y z =m ，
则0
CP CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即22200y z x -+=⎧⎨=⎩，令21y =，则可得()0,1,1=m ，
则1cos ,2
⋅<>=
==⋅n m n m n m ，
又二面角A PB C --为钝二面角，则钝二面角A PB C --的余弦值为1
2
-
． 21．（12分）已知圆22
17x y +=与抛物线()2
:20C y px p =>在x 轴下方的交点为A ，
与抛物线C 的准线在x 轴上方的交点为B ，且点A ，B 关于直线y x =对称． （1）求抛物线C 的方程；
（2）若点M ，N 是抛物线C 上与点A 不重合的两个动点，且AM AN ⊥，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标．
【答案】（1）2
16y x =；（2）证明见解析，定点坐标为()17,4．
【解析】（1）解：将2p x =-代入22
17x y +=
，得y =
所以2p B ⎛- ⎝，
由点A ，B 关于直线y x =对称，可得2p A ⎫-⎪⎪⎭
，
将A 的坐标代入抛物线C 的方程得224p =8p =， 所以抛物线C 的方程为2
16y x =．
（2）证明：由（1）得()1,4A -，
设211,16y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2
22,16y N y ⎛⎫
⎪⎝⎭
，直线MN 的方程为
x my n =+． 将直线MN 的方程代入2
16y =得，所以2
16160y my n --=，
所以1216y y m +=，1216y y n =-． 因为AM AN ⊥，所以
()()()()2222
1212121216161,41,44401616256y y y y AM AN y y y y --⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
由题意可知14y ≠-，24y ≠-，所以()()12440y y ++≠．
所以
()()124410256
y y --+=，即()1212
42720y y y y -++=，
所以16642720n m --+=，即417n m =-+， 所以直线MN 的方程为()417x m y =-+，
直线MN 过定点，定点坐标为()17,4．
22．（12分）设函数()21ln 2
f x x ax bx =--． （1）已知()f x 在点()()1,1P f 处的切线方程是21y x =-，某某数a ，b 的值；
（2）在第（1）问的条件下，若方程()()20x
f x λλ=>有唯一实数解，某某数λ的值． 【答案】（1）0a =，1b =-；（2）1．
【解析】（1）当1x =时，可得2111y =⨯-=，所以()1112b f a =--=，即22a b +=-， 因为()1f x ax b x
-'=-，即()112b f a =--='，即1a b +=-， 联立方程组221a b a b +=-⎧⎨+=-⎩
，解得0a =，1b =-． （2）由方程()2
f x x λ=有唯一实数解，即2ln 0x x x λ--=有唯一实数解， 设()2
ln x x g x x λ--=，则()221,0x x g x x x λ--'=>， 令2210,0x x x λ--=>，
因为0λ>，所以180Δλ=+>，且12102x x λ
=-<，所以方程有两异号根， 设10x <，20x >，因为0x >，所以1x 应舍去， 当()20,x x ∈时，()0g x '<，()g x 在()20,x 上单调递减； 当()2,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()2,x +∞上单调递增， 当2x x =时，()20g x '=，()g x 取最小值()2g x ，
因为()0g x =有唯一解，所以()20g x =，则()()2200g x g x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即2222222ln 0210x x x x x λλ⎧--=⎨--=⎩
， 因为0λ>，所以222ln 10x x +-=．（*）
设函数()2ln 1h x x x =+-，
因为当0x >时，()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解， 因为()10h =，所以方程（*）的解为21x =，
将21x =代入222210x x λ--=，可得1λ=．。