高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.3 空间的角的计算1数学教案

3.2.3 空间的角的计算
(1)两条异面直线所成角的向量求法
若异面直线l 1，l 2的方向向量分别为a ，b ，l 1，l 2所成的角为
θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|.
(2)直线和平面所成角的向量求法
设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，a 与n 的夹角为θ1，l 与α所成的角为θ2，则sin θ2＝|cos_θ1|＝|a·n |
|a ||n |
.
(1) (2)
(3)二面角的向量求法
设二面角α­l ­β的大小为θ，α，β的法向量分别为n 1，n 2，则|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2|
|n 1||n 2|，θ取锐角还是钝角
由图形确定．
思考：(1)直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？
(2)二面角与二面角的两个半平面的法向量所成的角有怎样的关系？
[提示] (1)设n 为平面α的一个法向量，a 为直线a 的方向向量，直线a 与平面α所成的角为θ，则
θ＝⎩⎪⎨⎪⎧
π
2－〈a ，n 〉，〈a ，n 〉∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，
〈a ，n 〉－π
2，〈a ，n 〉∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤π2，π.
(2)
条件
平面α，β的法向量分别为u ，υ，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u ，υ〉＝φ，
图形
关系 θ＝φ
θ＝π－φ
计算
cos θ＝cos φ
cos θ＝－cos φ
量，若cos 〈m ，n 〉＝－3
2
，则l 与α所成的角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．150°
D ．120°
B [设l 与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝3
2，
∴θ＝60°，应选B.]
2．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角为________．
30° [由题意得，直线l 与平面α的法向量所在直线的夹角为60°，∴直线l 与平面α所成的角为90°－60°＝30°.]
3．长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线
AC 与BC 1所成角的余弦值为________．
5
10
[如图建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，C 1(1,1,3)．
∴AC →＝(1,1,0)，BC 1→
＝(0,1,3)， cos 〈AC →，BC 1→
〉＝AC →
·BC 1
→
|AC →||BC 1→|
＝
1，1，0·0，1，32×10＝120＝5
10
.
综上，异面直线AC 与BC 1所成角的余弦值为5
10
.]
4．已知二面角α­l ­β，α的法向量为n ＝(1,2，－1)，β的法向量为m ＝(1，－3,1)，若二面角α­l ­β为锐角，则其余弦值为________．
6611 [cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m |＝1－6－16·11＝－6611. 又因二面角为锐角，所以余弦值为6611
.]
求两条异面直线所成的角
【例1】 如图，在三棱柱OAB ­O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值的大小．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，则
O (0,0,0)，O 1(0,1，3)，A (3，0,0)，A 1(3，
1，3)，B (0,2,0)，
∴A 1B →
＝(－3，1，－3)，
O 1A →
＝(3，－1，－3)．
∴|cos 〈A 1B →，O 1A →
〉|＝|A 1B →·O 1A →||A 1B →|·|O 1A →|
＝|－3－1＋3|7·7
＝17.
∴异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值为1
7
.
1．几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可．
2．由于两异面直线夹角θ
的范围是⎝
⎛⎦⎥⎤
0，π2，而两向量夹角
α的范围是[0，π]，故应有cos θ＝|cos α|，求解时要特别注
意．
1．已知四棱锥S ­ABCD 的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE ，SD 所成的角的余弦值为( )
A.1
3
B.2
3
C.3
3
D.23
C [依题意，建立坐标系如图所示，设四
棱锥S ­ABCD 的棱长为2，
则A (0，－1,0)，B (1,0,0)，S (0,0,1)，
D (－1,0,0)，
∴E
点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
12
，0，12，
AE →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫12，1，12，
SD →
＝(－1,0，－1)， ∴cos 〈AE →，SD →
〉＝
－16
2
·2＝－3
3，
故异面直线所成角的余弦值为3
3
.故选C.]
求直线与平面所成的角
【例2】 如图，四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面
ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为
线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．
(1)证明MN ∥平面PAB ；
(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．
[思路探究] (1)线面平行的判定定理⇒MN ∥平面PAB . (2)利用空间向量计算平面PMN 与AN 方向向量的夹角⇒直线
AN 与平面PMN 所成角的正弦值．
[解] (1)证明：由已知得AM ＝2
3AD ＝2.
如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 的中点知TN ∥BC ，TN ＝1
2
BC ＝2.
又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，所以四边形AMNT
为平行四边形， 于是MN ∥AT .
因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ， 所以MN ∥平面PAB .
(2)如图，取BC 的中点E ，连接AE . 由AB ＝AC 得AE ⊥BC ，从而AE ⊥AD ， 且AE ＝AB 2
－BE 2
＝
AB
2
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫BC 22＝ 5.
以A 为坐标原点，AE →
的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A ­xyz .
由题意知P (0,0,4)，M (0,2,0)，C (
5，2,0)，N ⎝
⎛
⎭
⎪⎪⎫52，1，2，
PM →＝(0,2，－4)，PN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，1，－2，AN →＝⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫52，1，2. 设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎨
⎧
n ·PM →＝0，n ·PN →
＝0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
2y －4z ＝0，5
2
x ＋y －2z ＝0，
可取n ＝(0,2,1)．
于是|cos 〈n ，AN →
〉|＝|n ·AN →
||n ||AN →|＝8525.
所以直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为85
25
.
若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：
2.如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面
ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，
AC＝CD＝ 5.
(1)求证：PD⊥平面PAB.
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求AM
的值；若不存在，说明理由．
AP
[解] (1)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，
所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD，
所以PD⊥平面PAB.
(2)取AD的中点O，连接PO，CO.
因为PA＝PD，所以PO⊥AD.
又因为PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD.
因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO.
因为AC＝CD，所以CO⊥AD.
如图，建立空间直角坐标系O­xyz.
由题意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，
C(2,0,0)，D(0，－1,0)，P(0，0,1)．
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则
⎩⎨
⎧
n ·PD →＝0，n ·PC →
＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
－y －z ＝0，
2x －z ＝0.
令z ＝2，则x ＝1，y ＝－2. 所以n ＝(1，－2,2)．
又PB →＝(1,1，－1)，所以cos 〈n ，PB →
〉＝n ·PB
→
|n ||PB →|＝－33.
所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为3
3.
(3)设M 是棱PA 上一点，
则存在λ∈[0,1]使得AM →＝λAP →
.
因此点M (0,1－λ，λ)，BM →
＝(－1，－λ，λ)．
因为BM ⊄平面PCD ，所以要使BM ∥平面PCD 当且仅当BM →
·n ＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2,2)＝0.
解得λ＝1
4
.所以在棱PA 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时
AM AP ＝14
.
求二面角
1．建立空间直角坐标系时，如何寻找共点的两两垂直的三条直线？
提示：应充分利用题目给出的条件，如线面垂直，面面垂直，等腰三角形等，作出适当的辅助线然后证明它们两两垂直，再建系．
2．如何确定二面角与两个平面的法向量所成角的大小关系？
提示：法一：观察法，通过观察图形，观察二面角是大于π
2，
还是小于π
2
.
法二：在二面角所含的区域内取一点P ，平移两个平面的法向量，使它们的起点为P ，然后观察法向量的方向，若两个法向量同时指向平面内侧或同时指向外侧，则二面角与法向量的夹角互补，若两个法向量方向相反，则二面角与法向量的夹角相等．
【例3】 如图，在四棱锥P ­ABCD 中，AB ∥
CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.
(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，求二面角A ­PB ­C 的余弦值．
[思路探究] (1)先证线面垂直，再证面面垂直； (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
[解] (1)证明：由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD .
因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PD .
又AP ∩DP ＝P ，所以AB ⊥平面PAD .
因为AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD . (2)在平面PAD 内作PF ⊥AD ，垂足为点F . 由(1)可知，AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PF ，可得PF ⊥平面ABCD .
以F 为坐标原点，FA →
的方向为x 轴正方向，
|AB →
|为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系F ­xyz .
由(1)及已知可得
A ⎝
⎛
⎭⎪⎪⎫22，0，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，0，22，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫22，1，0，C ⎝
⎛⎭
⎪⎪
⎫－22，1，0， 所以PC →＝⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－22，1，－22，CB →＝(2，0,0)， PA →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫22，0，－22，AB →＝(0,1,0)． 设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PCB 的一个法向量，则
⎩⎨
⎧ n ·PC →＝0，n ·CB →
＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
－22
x 1＋y 1－22z 1＝0，
2x 1＝0.
所以可取n ＝(0，－1，－2)．
设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面PAB 的一个法向量，则
⎩⎨
⎧
m ·PA →＝0，
m ·AB →
＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
22
x 2－22z 2＝0，
y 2＝0.
所以可取m ＝(1,0,1)，则cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m|＝－2
3×2
＝
－3
3
.
所以二面角A ­PB ­C 的余弦值为－3
3
.
利用向量法求二面角的步骤
1．建立空间直角坐标系；
2．分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；
3．求两个法向量的夹角；
4．判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角；
5．确定二面角的大小．
3.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)
以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF ︵ 的中点．
(1)设P 是CE ︵ 上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小；
(2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E ­AG ­C 的大小．
[解] (1)因为AP ⊥BE ，AB ⊥BE ，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP ＝A ，所以BE ⊥平面ABP .
又BP ⊂平面ABP ，所以BE ⊥BP .
又∠EBC ＝120°，所以∠CBP ＝30°.
(2)以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的
直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标
系．
由题意得A (0,0,3)，E (2,0,0)，G (1，3，3)，C (－1，3，0)，
故AE →＝(2,0，－3)，AG →＝(1，3，0)，CG →＝(2,0,3)．
设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的一个法向量，
由⎩⎨
⎧ m ·AE →＝0，m ·AG →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 1－3z 1＝0，x 1＋3y 1＝0.
取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(3，－3，2)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量，
由⎩⎨
⎧ n ·AG →＝0，n ·CG →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋3y 2＝0，2x 2＋3z 2＝0.
取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3，－3，－2)．
所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝12
. 故所求的角为60°.
向量法求角
(1)两条异面直线所成的角θ可以借助这两条直线的方向向量的夹角φ求得，即cos θ＝|cos φ|.
(2)直线与平面所成的角θ可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sin θ＝|cos φ|或cos θ＝sin φ.
(3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( )
(2)若向量n 1，n 2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面
角的平面角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|
.( ) (3)直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( )
(4)二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角相等或互补．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的正弦值为
( ) A.23
B.33
C.23
D.63 B [设正方体的棱长为1，依题意，建立如图所示的坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)，
∴AD 1→＝(－1,0,1)，AC →＝(－1,1,0)，
设平面ACD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋z ＝0－x ＋y ＝0，令x ＝1，∴n ＝(1,1,1)，
又∵BB 1→＝(0,0,1)，∴BB 1与平面ACD 1所成角的正弦值为⎪⎪⎪⎪
⎪⎪n ·BB 1→|n ||BB 1→|＝33.] 3．已知点A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,3)，则平面ABC 与平面xOy 所成锐二面角的余弦值为________．
27
[AB →＝(－1,2,0)，AC →＝(－1,0,3)，设平面ABC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，由n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋2y ＝0，－x ＋3z ＝0，
令
x ＝2，则y ＝1，z ＝23，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，23. 平面xOy 的一个法向量为OC →＝(0,0,3)，cos 〈n ，OC →〉＝
n ·OC
→|n |·|OC →|＝2×0＋1×0＋23×322＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×02＋02＋32
＝27.] 4.如图，在几何体ABCDE 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，BE 和CD 都垂直于平面ABC ，且BE ＝AB ＝2，CD ＝1，点F 是AE 的中点．求AB 与平面BDF 所成角的正弦值．
[解] 以点B 为原点，BA ，BC ，BE 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，D (0,2,1)，E (0,0,2)，F (1,0,1)，
∴BD →＝(0,2,1)，DF →＝(1，－2,0)，BA →＝(2,0,0)．
设平面BDF 的一个法向量为n ＝(2，a ，b )．
∵n ⊥DF →，n ⊥BD →，
∴⎩⎨
⎧ n ·DF →＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2－2a ＝0，2a ＋b ＝0，
解得a ＝1，b ＝－2，
∴n ＝(2,1，－2)．
又设AB 与平面BDF 所成的角为θ，
则sin θ＝BA →·n |BA →|·|n |
＝42×3＝23， 即AB 与平面BDF 所成角的正弦值为23.。