结构动力学ch2-2
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自由振动消失之前的这一段时间内的响应称为过渡阶段，这
段过渡时间的长短取决于阻尼的大小。
阻尼小，过渡时间就长；阻尼大，过渡时间就短。 过渡时间结束后，只按荷载频率振动的阶段称为平稳阶段，
对应的响应称为稳态响应(stationary response)。
5
§2.4 对简谐荷载的响应
动力系数 与频率比值的关系： 动力系数 是频率比值 / 的函数，变化规律如图所示，其中 横坐标为 / ，纵坐标为 的绝对值。
1 峰
max |
1
在通常情况下， 值很小，可以近似认为：
max |
1
20
§2.4 对简谐荷载的响应
（5）阻尼体系的位移比荷载滞后一个相位角 ，值由下式决定。
2 / tg 2 1 /
1
当 0 时， 0 。荷载频率很小，体系振动很慢，因此惯 性力和阻尼力都很小，动荷载主要与弹性力平衡。由于弹性力 与位移成正比，但方向相反，因此荷载与位移基本上是同步的。
21
§2.4 对简谐荷载的响应
2）当 1时， 90 。
当荷载频率接近结构固有频率时，位移 y(t )与外载 p(t ) 相差 的相位角接近90°。因此当荷载为最大时，位移和加速接近 于零，因而弹性力和惯性力都接近于零，这时动荷载主要由 阻尼力相平衡。
解：1）求自振频率和荷载频率 2）求动力系数β
10
§2.4 对简谐荷载的响应
2. 有阻尼单自由度体系 外力 p(t ) p sin t
2
p(t ) (t ) 2 y (t ) y(t ) y m 变为： p y 2 y 2 y sin t m 设方程的特解为： y(t ) Y1 sin t Y2 cost
Y yst [(1 2 / 2 ) 2 (2 / ) 2 ]1/ 2
2 / tg 2 1 /
1
Y表示振幅——荷载最大值P作用下的静力位移。
14
§2.4 对简谐荷载的响应
动力系数： Y yst [(1 2 / 2 ) 2 (2 / ) 2 ]1 / 2
的实际结构，响应峰值频率为：
2 1 2 峰
相应的响应值：
max
1 2 1 2
19
§2.4 对简谐荷载的响应
2 1 2 峰
对于 0 的阻尼体系
max
1 2 1 2
1 峰
所产生的位移；
大静位移
为动力放大系数或动力系数，表示最大动位移 [ y(t )]max与最
y st的比值。
3
§2.4 对简谐荷载的响应
微分方程的齐次解：
y(t ) A1 sin t A2 cos t
全解：
y (t ) A1 sin t A2 cost y st sin t
（1）当 0 时，动力系数 1。简谐荷载的数值虽然随时间
特性：
1
2 1Leabharlann 2 1 2 012
3
7
§2.4 对简谐荷载的响应
。 （3）当 1时， 当荷载频率 接近于结构固有频率 时，振幅会无限增大。 这种现象称为共振。
实际结构由于有阻尼的影响，共振时不会出现振幅为无限 大的情况，但共振时的振幅比静位移大很多倍的情况有可 能发生。 荷载变化很快，结构来不及反应。
动力系数如果安装仪器的基础是具有加速度的简谐运动则质量块所受的有效荷载27当基础运动的频率不超过仪器固有频率的十分之六时仪器的响应幅值将和基础加速度振幅成正24对简谐荷载的响应的关系图形可以发现当阻尼比时在频率范围值接近于常量
§2.4 对简谐荷载的响应
强迫振动：结构在动荷载作用下的振动称为强迫振 动或受迫振动（forced vibration）。
对外载的瞬态响应，常数A1和A2由初始条件确定。但是，由 d 的第一部分含有因子e t ，因此 于阻尼的存在，频率为 会逐渐衰减直至消失。
第二项为与外荷载同频率不同相位的稳态响应。体系从开始
振动到稳态振动的那一阶段处于过渡状态，振幅和周期都在变 化，因此称为非稳定振动或过渡态振动。过渡态的振幅的最大 值会大于稳态振幅，但它会逐渐被衰减，衰减的快慢程度随 的大小而定。
3 2 1 0
1
共振 (resonance)
1
2 1 2
2
3
6
§2.4 对简谐荷载的响应
变化，但与结构固有频率相比变化得非常慢，因而可当静荷载 处理。 共振 （2）当 0 1时，动力系 (resonance) 数 1 ，且 随 的增大而 3 增大。
其中,
和 的定义与自由振动时相同。
m
1
§2.4 对简谐荷载的响应
1、无阻尼单自由度体系
设单自由度体系承受简谐荷载：
p(t ) p sin t
是简谐荷载的圆频率，p是简谐荷载的最大值，称为幅值。
p(t ) y (t ) y (t ) m
2
2
p(t ) p sin t
k
2m
Psinθt m EI 2m
1 m 11
192EI 5ml
3
134.16s 1
2)求β
1 1
2
2
1.552
5l 3 1.552 20103 5 43 3)求ydmax 3 yd max P P 5 . 75 10 m 5 Mdmax 192EI 192 9010
p y sin t y 可得（无阻尼）： m
方程的解由两部分组成，即齐次解（通解）和特解。 设特解的形式为：
y(t ) Y sin t
p y sin t y 2 m
2
§2.4 对简谐荷载的响应
求得：
p Y m( 2 2 )
p Y sin t Y sin t sin t m
β 4.0 ξ=0.1
很快，ξ对β的数值影响 也很大。在0.75<θ/ω<1.25 (共振区)内，阻尼大大地减 2.0 小了受迫振动的位移，因此, 为了研究共振时的动力反映, 1.0 阻尼的影响是不容忽略。在 共振区之外阻尼对β的影响 较小，可按无阻尼计算。
0
3.0 ξ=0.2
共振时 1 2
y(t ) et ( A1 sin d t A2 cos d t ) (Y1 sin t Y2 cos t )
12
§2.4 对简谐荷载的响应
y(t ) et ( A1 sin d t A2 cos d t ) (Y1 sin t Y2 cos t )
1 | 1 2
忽略阻尼的影响，即 0 时，无阻尼体系共振时动力系数 趋于无穷大。但是如果考虑阻尼的影响，则共振时动力系数 总是一个有限值。
在研究共振时的动力响应时，阻尼的影响不容忽视。
18
§2.4 对简谐荷载的响应
（4）在阻尼体系中，共振时的动力系数虽然接近于最大的动力 系数 max ，但并不等于这个最大值。 求最大响应时的 值： 可求 对 / 的导数并令其等于零。对于阻尼比 1/ 2
Y [(1 2 / 2 ) 2 (2 / ) 2 ]1/ 2 yst
对于有阻尼强迫振动，动力系数不仅与频率比值 有关，而且与 阻尼比 有关。对于不同的 值， 和 与 之间的关系曲线如图。
15
ξ=0
§2.4 对简谐荷载的响应
几点讨论： ①随ξ增大β曲线渐趋平缓， 特别是在θ/ω=1附近β的 峰值下降的最为显著。 ②当θ接近ω时，β增加的
2 2
特解为： 令：
P Sint y (t ) m 2 (1 2 / 2 )
P 1 y(t ) Sin t 2 2 2 m (1 / )
p y st p 2 m k
p
1 1 2 / 2
y st 为最大静位移，表示将荷载最大值P当作静荷载作用时结构
振动由两部分组成： 第一部分按荷载频率振动，为纯粹的强迫振动；
第二部分按自振频率振动，为外力引起的自由振动。
4
§2.4 对简谐荷载的响应
实际，由于有阻尼力存在，自由振动项将随时间的推移而逐 渐消失，该项称为瞬态响应（transient response）。
y (t ) A1 sin t A2 cost y st sin t
13
§2.4 对简谐荷载的响应
任一时刻的稳态振动响应：
y(t ) Y1 sin t Y2 cost
P 1 ( / ) 2 Y1 k 1 ( / ) 2 2 (2 / ) 2
y(t ) Y sin(t )
Y2
得：
振动因子
P 2 / k 1 ( / ) 2 2 (2 / ) 2
Y1 k 1 ( / ) 2 2 (2 / ) 2
2 2 Y1 (2 )Y2 y1 P / m sin t 2 2 Y (2 ) Y Y 2 1 2 cos t 0
P 2 / k 1 ( / ) 2 2 (2 / ) 2 有阻尼单自由度体系运动方程的全解为： Y2
代入方程得：
2 2 Y (2 ) Y y P / m 1 2 1 sin t 2 2 Y (2 ) Y Y 2 1 2 cos t 0
11
§2.4 对简谐荷载的响应
使上式为零，则：
2Y1 (2 )Y2 y1 2 P / m 0 2Y2 (2 )Y1 Y2 2 0 求得： P 1 ( / ) 2
（4）当 1 时， 的绝对值随 的增大而减小。当θ很大时，
1
2 1 2
8
例：已知m=300kg，EI=90×105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,θ=80s-1 求梁中点的动位移幅值及最大动力弯矩。
l3 1 1 解：1)求ω 1 2 48EI 2 2k l3 l3 5l 3 48EI 192EI 192EI
由方程： k y( t ) m
my(t ) ky(t ) p(t )
得单自由度体系强迫振动的微分方程：
m
P(t )
P(t )
ky m P(t ) .. my 如果有阻尼力，则单自由度体系强迫振动的微分方程：
p(t ) y (t ) y (t ) m
2
y
(t ) cy (t ) ky(t ) p(t ) 2 k / m m y p(t ) c 2 (t ) 2 y (t ) y(t ) y 2m
ξ=0.3 ξ=0.5 ξ=1.0 1.0 2.0 θ/ω 16 3.0
和 与 之间的关系曲线如图。 对于不同的 值，
§2.4 对简谐荷载的响应
图 有阻尼振动体系的响应特征参数
17
§2.4 对简谐荷载的响应
（3）在 =1的共振情况下，动力系数为：
1 Y 2 2 2 2 1/ 2 [(1 / ) (2 / ) ] yst
Pl 1 M d max 1.552 20 4 31.04kN .m 4 4 1 M (mg P )l ymax mg P max 4
9
4，截面系数 3570cm4 例 :有一简支梁（I28b I22b），惯性矩I=7480cm W=534cm 325 3，E=2.1×104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量 Q=35kN，转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心 力P=10kN，P的竖向分量为Psinθt。忽略梁的质量，试求强迫振 动的动力系数和最大挠度和最大正应力。梁长l=4m.
段过渡时间的长短取决于阻尼的大小。
阻尼小，过渡时间就长；阻尼大，过渡时间就短。 过渡时间结束后，只按荷载频率振动的阶段称为平稳阶段，
对应的响应称为稳态响应(stationary response)。
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§2.4 对简谐荷载的响应
动力系数 与频率比值的关系： 动力系数 是频率比值 / 的函数，变化规律如图所示，其中 横坐标为 / ，纵坐标为 的绝对值。
1 峰
max |
1
在通常情况下， 值很小，可以近似认为：
max |
1
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§2.4 对简谐荷载的响应
（5）阻尼体系的位移比荷载滞后一个相位角 ，值由下式决定。
2 / tg 2 1 /
1
当 0 时， 0 。荷载频率很小，体系振动很慢，因此惯 性力和阻尼力都很小，动荷载主要与弹性力平衡。由于弹性力 与位移成正比，但方向相反，因此荷载与位移基本上是同步的。
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§2.4 对简谐荷载的响应
2）当 1时， 90 。
当荷载频率接近结构固有频率时，位移 y(t )与外载 p(t ) 相差 的相位角接近90°。因此当荷载为最大时，位移和加速接近 于零，因而弹性力和惯性力都接近于零，这时动荷载主要由 阻尼力相平衡。
解：1）求自振频率和荷载频率 2）求动力系数β
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§2.4 对简谐荷载的响应
2. 有阻尼单自由度体系 外力 p(t ) p sin t
2
p(t ) (t ) 2 y (t ) y(t ) y m 变为： p y 2 y 2 y sin t m 设方程的特解为： y(t ) Y1 sin t Y2 cost
Y yst [(1 2 / 2 ) 2 (2 / ) 2 ]1/ 2
2 / tg 2 1 /
1
Y表示振幅——荷载最大值P作用下的静力位移。
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§2.4 对简谐荷载的响应
动力系数： Y yst [(1 2 / 2 ) 2 (2 / ) 2 ]1 / 2
的实际结构，响应峰值频率为：
2 1 2 峰
相应的响应值：
max
1 2 1 2
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§2.4 对简谐荷载的响应
2 1 2 峰
对于 0 的阻尼体系
max
1 2 1 2
1 峰
所产生的位移；
大静位移
为动力放大系数或动力系数，表示最大动位移 [ y(t )]max与最
y st的比值。
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§2.4 对简谐荷载的响应
微分方程的齐次解：
y(t ) A1 sin t A2 cos t
全解：
y (t ) A1 sin t A2 cost y st sin t
（1）当 0 时，动力系数 1。简谐荷载的数值虽然随时间
特性：
1
2 1Leabharlann 2 1 2 012
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§2.4 对简谐荷载的响应
。 （3）当 1时， 当荷载频率 接近于结构固有频率 时，振幅会无限增大。 这种现象称为共振。
实际结构由于有阻尼的影响，共振时不会出现振幅为无限 大的情况，但共振时的振幅比静位移大很多倍的情况有可 能发生。 荷载变化很快，结构来不及反应。
动力系数如果安装仪器的基础是具有加速度的简谐运动则质量块所受的有效荷载27当基础运动的频率不超过仪器固有频率的十分之六时仪器的响应幅值将和基础加速度振幅成正24对简谐荷载的响应的关系图形可以发现当阻尼比时在频率范围值接近于常量
§2.4 对简谐荷载的响应
强迫振动：结构在动荷载作用下的振动称为强迫振 动或受迫振动（forced vibration）。
对外载的瞬态响应，常数A1和A2由初始条件确定。但是，由 d 的第一部分含有因子e t ，因此 于阻尼的存在，频率为 会逐渐衰减直至消失。
第二项为与外荷载同频率不同相位的稳态响应。体系从开始
振动到稳态振动的那一阶段处于过渡状态，振幅和周期都在变 化，因此称为非稳定振动或过渡态振动。过渡态的振幅的最大 值会大于稳态振幅，但它会逐渐被衰减，衰减的快慢程度随 的大小而定。
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共振 (resonance)
1
2 1 2
2
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§2.4 对简谐荷载的响应
变化，但与结构固有频率相比变化得非常慢，因而可当静荷载 处理。 共振 （2）当 0 1时，动力系 (resonance) 数 1 ，且 随 的增大而 3 增大。
其中,
和 的定义与自由振动时相同。
m
1
§2.4 对简谐荷载的响应
1、无阻尼单自由度体系
设单自由度体系承受简谐荷载：
p(t ) p sin t
是简谐荷载的圆频率，p是简谐荷载的最大值，称为幅值。
p(t ) y (t ) y (t ) m
2
2
p(t ) p sin t
k
2m
Psinθt m EI 2m
1 m 11
192EI 5ml
3
134.16s 1
2)求β
1 1
2
2
1.552
5l 3 1.552 20103 5 43 3)求ydmax 3 yd max P P 5 . 75 10 m 5 Mdmax 192EI 192 9010
p y sin t y 可得（无阻尼）： m
方程的解由两部分组成，即齐次解（通解）和特解。 设特解的形式为：
y(t ) Y sin t
p y sin t y 2 m
2
§2.4 对简谐荷载的响应
求得：
p Y m( 2 2 )
p Y sin t Y sin t sin t m
β 4.0 ξ=0.1
很快，ξ对β的数值影响 也很大。在0.75<θ/ω<1.25 (共振区)内，阻尼大大地减 2.0 小了受迫振动的位移，因此, 为了研究共振时的动力反映, 1.0 阻尼的影响是不容忽略。在 共振区之外阻尼对β的影响 较小，可按无阻尼计算。
0
3.0 ξ=0.2
共振时 1 2
y(t ) et ( A1 sin d t A2 cos d t ) (Y1 sin t Y2 cos t )
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§2.4 对简谐荷载的响应
y(t ) et ( A1 sin d t A2 cos d t ) (Y1 sin t Y2 cos t )
1 | 1 2
忽略阻尼的影响，即 0 时，无阻尼体系共振时动力系数 趋于无穷大。但是如果考虑阻尼的影响，则共振时动力系数 总是一个有限值。
在研究共振时的动力响应时，阻尼的影响不容忽视。
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§2.4 对简谐荷载的响应
（4）在阻尼体系中，共振时的动力系数虽然接近于最大的动力 系数 max ，但并不等于这个最大值。 求最大响应时的 值： 可求 对 / 的导数并令其等于零。对于阻尼比 1/ 2
Y [(1 2 / 2 ) 2 (2 / ) 2 ]1/ 2 yst
对于有阻尼强迫振动，动力系数不仅与频率比值 有关，而且与 阻尼比 有关。对于不同的 值， 和 与 之间的关系曲线如图。
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ξ=0
§2.4 对简谐荷载的响应
几点讨论： ①随ξ增大β曲线渐趋平缓， 特别是在θ/ω=1附近β的 峰值下降的最为显著。 ②当θ接近ω时，β增加的
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特解为： 令：
P Sint y (t ) m 2 (1 2 / 2 )
P 1 y(t ) Sin t 2 2 2 m (1 / )
p y st p 2 m k
p
1 1 2 / 2
y st 为最大静位移，表示将荷载最大值P当作静荷载作用时结构
振动由两部分组成： 第一部分按荷载频率振动，为纯粹的强迫振动；
第二部分按自振频率振动，为外力引起的自由振动。
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§2.4 对简谐荷载的响应
实际，由于有阻尼力存在，自由振动项将随时间的推移而逐 渐消失，该项称为瞬态响应（transient response）。
y (t ) A1 sin t A2 cost y st sin t
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§2.4 对简谐荷载的响应
任一时刻的稳态振动响应：
y(t ) Y1 sin t Y2 cost
P 1 ( / ) 2 Y1 k 1 ( / ) 2 2 (2 / ) 2
y(t ) Y sin(t )
Y2
得：
振动因子
P 2 / k 1 ( / ) 2 2 (2 / ) 2
Y1 k 1 ( / ) 2 2 (2 / ) 2
2 2 Y1 (2 )Y2 y1 P / m sin t 2 2 Y (2 ) Y Y 2 1 2 cos t 0
P 2 / k 1 ( / ) 2 2 (2 / ) 2 有阻尼单自由度体系运动方程的全解为： Y2
代入方程得：
2 2 Y (2 ) Y y P / m 1 2 1 sin t 2 2 Y (2 ) Y Y 2 1 2 cos t 0
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§2.4 对简谐荷载的响应
使上式为零，则：
2Y1 (2 )Y2 y1 2 P / m 0 2Y2 (2 )Y1 Y2 2 0 求得： P 1 ( / ) 2
（4）当 1 时， 的绝对值随 的增大而减小。当θ很大时，
1
2 1 2
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例：已知m=300kg，EI=90×105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,θ=80s-1 求梁中点的动位移幅值及最大动力弯矩。
l3 1 1 解：1)求ω 1 2 48EI 2 2k l3 l3 5l 3 48EI 192EI 192EI
由方程： k y( t ) m
my(t ) ky(t ) p(t )
得单自由度体系强迫振动的微分方程：
m
P(t )
P(t )
ky m P(t ) .. my 如果有阻尼力，则单自由度体系强迫振动的微分方程：
p(t ) y (t ) y (t ) m
2
y
(t ) cy (t ) ky(t ) p(t ) 2 k / m m y p(t ) c 2 (t ) 2 y (t ) y(t ) y 2m
ξ=0.3 ξ=0.5 ξ=1.0 1.0 2.0 θ/ω 16 3.0
和 与 之间的关系曲线如图。 对于不同的 值，
§2.4 对简谐荷载的响应
图 有阻尼振动体系的响应特征参数
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§2.4 对简谐荷载的响应
（3）在 =1的共振情况下，动力系数为：
1 Y 2 2 2 2 1/ 2 [(1 / ) (2 / ) ] yst
Pl 1 M d max 1.552 20 4 31.04kN .m 4 4 1 M (mg P )l ymax mg P max 4
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4，截面系数 3570cm4 例 :有一简支梁（I28b I22b），惯性矩I=7480cm W=534cm 325 3，E=2.1×104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量 Q=35kN，转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心 力P=10kN，P的竖向分量为Psinθt。忽略梁的质量，试求强迫振 动的动力系数和最大挠度和最大正应力。梁长l=4m.