(数学分析教案)第三章

第三章 函数极限
（14学时）
引言
在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”。

二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。

通过数列极限的学习。

应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”。

例如，数列{
}
n a 这
种变量即是研究当n →+∞时，{}n a
的变化趋势。

我们知道，从函数角度看，数列{}
n a 可视为一种特殊的函数f ，其定义域为N +，值
域是{
}
n a ，即
:()n f N R n a +→→; 或 (),n f n a n N +=∈或()n f n a =.
研究数列{
}
n a 的极限，即是研究当自变量n →+∞时，函数()f n 变化趋势。

此处函数()f n 的自变量n 只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即
n →+∞。

但是，如果代之正整数变量n 而考虑一般的变量为x R ∈，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x 可能的变化趋势是否了仅限于x →+∞一种呢？
为此，考虑下列函数:
1,0;
()0,0.x f x x ≠⎧=⎨
=⎩
类似于数列，可考虑自变量x →+∞时，()f x 的变化趋势；除此而外，也可考虑自变
量x →-∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x →∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x a →时，()f x 的变化趋势,
由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化。

但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同。

而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限。

下面，我们就依次讨论这些极限。

§1 函数极限的概念
教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。

教学要求：使学生逐步建立起函数极限的δε-定义的清晰概念。

会应用函数极限的
δε-定义证明函数的有关命题，并能运用δε-语言正确表述函数不以某实
数为极限等相应陈述。

教学重点：函数极限的概念。

教学难点：函数极限的δε-定义及其应用。

学时安排: 2学时
教学方法：讲授．（部分内容自学） 教学程序：
一、x →+∞时函数的极限
１．引言
设函数定义在[,)a +∞上，类似于数列情形，我们研究当自变量x →+∞时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ。

这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质。

例如
1(),f x x
x
=
无限增大时，()f x 无限地接近于０；(),g x arctgx x =无限增大
时，()f x 无限地接近于2π
；(),h x x x =无限增大时，()f x 与任何数都不能无限地接近。

正因为如此，所以才有必要考虑x →+∞时，()f x 的变化趋势。

我们把象()f x ，()g x 这样当x →+∞时，对应函数值无限地接近于某个定数Ａ的函数称为“当x →+∞时有极限Ａ”。

[问题]如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当x →+∞时函数极限的精确定义如下.
2. x →+∞时函数极限的定义 定义１ 设f 为定义在[,)a +∞上的函数，Ａ为实数。

若对任给的0ε>，存在正数Ｍ()a ≥，使得当x M >时有 |()|f x A ε-<, 则称函数f 当x →+∞时以Ａ为极限。

记作
lim ()x f x A
→+∞
=或()()f x A x →→+∞.
３．几点注记
（１） 定义１中作用ε与数列极限中ε作用相同，衡量()f x 与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数列极限定义中Ｎ相类似，表明x 充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数x ，而不仅仅是正整数n 。

（２）
lim ()x f x A
→+∞
=的邻域描述：,(),U ε∀∃+∞当()x U ∈+∞时，
()(;f x U A ε∈
（３）
lim ()x f x A
→+∞
=的几何意义：对ε∀，就有y A ε=+和y A ε=-两条直线，形成以Ａ为中心线，以2ε为宽的带形区域。

“当x M >时有|()|f x A ε-<”表示：在直线x M =的右方，曲线()y f x =全部落在这个带形区域内。

如果ε给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线x M =一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数Ｍ，使得曲线()y f x =在x M =的右边的全部落在这个更窄的带形区域内。

（４）
现记f 为定义在()U -∞或()U ∞上的函数，当x →-∞或x →∞时，若
函数值()f x 能无限地接近于常数Ａ，则称f 当x →-∞或x →∞时时以Ａ为极限，分别记作，
l i m ()x f
x A →
-∞
=或()()f x A x →→-∞，
l i m ()x f
x A
→∞=或()()f x A x →→∞。

这两种函数极限的精确定义与定义１相仿，简写如下：
lim ()x f x A
→-∞
=0,0,M ε⇔∀>∃>当x M <-时，|()|f x A ε-<， lim ()x f x A
→∞
=0,0,M ε⇔∀>∃>当||x M >时，|()|f x A ε-<。

（５）推论：设()f x 为定义在()U ∞上的函数，则
lim ()x f x A
→∞
=⇔
lim ()lim ()x x f x f x A
→+∞
→-∞
==。

４．利用lim ()
x f x →+∞＝Ａ的定义验证极限等式举例
例１ 证明
1lim
x x
→∞
=.
例２ 证明 １）lim 2x arctgx π
→-∞
=-
；２）lim 2x arctgx π
→+∞
=
.
二、0x x →时函数的极限
１．引言
上节讨论的函数f 当x →+∞时的极限，是假定f 为定义在[,)a +∞上的函数，这事实上是()U +∞，即f 为定义在()U +∞上，考虑x →+∞时()f x 是否趋于某个定数Ａ。

本节假定f 为定义在点0x 的某个空心邻域()
0U x 内的函数，。

现在讨论当
00()x x x x →≠时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列。

先看下面几个例子：
例3 ()1(0)f x x =≠.（()f x 是定义在0
(0)U 上的函数，当0x →时，()1f x →） 例4 2
4
()2x f x x -=
-.（()f x 是定义在0
(2)U 上的函数，当2x →时，()4f x →）
例5
1
()f x x =
.（()f x 是定义在0
(0)U 上的函数，当0x →时，()?f x →）
由上述例子可见，对有些函数，当00()x x x x →≠时，对应的函数值()f x 能趋于某个定数Ａ；但对有些函数却无此性质。

所以有必要来研究当00()x x x x →≠时，()f x 的变化趋势。

我们称上述的第一类函数()f x 为当0x x →时以Ａ为极限，记作0lim ()x x f x A
→=。

和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法。

不是严格的数学定义。

那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？
作如下分析：
“当自变量x 越来越接近于0x 时，函数值()f x 越来越接近于一个定数Ａ”→只要x 充分接近0x ，函数值()f x 和Ａ的相差就会相当小→欲使|()|f x A -相当小，只要x 充分接
近0x 就可以了。

即对0,0εδ∀>∃>，当00||x x δ<-<时，都有|()|f x A ε-<。

此即0
li m ()x x f x A
→=。

２．00()x x x x →≠时函数极限的εδ-定义 定义２ 设函数()f x 在点0x 的某个空心邻域
()0
0;U x δ'内有定义，Ａ为定数，若对
任给的0,()0εδδ'∀>∃<>，使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数f 当 x 趋于0x 时以Ａ为极限（或称Ａ为0x x →时()f x 的极限），记作0lim ()x x f x A
→=或（
()()f x A x x →→
.
3.说明如何用εδ-定义来验证这种类型的函数极限 ４．函数极限的εδ-定义的几点说明：
（１）|()|f x A ε-<是结论，00||x x δ<-<是条件，即由00||x x δ<-<推出。

（２）ε是表示函数()f x 与Ａ的接近程度的。

为了说明函数()f x 在0x x →的过程中，能够任意地接近于Ａ，ε必须是任意的。

这即ε的第一个特性——任意性，即ε是变量；但ε一经给定之后，暂时就把ε看作是不变的了。

以便通过ε寻找δ，使得当
00||x x δ<-<时|()|f x A ε-<成立。

这即ε的第二特性——暂时固定性。

即在寻找
δ的过程中ε是常量；另外，若ε是任意正数，则2
,,2ε
ε
均为任意正数，均可扮演ε的角色。

也即ε的第三个特性——多值性；（|()|f x A ε-<|()|f x A ε⇔-≤）
(3) δ是表示x 与0x 的接近程度，它相当于数列极限的N ε-定义中的Ｎ。

它的第一个特性是相应性。

即对给定的0ε>，都有一个δ与之对应，所以δ是依赖于ε而适当选取的，为此记之为0(;)x δε；一般说来，ε越小，δ越小。

但是，定义中是要求
由00||x x δ<-<推出|()|f x A ε-<即可，故若δ满足此要求，则,
23δδ
等等比δ还小的正数均可满足要求，因此δ不是唯一的。

这即δ的第二个特性——多值性。

（４）在定义中，只要求函数f 在0x 的某空心邻域内有定义，而一般不要求f 在0x 处的函数值是否存在，或者取什么样的值。

这是因为，对于函数极限我们所研究的是当x 趋于0x 的过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关。

所以可以不考虑f
在点a 的函数值是否存在，或取何值，因而限定“00||x x <-”。

（
５
）定
义中
的
不等
式
00||x x δ
<-<0
0(,)
x U x δ⇔∈；
|()|()(;)f x A f x U A εε-<⇔∈。

从而定义２⇔0,0εδ∀>∃>，当0
0(,)x U x δ∈
时，都有()(;)f x U A ε∈⇔0,0εδ∀>∃>，使得()0
0(,)(;)f U x U A δε⊂。

（６）εδ-定义的几何意义。

例6 设
2
4
()2x f x x -=
-，证明2lim ()4
x f x →=.
例7 设()1(0)f x x =≠，讨论0x →时()f x 的极限。

例8 证明 １）00lim sin sin x x x x →=；２）00
lim cos cos x x x x →=.
例9 证明 2
2
1
12lim
21
3x x x x →-=
--.
例10证明 0
lim x x →=
0(||1)
x <.
例11 证明
00
lim ,lim x x x x C C x x →→==.
练习：１）证明
3
1
1lim
3
1
x x x →-=-; ２）证明
65lim
6
x x x
→+∞
+=.
三、单侧极限
１．引言
有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如
21,0
(),0x x f x x x ⎧≥=⎨
<⎩
或函数在某些点仅在其一侧有定义，如
2()0f x x =
≥。

这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？此时，不能再用前面的定义（
讨论方法），而要从这些点的某一侧来讨论。

如讨论1()f x 在0x →时的极限。

要在
0x =的左右两侧分别讨论。

即当0x >而趋于０时，应按2
1()f x x =来考察函数值的
变化趋势；当0x <而趋于０时，应按1()f x x =来考察函数值的变化趋势；而对2()f x ，只能在点0x =的右侧，即0x >而趋于０时来考察。

为此，引进“单侧极限”的概念。

２．单侧极限的定义
定义３ 设函数f 在0
0(;)U x δ+'内有定义，Ａ为定数。

若对任给的
0,()0εδδ'∀>∃<>，使得当00x x x δ<<+时有|()|f x A ε-<, 则称数Ａ为函数f 当x 趋于0x 时的右极限，记作
lim ()x x f x A
+→=或0()()f x A x x +
→→或0(0)f x A +=。

类似可给出左极限定义（0
0(;)U x δ-，00x x x δ-<<，
lim ()x x f x A
-→=或
0()()f x A x x -
→→或0(0)f x A -=）.
注：右极限与左极限统称为单侧极限。

３．例子
例12 讨论函数1()f x 在0x =的左、右极限。

例13 讨论sgn x 在0x =的左、右极限。

例14 1±处的单侧极限。

４。

函数极限0
lim ()
x x f x →与
lim (),lim ()
x x x x f x f x +-→→的关系。

定理３.１
lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A
+-→→→=⇔==.
注：１）利用此可验证函数极限的存在，如由定理3.1知：10lim ()0
x f x →=。

还可说明
某些函数极限不存在，如由例２知0lim sgn x x
→不存在。

２）0(0)f x +，0(0)f x -，0()
f x 可能毫无关系，如例２。

§２ 函数极限的性质
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

学时安排: 3学时
教学方法：讲练结合。

教学程序：
引言
在§１中我们引进了下述六种类型的函数极限：
１）lim ()
x f x →+∞
；２）
lim ()
x f x →-∞
；３）
lim ()
x f x →∞
；４)
lim ()
x x f x →;５）
lim ()
x x f x +→；６
）
lim ()
x x f x -→.
它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以0
lim ()
x x f x →为代表来叙述并证明这些性质。

至于其它类型极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可。

定理3.2(唯一性) 若极限
()
x f x x 0
lim →存在，则此极限是唯一的．
证 设B A ,都是f 当0x x →时的极限，则对任给的0>ε，分别存在正数
1δ与2δ，使得当100δ<-<x x 时有
()ε
<A -x f ， )1(
当200δ<-<x x 时有
()ε
<B -x f ， )2(
取()21,min δδδ=，则当δ<-<00x x 时，(1)式与(2)式同时成立，故有 ()()()B --A -=B -A x f x f )(()()ε2<B -+A -≤x f x f
由ε的任意性得B =A ，这就证明了极限是唯一的.
定理3.3（局部有限性）若
()
x f x x 0
lim →存在，则f 在0x 的某空心邻域()00
x U
内有界．
证 设()A
=→x f x x 0
lim ．取1=ε，则存在0>ε使得对一切()δ;00
x U
x ∈有
()()1
1+A <⇒<A -x f x f
这就证明了f 在()δ;00
x U
内有界．
定理 3.4(局部保号性) 若
()0
lim 0
>A =→x f x x (或0<)，则对任何正数A <r （或
)A -<r ，存在()00
x U
，使得对一切()00x U x ∈有
()0>>r x f （或()0<-<r x f ）
证 设0>A ，对任何),0(A ∈r ，取r -A =ε，则存在0>δ，使得对一切
()δ;00
x U
x ∈
()r x f =-A >ε，
这就证得结论．对于0<A 的情形可类似地证明．
注 在以后应用局部保号性时，常取
2A r =
．
定理3.5(保不等式性) 设()
x f x x 0
lim →与都
()
x g x x 0
lim →都存在，且在某邻域()'
;δ
x
U
内有
()()x g x f ≤则
()
x f x x 0
l i m →≤
()
x g x x 0
lim → （３）
证 设
()
x f x x 0
l i m →=A ，
()
x g x x 0
lim →=B ，则对任给的0>ε，分别存在正数1δ与2δ使
得当100δ<-<x x 时有
()x f <-A ε，
当200δ<-<x x 时有
()ε+B <x g
令
()21',,min δδδδ=，则当δ<-<00x x 时，不等式()()x g x f ≤与(4)、(5)两式同时成立，于是有
()x f <-A ε≤()ε+B <x g
从而ε2+B <A ．由ε的任意性推出B ≤A ，即(3)式成立． 定理3.6(迫敛性) 设
()
x f x x 0
lim →=
()
x g x x 0
lim →=Ａ，且在某()'
;δ
x
U
内有
()x f ≤)x h ≤()x g
则()A =→x h x x 0
lim ．
证 按假设，对任给的0>ε，分别存在正数1δ与2δ，使得当 100δ<-<x x 时有， ()x f <-A ε (7)
当2
00δ<-<x x 时有
()ε+A <x g (8)
令()
21'
,,min δδδδ=，则当δ<-<00x x 时，不等式(6)、(7)、(8)同时成立，
故有
()x f <-A ε≤()x h ≤()ε+A <x g
由此得()ε<A -x h ，所以()A =→x h x x 0
lim
定理3.7（四则运算法则）若极限()x f x x 0
lim →与()
x g x x 0
lim →都存在，则函数
g f g f ⋅±,当0x x →时极限也存在，且 )
10
lim
x x →()()[]=±x g x f 0
lim
x x →()x f ±
lim
x x →()x g ；
2）
lim
x x →()()[]=
x g x f lim
x
x →()x f ．0lim
x x →()x g ；
又若
lim
x x →()x g 0≠，则g f |当0x x →时极限存在，且有 3）0
lim
x x →()()
=
x g x f )()
x g x f x x x x 0
lim lim →→．
这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给学生作为练习． 利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限．
例 1求0lim →x ⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡x x 1
解 当0>x 时有
<-x 1⎥
⎦⎤⎢⎣⎡x x 11≤，
而()11lim 0=-+→x x 故由迫敛性得： -→0lim x ⎥
⎦⎤⎢⎣⎡x x 1=1
另一方面，当0<x 有≤1⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x 1<x -1，故又由迫敛性又可得： -→0lim x ⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡x x 11= 综上，我们求得0lim →x ⎥
⎦⎤⎢⎣⎡x x 11
= 例 2求
()
1tan lim 4
-→
x x x π
解由x
x tan x x
x
cos sin =及§1例4所得的，
x x s i n
lim 4
π
→
4
s i n π=2
2=
x x c o s lim 4
π
→
=，
并按四则运算法则有
()
1t a n l i m 4
-→
x x x π
=
4
lim
π
→
x x
-
⋅
→
→
x
x
x x cos lim sin lim 4
4
π
π
4
lim
π
→
x 1=1
4
-π
例 3求
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-→1311
lim 31x x x ． 解 当01≠+x 时有
()()
121
211
31
12
3
3
+--=
+-+=
+-
+x x x x x x x x
故所求的极限等于
()()1
1
112
11
2lim
22
1
-=+-----=
+---→x x x x
例4 证明()11lim 0>=→a a x
x
证 任给0>ε(不妨设1<ε)，为使
ε
<-1x
a （9）
即ε-1<x
a <ε+1，利用对数函数x a
log （当1>a 时）的严格增性，只要
()()εε+<<-1l o g 1l o g a a x
于是，令 ()(){}εεδ--+=1l o g ,1l o g m i n a a ，
则当δ<<x 0时，就有(9)式成立，从而证得结论． 小结与提问:本节要求学生理解掌握函数极限的性质，并利用其讨论相关命题.指导学生对定
理的应用作总结. 课外作业:
51
P 2、3、5、7、8、9.
§３ 函数极限存在条件
教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。

教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。

教学重点：海涅定理及柯西准则。

教学难点：海涅定理及柯西准则运用。

学时安排: 3学时
教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。

教学程序：
引 言
在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过“单调有界定理”和“柯西收敛准则”。

我们说数列是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性呢？这是本节的主要任务。

本节的结论只对0x x →这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的。

首先介绍一个很主要的结果——海涅(Heine)定理（归结原则）。

定理3．8(归结原则) 设f 在()'
;δ
x
U 内有定义．()
x f x x 0
lim →存
何含于()'
;δ
x
U
且以0
x
为极限的数列{}n x ，极限()
n n x f ∞
→lim 都存在且相等．
证 [必要性] 设()
x f x x 0
lim →=A 则对任给的0>ε，存在正数()'
δδ≤，使得当
δ
<-<00x x 时，有()ε<A -x f .
另一方面，设数列
{}n x ⊂()'00;δx U 且0
lim x x n
n =∞→，则对上述的0>δ，存在0>N ，
使得当N >n 时有δ<-<00x x n ，从而有()ε<A -n x f ． 这就证明了()=∞
→n n x f lin A . [充分性] 设对任何数列{}n x ⊂()'
;δ
x
U 且0
lim
x x n n =∞
→，有()=
∞
→n n x f lin A ，则可
用反证法推出()=
∞
→n n x f lin A ．事实上，倘若当0x x →时f 不以A 为极限，则存在某
00>ε，对任何0>δ(不论多么小)，总存在一点x ，尽管||00x x -<δ<，但有
0|)(|ε≥-A x f (§1习题2)．
现依次取
,,
,3
,2,
n
δδδδδ'
'
''=，则存在相应的点 ,,,,,321n x x x x ，使得
.
,2,1,|)(|,||000 =≥-'
<
-<n A x f n
x x n n εδ而
显然数列);(}{0δ'⊂x U x n 且0
lim x x n n =∞→，但当∞→x 时)(n x f 不趋于A ．这与假设相
矛盾，所以必有.
)(lim 0A x f x x =→. 注1 归结原则也可简述为：
⇔
=→A x f x x )(lim 0
对任何
A
x f n x x n n n =∞→→∞
→)(lim )(0有．
注 2 若可找到一个以0x 为极限的}{n x ,使)
(lim n n x f ∞
→不存在,或找到两个都以0x 为极
限的数列}{n x '与}{n x ''，使)(lim n
n x f '∞→与)(lim n n x f ''∞→都存在而不相等，则)(lim 0x f x x →不存在．
例1 证明极限x x 1
sin
lim 0
→不存在．
证 设),
,2,1(2
21,1 =+
=''='n n x nx
x n
n
π
π则显然
有
),(0,0∞→→''→'n x x n n
).
(111sin
,001sin
∞→→=''→='n x x n
n
故由归结原则即得结论．
函数
x y 1
sin
=上的图象如图3—4所示，由图象可见，当0→x 时，其函数值无限次地在—1与1的范围内振荡，而不趋于任何确定的数．
归结原则的意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理．从而，我们能应用归结原则和数列极限的有关性质，来证明上一节中所述的函数极限的所有性质．
对于+∞→→→-
+x x x x x ,,00和-∞→x 这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式．现以+
→0x x 这种类型为例阐述如下：
定理3.9 设函数f 在点0x 的某空心右邻域)(0x U
+有定义．
.
)(lim 0
A x f x x =+→的充要条
件是：对任何以0x 为极限的递减数列)(}{0x U x n +⊂，有A x f n n =∞→)(lim .
这个定理的证明可仿照定理3．8进行，但在运用反证法证明充分性时，对δ的取法要作适当的修改，以保证所找到的数列}{n x 能递减地趋于0x ．证明的细节留给学生作为练习．
相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理．现以
+
→0x x 这种类型为例叙述如下：
定理3.10 设f 为定义在)(0x U
+上的单调有界函数，则右极限)(lim 0x f x x +→存在． 证 不妨设f 在)(0x U +上递增．因f 在)(0x U
+上有界，由确界原理，)(inf )(0x f x U x +∈存
在，记为A ．下证
A
x f x x =+→)(lim 0
．
事实上，任给0>ε，按下确界定义，存在)(0x U x
+∈'
，使得ε+<'A x f )(．取
00>-'=x x δ，则由f 的递增性，对一切);(),(00δx U x x x
+
='∈，有 ε+<'≤A x f x f )()(
另一方面，由)(x f A ≤，更有)(x f A <-ε．从而对一切);(0δx U x
+∈有
εε+<<-A x f A )(，
这就证得A
x f x x =+→)(lim 0
．
最后，我们叙述并证明关于函数极限的柯西准则．
定理3．11(柯西准则) 设函数f 在);(0δ'x U 内有定义.)(lim 0x f x x →存在的充要条件是:
任给0>ε,存在正数)(δδ'<,使得对任何);(,0δx U x x
∈'
''有ε<''-'|)()(|x f x f .
证 必要性 设
A
x f x x =→)(lim 0
，则对任给的0>ε,存在正数)(δδ'<,使得对任何
)
;(0δx U x
∈有
2|)(|ε
<
-A x f .于是对任何);(,0δx U x x
∈'''有
ε
ε
ε
=+
<
-''+-'≤''-'2
2
|)(||)(||)()(|A x f A x f x f x f .
充分性 设数列);(}{0δx U x n ⊂且0
lim x x n n =∞→.按假设，对任给的0>ε，
存在正数)(δδ'<，使得对任何);(,0δx U x x ∈'''，有ε<''-'|)()(|x f x f ．由
于)(0∞→→n x x n ，对上述的0>δ，存在0>N ，使得当N m n >,时有
);(,0δx U x x m n
∈，从而有
ε<-|)()(|m n x f x f
于是，按数列的柯西收敛准则，数列)}({n x f 的极限存在，记为A ，即A
x f n n =∞→)(lim ．
设另一数列);(}{0δ'⊂x U y n 且0lim x y n n =∞→，则如上所证，)(lim n n y f ∞→存在，
记为B ．现证A B =．为此，考虑数列
,,,,,,,:}{2211n n n y x y x y x z
易见);(}{0δ'⊂x U z n 且0lim x z n n =∞→(见第二章§1例7)．故仍如上面所证，
)}({n z f 也收敛．于是，作为)}({n z f 的两个子列，{})(n x f 与 {})(n y f 必有相同
的极限．所以由归结原则推得
A
x f x x =→)(lim 0。

按照函数极限的柯西准则，我们能写出极限
)
(lim 0
x f x x →不存在的充要条件：存
在00>ε，对任何0>δ(无论δ多么小)，总可找到x '，),;(00
δx U x ∈''使得
.|)()(|0ε≥''-'x f x f
如在例1中我们可取,10=ε对任何,0>δ设正整数n>,
1
δ令
,
2
1,1π
ππ
+=
''=
'n x n x
则有);0(,δ
U x x ∈'''，而 .
1|1
sin
1
sin
|0ε==''-'x x 于是按柯西准则，极限x x 1
sin
lim 0
→不存在.
小结与提问:本节要求理解掌握函数单侧极限存在的单调有界定理、函数极限存在的归结原则、柯西(Cauchy)收敛准则，并会利用它们求极限、证明相关命题.
课外作业:
55
P 2、 3、4、5、7、8.
§４ 两个重要的极限
教学目的：掌握两个重要极限，并能熟练应用。

教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用。

教学重点：两个重要极限的证明及运用。

教学难点：两个重要极限的证明及运用。

学时安排: 2学时 教学方法：讲授．（部分内容自学） 教学程序：
一 证明1
s i n l i m
=→x
x x
证 在§1例4中我们已导出如下不等式
)
20(tan sin π
<
<<<x x x x ．
除以,sin x 得到
,
cos 1
sin 1x x
x <
<
由此得 .
1sin cos <<
x
x x (1)
在(1)式中用-x 代替x 时,(1)式不变,故(1)式当
2<<-x π
时也成立,从而它对一切不满足不等式
由都成立的..2
||0x x π
<
<1
cos lim 0
=→x x 及函数极限的迫
敛性,即得.
1sin lim
=→x
x x
函数
x x y sin =
的图象如图3—5所示．
例l 求
.
sin lim
x x
x -→ππ
解 令,x t -=π则)sin(sin t x -=π ＝t sin ,且当π→x 时0→t .所以有1
sin lim
sin lim 0
==-→→t
t x
x
t x ππ
例2 求2
cos 1lim
x
x
x -→
解
2
122s i n
21lim cos 1lim 2
020=
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎢⎣⎡=-→→x x x x x x
二 证明 e
x x
x =+
∞→)11(l i m
证 所求证的极限等价于同时成立以下两个极限:
e x x
x =+
+∞
→)
11(lim , (2)
e
x
x
x =+-∞
→)
11(lim . (3)
先利e
n
n
n =+
∞
→)
11(lim 证明(2)式成立.为此,作定义在[)+∞,1上的两个阶梯
函数如下:
n
n x f ⎪
⎭⎫ ⎝⎛
++=111)(,1+<≤n x n , ,2,1=n , 1
11)(+⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
+=n n x g , ,2,1,1=+<≤n n x n ,
易见f 增(第二章3习题4)且有上界,g 减(第二章3习题9)且有下界.故据上节习题
2,)
(lim x f x +∞
→与)
(lim x g x +∞
→皆存在.于是,由归结原则(取{}{}n x n =)得到
e n x
f n
n x =⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++=∞→+∞→111lim )(lim
e
n
x g n n x =+
=+∞
→+∞
→1
)
11(lim )(lim
另一方面，当1+<≤n x n 时有
n x
n 11111
11+
≤+
<++
以及
1
1111111+⎪
⎭⎫ ⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛++n x
n
n x n
即有()()[).
,1,11+∞∈<⎪⎭⎫ ⎝⎛
+<x x g x x f x
从而根据迫敛性定理(2)式得证．
现证(3)式．为此作代换y x -=，则
y
y
x
y y x ⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-+=⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-1111111, 且当-∞→x 时+∞→y ，从而有
e y y x y y x
x =⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-+∞→-∞→111111lim 11lim 1
.
以后还常用到e 的另一种极限形式:
α
αα1
)1(lim +→e = (4)
事实上，令
x 1
=
α，则0→⇔∞→αx ，所以
()α
αα1
01lim 11lim +=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=→∞→x
x x e .
例3 求x
x x 1
)21(lim +→.
解
2
21
21
1
])21()21[(lim )21(lim e
x x x x x x x x =+⋅+=+→→．
例4 求.
)1(lim 1
x x x -→
解 令,x u -=则当0→x 时0→u .因此
.1
)
1(lim )
1(lim 10
1
e u x u
x x
x =
+=--
→→
例5 求n
n n
n
)
111(lim 2
-
+
∞
→.
解
).
()
11()111(2
∞→→+
<-
+
n e n
n
n
n
n
另一方面,当1>n 时有 ,
)
11()
11()111(2
1
2
1
12
2
2
2
----
--+
≥-+
=-
+
n n
n n
n n
n
n
n n
n n
n
而由归结原则(取
,3,2,12
=-=
n n n
x n ).
=-+--∞
→2
1
2
2
)1
1(lim n n
n n
n 1
2
2
)11(lim -∞
→-+
n n
n n
n =x
n x
)
11(lim +
∞
→ =e
于是，由数列极限的迫敛性得
e
n
n
n
n =-
+
∞
→)
111(lim 2
．
小结与提问:本节要求理解两个重要的极限证明，掌握利用两个重要的极限求极限的方法.
课外作业: 8３P 2、3、4.
§５ 无穷小量与无穷大量
教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。

会利用它们求某些函数的极限。

教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极
教学重点:. 无穷小量、无穷大量.
教学难点: 无穷小量的比较，等价无穷小量在求极限中的运用 学时安排: 2学时 教学方法：讲授．（部分内容自学） 教学程序：
引言
在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：lim 0
n n a →∞=. 我们称之为无穷小数列。

通过前面几节对函数极限的学习。

我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。

例如：
lim sin 0,x x →= 2
0lim 0,x x →=
我们给这类函数一个名称——“无穷小量”。

既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量”有哪些性质呢？
以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量。

一 无穷小量
与无穷小数列的概念相类似，我们给出关于函数为无穷小量的定义．
定义 1 设f 在某)(0x U 内有定义．若0)(lim 0=→x f x x ，则称f 为当+→0x x 时的无
穷小量．
若函数g 在某)(0x U
内有界，则称g 为当0x x →时的有界量．
类似地定义当-∞→+∞→→→-
+x x x x x x ,,,00以及∞→x 时的无穷小量与有界
量．
例如，x x sin ,2
与x cos 1-都是当0→x 时的无穷小量，x -1是当-
→1x 时的无穷
小量,而x
x x
sin ,
1
2
为∞→x 时的无穷小量.又如x sin 时当∞→x 时的有界量，
x 1sin
是当
0→x 时的有界量．特别，任何无穷小量也必都是有界量由无穷小量的定义可立刻推得如
下性质：
1．两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量．
2．无穷小量与有界量的乘积为无穷小量． 例如，当0→x 时，2
x 是无穷小量，x 1sin
为有
界量，故由性质2即得
1sin
lim 2
=→x
x x .
函数
x x y 1
sin
2
=的图象如图3-6所示. 由函数极限与无穷小量的定义可立即推出如下结论:
A
x f A x f x x -⇔=→)()(lim 0
是当→x 0x 时的无穷小量.
二 无穷小量阶的比较
无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢． 为此，我们考察两个无穷小量的比，以便对它们的收敛速度作出判断． 设当0x x →时，f 与g 均为无穷小量． 1．若
)
()(lim
=→x g x f x x ，则称当0x x →.时f 为g 的高阶无穷小量,或称g 为f 的低阶无
穷小量，记作))(()(x g x f ο= )(0x x →.
特别，f 为当0x x →时的无穷小量记作)1()(ο=x f )(0x x →. 例如，当0→x 时，n
x x x ,,,2 (n 为正整数)等都是无穷小量，因而有
)1(ο=k
x
),0(→x ,,2,1 =k
而且它们中后一个为前一个的高阶无穷小量，即有)(1
k
k x x ο=+).0(→x
又如，由于
2
tan
lim sin cos 1lim
==-→→x x
x x x ．故有)(sin cos 1x x ο=-).0(→x
2．若存在正数K 和L ，使得在某)(0x U
上有,
|)
()(|
L x g x f K ≤≤则称f 与g 为当0
x x →时的同阶无穷小量．特别当
)
()(lim
≠=→c x g x f x x 时，f 与g 必为同阶无穷小量．
例如，当0→x 时，x c os 1-与2
x 皆为无穷小量．由于
21cos 1lim
2
=
-→x
x
x ,所以
x c os 1-与2x 为当0→x 时的同阶无穷小量．又如，当0→x 时，x 与⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
+x x 1sin 2都是无穷小量,由于它们之比的绝对值满足
3
|1sin
2|1≤+≤x
，所以x 与
)
1
sin
2(x x +为当0
→x 时的同阶无穷小量
． 若无穷小量f 与g 满足关系式,
|)
()
(|
L x g x f ≤)
(0x U x
∈，则记作
).
))((()(0x x x g x f →O =
特别，若f 在某)(0x U
内有界，则记为).)(1()(0x x x f →O =
例如， )0)((cos 12
→O =-x x x
),
0)((1sin 2→O =⎪⎭⎫ ⎝⎛
+x x x x
).)(1(sin ∞→O =x x
甚至当)))((()(0x x x g x f →=ο时，也有).))((()(0x x x g x f →O =
注 本段中的等式)))((()(0x x x g x f →=ο与x x g x f ))((()(O =→)0x 等，与通常等式的含义是不同的．这里等式左边是一个函数，右边是一个函数类，而中间的等号的含义是“属于”．例如，前面已经得到)0)((sin cos 1→=-x x x ο， (1)
其中
,0sin )
(lim
|)(sin 0
⎭⎬⎫⎩⎨⎧
==→x x f f x x ο等式(1)表示函数x cos 1-属于此函数类． 3．若
1
)
()(lim
=→x g x f x x ，则称f 与g 时当0x x →时的等价无穷小量.记作
))((~)(0x x x g x f →。

例如，由于
1
sin lim
=→x
x x ，故有).0(~sin →x x x ．又由于
1
arctan lim
=→x
x
x (上节习
题1(6))，故有)0(~arctan →x x x ．
以上讨论了两个无穷小量阶的比较．但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较．例如，当0→x 时，
x x 1
sin
和2
x 都是无穷小量，但它们的比
x x x
x x 1sin
11sin 2
=或
x x x
x x
1sin
1sin
2
=
当0→x 时都不是有界量，所以这两个无穷小量不能进行阶的比较. 下述定理显示了等价无穷小量在求极限问题中的作用． 定理3.12 设函数h g f ,,在)(0x U
内有定义，且有
)(~)(x g x f )(0x x →.
)(i 若A x h x f x x =→)()(lim 0，则A
x h x g x x =→)()(lim 0；
)(ii 若B
x f x h x x =→)
()
(lim
0，则
B
x g x h x x =→)
()(lim。

证 )
(i A
A x h x f x f x g x h x g x x x x x x =⋅=⋅=→→→1)()(lim )
()(lim
)()(lim 0
.
)(ii 可类似地证明．
例1 求x x
x 4sin arctan lim
0→。

解 由于)0(~arctan →x x x ，)0(4~4sin →x x x ．故由定理3．12得
414lim
4arctan lim
=
=→→x
x x
x x x .
例2 利用等价无穷小量代换求极限
3
sin sin tan lim
x
x x x -→.
解 由于
)
c o s 1(c o s s i n s i n t a n x x
x x x -=
-，而
)
0(~sin ),0(2
~
cos 1),0(~sin 3
3
2
→→-→x x x x x
x x x x ，
故有
21
2cos 1
lim
sin sin tan lim
32
030=⋅
⋅
=-→→x
x
x x x x x x x ． 注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代.如在例2中，若因有
)0(~sin ),0(~tan →→x x x x x x ，
而推出
sin lim
sin sin tan lim
3
3
=-=-→→x
x x x
x x x x .
则得到的是错误的结果． 三 无穷大量
定义2 设函数f 在某)0(→x U
内有定义．若对任给的G>0，存在0<δ，使得当∈x 时0
U
)
;(0δx (
()00
x U
)有
()G
x f > (2)
则称函数f 当0x x →.时有非正常极限∞，记作()x f x x 0
lim →∞=. 若(2)式换成“()x f G >’’或“()x f G -<”，则分别称f 当0x x →.时有非正常极限∞+或∞-记作:
()
x f x x 0
lim →+∞= 或
()
x f x x 0
lim →-∞=.
关于函数f 在自变量其它不同趋向的非正常极限的定义，以及数列{}n a 当∞→n 时的非正常极限的定义，都可类似地给出．例如 +∞
→x lim
()x f -∞=的定义：任给0>G ，存在0>M ，使得当M x >时有()x f G -<
+∞
=∞
→n n a lim 的定义：任给0>G ，存在0>N ，使得当N >n 时有>n a G
定义3 对于自变量x 的某种趋向(或∞→n 时)，所有以+∞∞,或∞-为非正常极限的函数(包括数列)，都称为无穷大量．
例3 证明
+∞
=→2
1lim
x
x
证 任给0>G ，要使>
2
1
x
G ，只要
<x G 1，因令=
δG 1
则对一切x ()
δ;00
U
∈
这就证明了
+∞
=→2
1lim
x
x ．
例4 证明：当1>a 时，
+∞
→x lim
+∞=x
a
证 任给0>G （妨设1>G )，要使G a x
>，由对数函数的严格增性，只要
>x G a log ，因此令=M G a
log ，则对一切M >x 有G a x >．这就证得+∞→x lim +∞=x a ．
顺便指出，容易证明：
当1>a 时0
lim =-∞
→x
x a
；当10<<a 时有
+∞
→x lim +∞
==-∞
→x
x x
a
a
lim ,0.
注 1 无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数．如由例3知
2
1x
是当
0→x 时的无穷大量，由例4知()1>a
a
x
是当+∞→x 时的无穷大量．
注2 若f 为0x x →时的无穷大量，则易见f 为()00
x U
上的无界函数．但无界函数
却不一定是无穷大量．如()x x x f sin =在()∞+U 上无界，因对任给的0>G 取
22π
π+
=n x 这里正整数
π2G
n >
，则有
()G
n n n x f >+=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2222sin 22ππππππ
但
+∞
→x lim
()x f ∞≠，因若取数列() ,2,12==n n x n π则+∞→n x ()∞→n ,而
+∞→x lim
()0=n x f . 如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样，对两个无穷大量也可定义高阶无穷大量，同阶无穷大量等概念.这里就不在详述了.
由无穷大量与无穷小量的定义，可推得它们之间有如下关系：
定理3.13 （i ）设f 在()00
x U 内有定义且不等于0.若f 为0x x
→时的无穷小量，则f
1
为0x x →时的无穷大量.
（ii ）若g 为0x x →时的无穷大量，则g 1
为0x x →时的无穷小量. 根据这个定理，对无穷大量的研究可归结为对无穷小量的讨论. 四 曲线的渐近线
作为函数极限的一个应用，我们讨论曲线的渐近线问题．由平面解析几何知道，双曲线1
2
22
2=-
b
y a
x 有两条渐近线0
=±
b
y a
x
（图3-7）.一般地,曲线的渐近线定义如下：
定义4：若曲线C 上的动点P 沿着曲线无限地远离原点时，点P 与某定直线L 的距离趋于0，则称直线L 为曲线C 的渐近线(图3—8)．。