高中数学 第二章 函数 2.1.1 函数的概念和图象(第1课时)函数的概念学案 苏教版必修1-苏教版

2．1 函数的概念
2．1.1 函数的概念和图象
第1课时函数的概念
1．在集合对应的基础上理解函数的概念，并能应用函数的有关概念解题．(重点、难点) 2．会求几种简单函数的定义域、值域．(重点)
[基础·初探]
教材整理1 函数的定义
阅读教材P23至P25“例1”，完成下列问题．
1．函数的定义
一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为：y＝f (x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f (x)的定义域．
2．函数的三要素指函数的定义域、对应关系和值域．
判断(正确的打“√” ，错误的打“×”)
(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )
(2)已知定义域和对应法则就可以确定一个函数．( )
(3)根据函数的定义，定义域中的每一个x可以对应着不同的y.( )
【答案】(1)×(2)√(3)×
教材整理2 函数的定义域
阅读教材P25“例2”，完成下列问题．
1．定义域的意义
定义域实质上是使函数表达式有意义的自变量的取值范围．
2．求定义域的常用方法
已知函数y ＝f (x )，
(1)若f (x )为整式，则定义域为R ；
(2)若f (x )为分式，则定义域是使分母不等于零的实数的集合；
(3)若f (x )是偶次根式，那么函数的定义域是被开方数不小于零的实数的集合； (4)若f (x )是x 0
的形式，则f (x )的定义域为{x |x ≠0}；
(5)若f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各式子均有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；
(6)若f (x )是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合．
(1)函数f (x )＝x －10的定义域为________． (2)函数f (x )＝
1
x －2
的定义域为________．
(3)函数f (x )＝4
9－x (x ∈N )的定义域为________． 【解析】 (1)x －10≥0，∴x ≥10，即{x |x ≥10}． (2)x －2>0，∴x >2，即{x |x ＞2}．
(3)⎩
⎪⎨
⎪⎧
9－x ≥0，x ∈N ⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≤9，
x ∈N ，∴x 的取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，
即{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
【答案】 (1){x |x ≥10} (2){x |x >2} (3){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 教材整理3 函数的值域
阅读教材P 25例2后一段～例3，完成下列问题．
若A 是函数y ＝f (x )的定义域，则对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应，我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域．
1．若f (x )＝x 2
－3x ＋2，则f (1)＝________. 【解析】 f (1)＝12
－3×1＋2＝0. 【答案】 0
2．若f (x )＝x －3，x ∈{0,1,2,3}，则f (x )的值域为________． 【解析】 f (0)＝－3，f (1)＝－2，f (2)＝－1，f (3)＝0.
【答案】{－3，－2，－1,0}|
[小组合作型]
函数的概念
判断下列对应f 是否为从集合A到集合B的函数．
(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±x；
(2)A＝R，B＝N，对于任意的x∈A，x→|x－2|；
(3)A＝R，B＝{正实数}，对任意x∈A，x→1
x2
；
(4)A＝{1,2,3}，B＝R，f (1)＝f (2)＝3，f (3)＝4；
(5)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.
【精彩点拨】求解本题的关键是判断在对应法则f 的作用下，集合A中的任意一个元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应．
【自主解答】(1)对于A中的元素，如x＝9，y的值为y＝±9＝±3，即在对应法则
f 之下，B中有两个元素±3与之对应，不符合函数的定义，故不能构成函数．
(2)对于A中的元素x＝22，在f 作用下，|22－2|∉B，故不能构成函数．
(3)A中元素x＝0在B中没有对应元素，故(3)不能构成函数．
(4)依题意，f (1)＝f (2)＝3，f (3)＝4，即A中的每一个元素在对应法则f 之下，在B中都有唯一元素与之对应，依函数的定义，能构成函数．
(5)对于集合A中任意一个实数x，按照对应法则在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数．
1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；
A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．2．函数的定义中“每一个元素”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．
[再练一题]
1．下列对应或关系式中是A到B的函数的有________．(填序号)
①A＝B＝[－1,1]，x∈A，y∈B且x2＋y2＝1；
②A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图2­1­1；
图2­1­1
③A＝R，B＝R，f ：x→y＝
1
x－2
；
④A＝Z，B＝Z，f ：x→y＝2x－1.
【解析】对于①项，x2＋y2＝1可化为y＝±1－x2，显然对任意x∈A，y值可能不唯一，故不符合．对于②项，符合函数的定义．对于③项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于④项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．
【答案】②
求函数的定义域
求下列函数的定义域．
(1)f (x)＝3
x－8
3x－2
；
(2)f (x)＝x＋1＋1
2－x
；
(3)f (x )＝x ＋4＋x 0
＋
1
x ＋2
； (4)f (x )＝
x ＋1
2
x ＋1
.
【精彩点拨】 根据使式子在实数范围内有意义的条件列不等式(组)，求出x 的范围，就是所求函数的定义域．
【自主解答】 (1)要使f (x )有意义，则有3x －2>0， ∴x >23
，
即f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，＋∞. (2)要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＋1≥0，2－x ≠0
⇒x ≥－1且x ≠2，
即f (x )的定义域为[－1,2)∪(2，＋∞)．
(3)要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋4≥0，x ≠0，
x ＋2≠0
⇒x ≥－4且x ≠0，－2，
即f (x )的定义域为[－4，－2)∪(－2,0)∪(0，＋∞)． (4)要使f (x )有意义，则x ＋1≠0，∴x ≠－1， 即f (x )的定义域为{x |x ≠－1}．
1．求函数定义域时，不要化简所给解析式，而是直接从所给的解析式寻找使解析式有意义时自变量满足的条件．
2．函数的定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．
[再练一题]
2．求下列函数的定义域． (1)f (x )＝
11－3x ＋1
x
；(2)f (x )＝3－x ＋1＋x 且 x ∈Z .
【解】 (1)要使函数有意义，只需⎩⎪⎨
⎪⎧
1－3x ＞0，
x ≠0，所以x ＜1
3
且x ≠0，所以函数的定义
域为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x ＜1
3且x ≠0
.
(2)要使函数有意义，只需⎩
⎪⎨
⎪⎧
3－x ≥0，
1＋x ≥0，所以－1≤x ≤3.
又x ∈Z ，所以x ＝－1,0,1,2,3. 所以函数的定义域为{－1,0,1,2,3}．
求函数的值域或函数值
已知f (x )＝x 2
－4x ＋2.
(1)求f (2)，f (a )，f (a ＋1)的值； (2)求f (x )的值域；
(3)若g (x )＝x ＋1，求f (g (3))的值．
【精彩点拨】 (1)将x ＝2，a ，a ＋1代入f (x )即可；(2)配方求值域；(3)先求g (3)再算f [g (3)]．
【自主解答】 (1)f (2)＝22
－4×2＋2＝－2，
f (a )＝a 2－4a ＋2，
f (a ＋1)＝(a ＋1)2－4(a ＋1)＋2＝a 2－2a －1.
(2)f (x )＝x 2
－4x ＋2＝(x －2)2
－2≥－2， ∴f (x )的值域为[－2，＋∞)． (3)g (3)＝3＋1＝4，
∴f (g (3))＝f (4)＝42
－4×4＋2＝2.
1．函数值f (a )就是a 在对应法则f 下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将
f (x )中的x 用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得．
2．求f (g (a ))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则．
3．配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求值域．
[再练一题]
3．上例(3)中，g (x )＝x ＋1，求f (g (x ))，g (f (x ))．
【解】 f (g (x ))＝g (x )2
－4g (x )＋2＝(x ＋1)2
－4(x ＋1)＋2＝x 2
－2x －1，
g (f (x ))＝f (x )＋1＝x 2－4x ＋2＋1＝x 2－4x ＋3.
[探究共研型]
抽象函数求定义域
探究1 在y ＝f (x )中，f (x )的定义域指的是什么？x 是什么？ 【提示】 f (x )的定义域指的是x 的范围，其中x 是函数的自变量． 探究2 在函数y ＝f (x ＋1)中，自变量是谁？而它的定义域指的是什么？ 【提示】 y ＝f (x ＋1)中自变量为x ，其定义域指的是x 的范围． 探究3 如何将函数y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)中的自变量联系起来？
【提示】 由于x ，x ＋1均为f 的作用对象，故二者均应在f (x )定义域之中，即y ＝
f (x )中x 的范围与y ＝f (x ＋1)中x ＋1的范围一致．
(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为[1,4]，则 f (x ＋2)的定义域为
________．
(2)已知函数y ＝f (x ＋2)的定义域为[1,4]，则f (x )的定义域为________． (3)已知函数y ＝f (x ＋3)的定义域为[1,4]，则f (2x )的定义域为________． 【精彩点拨】 找准每一个函数中的自变量，通过括号内范围相同来解决问题． 【自主解答】 (1)由题知对于f (x ＋2)有x ＋2∈[1,4]，∴x ∈[－1,2]， 故f (x ＋2)的定义域为[－1,2]．
(2)由题知x ∈[1,4]，∴x ＋2∈[3,6]，∴f (x )的定义域是[3,6]．
(3)由题知x ∈[1,4]，∴x ＋3∈[4,7]，对于f (2x )有2x ∈[4,7]，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，72， 即f (2x )的定义域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2，72. 【答案】 (1)[－1,2] (2)[3,6] (3)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2，72
抽象函数的定义域
1．已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域：若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值范围即为f (g (x ))的定义域．
2．已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域：若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，即a ≤x ≤b ，求得g (x )的取值范围，g (x )的取值范围即为f (x )的定义域．
用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话： (1)定义域指自变量的取值范围．(告诉我们已知什么，求什么) (2)括号内范围相同．(告诉我们如何将条件与结论联系起来)
[再练一题]
4．已知函数y ＝f (x －1)的定义域为[－3,2]，则f (x ＋1)的定义域为________. 【解析】 对于y ＝f (x －1)有x ∈[－3,2]，∴x －1∈[－4,1]，∴在f (x ＋1)中有x ＋1∈[－4,1]，∴x ∈[－5,0]．
【答案】 [－5,0]
1．下列图象表示函数图象的是________．(填序号)
【解析】 根据函数定义知，对定义域内的任意变量x ，都有唯一的函数值y 和它对应，即作垂直x 轴的直线与图象至多有一个交点(有一个交点即x 是定义域内的一个变量，无交点即x 不是定义域内的变量)．显然，只有答案(3)中图象符合．
【答案】 (3) 2．函数y ＝x ＋1＋
1
2－x
的定义域是________． 【解析】 要使函数有意义，需满足⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1≥0，
2－x ≠0，解不等式得定义域为{x |x ≥－1且
x ≠2}．
【答案】 {x |x ≥－1且x ≠2}
3．已知函数y ＝f (x )的定义域为(－1,3)，则在同一坐标系中，函数f (x )的图象与直线x ＝2的交点个数为________．
【解析】 在函数定义域内，任意实数x 对应唯一实数y ，所以直线x ＝2与函数图象交点为1个．
【答案】 1
4．下列四组函数中，表示相等函数的一组是________．(填序号) (1)f (x )＝|x |，g (x )＝x 2
；(2)f (x )＝x 2
，g (x )＝(x )2
；
(3)f (x )＝x 2－1x －1
，g (x )＝x ＋1；(4)f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2
－1.
【解析】 (1)中定义域，对应关系都相同，是同一函数；(2)中定义域不同；(3)中定义域不同；(4)中定义域不同．
【答案】 (1) 5．求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2
－2x ＋3，x ∈[0,3)； (3)y ＝2x ＋1x －3
.
【解】 (1)因为x ∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}． (2)y ＝x 2
－2x ＋3＝(x －1)2
＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．
(3)y ＝2x ＋1x －3＝
2x －3＋7x －3＝2＋7
x －3
，
显然
7
x －3
≠0，所以y ≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．。