离散型随机变量的均值与方差教案

2.5离散型随机变量的均值与方差 教案
教学目标
（1）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；
（2）能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题．
教学重点，难点：取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义．
教学过程
一．问题情境
1．情景：
前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？ 甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下． 1X 0
1 2 3 k p 0.7
0.1 0.1 0.1 2X 0 1 2 3 k p 0.5 0.3 0.2
0 2．问题：
如何比较甲、乙两个工人的技术？
二．学生活动
1． 直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出0件废品的概率比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出3件废品的概率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论．
2． 学生联想到“平均数”，，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？
3． 引导学生回顾《数学3（必修）》中样本的平均值的计算方法．
三．建构数学
1．定义
在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式1122...n n x p x p x p +++计算样本的平均值，其中i p 为取值为i x 的频率值．
X X 1x 2x … n x
P 1p 2p … n p
其中，120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=，则称1122...n n x p x p x p +++为
随机变量X 的均值或X 的数学期望，记为()E X 或μ．
2．性质
（1）()E c c =；（2）()()E aX b aE X b +=+．（,,a b c 为常数）
四．数学运用
1．例题：
例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有
10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X ，求X 的数学期望．
分析：从口袋中摸出5个球相当于抽取5n =个产品，随机变量X 为5
个球中的红球的个数，则X 服从超几何分布(5,10,30)H ．
解：由2．2节例1可知，随机变量X 的概率分布如表所示：
X 0 1 2 3 4 5
P 258423751 807523751 855023751 380023751 70023751 4223751
从而
2584807585503800700425()012345 1.66672375123751237512375123751237513
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈ 答：X 的数学期望约为1.6667．
说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到
0()r n r n
M N M n r N r C C M E X n C N --===∑． 例2．从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产
品的不合格品率为0.05，随机变量X 表示这10件产品中不合格品数，求随机变量X 的数学期望()E X ．
解：由于批量较大，可以认为随机变量~(10,0.05)X B ，
1010()(1),0,1,2,...,10k k k k P X k p C p p k -===-=
X 0 1 2 3 4 5
k p 001010(1)C p p - 11910(1)C p p - 22810(1)C p p - 33710(1)C p p - 44610(1)C p p - 55510
(1)C p p - X 6 7 8 9 10
k p 66410(1)C p p - 77310(1)C p p - 88210(1)C p p - 99110(1)C p p - 1010010(1)C p p -
故10
0()0.5k k E X kp ===∑
即抽10件产品出现不合格品的平均件数为0.5件．
说明：例2中随机变量X 服从二项分布，根据二项分布的定义，可以得到：当~(,)X B n p 时，()E X np =．
例3．设篮球队A 与B 进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场
则比赛宣告结束，假定,A B 在每场比赛中获胜的概率都是12，试求需要比赛场数的期望． 分析：先由题意求出分布列，然后求期望 解：（1）事件“4X =”表示，A 胜4场或B 胜4场（即B 负4场或A 负4场），且两两互斥．
4400044411112(4)()()()()222216
P X C C ==⨯⨯+⨯⨯=； （2）事件“5X =”表示，A 在第5场中取胜且前4场中胜3场，或B 在第5场中取胜且前4场中胜3场（即第5场A 负且4场中A 负了3场），且这两者又是互斥的，所以
33431141441111114(5)()()()()22222216
P X C C --==+= （3）类似地，事件“6X =”、 “7X =”的概率分别为
33532252551111115(6)()()()()22222216
P X C C --==+=， 33633363661111115(7)()()()()22222216
P X C C --==+= 比赛场数的分布列为
X 4 5 6 7
P 216 416 516 516
故比赛的期望为2455()4567 5.812516161616
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（场） 这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6场才能分出胜负．
2．练习：
据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．现工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案： 方案1：运走设备，此时需花费3800元；
方案2：建一保护围墙，需花费2000元．但围墙无法防止大洪灾，若大洪灾来临，设备受损，损失费为60000元；
方案：不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失1000元．
试选择适当的标准，对3种方案进行比较．
五．回顾小结：
1．离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；
2．离散型随机变量均值（数学期望）的计算方法；
3．超几何分布和二项分布的均值（数学期望）的计算方法．六．课外作业：。