向量数组矩阵行列式

行列式的性质



行列式中两行对应元素成比例，其值为零； 行列式两行对换，其值反号 行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子 式之和等于零，即ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn ＝0 (i≠j) 线性非齐次方程组的系数行列式不为零，则方程组 有维一解：xj＝Dj/D。其中，Dj为用常数项替换D中 第j列系数所成的行列式。 线性齐次方程组有非零解的必要条件是其系数行列 式为零
向量组的秩和极大线性无关组



如果向量组α1 ,α 2,…, α s中存在r个线性无关 的向量，且其中任一个向量可由这r个线性无 关的向量线性表示，则数r称为向量组的秩， 记做r＝{α1 ,α 2,…, α s} 等价于：若向量组存在r个线性无关的向量， 且任何r＋1个向量都线性相关，就称r为向量 组的秩 秩为r的向量组中含有r个向量的线性无关组， 称为该向量组的极大线性无关组
矩阵的定义


元素全为0的矩阵成为零矩阵；m=n时称n阶方阵； 若两个矩阵A、B的行列数相等，且各对应元素也 相等，称A=B 当线性方程组的常数项为0时，称齐次线性方程组； 否则称非齐次线性方程组。方程组中含有矛盾方 程而无解时，称为不相容方程组。有解的方程组 称为相容方程组。如果满足其他方程的解都满足 某一方程，则该方程称为多余方程。
特殊矩阵

n阶方阵，如果aij=aji (i,j=1,2,…,n)，称A为 对称矩阵，A为对称矩阵的充要条件是(AT) =A；如果 aij= - aji (i,j=1,2,…,n)，称A为反 对称矩阵，A为反对称矩阵的充要条件是
(AT) = -A

对于矩阵A，如果存在矩阵B，使得 AB=BA=I，就称A为可逆矩阵（简称A可 逆），并称B是A的逆矩阵，记做A-1=B。
特殊矩阵



主对角元全为1，其余元素为0的n阶矩阵，称为n 阶单位矩阵（单位阵），记为In或I或E。主对角元 全为非零数k，其余全为0的n阶矩阵，称为n阶数 量矩阵，记为kIn或kI或kE。 非主对角元皆为0的n阶矩阵称为n阶对角矩阵 （简称对角阵）记做∧。 n阶方阵A=(aij) n×n，当i>j时 aij=0(j=1,2,…,n-1)的 矩阵称为上三角阵；当i<j时 aij=0(j=2,3,…,n)的矩 阵称为下三角阵
矩阵的特征多项式和特征矩阵

设n阶矩阵A =(aij)，则 f(λ )= det(λI-A)=
a 11 a 21 a n1 a 12
a 22
a n2
a 1n a 2n －a nn
称为矩阵A的特征多项式， λI-A称为A的特征矩阵 n阶矩阵A的特征多项式是λ 的n次多项式。特征多 项式的k重根也称k重特征值。当n≥5时，特征多项式没有一般
矩阵乘法不满足交换率和消去率： 1、AB≠BA；2、AB=0不能推出A=0或B=0，即A≠0 B≠0可能 AB=0，此时称B是A的右零因子（A是B的左零因子）。一般 地，如果A有非零的零因子，则其零因子不是唯一的；3、若 AB=AC，不能推出B=C。 只有当A为非奇异矩阵时，AB=0时有B=0；AB=AC时有B=C
行列式的性质

行列式的行与列按原顺序互换，其值不变
a11 a 21 a n1 a12 a 22 a1n a11 a 21 a n1 a 22 an2 a 2 n a12 ＝ a1n
a n 2 a nn
a 2 n a nn

行列式对任一行按下式展开，其值不变： (i=1,2,…,n)， 其中 Aij＝(-1)i+jMij 称为aij的代数余子式
的求根公式，即使是三阶矩阵的特征多项式，一般也很难求根，所以求矩阵的 特征值一般要采用近似计算的方法。
特征值和特征向量性质、矩阵的迹


若x1和x2都是A的属于特征值λ 0的特征向量，则 k1x1+k2x2也是A的属于λ 0的特征向量(其中k1,k2是任 意常数，但k1x1+k2x2≠0) 设n阶矩阵A=(aij)的n个特征值为λ 1,λ 2,…,λ n, n n n 则 (i) i a ii ; (ii) i detA

矩阵的运算性质


设A,B是两个n阶矩阵，则乘积AB的行列式 等于A和B的行列式的乘积，即|AB|=|A||B| 把一个m*n矩阵的行列互换得到的一个n*m 矩阵，称为A的转置矩阵，记做：AT或A’
(AT)T =A;(A+B)T=AT+BT;(kAT)=kAT; (AB)T= BTAT


(A-1)-1=A; (kA)-1=k-1A-1; (AB)-1=B-1A-1; (AT)-1=(A-1)T; det(A-1)=I/detA,即|A1|=|A|-1
11
12
1n
矩阵A可逆的充要条件是|A|≠0，且A-1=(1/|A|)A*；若n阶矩阵 A,B满足AB=I，则BA=I，即A,B均可逆，且A,B互为逆矩阵
矩阵的秩



把矩阵A的每一行(列)称为A的一个行(列)向 量，把A的行(列)向量组秩称为A的行(列)秩。 矩阵A的行秩与列秩相等，称该数值为矩阵 的秩，记做：秩(A)或r(A)。 r(A)＝n的n阶 矩阵也称满秩矩阵。 n阶矩阵是满秩矩阵的充要条件是A为非奇 异矩阵，即|A|≠0。
数组


数组是指由一组实数或复数排成的长方形 阵列（array）。可以是一维的行或列，也 可以是二维的‘矩形’，还可以是三维的 ‘若干同维矩阵的堆叠’，甚至更高的维 数。 数组运算是指：无论在数组上施加什么运 算（＋－×÷或函数），总认定该种运算 对被运算数组中的每个元素（element）平 等地实施同样地操作。
矩阵与行列式的区别



行列式是一个算式，经过计算可以求值； 矩阵为数表。 有时也算n阶方阵的行列式，记做|A|或detA。 方阵A和方阵A的行列式概念不同。 当detA=0时（此时A不一定为零矩阵），称 A为奇异矩阵；当detA≠0时，称A为非奇异 矩阵。
行列式

行列式的概念是在求解方程个数与未知量个数相同 的一次方程组时提出来的：由n2个数aij(i, j=1,2,…,n)组成的n阶行列式D
i 1 i 1 i 1
a ii 其中 是A的主对角元之和，称为矩阵A的 i 1 迹，记做tr(A).
n
特征值和特征向量性质
若λ 是矩阵A的特征值，x都是A的属于特征值λ 的 特征向量，则 (1)kλ 是kA的特征值（k是任意常数） (2)λ m是Am的特征值（m是正整数） (3)当A可逆时，λ -1是A-1的特征值 且x仍是矩阵kA,Am,A-1的分别对应于特征值kλ ,λ m, 1/λ 的特征向量 矩阵A和AT的特征值相同
（逆矩阵是唯一的，单位阵I的逆矩阵是其自身）
特殊矩阵

n阶方阵A=(aji)n×n ，设Ai,j是行列式detA中的元素aji 的代数余子式，称cofA=(Aji)n×n为A的代数余子式 矩阵，并称cofA的转置矩阵为A的伴随矩阵，记做 adjA或A*，即： A A A
A A A 21 22 2n T A (cofA) A n1 A n2 A nn

矩阵的运算性质


矩阵加法：A+B=(aij+bij)，满足A+B=B+A， (A+B)+C=A+(B+C)。存在矩阵(-A),满足 A+ (-A)=0，称(-A)为A的负矩阵，且(-A)=(aij) m×n ，即A中每个元素都乘 -1。 减法：A-B=A+(-B) 数乘：数k乘矩阵A，需要把k乘矩阵的每一 个元素。这与行列式完全不同。
矩阵的初等变换与初等矩阵
矩阵的如下3种行列变换称为初等变换： 倍乘变换：以非零的常数c乘矩阵的某一行（列）； 倍加变换：将矩阵的某一行（列）乘以常数c并加到另 一行（列）； 对换变换：将矩阵的某两行对换位置。 将单位矩阵做一次初等变换所得到的矩阵称初等矩 阵，对应以上3种初等变换得到：初等倍乘矩阵； 初等倍加矩阵；初等对换矩阵 可逆矩阵A可以表示为若干个初等矩阵的乘积 对可逆矩阵A和同阶单位阵I做同样的初等行变换， 当A变为单位阵时，I就变为A－1。
a11 a21 D an1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
（简记作 a ij 1）
n
是一个算式。当n＝1时，D=|a11|＝；当n≥2时，定 义 D=a11A11 + a12A12+…+a1nA1n 其中 A1j＝(-1)1+jM1j 称为a1j的代数余子式
线性相关与线性无关


如果对m个向量α1 ,α 2,…, α m ∈Fn，有m 个不全为零的数k1,k2,…,kn ∈F，使 k1α1 ,+k2α 2,+…+,kmα m =0n 成立，则称 α1 ,α 2,…, α m线性相关；否则称线性无关 向量组α1 ,α 2,…, α m(m≥2)线性相关的充 要条件是α1 ,α 2,…, α m中至少有一个向量 可以用其余m－1个向量线性表示
向量及向量运算



数域F中的n个数a1,a2,…,an构成的有序数组， 称为数域F上的一个n元向量(n维向量)，记做： a=( a1,a2,…,an),其中ai称作a的第i个分量。数 域F上全体n元向量组成的集合记做Fn 向量加法： a+b=( a1+b1,a2+ b2,…,an+ bn) 数乘：ka=(ka1,ka2,…,kan) a+b=b+a; (a+b)+c=a+(b+c); a+0n=a; a+(-a)=0n; 1a=a; k(la)=(kl)a; k(a+b)=ka+kb; (k+l)a=ka+la; 0a=0n; k0n=0n; ka=0n,则k=0,或a=0n;a+x=b,则 x=b-a有唯一解
行列式的性质

线性性质: (1)
a11 ka21 a n1
a12

a1n
a11
a 21 a 22 a2n
a n1 an2 a nn
ka22 ka2 n a ＝k 12 an2 a nn a1n
(2)
a11 a 21 b21 a n1
a12

a1n
矩阵的运算性质

矩阵乘法：设A是m×n矩阵，B是一个n×s矩阵，则A与B的 乘积AB（记做C=(cij)）是一个 m×s矩阵，且满足： n cij =ai1b1j + ai2b2j+…+ainbnj = a ik b kj
k 1


矩阵A与B可乘要求A的列数与B的行数相等
(AB)C= A(BC); k(AB)=(kA)B=A(kB); A(B+C)=AB+AC;(B+C)A=BA+CA
a11
a 21 a n1 a 22
a11
a12 b22
a1n b2 n a12 ＝ an2 a nn a1n
a n 2 b21 a n1
a 2 n a nn
a n 2 a nn

某行元素全为零的行列式其值为零
矩阵的特征值和特征向量
定义：设A为复数域C上的n阶矩阵，如果存 在数λ∈C和非零的n维向量x，使得： Ax=λx 就称λ是矩阵A的特征值，x是A的对应于特征 值λ的特征向量。 注意：特征向量x≠0；特征值问题是对方阵 而言的。


n阶方阵A的特征值，就是使齐次线性方程组 (λIA)x=0 有非零的λ值，即满足 det(λI-A)=0的λ 都是 A的特征值。因此，特征值是λ 的多项式 det(λI-A) 的根
矩阵的定义

定义1：数域F中m×n个数aij(i=1,2,…m; j=1,2,…n) 排成m行n列，并括以圆括弧（或方括弧）的数表
a 11 a 12 a 1n a a a 22 2n 21 a m1 a m2 a mn
称为数域F上的m×n矩阵，通常用大写字母记做A或 Am×n，有时也记做A=(aij) m×n。 定义2：矩阵就是由 线性方程组的系数所构成的数 表。方程组的系数及常数所构成的数表称为增广矩 阵。