2020届辽宁省沈阳市实验中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)

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辽宁省沈阳市实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学试题(解析版)

数学理科试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合12A xx ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，{}22B x x x =+<，则A B =I （） A. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. ()11,0,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭UC. ()12,0,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭U D. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】先化简集合A 和B,再求A B I 得解.【详解】由题得12A xx ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭=1{|2x x ≥或0}x <，{}22B x x x =+<={|21}x x -<<，所以A B =I ()12,0,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭U . 故选：C【点睛】本题主要考查分式不等式和二次不等式的解法，考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.“x 是1和4的等比中项”是“2x =”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 即非充分也非毕必要条件【答案】B 【解析】【分析】将条件“x 是1和4的等比中项”化简，得2x =±，结合充分必要条件判断即可【详解】由“x 是1和4的等比中项”可得242x x =⇒=±，显然在命题“若x 是1和4的等比中项，则2x =”中，结论可以推出条件，条件推不出结论，故为必要非充分条件故选B【点睛】本题考查等比中性性质，必要不充分条件，属于基础题 3.若复数z 的共轭复数z 满足：()12i z i -=，则复数z 等于（） A. 1i + B. 1i -+ C. 1i - D. 1i --【答案】D 【解析】【分析】由()12i z i -=得出21iz i=-，利用复数除法法则求出z ，利用共轭复数的概念可求出复数z . 【详解】()12i z i -=Q ，()()()()2121211112i i i i z i i i i +-∴====-+--+，因此，1i z =--，故选D.【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了共轭复数计算，考查计算能力，属于基础题.4.每场足球比赛的时间长度为90分钟，若比赛过程中体力消耗过大，运动员腿部会发生抽筋现象，无法继续投入到比赛之中了．某足球运动员在比赛前70分钟抽筋的概率为20％，比赛结束前发生抽筋的概率为50％．若某场比赛中该运动员已经顺利完成了前70分钟的比赛，那么他能顺利完成90分钟比赛的概率为（） A.45B.310C.58D.25【答案】C 【解析】【分析】设事件A=某足球运动员在比赛前70分钟不抽筋，事件B=某足球运动员在比赛结束前20分钟不抽筋，再利用条件概率求解.的【详解】设事件A=某足球运动员在比赛前70分钟不抽筋，事件B=某足球运动员在比赛结束前20分钟不抽筋，则()0.8,()0.5P A P AB ==.所以他能顺利完成90分钟比赛的概率为()0.55(|)()0.88P AB P B A P A ===.故选：C【点睛】本题主要考查条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5.在ABC V 中，6AB =，3BC =，则A ∠的最大值是（）A.π6B.π4C.π3D. arcsin【答案】A 【解析】【分析】先求出cos A ,再利用基本不等式求A ∠的最大值.【详解】由题得22369279cos 2612412b b b A b b b +-+===+≥=⨯⨯ 因为0A π<<,所以06A π<≤.故选：A【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，E ，F 分别是BC ，DC 的中点则异面直线1AD 与EF 所成角的余弦值为（）A.B.C.35D.45【答案】A 【解析】【分析】连结111,B D AB ，由11//B D EF ，可知异面直线1AD 与EF 所成角是11AD B ∠，分别求出1111,,AD AB D B ，然后利用余弦定理可求出答案.【详解】连结111,B D AB ，因为11//B D EF ，所以异面直线1AD 与EF 所成角是11AD B ∠，在11AD B V 中，1AD ==，1AB ==，11D B ==，所以11cos 5AD B ∠==. 故选A.【点睛】本题考查了异面直线的夹角，考查了利用余弦定理求角，考查了计算能力，属于中档题. 7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 、N 分别为线段AD 、CD 的中点，用平面1B MN 截正方体，保留包含点B 在内的几何体，以图中箭头所示方向绘制该几何体的主视图，则主视图为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】作出平面1B MN 与正方体表面的交线，即得主视图.【详解】如图所示，平面1B MN 截平面11ABB C 的交线为1B F ,平面1B MN 截平面11BCC B 的交线为1B E ,所以以图中箭头所示方向绘制该几何体的主视图，则主视图为A. 故选：A【点睛】本题主要考查几何体的截面问题和三视图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8.若0x ∀>，21221x x a +⋅+<恒成立，则实数a 的取值范围是（） A. (],1-∞- B. (),1-∞- C. (],2-∞- D. (),2-∞-【答案】A 【解析】【分析】由题得211[()]2()22x xa <-⋅，再通过求函数211y [()]2()22x x=-⋅的值域得解. 【详解】由题得211[()]2()22x xa <-⋅，设1(),0,012xt x t =>∴<<Q . 所以2()2(01)f t t t t =-<<，所以()(1)1f t f >=-，所以1a ≤-. 故选：A【点睛】本题主要考查指数运算和指数函数的性质，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.设点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，已知12PF PF ⊥，且213PF PF =，则双曲线的一条渐近线方程是（）A. y =B. y =C.y x =D. y 【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的定义可知12||||2PF PF a -=，进而根据12||3||PF PF =，分别求得2||PF 和1||PF ，进而根据勾股定理建立等式求得a 和c 的关系，然后求解渐近线方程．【详解】由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=，又12||3||PF PF =，得2||PF a =，1||3PF a =；在RT △12PF F 中，2221212||||||F F PF PF =+， 22249c a a ∴=+，即2225c a =，则2223b a =．即b ，双曲线22221x y a b-=一条渐近线方程：y =；故选：D ．【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线的求法．考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握． 10.将6枚硬币放入如图所示的9个方格中，要求每个方格中至多放一枚硬币，并且每行每列都有2枚硬币，则放置硬币的方法共有（）种．A. 6B. 12C. 18D. 36【答案】A 【解析】【分析】完成此事分三步完成，利用乘法分步原理得解.【详解】先在第一列里任意选一格不放硬币，有3种选法；再在第二列选一格（不能选与第一步同行的的空格）不放硬币，有2种选法；最后在第三列选一格（不能选与第一、二步同行的空格）不放硬币，有1种方法.所以共有321=6⨯⨯种方法. 故选：A【点睛】本题主要考查计数原理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知115a =，2a 为整数，且数列{}n S 的最大项为8S ，取12231111n n n T a a a a a a +=+++L ，则n T 的最大项为（） A.49 B.715C.1631D.4181【答案】B 【解析】【分析】首先利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，最后利用函数的单调性求出结果．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知115a =，2a 为整数，80a …，90a „．所以15701580d d +⎧⎨+⎩…„，解得151578d --剟，由于2a 为整数，所以2d =-．则15(1)(2)172n a n n =+--=-．所以：111111()(172)(152)2217215n n n b a a n n n n +===-----g ，所以：1111111()213131121721515n T n n =-+-++⋯+---， 111(+)215152n=--，令1152n b n=-，由于函数1()152f x x=-的图象关于(7.5,0)对称．且27130b b b b <<<<<L ，8910110b b b b <<<<⋯<． 71n b b =„．故：117(1)21515n T -=„．故选：B ．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，及函数的单调性的应用．12.已知对于任意的0x >，总有22x b ax xe e -≤成立，其中e 为自然对数的底数，则2ba -的最小值为（） A. 12-B. e 2-C. 1e-D. 2e-【答案】A 【解析】【分析】由题得(2)21a x b xe --≤，设(2)2()(0),a x bf x xe x --=>对a 分类讨论利用导数求出函数f(x)的单调性，通过单调性求函数的最大值再分析得解. 【详解】由题得(2)21a x b xe --≤，设(2)2(2)2()(0),()[1(2)]a x ba xb f x xex f x e x a ----'=>∴=+-，由()0f x '>得1(2)0,(2)1x a a x +->∴-<，当2a >时，12x a <-，所以函数f(x)在1(0,)2a -上单调递增，在1(+)2a ∞-，上单调递减，所以12max 11()()1,22bf x f e a a --==≤-- 所以121ln(2)2,12ln(2),2ba e ab a b -----≤-∴--≤-∴≥，所以1ln(2)22(2)b a a a ---≥--，设1lnt2(0),()2a t t g t t---=>∴=，所以22ln ()4tg t t'=，所以函数()g t 在（0,1）单调递减，在（1，﹢∞）单调递增，所以min 1()(1)2g t g ==-.所以此时2ba -的最小值为12-.当2a <时，函数f(x)单调递增，不符合题意(2)21a x b xe --≤. 故选：A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值和恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题．把答案填写在答题纸相应位置上．13.若曲线y =x m =，0y =所围成封闭图形的面积为2m ，则正实数m =______．【答案】49【解析】【分析】由积分的几何意义可得，20m =⎰，利用积分基本定理求解后可求正实数m 的值．【详解】由积分的几何意义可得，223m x==⎰323202|3m m =解得49m =．故答案为：49【点睛】本题主要考查了积分的几何意义及积分基本定理的简单应用，属于基础试题． 14.若关于x 的不等式2320ax x a -+≥的解集为(),-∞+∞，则实数a 的取值范围是______．【答案】3⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】【分析】分离参数可得2231xa x +…，根据基本不等式即可求出．【详解】不等式2320ax x a -+≥的解集是(,)-∞+∞，即x R ∀∈，2320ax x a -+≥恒成立， 2231xa x ∴+…，当0x =，0a …，当0x ≠时，213||||a x x +…，因为213||||xx+所以)a∈+∞．故答案为：3⎫+∞⎪⎪⎣⎭【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．15.已知a r，br均为非零向量，且23a b=rr，若3|2|a b a kb+≥+r rr r恒成立，则实数k的取值范围为______．【答案】32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】由题意先利用平面向量数量积的运算法则进行转化，再结合函数的恒成立问题列不等式组求解即可．【详解】非零向量ar，br夹角为θ，若2||3||a b=rr，23||||cos||cos2a b a b bθθ=⨯⨯=r r rr rg，不等式|3||2|a b a kb++r rr r…对任意θ恒成立∴22(3)(2)a b a kb++r rr r…，，即22222227||9||cos9||6||cos||4b b b k b k bθθ-+++r r r r r…；整理可得，29()(96)cos04k kθ-+-…恒成立，cos[1θ∈-Q，1]，∴229960499604k kk k⎧-+-⎪⎪⎨⎪--+⎪⎩……，解得32k=，故答案为：32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算法则，恒成立问题的处理，函数思想的应用问题．16.已知某款冰淇淋的包装盒为圆台，盒盖为直径为8cm 的圆形纸片，每盒冰淇淋中包含有香草口味、巧克力口味和草莓口味冰淇淋球各一个，的球体，三个冰淇淋球两两相切，且都与冰淇淋盒盖、盒底和盒子侧面的曲面相切，则冰淇淋盒的体积为______．【解析】【分析】由题得三个球是平放在一起，三个球的球心123,,O O O 组成一个边长为O '',先求出12O O ''=，再作出圆台的轴截面图形，通过解三角形求出圆台下底的半径，即得圆台的体积,即得冰淇淋盒的体积.【详解】由题得三个球是平放在一起，三个球的球心123,,O O O 组成一个边长为O '',所以1223O O ''=⨯=，由题得圆台的高为由题得OA=4,AF=4-2=2,设BE=x ,则BM=x , 在直角ABG ∆中，222(2)(2)x x +=+-，所以32x =，所以下底半径为372+=22，所以圆台的体积为2217[4+()32ππ⋅+⨯=【点睛】本题主要考查几何体的内切球的问题，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题：本大题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，平面ABC ⊥平面11ABB A ，1BC =，12AB AA ==．的（1）证明：11A B AC ⊥；（2）若12AB AA ⋅=-u u u r u u u r，E 、F 分别为11A B 、AC 的中点，求直线EF 与平面1BEC 的夹角．【答案】（1）证明见解析（2）θ=【解析】【分析】（1）先证明1A B ⊥平面11AB C ，可得11A B AC ⊥；（2）由12AB AA ⋅=-u u u r u u u r 得1π3ABB ∠=，延长11A B 到G 使得11B G =，连结BG ．证明BG AB ⊥，BG BC ⊥，AB BC ⊥,建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求直线EF 与平面1BEC 的夹角．【详解】解：（1）连结1AB ．∵ABC ⊥平面11ABB A ，且AB BC ⊥，∴BC ⊥平面11ABB A ．又∵11B C BC ∥，∴11B C ⊥平面11ABB A ．又1A B ⊂平面11ABB A ，∴111A B B C ⊥∵11ABB A Y 中，1AB AA =，∴11ABB A Y 为菱形，∴11A B AB ⊥．因为111,AB B C ⊆平面11AB C ,1111AB B C B ⋂=, 所以1A B ⊥平面11AB C ，因为1AC ⊆平面11AB C 所以11A B AC ⊥.（2）∵12AB AA ⋅=-u u u r u u u r，且12AB AA ==，∴12π3AA B ∠=， ∴1π3ABB ∠=．延长11A B 到G 使得11B G =，连结BG ． ∵11π3GB B ABB ∠=∠=，且11B G =，12BB =，∴1BG A G ⊥且BG =BG AB ⊥．又∵平面ABC ⊥平面11ABB A ，∴BG ⊥平面ABC ， ∴BG AB ⊥，BG BC ⊥．又∵AB BC ⊥，∴可以建立如图所示的空间直角坐标系，，其中各点坐标为(E ，1,1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，(1C ，∴1,1,2EF ⎛=- ⎝u u u r，(0,BE =u u ur，(1BC =u u u u r ．取平面1BEC 的法向量为(),,n a b c =r，∴0n BE ⋅=u u u r r ，10n BC ⋅=u u u u r r，即200b a b ⎧=⎪⎨++=⎪⎩，不妨取(3,3,n =-r，取直线EF 与平面1BEC 的夹角为θ，则sin cos ,n EF θ===u u ur r ，∴θ= 【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明和空间角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18.已知函数()()22cos 1f x p x x =-+，在R 上的最大值为3．（1）求p 的值及函数()f x 的周期与单调递增区间；（2）若锐角ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()0f A =，求b c的取值范围．【答案】（1）2p =，周期为π，单调递增区间为πππ,π62m m ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，π2ππ,π23m m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，m ∈Z （2）1,22b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）化简得π()12sin 26f x p x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，根据最大值求出p 的值，再求出函数的周期和单调递增区间；（2）根据()0f A =得到2π3B C +=，ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,化简得sin 1sin 2b Bc C ==，再求范围得解.【详解】（1）依题意()()22cos 1f x p x x =-22cos cos p x x x =--1cos 22p x x =--π12sin 26p x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∵()f x 的最大值为3，∴123p -+=，∴2p =， ∴()π12sin 26f x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，其中ππ2x k ≠+，k ∈Z ，其周期为2ππ2T ==．因为ππ3π22π,2π622x m m ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，m ∈Z 时，()f x 单调递增，解得π2ππ,π63x m m ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦． ∴()f x 的单调递增区间为πππ,π62m m ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，π2ππ,π23m m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，m ∈Z ．（2）∵()π12sin 206f A A ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，且A 为锐角，∴π5π266A +=，∴π3A =，∴2π3B C +=．又∵B ，C 为锐角，所以022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩∴ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．∴2π1sin sin sin 1322sin sin sin 2tan 2C C C b B c C C C C ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭====+，其中tan ,3C ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，∴1,22b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，考查正弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大的挑战，而咬牙起床的唯一动力，就是上学能够不迟到．己知学校要求每天早晨7:15之前到校，7:15之后到校记为迟到．小明每天6:15会被妈妈叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨间活动需要半个小时，故每天6:45小明就可以出门去上学．从家到学校的路上，若小明选择步行到校，则路上所花费的时间相对准确，若以随机变量X （分钟）表示步行到校的时间，可以认为()22,4X N ~．若小明选择骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量Y （分钟）描述骑车到校的时间，可以认为()16,16Y N ~．若小明选择坐公交车上学，速度很快，但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机变量Z （分钟）描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为()10,64Z N ~．（1）若某天小明妈妈出差没在家，小明一觉醒来已经是6:40了，他抓紧时间洗漱更衣，没吃早饭就出发了，出门时候是6:50．请问，小明是否有某种出行方案，能够保证上学不迟到？小明此时的最优选择是什么？（2）已知共享单车每20分钟收费一元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变量ξ表示这五天小明上学骑车的费用，求ξ的期望与方差（此小题结果均保留三位有效数字）已知若随机变量()0,1N η~，则()1168.26P η-<<=％，()2295.44P η-<<=％，()3399.74P η-<<=％．【答案】（1），三种方案都无法满足3σ原则，不能保证上学不迟到．相对而言，骑车到校不迟到的概率最高，是最优选择（2）() 5.79E ξ≈（元），()0.668D ξ≈（元2）【解析】【分析】（1）依题意，小明需要在25分钟内到达学校．若他选择步行到校，则不迟到的概率记为()125P X <，求出()12597.72P X <<％．若骑车到校，则不迟到概率记为()225PX <， ()225P X <∈（97.72％，99.87％），若坐公交车到校，则不迟到的概率记为()325P X <，()32597.72P X <<％．比较即可做出选择；（2）取随机变量1ξ表示五天里骑车上学时间单程超过20分钟的天数．先求出()1E ξ和()1D ξ，再求ξ的期望与方差. 【详解】（1）依题意，小明需要在25分钟内到达学校．若他选择步行到校，则不迟到的概率记为()125P X <，取122μ=，12σ=，则1124μσ+=，11226μσ+=，()()11195.442526197.722P X P X -<<<=-=％％．若骑车到校，则不迟到的概率记为()225P X <，取216μ=，24σ=，则2220μσ+=，22224μσ+=，22328μσ+=，则()()2241195.4497.72P X <=--=％％， ()()2281199.7499.87P X <=--=％％， ∴()()()()2222524,28P X P X P X <∈<<=（97.72％，99.87％）若坐公交车到校，则不迟到的概率记为()325P X <，取310μ=，38σ=，则3318μσ+=，33226μσ+=，()()33252697.72P X P X <<<=％．综上，三种方案都无法满足3σ原则，不能保证上学不迟到．相对而言，骑车到校不迟到的概率最高，是最优选择．（2）取随机变量1ξ表示五天里骑车上学时间单程超过20分钟的天数．依题意，每天骑车上学时间超过20分钟的概率为()()2168.262015.872P X ->==％％，∴()15,15.87B ξ~％，∴()1515.87E ξ=⨯％0.7935=，()1515.87D ξ=⨯％()115.870.668⨯-≈％．又∵()111255ξξξξ=+-=+，∴()()15 5.79E E ξξ=+≈（元），()()10.668D D ξξ=≈（元2）【点睛】本题主要考查正态分布的计算，考查期望和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.已知()ln f x m x =，从原点O 作()y f x =图像切线，切点为P，已知OP =，其中e 为自然对数的底数．（1）求m 的值；（2）若()()()212g x f x x k =++有两个极值点1x ，2x ，（i ）求参数k 的范围；（ii ）若假定12x x <，求()21g x x 的取值范围．【答案】（1）1m =（2）（i ）(),2k ∈-∞-（ii ）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）先求出切点P 为(),e m ，再根据OP ==求出m 的值；（2）（i ）()()2111g x x k x kx x x'=++=++，()21h x x kx =++，则()h x 在()0,∞+有两零点，得到k 的不等式，解不等式即得解；（ii ）先求出()222121ln 2g x x x x x =+，再利用导数求函数的值域得解. 【详解】（1）∵()mf x x'=，从原点O 作()y f x =图像的切线，设切点()00,ln x m x ，∴000ln 00m x mx x -=-，∴0x e =，∴切点P 为(),e m ．又∵OP ==，且0m >，∴1m =．（2）（i ）依题意()()21ln 2g x x x k =++，其中0x >， ∴()()2111g x x k x kx x x'=++=++，取()21h x x kx =++，若函数()g x 有两个极值点，则()h x 在()0,∞+有两零点， ∴02k ->，240k ->，∴(),2k ∈-∞-．（ii ）若1x ，2x 为()g x 的极值点，则1x ，2x 为()210h x x kx =++=的两根，∴121=x x ，12x x k +=-．又∵12x x <，∴1201x x <<<，∴()()()222222221ln 2g x x x g x x x x k x ==++．又∵22210x kx ++=，∴221k x x =--，∴()222121ln 2g x x x x x =+，取()()1ln 12p x x x x x =+>，∴()211ln 02p x x x'=+->， ∴()p x 在()1,+∞单调递增，∴()p x 的值域为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，即()21g x x 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调区间、最值和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过点(),0P a ，且与抛物线C 交于A 、B 两点，90AFB ∠=︒．（1）求a 的取值范围；（2）若1a ≥，点E 的坐标为()1,0-，直线EA 与抛物线的另一个交点为M ，直线EB 与抛物线的另一个交点为N ，直线MN 与x 轴交于点(),0Q b ，求+a b 的取值范围．【答案】（1）((),33a ∈-∞-++∞U （2）(6,)+∞【解析】【分析】（1）设直线l 为(0)x my a m =+≠，设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为交点，由0FA FB ⋅=u u u r u u u r 得226140a a m -+=>，即得解；（2）求出点M 和N 的坐标分别为21144,M y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22244,N y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用(),0Q b 在直线MN 上得到1a b a a +=+，设()1f a a a =+，利用导数求出函数的取值范围.【详解】（1）依题意，设直线l 为(0)x my a m =+≠，代入24y x =得2440y my a --=，其判别式为216160m a ∆=+>，∴2m a >-．设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭为交点， ∴124y y m +=，124y y a =-．∵焦点F 的坐标为()1,0， ∴2111,4y y FA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，2221,4y FB y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u uu r ． ∵90AFB ∠=︒， ∴()2222212121212121211111441642y y y y FA FB y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r224610a m a =--+=，∴226140a a m -+=>，∴3a >+3a <-∵()2221616424416410m a a a a a ∆=+=-++=->成立．∴((),33a ∈-∞-++∞U ．（2）若1a ≥，则3a >+ 设点233,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,4y N y ⎛⎫⎪⎝⎭为直线EA 、直线EB 与抛物线的交点．设直线EA 为11x m y =-，代入24y x =得21440y m y -+=，∴134y y =，∴314y y =，同理可得424y y =， ∴点M 和N 的坐标分别为21144,M y y ⎛⎫⎪⎝⎭，22244,N y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭．又∵(),0Q b 在直线MN 上， ∴21144,QM b y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，22244,QN b y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r 共线， ∴2212124444b b y y y y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴221212212112441616161614444b y y y y y y ay ay a y y ⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭． ∵12y y ≠，∴1b a =， ∴1a b a a +=+，设()1f a a a=+， ∴()2110f a a'=->在322a >+时恒成立， ∴()f a 在322,)++∞（单调递增，(322)6f +=∴+a b 的取值范围为．【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中的范围问题的解决方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为，射线与曲线C 交于点P ，点Q 满足，设倾斜角为α的直线l 经过点Q ．（1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的参数方程；（2）直线l与曲线C交于M、N两点，当为何值时，最大？求出此最大值．【答案】（1）曲线C的直角坐标方程为，直线l 的参数方程为，其中t为参数（2）当时，取得最大值【解析】【分析】（1）直接代极坐标化直角坐标的公式求出曲线C的直角坐标方程为，求出点Q的直角坐标为，再写出直线l的参数方程；（2）设交点M，N所对应的参数分别为1t，，求出，再求出最大值得解.【详解】（1）∵，∴曲线C的直角坐标方程为．∵点P的极径为，又∵，∴点Q极径为，∴点Q的直角坐标为，∴直线l的参数方程为，其中t为参数．（2）将l的参数方程代入，的设交点M，N所对应的参数分别为1t，，则，∴，当即时取等．【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标互化，考查直线参数方程中t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.23.已知正实数x、y满足．（1）若，求x的范围；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）1 4【解析】【分析】（1）化简得，再解分类讨论解不等式得解；（2）先化简原式为，再利用基本不等式求最小值.【详解】（1）∵，∴，取，若，则，或，或，解得．（2）∵，∴，当且仅当时取等．【点睛】本题主要考查解绝对值不等式，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

山东省济宁市第一中学2024届高三上学期12月月考数学试题(解析版)

济宁一中高三12月份定时检测数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项．）1. 已知1i22i z -=+，则z z -=（）A. i -B. iC. 0D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z ，再由共轭复数的概念得到z ，从而解出．【详解】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．故选：A ．2. 若集合{}2230A x x x =--≤，(){}lg 10B x x =+≤，则A B ⋃=（）A. {}10x x -≤≤ B. {}10x x -<≤C. {}13x x -≤≤ D. {}13x x -<≤【答案】C 【解析】【分析】由一元二次不等式的解法求A ，再根据对数函数的定义域及单调性求B ，最后求并集即可.【详解】由()()[]2231301,3x x x x x --=+-≤⇒∈-，即{}13A x x =-≤≤，由()(](]lg 10lg110,11,0x x x +≤=⇒+∈⇒∈-，即{}10B x x =-<≤，故A B ⋃={}13x x -≤≤.故选：C3. 已知()2,3AB = ，()3,AC t = ，1BC = ，则AB BC ⋅=（）A 8B. 5C. 2D. 7【答案】C 【解析】.【分析】由()1,3BC AC AB t =-=-及1BC = ，可得3t =，从而根据向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】解：因为()2,3AB = ，()3,AC t = ，所以()1,3BC AC AB t =-=-，因为1BC = ，所以()22131t +-=，解得3t =，所以()1,0BC =u u u r，所以21302AB BC ⋅=⨯+⨯=，故选：C.4. 函数()3e e x xf x x-+=的图像可能是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先判断函数奇偶性，以图像的对称性排除错误选项CD ；再以图像的切线情况去排除错误选项A ，即可得到函数()3e e x xf x x -+=的正确图像.【详解】()3e e x xf x x -+=的定义域为{}0x x ≠()()()()33e e e e x x x xf x f x x x ----++-===---，则()f x 为奇函数，其图像关于原点中心对称，排除选项CD ；()()()()()3264e e 3e e e 3e e xx x x xx x x x x e x f x x x ------+--+'==的则()()()1010101010104410e e 3e e 7e 13e 1001010f -----+-'==>即函数()f x 在点()()10,10f 的切线斜率为正值，选项A 的图像在第一象限内每一点的切线斜率均为负值，故排除选项A.选项B 的图像在第一象限内存在切线斜率为正值的点.故选：B 5. 已知1sin ,123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则sin 23πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A. 29-B.29C. 79-D.79【答案】D 【解析】【分析】设12παθ=-，则1,sin 123πθαα=+=，则sin 2sin 3223[1πππθα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简，由余弦的二倍角公式可得答案.【详解】设12παθ=-，则1,sin 123πθαα=+=，从而2[7sin 2sin 2sin 2cos 212sin 3329πππθαααα⎛⎫⎛⎛⎫+=+=+==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭.故选：D【点睛】关键点睛：本题考查三角函数中知值求值的问题，解答本题的关键是设12παθ=-，然后可得sin 2sin 32]23[1πππθα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，属于中档题.6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，2532a a a =，47245a a +=，则5S =（）A. 29 B. 31C. 33D. 36【答案】B 【解析】【分析】根据2532a a a =，47245a a +=可求出首项1a ，公比q ，然后利用等比数列求和公式即可求解.【详解】因为数列{}n a 是等比数列，2532a a a =，所以3252222a a a a q a q =⨯=，即222a q =，则42a =.又因为47245a a +=，故有714a =.所以37418a q a ==，则12q =，所有41316a a q ==，所有551161231112S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-，故B 项正确.故选：B.7. 已知抛物线()220x py p =>上一点(),1M m 到焦点的距离为32，则其焦点坐标为（）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,02⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,04⎛⎫⎪⎝⎭D. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由抛物线的定义可求p 的值，进而可求焦点坐标.【详解】解：抛物线()220x py p =>上一点(),1M m 到焦点的距离为32，∴由抛物线的定义知322M p y +=，即3122p +=，所以1p =，所以122p =，∴抛物线的焦点坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：A .8. 如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid ），亦称为阿基米德多面体，如图2，设1AB =，则平面BCG 与平面EMQ 之间的距离是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】不妨记正方体为22221111A B C D A B C D -，设对角线21A C 分别交平面EMQ 和平面BCG 于点1M ，1N ，可推出11M N 即为平面EMQ 与平面BCG 的距离，结合等体积法求得21A M ，结合对称性求得11M N 即可．【详解】如图，不妨记正方体为22221111A B C D A B C D -，1122//A D B C ，1122A D B C =，故四边形1122A D C B 是平行四边形，所以1221//A B C D ，又E ，Q 分别为12A A ，22A B 的中点，所以12//EQ A B ，同理21//BG C D ，所以//EQ BG ，又EQ ⊄平面BCG ，BG ⊂平面BCG ，所以//EQ 平面BCG ，同理//EM 平面BCG ，又EM EQ E ⋂=，EM ，EQ ⊂平面EMQ ，所以平面//EMQ 平面BCG ，设对角线21A C 分别交平面EMQ 和平面BCG 于点1M ，1N ，因为12C C ⊥平面2222A B C D ，MQ Ì平面2222A B C D ，所以12C C MQ ⊥，连接2211,A C A C ，因为,M Q 分别为2222,D A B A 的中点，故22A C MQ ⊥，又12C C ，22A C ⊂平面1221A A C C ，12222C C A C C = ，所以MQ ⊥平面1221A A C C ，又21A C ⊂平面1221A A C C ，所以21A C MQ ⊥，同理21A C EQ ⊥，又MQ EQ Q ⋂=，MQ ，EQ ⊂平面EMQ ，所以21A C ⊥平面EMQ ，又平面//EMQ 平面BCG ，所以21A C ⊥平面BCG ，11M N 即为平面EMQ 与平面BCG 的距离，则11212111M N A C A M N C =--，得21A C ==，由题意得222EA MA QA ===EMQ 为等边三角形，故21EMQ S ==，根据22E A MQ A EMQ V V --=，得1111323M ⨯=，解得21A M =根据对称性知2111A M N C =，所以112121112M N A C A M N C =--=-=，则平面EMQ 与平面BCG ．故选：D【点睛】方法点睛：求点到平面的距离方法，一是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；二是利用等体积法求解；三是作出辅助线，在三角形中结合余弦定理等方法进行求解.二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 下列表述正确的是（）．A. 如果0a b >>，c d >，那么ac bd >B. 如果0a b >>>C. 如果0a b >>，0c d >>，那么11ac bd<D. 如果0a b ≥>，那么2a bb a +≤≤【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数的单调性、不等式的性质等知识逐个验证选项即可．【详解】A ．如果0a b >>，c d >，取2a =，1b =，1c =-，2d =-，则2ac bd =-=，故A 错误；B ．由于12y x ==在[0,)+∞为单调增函数，从而若0a b >>>B 正确；C ．如果0a b >>，0c d >>，则0ac bc bd >>>，而1()f x x =在(0,)+∞上单调递减，从而11ac bd<，故C 正确；D ．如果0a b ≥>，则22a a b b ≥+≥，故2a bb a +≤≤，故D 正确．故选：BCD ．10. 已知直线:210l x my ++=，圆22:3E x y +=，则下列说法正确的是（）A. 直线l 必过点(1,0)B. 直线l 与圆E 必相交C. 圆心E 到直线l 的距离的最大值为1D. 当12m =时，直线l 被圆E 【答案】BC 【解析】【分析】利用直线和圆的相关性质求解即可.【详解】易知直线l 必过点(1,0)-，故A 错误；点(1,0)-在圆E 内，所以直线l 与圆E 必相交，故B 正确；圆心(0,0)E 到直线l 的距离d =，当0m =时距离取最大值1，故C 正确；当12m =时，直线:10l x y ++=，则直线l 被圆E 截得的弦长为=，故D 错误．故选：BC11. 把函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移π6个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则（）A. ()g x 在π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B. ()g x 在[]0,π上有2个零点C. ()y g x =的图象关于直线π12x =对称D. ()g x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎢⎣【答案】BC 【解析】【分析】由题意，由函数sin(+)y A x ωϕ=的图象变换规律，求得()y g x =的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，逐一判断各选项得出结论.【详解】把函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得到sin 2y x =的图象；再把所得曲线向左平移π6个单位长度，得到函数()πsin(2)3y g x x ==+的图象，π5π(,36x ∈时，π2(π,2π)3x +∈，则()g x 在π7π(,)312单调递减，在7π5π(,)126单调递增，故A 错误；令()0g x =，得π2π(Z)3x k k +=∈，即ππ26k x =-，因为[0,π]x ∈，所以ππ0π26k ≤-≤，解得1733k ≤≤，因为Z k ∈，所以1k =或2k =，所以()g x 在[]0,π上有2个零点，故B 正确；因为ππππ()sin(2)sin 1121232g =⨯+==，为()g x 的最大值，所以直线π12x =是()y g x =的图象的一条对称轴，故C 正确；当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ2,333x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()g x ⎡∈-⎢⎣，故D 错误.故选：BC12. 如图，1P 是一块半径为1的圆形纸板，在1P 的左下端前去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个前掉半圆的半径）得图形3P ，4,,,n P P ，记纸板n P 的周长为n L ，面积为n S ，则下列说法正确的是（）A. 37142L π=+ B. 31132S π=C. 1111222n n n L π-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ D. 1212n n n S S π++=-【答案】ABD 【解析】【分析】观察图形，分析剪掉的半圆的变化，纸板n P 相较于纸板1n P -()2n ≥剪掉了半径为112n -的半圆，再分别写出n L 和n S 的递推公式，从而累加得到通项公式再逐个判断即可【详解】根据题意可得纸板n P 相较于纸板1n P -()2n ≥剪掉了半径为112n -的半圆，故1111122222n n n n L L π---=-⨯+⨯，即112122n n n n L L π----=-，故12L π=+，2110122L L π-=-，3221122L L π-=-，4332122L L π-=- (1121)22n n n n L L π----=-，累加可得1210121112......222222n n n L ππππ--⎛⎫⎛⎫=+++++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111112222111122n n ππ--⎛⎫-- ⎪⎝⎭=++---1211222n n π--⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以132171421222L ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=+，故A 正确，C 错误；又1211122n n n S S π--⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故1212n n n S S π---=-，即1212n n n S S π++=-，故D 正确；又12S π=，2132S S π-=-，3252S S π-=- (121)2n n n S S π---=-，累加可得3521...2222n n S ππππ-=----111841214n ππ-⎛⎫- ⎪⎝⎭=--211132n π-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故31132S π=正确，故B 正确；故选：ABD三、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，a 1＋a 5＝3a 2，则1020S a =_____．【答案】114##2.75【解析】【分析】由1523a a a +=，得到1a 与d 的关系，再利用等差数列的前n 项和公式和通项公式求解.【详解】解：1523a a a += ，∴112433a d a d +=+，∴1a d =，1012011045551119204S a d d a a d d +===+．故答案为：11414. 已知双曲线2222:1x y M a b-=的左焦点为F 1，A ，B 为双曲线M 上的两点，O 为坐标原点若四边形1F ABO 为菱形，则双曲线M 的离心率为___________.1+【解析】【分析】利用双曲线的对称性，连结1BF ，2BF ，根据图形分析可得12BF F △是直角三角形，且260BF O ∠= ，在结合双曲线的定义，即可得到双曲线的离心率.【详解】如图，设双曲线的右焦点2F ，连结1BF ，2BF ，四边形1F ABO 是菱形，1212BO F F ∴=，12BF BF ∴⊥，并且根据对称性可知2OBF △是等边三角形，260BF O ∴∠=，1BF ∴=，根据双曲线定义可知，122B F B F a -=，2c a -=，即1c a ==1题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式ce a=求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.15. 如图，已知正四棱台的两底面均为正方形，且边长分别为20cm 和10cm ，侧面积为2780cm ，则其体积为________．【答案】32800cm 【解析】【分析】利用四棱台的结构特征，作出辅助线，根据侧面积列出方程，求出正四棱台的高，结合棱台的体积公式计算得结论【详解】如图，取11A B 的中点1E 、AB 的中点E ，上、下底面的中心1O 、O ，则1E E 为斜高，四边形11EOO E 为直角梯形．正四棱台的侧面积1114(1020)7802S EE =⨯⨯+⨯=，113cm EE ∴=，在直角梯形11EOO E 中，过点1E 作1M ⊥OE 于点M ，则115cm O E OM ==，11O O E M =，因为111115cm 2O E A B ==，110cm 2OE AB ==，所以5EM OE OM =-=cm ，1112O O E M ∴====cm ，∴该四棱台的体积为()()223112102010202800cm 3V =⨯⨯++⨯=故答案为：32800cm 16. 已知函数()()1f x x sinx cosx =++，若对于任意的()1212,0,2x x x x π⎡⎤∈≠⎢⎥⎣⎦，均有()()1212|x x f x f x a e e --成立，则实数a 的取值范围为______．【答案】[)1,+∞【解析】【分析】求导可知函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，进而原问题等价于对于任意的()1212,0,2x x x x π⎡⎤∈≠⎢⎥⎣⎦，均有()()1212x x f x ae f x ae ->-，构造函数()()x h x f x ae =-，则函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，求导后转化为最值问题求解即可．【详解】解：()()()sin 1cos sin 1cos f x x x x x x x =++-=+'，任意的()1212,0,2x x x x π⎡⎤∈≠⎢⎥⎣⎦，()0f x '>恒成立，所以()f x 单调递增，不妨设12x x <，则()()12f x f x <，又12x x e e <，故()()1212|xxf x f x a e e --等价于()()2121x xf x f x ae ae -<-，即()()1212xxf x ae f x ae ->-，设()()()1,0,2x xh x f x ae x sinx cosx ae x π⎡⎤=-=++-∈⎢⎥⎣⎦，易知函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故()()'10xh x x cosx ae =+-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即()1xx cosx a e +≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，设()()1,0,2xx cosx g x x eπ+⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()()()211'0()x xx xcosx x sinx e x cosx e xsinx sinx xcosx g x e e ⎡⎤-+-+⋅---⎣⎦==≤，故函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，则()()01max g x g ==，故1a ≥．故答案为：[)1,+∞．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值及不等式的恒成立问题，考查转化思想，属于中档题．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知函数()sin()14f x x x π=+-．（1）求()4f π的值及()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间[0,2π上的最大值和最小值．【答案】（1）(14f π=；单调递增区间为3[,]88k k ππ-+π+π，Z k ∈（2；最小值1-【解析】【分析】（1）由()sin()14f x x x π=+-，直接求()4f π；将函数转化为())4f x x π=+，利用正弦函数的性质求解；（2）根据函数())4f x x π=+，利用正弦函数的性质求解.【小问1详解】解：()sin 1442f πππ=-，11=-，1=；()sin(14f x x x π=+-，)1x x x =⋅-， 22sin cos 2cos 1x x x =+-，sin 2cos 2x x =+，4x π=+，令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，322244k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈，388k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈，所以()f x 的单调递增区间为3[,]88k k ππ-+π+π，Z k ∈；【小问2详解】因02x π≤≤，所以52444x πππ≤+≤，所以sin 214x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，故124x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，当2,42x ππ+=即8x π=时，()f x；当2,44x π5π+=即2x π=时，()f x 有最小值1-.18. 已知等差数列{}n a 满足1235n n a a n ++=+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()22nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）1n a n =+ （2）()1422n n T n +=-++【解析】【分析】（1）利用赋值法可得数列的首项及公差；（2）利用错位相减法求数列的前n 项和.【小问1详解】当1n =时，1228a a +=①，当2n =时，23211a a +=②，②-①得，33d =，解得1d =，所以12112228a a a a +=++=，12a =，所以()2111n a n n =+-⨯=+；【小问2详解】由（1）得1n a n =+，为则()()2232nn n nn b a =++=，()()12314252622232n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+++++ ，()()234124252622232n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+++++ ，()12314222232n n n T n +∴-=⨯++++-+ ()()21121283212n n n -+-=+-+-()1422n n +=-+，()1422n n T n +∴=-++.19. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，E 是BC 的中点.（1）求证：1//BD 平面1C DE ；（2）已知120ABC ∠=︒，1AA =，求直线1A D 与平面1C DE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析. （2【解析】【分析】（1）连接1CD 交1DC 于O ，连接OE ，易得1//OE BD ，再根据线面平行的判定即可证结论.（2）F 为AB 中点，结合已知可构建以D 为原点，,DF DC ，1DD为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系，设1AA ==，写出对应点坐标，并求出直线1A D 的方向向量和平面1C DE 的法向量，由空间向量夹角的坐标表示求直线1A D 与平面1C DE 所成角的正弦值.【小问1详解】由题设，连接1CD 交1DC 于O ，易知：O 是1CD 的中点，连接OE ，∵E 是BC 的中点，∴1//OE BD ，又OE ⊂面1C DE ，1BD ⊄面1C DE ，∴1//BD 面1C DE .【小问2详解】底面ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒，即60DAB ∠=︒，若F 为AB 中点，则DF AB ⊥，∴30ADF ∠=︒，故在直四棱柱1111ABCD A B C D -中有DF DC ⊥、1DD DC ⊥、1DD DF ⊥，∴可构建以D 为原点，,DF DC ，1DD为x 、y 、z轴正方向的空间直角坐标系，设1AA ==，∴1131(0,0,0),,0),42D E C A -，则1131,0),42DE DC DA ===- ，若(,,)m x y z = 是面1C DE的一个法向量，则13040DE m x y DC m y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令x =m=-，∴111|cos,|||||||m DAm DAm DA⋅<>===，故直线1A D与平面1C DE.20. 已知等比数列{}n a的前n项和为n S，且11a=，6328SS=，数列{}nb满足()33log1n nb a=+．（1）求数列{}n a和{}n b的通项公式；（2）若对任意的*n∈N，3n nb aλ<恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）13nna-=，*n∈N；32nb n=-，*n∈N（2）9,4⎛⎫-∞⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a的公比为q，由6328SS=求得公比，再由11a=求解；进而由()33log1n nb a=+求解.（2）由332nnλ<-对于任意的*n∈N恒成立，令()332nf nn=-，*n∈N，求得其最小值即可.【小问1详解】解：设等比数列{}n a的公比为q，由6328SS=，显然1q≠，所以631281qq-=-，解得3q=，由于11a=，所以{}n a的通项公式为13nna-=，*n∈N；所以()1333log13log3132nn nb a n-=+=+=-，*n∈N，所以{}n b的通项公式为32nb n=-，*n∈N．【小问2详解】因为3n nb aλ<恒成立，即332nnλ<-对于任意*n∈N恒成立．的令()332nf n n =-，*n ∈N ，则()()()()()136733131323132n n nn f n f n n n n n +⋅-+-=-=+-+-，当1n >时()()1f n f n +>，，所以()()()()1234f f f f ><<<⋅⋅⋅，即()f n 的最小值为()924f =，所以实数λ的取值范围为9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点⎛ ⎝，且C（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0P 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求PA PB ⋅的取值范围．【答案】（121y +=；（2）3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、、c 的方程组，解出a 、b 的值，进而可求得椭圆C 的方程；（2）对直线l 分两种情况讨论，直线l 与x 轴重合时，直接求出PA PB ⋅的值，在直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出PA PB ⋅关于m 的代数式，综合可得出PA PB ⋅的取值范围．【详解】（1）由题意得222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩.所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）分以下两种情况讨论：①若直线l 与x 轴重合，则()()21113PA PB a a a ⋅=-⋅+=-=；②若直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 可得()224230m y my ++-=，则()()22241241630m m m ∆=++=+>恒成立，由韦达定理可得12224m y y m +=-+，12234y y m =-+，由弦长公式可得()()221223114m PA PB m y y m +⋅=+⋅=+()2223499344m m m +-==-++，244m +≥ ，则299044m <≤+，所以，2393344m ≤-<+.综上所述，PA PB ⋅的取值范围是3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.22. 已知函数()21)xf x e ax a =-->（，（1）证明：函数()y f x =在(),0∞-内存在唯一零点；（2）若函数()y f x =有两个不同零点12,x x 且12x x >，当12x x -最小时，求此时a 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】【分析】（1）求出导数，可判断()f x 在(,0)-∞单调递减，再根据零点存在性定理即可判断；（2）令120t x x =->，则由题可得()22212x t x e e ea tx --==，利用导数可得1()(0)t e g t t t -=>在(0,)+∞单调递增，判断出要求t 的最小值即求()g t 最小值，构造函数()22222x x e v x x e -=，利用导数判断单调性求出其最小值即可.【详解】（1）()x f x e a '=-， 0x <，1x e ∴<，又1a >，∴()0f x '<，∴()f x 在(,0)-∞单调递减，(0)10f =-<，220a f e a -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，存在唯一02,0x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭使得0()0f x =，所以函数()y f x =在(),0∞-内存在唯一零点；（2）由条件知12122020x x e ax e ax ⎧--=⎨--=⎩，1212121222x x x x e e e e a x x x x ---∴===-，令()22122120,x t x e e e t x x a t x --=->∴==，则有22212x t x e e t x e --=，令1()(0)t e g t t t -=>，2(1)1()t t e g t t -+='，令()(1)1t h t t e =-+，()0th t te =>'，()h t ∴(0,)+∞单调递增，()(0)0h t h ∴>=，()g t ∴在(0,)+∞单调递增，要求t 的最小值即求()g t 最小值，令()22222x x e v x x e -=，()()()22222222222222,12220x x x x x x e x e x e v x x x e x e'-+-+-==<，在令()22222x m x x e =+-，()2220x m x e =->'，()2m x ∴在(,0)-∞单调递增，又1(0)10,(1)0m m e -=>-=-<，∴存在唯一0(1,0)x ∈-使得()00m x =.此时0022x e x =+，2x ()0,x -∞0x ()0,x +∞()2v x '-0+()2v x 极小当02x x =时，()2v x 有最小值故12x x -取最小值时000022222x x e a x x +--===.【点睛】关键点睛：解决本题得关键是得出()22212x t x e e e a t x --==，利用导数判断出要求t 的最小值即求()g t 最小值，构造函数()22222x x e v x x e -=，利用导数判断单调性求出其最小值.。

2024年新高考版数学专题1_1.2 常用逻辑用语(分层集训)

2.(2023届福建龙岩一中月考,3)下列命题中,错误的命题是 ( ) A.函数f(x)=x与g(x)=( x )2不是同一个函数 B.命题“∃x∈[0,1],x2+x≥1”的否定为“∀x∈[0,1],x2+x<1”
C.设函数f(x)=
2x 2x , x
2,
x 0,
0,
则f(x)在R上单调递增
2.(2022福建龙岩一模,1)已知a∈R,若集合M={1,a},N={-1,0,1},则“M ⊆N”是“a=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B
3.(2020天津,2,5分)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 答案 D
2.(2015课标Ⅰ,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为 ( ) A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n 答案 C
4.(2021山东淄博模拟,5)已知a,b∈R,则“ab≠0”的一个必要条件是
()
A.a+b≠0 B.a2+b2≠0
C.a3+b3≠0 答案 B
D. 1 + 1 ≠0
ab
5.(多选)(2021辽宁省实验中学二模,4)下列四个选项中,q是p的充分必要条件的是 ( )
A.p:

2020届高考复习高中数学【理】月月考(二)：三角函数、平面向量、数列、不等式(解析版)

10．[2019·陕西摸考]对于使f(x)≤m成立的所有常数M，我们把M的最小值称为f(x)的上确界，若a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则－－的上确界为()
A．－ B.
C. D．－4
答案：A
解析：∵a＋b＝1，∴－－＝－－＝－－，∵a>0，b>0，∴ ＋ ≥2，当且仅当b＝2a时取等号，∴－－ ≤－－2＝－，∴－－的上确界为－，故选A.
5．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足|3 －－ |＝0，则△ABM与△ABC的面积之比等于()
A. B.
C. D.
答案：C
解析：如图，G为BC的中点，则＋＝2 ，∵|3 －－ |＝0，
∴3 －－＝0，
∴3 ＝＋＝2 ，
∴ ＝，
∴ ＝，
又S△ABG＝ S△ABC，
∴△ABM与△ABC的面积之比等于 × ＝ .故选C.
A．－ B．－
C. D.
答案：B
解析：∵角α的终边经过点P(3,4)，∴sinα＝，cosα＝ .
∴sin ＝－sin ＝－sin ＝－cosα＝－ .故选B.
3．若α为锐角，且3sinα＝tanα＝ tanβ，则tan2β等于()
A. B.
C．－ D．－
答案：D
解析：因为3sinα＝tanα＝，α为锐角，所以cosα＝，sinα＝＝，所以tanα＝＝2 ＝ tanβ，所以tanβ＝2，tan2β＝＝＝－ .
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递减
C．f(x)在上单调递增
D．f(x)在上单调递增
答案：D
解析：由题意得f(x)＝ sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin .∵函数f(x)的图象经过点，

辽宁省沈阳市实验中学2020-2021学年高三上学期期末数学试题

17.在① ② ③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角，，所对的边分别为，，，且，的面积是，______？
【答案】答案见解析.
18.某公司在联欢活动中设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同．游戏参与者可以选择有放回或者不放回的方式从中依次随机摸出3个球，规定至少摸到两个红球为中奖．现有一位员工参加此摸奖游戏．
2020—2021学年度上学期期末考试高三年级数学科试卷
命题学校：辽宁省实验中学
命题人：高三数学组校对人：高三数学组
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合，，则（）
A. B. 或
CHale Waihona Puke D. 或【答案】D2.复数满足：，则的虚部等于（）
A. B. C.0D.1
【答案】B
3.某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．
若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1，m2；平均数分别为s1，s2，则下面正确的是（）
A.m1＞m2，s1＞s2B.m1＞m2，s1＜s2
22.设函数，曲线在处的切线方程为．
（1）求实数的值．
（2）求证：当时，．
【答案】（1）；（2）证明见解析
（1）如果该员工选择有放回的方式（即每摸出一球记录后将球放回袋中再摸下一个）摸球，求他能中奖的概率；
（2）如果该员工选择不放回的方式摸球，设在他摸出的3个球中红球的个数为，求的分布列和数学期望；

辽宁省沈阳市皇姑区实验中学2020-2021学年高三上学期12月月考数学试题

4 + 4 + 4 = 2 3 ，内切球的半径为 1 ，所以正方体 ABCD − A1B1C1D1 的外接球的体积为
( ) 4 π
3
3 =4
3π ，内切球的表面积为 4π 12 = 4π ，故 A 正确，B 错误．
3
如图， M ， N ， S ，T 分别是棱 AB ， BC ， C1D1 ， A1D1 的中点．因为 EMNFST 在同一个平面内，并且该平面与正方体的各条棱所成的角均相等，所以平面被此正方体
确． 10．【答案】CD
【解答】 f ( x) = 2cos2 x +
3 sin 2x = cos 2x +
3
sin
2 x
+1
=
2 sin
2 x
+
π 6
+1．
因为 T
=
2π 2
=
π ，所以
= 1，所以f(x)源自=2sin
2x
+
π 6
+1
．
令 2x + π = kπ (k ) ，得 x = − π + kπ (k ) ，
=
−1−
1i 2
，则 z
的虚部为 −
1 2
．
4．【答案】A
【解答】 sin − 2 cos = tan − 2 = 1 ． 3sin + cos 3 tan +1 10
5．【答案】C
【解答】因为 a//b ，所以 2n = 1 4 ， n = 2 ，所以 3a − nb = (4,8) ，故 3a − nb = 4 5 ．
高三考试数学试卷

2020届辽宁省沈阳市实验中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)

故选： B
【点睛】
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本题考查等比中性性质，必要不充分条件，属于基础题
3．若复数 z 的共轭复数 z 满足： 1 i z 2i ，则复数 z 等于（）
A．1 i
B． 1 i
C．1 i
D． 1 i
【答案】 D
【解析】由 1 i z
概念可求出复数 z .
2i 得出 z
2i
，利用复数的除法法则求出
）
第 2 页共 23 页
π
A．
6
π
B．
4
π
C．
3
【答案】 A
【解析】先求出 cos A ,再利用基本不等式求
【详解】
A 的最大值 .
由题得 cos A 36 b2 9 27 b2
9
b
9b
2
26b
12b 4b 12
4b 12
D ． arcsin 5 5
3， 2
因为 0 A
故选： A
,所以 0 A . 6
20 分钟不抽筋，则 P( A) 0.8, P ( AB) 0.5 .
P( AB) 0.5 5
所以他能顺利完成 90 分钟比赛的概率为 P (B | A)
.
P( A) 0.8 8
故选： C
【点睛】
本题主要考查条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平
.
5．在 V ABC 中， AB 6， BC 3，则 A 的最大值是（
V AD1B1 中， AD1
AA1 2 A1D12
5 ， AB1
BB12 AB2
5，
D1 B1
C1B12 C1D12 2 2 ，所以 cos AD1B1

2020届辽宁省沈阳市实验中学第一学期高三年级阶段检测试卷与答案

{正文}2020届辽宁省沈阳市实验中学第一学期高三年级阶段检测数学（理）试题一、选择题：第小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U =R ，{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，那么集合()U C A B =（）A ．{13}x x -≤2．求曲线2y x =与y x =所围成图形的面积，其中正确的是（） A ．120()S x x dx =-⎰B ．120()S x x dx =-⎰C ．120)S y y dy =-⎰（D ．10S y dy =⎰（3．将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（） A ．5sin(2)()12y x x R π=+∈ B ．5sin()()212x y x R π=+∈C ．sin()()212x y x R π=-∈D ．5sin()()224x y x R π=+∈4．函数xy 1ln=与12+--=x y 在同一平面直角坐标系内的大致图象为（）5．已知F 1和F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线左支的一点，1PF ⊥2PF ，1PF c =则该双曲线的离心率为（）A ．51-B ．312+ C ．31+ D ．512+ 6．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB=45o ,∠CAB=105o 后，就可以计算出A 、B 两点的距离为（）A ．502mB ．503mB ．252mD 2527．已知P 是边长为2的正ABC ∆边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+ （） A ．最大值为8B ．最小值为2C ．是定值6D ．与P 的位置有关8．函数()2sin()25f x x ππ=+，若对任意x R ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤12(,)x x R ∈成立，则12x x -的最小值为（）A ．4B ．2C ．1D ．129．已知1:0,:420x x x p q m x-≤+-≤，若p q 是的充分条件，则实数m 取值范围是（） A．2m >B．2m ≤C ．2m ≥D ．6m ≥10．已知各项为正数的等差数列{}n a 的前20项和为100，那么714a a ⋅的最大值为（）A ．25B ．50C ．100D ．不存在11．已知三边长分别为4、5、6的△ABC 的外接圆恰好是球O 的一个大圆，P 为球面上一点，若点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，则三棱锥P －ABC 的体积为（）A ．5B ．10C ．20D ．3012．函数)(x f y =定义域为),21(+∞,f （1） =f （3） =1 ,f （x ）的导数)522()('-+=x x a x f ，其中a 为常数且a>0，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤-≤-1)2(2122y x f y x 所表示的平面区域的面积等于（）A ．51 B ．53C ．21D ．1 二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13．已知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如图，若图中圆的半径为1，则该几何体的表面积是．14．有下列说法：①n S 是数列{}n a 的前n 项和，若21n S n n =++，则数列{}n a 是等差数列； ②若实数x ,y 满足422=+y x ,则2-+y x xy的最小值是21-；③在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，若cos cos a A b B =，则ABC ∆ 为等腰直角三角形；④ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件．其中正确的有．（填上所有正确命题的序号） 15．根据下面一组等式 S 1=1 S 2=2+3=5 S 3=4+5+6=15 S 4=7+8+9+10=34 S 5=11+12+13+14+15=65 S 6=16+17+18+19+20+21=111 S 7=22+23+24+25+26+27+28=175,可得S 1+S 2+…+S 99=16．设定义域为R 的函数()⎪⎩⎪⎨⎧<++≥-=-,0,44,0,1521x x x x x f x 若关于x 的方程()()()01222=++-m x f m x f有7个不同的实数根，则实数=m ．三、解答题：17．（满分12分）已知函数1)(+=x xx f ，若数列}{n a （n ∈N*）满足：11=a ，)(1n n a f a =+（Ⅰ）证明数列}1{na 为等差数列，并求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列}{n c 满足：nnn a c 2=，求数列}{n c 的前n 项的和n S ．18．（满分12分）如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=，BE 与平面ABCD 所成角为 60．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角D BE F --的余弦值；19．（满分12分）某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表．成绩分A （优秀）、B （良好）、C （及格）三种等级，设x 、y 分别表示化学、物理成绩．例如：表中化学成绩为B 等级的共有20+18+4=42人．已知x 与y 均为B 等级的概率为0．18．xy A B C A 7 20 5 B 918 6Ca4b（Ⅰ）求抽取的学生人数；（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0．3，求b a ,的值；（Ⅲ）物理成绩为C 等级的学生中，已知10≥a ,1712≤≤b , 随机变量b a -=ξ，求ξ的分布列和数学期望．20．（满分12分）设1C 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p，2C 是以直线032=-y x 与230xy为渐近线，以0,7为一个焦点的双曲线．（I ）求双曲线2C 的标准方程；（II ）若1C 与2C 在第一象限内有两个公共点A 和B ，求p 的取值范围，并求FB FA ⋅的最大值．21．（满分12分）已知函数)0(ln )(,42)(2>=+=a x a x g x x x f（I ）若直线l 1交函数f （x ）的图象于P ，Q 两点，与l 1平行的直线l 2与函数)(x f 的图象切于点R ，求证 P ,R ,Q 三点的横坐标成等差数列；（II ）若不等式)(4)(x g x x f -≤恒成立,求实数a 的取值范围；（III ）求证:e nn 1ln ....44ln 33ln 22ln 4444<++++〔其中*∈≥N n n ,2, e 为自然对数的底数）．请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

辽宁省沈阳市重点高中联合体2020-2021学年高三上学期12月联考数学试题

2020-2021学年度（上）市级重点高中联合体12月联考高三数学第I 卷（选择题）一、单项选择题.（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合 A = {—2,70.1,2},集合 B = {xly = log2（l —x ）},则 A^B=（）C先利用函数的定义域求法化简集合B,再利用交集的运算求解. 因为集合B = {x|y = log 2（l-x ）} = U|x<l （,集合心{-2,-1,0丄2}, 所以 AOB = {-2,-1.0}.故选：C.本题主要考查集合的基本运算以及函数定义域的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.C先根据复数除法法则化简，再根据复数模的定义求结果.（2 + i ）i （2 + i ）2i -4 + 3i 4 3.・• z = ------ = ---------- = -------- = ----- 1—12-i 5 5 5 5本题考查复数除法运算、复数的模，考查基本求解能力，属基础题.3・已知sin X + Y =m ,则 cosk 6丿B将角2x-二拆分成x+f 及特殊角的形式，利用诱导公式、倍角公式进行进一步的处理可得答3o案.A. {2}B. {12}C. {—2,70} D ・{—2,70,1}2.已知七A. 3C. 1D.心心+(|)2=1故选：CA ・1一2加$B ・ 2nr -1D ・ 2/n-l)B. 2 方法点睛：已知角的某种三角名称值，求其相关角的三角名称值问题，把题口中已知的角做体及特殊角一起，去构造需要求解的角，再利用诱导公式、倍角公式进行处理.4•等差数列｛"”｝中，已知坷>0,他+為<0,则｛陽｝前"项和S“的最小值为( )A.S4B. S、C. $6D. S?C先通过数列性质判断咳<0,再通过数列的正负判断S”的最小值.等差数列仏｝中，+^9 < 0 , A a5 +a() = 2a6 < 0 ,即a6<0.乂① >0, .•.｛©｝的前"项和S” 的最小值为Se •故答案选c本题考查了数列和的最小值，将S”的最小值转化为W”｝的正负关系是解题的关键.5.(l-x)(l + x)3的展开式中，疋的系数为()A. 2B. -2C. 3D. -3B由题意转化条件得(1 —X)(l +才=(l+x)‘—x(l+x)'，再由二项式定理写出(1 +才的通项公式, 分别令厂=3、r = 2,求和即可得解.详解】由题意(1-X)(1+ X)3=(1+ A-)3-A(1+ A-)\(1 +才的通项公式为几=C；•严•才=C；• 0 ,令广=3,则C；=C； = 1；令广=2,则CJ = C;=3；所以(l-x)(l + x)'的展开式中，F的系数为1-3 = -2.故选：B.本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.6.已知平面向量方，石满足”卜5, p+%4, p-b| = 6,则向量方在向量乙方向上的投影为( )A. 1B. 0C. —1D. —一2Ca-b通过条件可得bS根据公式-7■代值计•算即可.7b7解：由Q 十b =4 , a-b =6半方相减可得a 巧=一5,crb -5,所以向量方在向量乙方向上的投影为-g- = y = -1.故选：C.方=匕」）/ =也」2），计算向量方在向量乙方向上的投影的两个公式:«*aa-b（1）已知向量数量积和模长：丁；7•抛物线C ： y 2= 4x 的焦点为N 为准线上一点，M 为）'轴上一点，ZMNF 为直角,若线段MF 的中点E 在抛物线C±,则4WVF 的面积为（）C设M （O"gE （g 冷）,E 在抛物线C 上可得〃匸±2血，由抛物线的对称性，不妨设川=2血， ”（一1/）,・・・而 =（1,271 — 〃），兩=（一2丿）••和页 =02迈-心・（-2』）=0,可得”=血，由两点距离公式可得MN =也、NF = x/6,.\ S=-MN ・NF =JJx 点=也・2 2 2点晴：本题考查的是抛物线中的直角三角形面积问题，先根据MF 的中点E 在抛物线C 上，确定M 点的坐标,再根据ZMVF 为直角，二血•万V = （l,2血-2/） = 0可得N 点的坐标, 由两点距离公式可得MN = *,NF = EU F £M N • NF =辱屁屁洋.8. 已知函数f （x ） = sin 血+acoss:,周期T<2兀,且在x= ^处取得最大值，则使得不等式用动2d 恒成立实数兄的最小值为（)A. —B.C.D.迺 10 111213B（2）已知向量的坐标: V x 22+ y 22先根据三角恒等变换和三角形函数的性质，以及同角的三角函数的关系可得（血卩二；■两 tan ——6⑪ 再根据/（f ） = 73,可得COS 名妇#=,②，通过①②求出d 的值，再根据三角函数的性3 6 认广+1 质可得e=i 次+ i, kwZ,求出I ^L …=H ,根据不等式川。

2020届高三数学第一次月考试题文(含解析)新人教

2019学年第一学期九月测试卷高三数学（文科）一、选择题(每小题5分，共60分)1. 设集合M＝{1,2,3,4,5,6}，N＝{1,4,5,7}，则M∩N等于( )A. {1,2,4,5,7}B. {1,4,5}C. {1,5}D. {1,4}【答案】B【解析】则2. ( )A. B. C. D. -【答案】A【解析】试题分析：选C.考点：诱导公式.【易错点晴】本题主要考查诱导公式，属于容易题型.本题虽属容易题型，但如果不细心的话容易因判断错象限、或因忘了改变函数名而犯错.解决此类题型的口诀是：奇变偶不变，符号看象限,应用改口诀的注意细节有：1、“奇”、“偶”指的是的奇数倍或偶数倍，2、符号看象限，既要看旧角，又要看旧函数名.要熟练掌握这两个细节才不会“走火入魔”.3. 下列函数中,是偶函数且在上为增函数的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由选项可看出四个函数中D为奇函数，所以排除D，在ABC三个选项中，A函数为增函数，B函数为减函数，C函数既有增区间又有减区间.故选A.4. 若已知函数f(x)＝ , 则的值是( )A. B. 3 C. D.【答案】D【解析】由函数f(x)＝可知：，+1=故选：D5. 函数y＝的定义域是( )A. [1,2]B. [1,2)C.D.【答案】D【解析】即得解得故选D6. 下列说法中，正确的是（）A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. 命题“存在，使得”的否定是：“任意，都有”C. 若命题“非”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题D. ""是" "的充分不必要条件【答案】C【解析】对于A，命题“若，则”的否命题为“若a≤b，则”；∴A 不正确；对于B，命题“存在x∈R，使得”的否定是：“任意x∈R，都有”；∴B不正确；对于C，若命题“非p”是真命题则P是假命题，命题“p或q”是真命题，那么命题q一定是真命题，∴C正确；对于D，∴推不出. ∴D不正确故选：C．7. 设a=,,则a,b,c的大小关系是( )A. b>c>aB. a>c>bC. b>a>cD. a>b>c【答案】D【解析】,所以故选D8. 函数f(x)＝2x－6+lnx的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】,所以函数在上递增，又,所以函数的零点只有1个故选A点睛：本题是零点存在性定理的考查，先确定函数的单调性，在判断特殊点处的函数值有正负变化即得解.9. 函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】由图知A=2,又,此函数的解析式是故选B.10. 若＝，则cos(π-2α)＝( )A. -B.C. -D.【答案】C【解析】==,故选C11. 函数y＝ (0＜a＜1)的图象的大致形状是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】又所以函数在上递减，在上递增，故选D点睛：函数中有绝对值的要去掉绝对值，写成分段函数，根据单调性即可以选出选项.12. 已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A. (－∞，0)B.C. (0,1)D. (0，＋∞)【答案】B【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．二、填空题(每小题5分，共20分)13. 已知=2, 则=______【答案】3【解析】,故答案为314. 函数f（x）=的单调递增区间为________.【答案】【解析】根据复合函数的单调性，内外层函数同则增异则减的原则，f（x）=的递增区间为的递减区间，但要注意定义域，所以f（x）=的递增区间为................故答案为点睛：研究复合函数的单调性：先把复合函数分成内外两层，根据内外层函数单调性相同，复合函数增，内外层函数单调性相异，复合函数减，即同则增异则减，做题时还要注意定义域.15. 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则＝________.【答案】-2【解析】由f(x＋4)＝f(x)得f(x)的周期为4，所以又f(x)在R上是奇函数，所以故答案为-2.点睛：函数奇偶性，周期性结合求函数值的问题，先利用周期性，把变为再利用奇偶性根据已知很容易出结果.16. 若不等式2x ln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，]【解析】2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，则a≤h(x)min＝4，故实数a的取值范围是(－∞，4]．故答案为：(－∞，4]点睛：恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤)17. (10分) 化简求值：(1) ； (2) .【答案】(1) 4 ; (2)【解析】试题分析：(1)主要是对数运算性质的考查（2）主要是三角恒等变换的二倍角公式，两角和与差的余弦公式的考查.试题解析：(1)原式= (2)原式=18. (12分)（1）已知sinα＝- ，且α为第四象限角，求tanα的值；(2)已知cos且都是锐角，求的值【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1）由α为第四象限角，根据同角基本关系的平方关系得的值，商式关系得出.(2) cos，是锐角得出sin，又都是锐角，，得出，根据得出结果.试题解析：(1)为第四象限角,(2) 因为是锐角，所以sin=又都是锐角，，=,则cos=cos19. (12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)若f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．求实数a的取值范围.【答案】(1)35 (2) a≤－6，或a≥4【解析】试题分析：(1) 当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，根据二次函数的单调性得出函数的最值（2）二次函数的对称轴为x＝－a，根据图像得出[－4,6]在轴的左侧或在轴的右侧，即－a≤－4，或－a≥6得解.试题解析：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增．∴f(x)的最小值是f(2)＝－1.又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4，或－a≥6，即a≤－6，或a≥4.20. (12分)已知.f(x)＝sin x cos x-cos2x＋(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．【答案】(1)(k∈Z) (2)【解析】试题分析：（1）先对函数f(x)＝sin x cos x-cos2x＋＝sin2x- (cos2x＋1)＋化简得f(x)＝sin，令sin＝0，得＝kπ(k∈Z)解得对称中心（2）0≤x≤所以-≤2x-≤，根据正弦函数图像得出值域.试题解析：(1)f(x)＝sin x cos x-cos2x＋＝sin2x- (cos2x＋1)＋＝sin2x-cos2x＝sin，所以f(x)的最小正周期为π.令sin＝0，得＝kπ(k∈Z)，所以x＝ (k∈Z)．故f(x)图象对称中心的坐标为 (k∈Z)．(2)因为0≤x≤，所以-≤2x-≤，所以≤sin≤1，即f(x)的值域为.点睛：本题重点考查三角函数式的恒等变换，正弦型函数的最小正周期，正弦型函数的对称中心，及函数在某一定义域下的值域，是高考的常见题型，在求值域时要运用整体的思想.21. (12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线方程为l：y＝3x＋1，且当x＝时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．【答案】(1) a＝2，b＝－4, c＝5 (2) 最大值为13，最小值为【解析】试题分析：（1）对函数进行求导，当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，联立得出a，b，c的值(2) 由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4. 令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝，研究单调性得出最值.试题解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0，②由①②，解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f(1)＝4. 所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.点睛：已知切线方程求参数问题，利用切线斜率，切点在切线上也在曲线上这两点即可求出字母值.函数的极值问题要注意对应的导值为0，且在此点的左右函数有单调性变化.22. (12分)已知函数f(x)＝ln x＋a(1-x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围．【答案】(1)见解析(2) (0，1)【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导函数符号是否变化进行讨论：若，则，在单调递增；若，导函数先正后负，函数先增后减；（2）由（1）知函数有最大值条件为，且最大值为，转化为解不等式，先化简，再利用导数研究函数单调性及零点，确定不等式解集试题解析：解：（Ⅰ）的定义域为若，则，所以在单调递增若，则当时，；当时，。

2021-2022学年辽宁省名校联盟高一上学期12月月考数学试题(解析版)

2021-2022学年辽宁省名校联盟高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．设函数()f x =的定义域A ，函数()()ln 2g x x =-的定义域为B ，则集合A B 为（） A ．（2，3） B ．(]2,3C ．[)3,2-D ．（-3，2）【答案】C【解析】由函数的定义域，分别算出A 和B ，然后根据集合交集的定义，即可得到本题答案.【详解】由290x -≥，得33x -≤≤，所以{|33}A x x =-≤≤，又由20x ->，得2x <，所以{|2}B x x =<，所以{|32}A B x x ⋂=-≤<. 故选：C【点睛】本题主要考查函数的定义域和集合的交集运算，属基础题. 2．“x A ∃∈，使得22250x x -->”的否定为（） A ．x A ∃∈，使得22250x x --【答案】C【分析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】“x A ∃∈，使得22250x x -->”的否定为“x A ∀∈，使得22250x x --≤”．故选：C3．设a ，b 都是不等于1的正数，则“222a b >>”是“log 2log 2a b <”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分和必要条件的定义即可求解.【详解】由222a b >>可得1222a b >>，即1a b >>，可推出log 2log 2a b <，当01a <<，1b >时，不等式log 2log 2a b <成立，但推不出222a b >>，根据充分和必要条件的定义可得“222a b >>”是“log 2log 2a b <”的充分不必要条件，故选：A.4．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234493582003623486969387481A ．08B ．07C ．02D ．01【答案】D【详解】从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.【解析】此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力. 5．函数()2x xe ef x x --=的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由1(1)e e 0f -=->排除不正确的选项，从而得出答案..【详解】详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x--≠-==-∴为奇函数，排除A, 1(1)0f e e -=->，故排除D. ()()()()()243222,xx x x x x e x e xx e x e f x x e e x ---+---++=='，当2x >时，()0f x '>，所以()f x 在()2+∞，单调递增，所以排除C ；故选：B.6．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1θ，空气的温度是0θ，t 分钟后物体的温度θ可由公式()0.24010e tθθθθ-=+-（e 为自然对数的底数）求得．已知ln 20.693≈，把温度是100℃的物体放在10-℃的空气中冷却到45℃约需要（） A ．1.69分钟 B ．2.89分钟 C ．4.58分钟 D ．6.61分钟【答案】B【分析】根据题中的公式代入数据，根据指数与对数运算法则计算即可. 【详解】由题意得，()0.24451010010e t-=-++℃℃℃℃，化简得，0.241e2t-=，即0.24ln 20.693t =≈，所以()2.89min t ≈ 故选：B7．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且在区间[)0,∞+上单调递增．若实数a 满足()()212log (log )22f a f a f +≤，则a 的取值范围是（）A ．(]0,2B ．(]0,4C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】根据给定条件利用对数换底公式变形，再结合函数奇偶性、单调性求解不等式作答.【详解】函数()f x 是定义域为R 的偶函数，则1222(log )(log )(log )f a f a f a =-=，21222(log )(log )2(2)2(log )2(2)(|log |)(2)f a f a f f a f f a f +≤⇔≤⇔≤，函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，于是得：22|log |22log 2a a ≤⇔-≤≤22222log 2log log 2a -⇔≤≤，解得144a ≤≤，所以a 的取值范围是1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D8．已知5log 2a =，8log 3b =，0.012c =，则下列判断正确的是（） A ．c b a <，则0.010221c =>=，所以a b c <<. 故选：C 二、多选题9．下列说法中，正确的是（）A ．极差和标准差都能描述一组数据的离散程度B ．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变C ．一个样本的方差()()()22221220133320s x x x ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，则这组数据总和等于60 D ．数据1a ，2a ，…，n a 的方差为2s ，则数据12a ，22a ，…，2n a 的方差为22s 【答案】ABC【分析】根据平均数、极差、方差及标准差的概念即得.【详解】根据极差和标准差的定义可知二者均可描述一组数据的离散程度，故A 正确，根据平均数及方差的计算公式可得，如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变，故B 正确；由一个样本的方差()()()22221220133320s x x x ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，可知样本平均数为3，这组数据总和等于60，故C 正确；数据1a ，2a ，，n a 的方差为2s ，则数据12a ，22a ，，2n a 的方差为24s ，故D 错误.故选：ABC ．10．若a b >，则（） A ．22ac bc > B ．22a b --< C ．330a b -> D ．()ln 0a b ->【答案】BC【分析】由0c 判断A ；根据指数函数和幂函数的单调性判断BC ；由对数函数的性质判断D.【详解】0c 时，选项A 错误；利用()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减可知22a b --<，选项B 正确；利用()3f x x =在R 上单调递增可知330a b ->，选项C 正确；若01a b <-<，则选项D 错误．故选：BC11．已知函数()f x 在区间I 上连续，若对于任意1x ，2x I ∈，且12x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，则称函数()f x 为区间I 上的下凸函数，下列函数在定义域上为下凸函数的是（） A ．1lny x= B ．23y x -= C ．231x y x +=+，()1,x ∈-+∞ D ．()121222x x y x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】利用下凸函数的定义逐项分析即得. 【详解】对于A ，由1lny x=，可知()0,x ∈+∞，任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，则()()()()212121212ln ln ln ln 22222x x f x f x x x x x +⎛⎫ ⎪++⎝⎭=-=->-1212ln 22x x x x f ++⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于B，23y x-==()(),00,x ∈-∞⋃+∞，函数在定义域上不连续，故B 错误；对于C ，231211x y x x +==+++，()1,x ∈-+∞，任意1x ，()21,x ∈-+∞，且12x x ≠， ∴()()1212112,2,11f x f x x x =+=+++12121212222212x x f x x x x +⎛⎫=+=+ ⎪+++⎝⎭+， ∵()()()()121212121122112222211f x f x x x x x x x ++++++++==+++，∴()()121222211x x x x +++++12222x x ⎛⎫-+= ⎪++⎝⎭()()121212222112x x x x x x ++-++++ ()()()()()()()()()()22121212121212122411021122112x x x x x x x x x x x x x x ++-++-==>++++++++，即()()122f x f x +>122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，()()1212242222x x x x f x x x --⎛⎫=++=+⋅+ ⎪⎝⎭，可知R x ∈，任意1x ，2R x ∈，且12x x ≠，∵121224424x xx x ++>⋅，12122222242x x x x +⋅+⋅>⋅，()1212222x x x x +=+，∴()()121212121212224422222242222x x x x x x x x f x f x x x +++++⋅+⋅++=>+⋅()12122x x x x f +⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：ACD ．12．设正整数010112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=++⋅⋅⋅+，则（）A ．()41ω=B ．()()2n n ωω=C ．()()231n n ωω+=+D ．()()4523n n ωω+=+【答案】ABD【分析】根据()n ω定义判断B 和D ，运用特殊值法判断A 和C 即可.【详解】对于选项A ，0124020212=⋅+⋅+⋅，()40011ω=++=，选项A 正确；对于选项B ，()01k n a a a ω=++⋅⋅⋅+，12101122222k k k k n a a a a +-=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，所以()012k n a a a ω=+++ ()n ω=，选项B 正确；对于选项C ，取2n =，012237121212n +==⋅+⋅+⋅，所以()73ω=，而0120212=⋅+⋅，则()21ω=，即()()721ωω≠+，选项C 错误；对于选项D ，23201452225k k n a a a ++=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+()01223201232010112021222212021222k k k k a a a a a a ++=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⋅+⋅++⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，所以()12101120101011452.2322231212222k k k k k n a a a n a a a a a a ω+++=+++⋅⋅⋅++=⋅+⋅++⋅++⋅⋅⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅()012101121222k k a a a +=⋅++⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，所以()01232k n a a a ω+=+++⋅⋅⋅+，因此()()4523n n ωω+=+．选项D 正确.故选：ABD【点睛】数列新定义类的题目，往往有一定的难度，需要在认真分析题意的基础上巧妙运用赋值等方法进行判断，从而快速准确地判断一些选项. 三、填空题13．写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =______．①()()()1212f x x f x f x =；②()()f x f x -=；③任取1x ，[)20,x ∈+∞，12x x ≠且()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦．【答案】2x （答案不唯一）【分析】取()2f x x =，利用幂函数的性质逐一验证即可.【详解】取()2f x x =，函数()f x 为幂函数，满足①；()()2f x x f x -==，则函数()f x 为偶函数，满足②；③表示函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，由幂函数的性质可知()2f x x =满足③.故答案为：2x （答案不唯一） 14．函数f （x ）＝ln |x |11x --的零点的个数是【答案】3【分析】由f （x ）＝0得ln |x |11x =-，然后分别作出函数y ＝ln |x |与y 11x =-的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】解：由f （x ）＝ln |x |11x -=-0得ln |x |11x =-，设函数y ＝ln |x |与y 11x =-，分别作出函数y ＝ln |x |与y 11x =-的图象如图：由图象可知两个函数的交点个数为3个，故函数的零点个数为3个，故答案为3【点睛】本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数和方程之间的关系，转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．15．已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<=>≠⎨++≥⎩且在R 上单调递减，则a 的取值范围是_________. 【答案】13[,]34【分析】根据分段函数在R 上单调递减可得01a << ，且二次函数在,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 上单调递减，所以02ba-≥，且()()2max min4330log 110a x a x a x x x ⎡⎤⎡⎤+-+<≥++≥⎣⎦⎣⎦（）（），从而可得答案．【详解】由题分段函数在R 上单调递减可得01a << 又因为二次函数图像开口向上，所以4302a --≥，解得34a ≤ 且()()2max min4330log 110a x a x a x x x ⎡⎤⎡⎤+-+<≥++≥⎣⎦⎣⎦（）（），将0x =代入可得31a ≥，解得13a ≥所以a 的取值范围是13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查分段函数的单调性，解题的关键是明确01a <<且()()2max min4330log 110a x a x a x x x ⎡⎤⎡⎤+-+<≥++≥⎣⎦⎣⎦（）（）属于一般题．16．已知1a >，2a b ab +-=，则4a b -的最小值为______．【答案】1【分析】由题可得21a b a -=-，进而可得44131a b a a -=-+--，利用基本不等式即得. 【详解】∵2a b ab +-=，1a >， ∴21111a b a a -==---， ∴44134311a b a a -=-+-≥-=-，当且仅当411a a -=-，即3a =时等号成立，∴4a b -的最小值为1. 故答案为：1. 四、解答题 17．计算下列各式：(1)()3122318642--⎛⎫-++ ⎪⎝⎭(2)552lg 4lg log log 48++．【答案】(1)312； (2)43. 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算即得；（2）利用对数的运算性质及换底公式计算即得.【详解】(1)()()()()331212433212323181864282216-----⎛⎫⎛⎫-++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32133128822⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭．(2)285551lg 5lg 42lg 4lg log log 4lg 4882lg8lg 5⎛⎫++=⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭14133=+=．18．已知集合1282xA x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，()(){}210B x x a x a =---≤．(1)当2a =时，求A B ；(2)设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1){}23A B x x ⋂=≤≤(2)a ≤【分析】（1）首先解指数不等式得到{}13A x x =-≤≤，再求A B 即可.（2）首先根据题意得到{}21B x a x a =≤≤+，再根据充分不必要条件求解即可.【详解】(1)，2a =时，{}25B x x =≤≤，{}23A B x x ⋂=≤≤(2){}2221310124a a a B x a x a ⎛⎫+-=-+>⇒=≤≤+ ⎪⎝⎭， p 是q 的充分不必要条件，则且A B ≠，所以2a ≤19．已知幂函数()()22722m f x m m x -=+-（m Z ∈）的定义域为R ，且在[)0,∞+上单调递增． (1)求m 的值；(2)[]1,2x ∀∈，不等式()320af x x -+>恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)1m =或3m =- (2)98a >【分析】（1）根据幂函数的性质求解即可.（2）首先根据题意转化为[]1,2x ∀∈，22321132x a x x x -⎛⎫⎛⎫>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立．再利用换元法求解即可.【详解】(1)22211m m m +-=⇒=或3m =-，又因为函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，1m =，()6f x x -=（舍），3m =-，()2f x x =.(2)[]1,2x ∀∈，2320ax x -+>恒成立，[]1,2x ∀∈，22321132x a x x x -⎛⎫⎛⎫>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立．令11,12t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，()232g t t t =-，则()g t 在区间13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()max 3948g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故98a >． 20．已知函数()lg f x x =，若ab >，()()f a f b =，求证：2224a b a b+-≥-．【答案】证明见解析【分析】根据分段函数单调性及函数值相等，得到()1,a ∈+∞，()0,1b ∈，利用对数运算得到1ab =，对不等式变形后利用基本不等式进行证明.【详解】证明：()[)()lg ,1,,lg ,0,1,x x f x x x ∞⎧∈+⎪=⎨-∈⎪⎩()f x 在()0,1单调递减：在[)1,+∞上单调递增，所以()1,a ∈+∞，()0,1b ∈，()()()lg lg 0lg 01f a f b a b ab ab =⇒+=⇒=⇒=，()2222224a b ab a b a b a b a b a b-++++==-+---， ()4424a b a b a b a b-+≥-=--，当且仅当 4a b a b -=-即21a =+，21b =-时等号成立，所以2224a b a b ++≥-． 21．某学校为了解本校文、理科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从理科班学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从文科班学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：甲样本数据直方图乙样本数据直方图已知乙样本中数据在[)70,80的有10个.（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）81.5,82.【分析】（1）首先计算乙样本中数据在[)70,80的频率，然后计算样本容量，利用频率和等于1求a ；（2）根据样本平均值和中位数的计算公式分别计算；【详解】（1）由直方图可知，乙样本中数据在[)70,80的频率为0.020100.20⨯=，而这个组学生有10人，则100.20n=，得50n =. 由乙样本数据直方图可知()0.0060.0160.0200.040101a ++++⨯=，故0.018a =.（2）甲样本数据的平均值估计值为()550.005650.010750.020850.045950.0201081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.由（1）知0.018a =，故乙样本数据直方图中前三组的频率之和为()0.0060.0160.020100.420.50++⨯=<，前四组的频率之和为()0.0060.0160.0200.040100.820.50+++⨯=>，故乙样本数据的中位数在第4组，则可设该中位数为80x +，由()0.0060.0160.020100.0400.50x ++⨯+=得2x =，故乙样本数据的中位数为80282+=.根据样本估计总体的思想，可以估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值约为81.5，文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数约为82.【点睛】本题考查了样本频率分布直方图中的相关计算问题，需熟记公式：每个小矩形的面积是本组的频率，频率之和等于1，频数=频率⨯样本容量，样本平均数等于每组数据的中点乘以本组的面积之和，中位数两侧的面积都是0.5.22．已知函数()()log 1x a f x a kx =++（0a >且1a ≠，k ∈R ）是偶函数．(1)求k 的值：(2)若0a ∀>且1a ≠，函数()y f x =的图象与函数()12g x x b =+的图象都没有交点，求b 的值；(3)设函数()24log 3x a h x c a c ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，若函数()f x 与()h x 的图象有且只有一个公共点，求实数c 的取值范围．【答案】(1)12k =- (2)0(3){}()31,c ∈-⋃+∞【分析】（1）利用()()f x f x -=列方程，化简求得k 的值.（2）由()()f x g x =分离常数b ，结合对数函数的性质求得b 的值.（3）由()()f x h x =列方程，利用换元法，结合对c 分类讨论来求得c 的取值范围.【详解】(1)()()f x f x =-，即()(log 1log 1)x x a a a kx a kx -++=+-，()()2log 1log 1x x a a kx a a -=+-+，12log log 1x x a a x a kx a x a --⎛⎫+===- ⎪+⎝⎭， 12k =-． (2)()11log 122x a a x x b +-=+，即()log 1x a b a x =+-， ()log 1log x x a a b a a =+-，11log log 1x a a x x a b a a ⎛⎫+⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为111xa +>，所以()0,1a ∈，()1log 1,0a x y a⎛⎫=+∈-∞ ⎪⎝⎭，()1,a ∈+∞，()1log 10,a x y a ⎛⎫=+∈+∞ ⎪⎝⎭，所以0b =．(3)由题意得，()22411log log 1log 32x x x a a a x a c a c a x a ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⋅-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有唯一解， 222244033143x x x x x c a c c a a c a c a ⎧⎛⎫⋅-=⋅->⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨+⎪=⋅-⎪⎩有唯一解．令x t a =，()0,t ∈+∞，有唯一解，()241103c t ct ---=有唯一解．设()()24113r t c t ct =---，当1c =时，()413r t t =--，()0,t ∈+∞，()0r t <，所以不符合题意；当1c >时，()010r =-<，4161616251039999r c c ⎛⎫=---=-< ⎪⎝⎭，所以恰好一个大于43的解：符合题意；当1c <时，()244103c c ⎛⎫∆=-+-= ⎪⎝⎭，解得3c =-或34， 3c =-，12t =符合题意； 34c =，2t =-不符合题意，综上，{}()31,c ∈-⋃+∞.【点睛】求解方程根、函数图象的交点、函数零点等问题，可考虑分离常数法来进行求解.如本题中第（2）问，()f x 与()g x 有0个交点，转化为()()f x g x =有0个解，分离常数b 后，转化为b 与1log 1a x y a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象没有交点来进行求解.。

【KS5U发布】辽宁省沈阳二中2020-2021学年高一上学期12月月考试题数学 Word版含答案

沈阳二中2022——2021学年度上学期12月份小班化学习成果阶段验收高一（ 17 届）数学试题命题人：数学组审校人：数学组说明：1.测试时间：120分钟总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷（60分）一．选择题：（满分60分）1.已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤3}，则A ∩B ＝( )A ．(0,1)B ．(0,3]C ．(1,3)D ．(1,3]2.若函数y ＝f (x )的定义域为[－3,5]，则函数g (x )＝f (x ＋1)＋f (x －2)的定义域是( C )A ．[－2,3]B ．[－1,3]C ．[－1,4]D ．[－3,5] 3.以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( )A ．球的三视图总是三个全等的圆B ．正方体的三视图总是三个全等的正方形C ．水平放置的正四周体的三视图都是正三角形D ．水平放置的圆台的俯视图是一个圆4. 设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤k ，k ，f (x )＞k ，取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)5.假如一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋ 2 B.1＋22 C.2＋22D ．1＋ 26.如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为4，动点E ，F 在棱AB 上，且EF ＝2，动点Q 在棱D ′C ′上，则三棱锥A ′－EFQ 的体积( ) A ．与点E ，F 位置有关 B ．与点Q 位置有关C ．与点E ，F ，Q 位置都有关D ．与点E ，F ，Q 位置均无关，是定值7.若始终线上有相异三个点A ，B ，C 到平面α的距离相等，那么直线l 与平面α的位置关系是( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l 与α相交且不垂直D ．l ∥α或l ⊂α8. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝⎛⎦⎤－∞，138 C ．(－∞，2] D.⎣⎡⎭⎫138，2 9. 已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13B.12C.34D ．1 10. 已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞D.⎣⎡⎦⎤－2，12 11.已知函数f (x )=log 2(t +1t−m),(t >0)的值域为R ，则m 的取值范围是（） A.（−∞，−2） B.（−2,2） C. [2,+∞) D .(−∞,+∞)12.2x 3−x 2−2x +1=0的三个根分别是α，β，γ，则α+β+γ+αβγ的值为（）A ．-1B ．0C ．−12 D ．12第Ⅱ卷（90分）二．填空题：(满分20分)13. 若方程4(3)20xxm m +-•+=有两个不相同的实根，则m 的取值范围是 14. 已知在三棱锥BCD A -中, 22CABD,23CD ，2ADAB BC ,则该棱锥的外接球半径15. 已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为16. 在直角坐标系中，A (4,0)，B (0，4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最终经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是三.解答题：（70分）17. 已知定义在R 上的单调函数f (x )满足：存在实数x 0，使得对于任意实数x 1，x 2，总有 f (x 0x 1＋x 0x 2)＝f (x 0)＋f (x 1)＋f (x 2)恒成立．求：(1)f (1)＋f (0)； (2)x 0的值．18. 如图，把边长为2的正六边形ABCDEF 沿对角线BE 折起，使AC ＝ 6.(1)求证：平面ABEF ⊥平面BCDE ； (2)求五面体ABCDEF 的体积．。

高三数学上学期第一次月考试题文扫描试题

HY中学2021届高三数学上学期第一次月考试题文〔扫描版〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日一中第一期联考文科数学答案命题、审题组老师杨昆华彭力杨仕华王佳文张波毛孝宗丁茵易孝荣江明李春宣一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCBCDADDCAAB1. 解析：由题意，因为集合{}1>=x x A ，所以=B A {}31<<x x ，选B ． 2. 解析：因为2i 12i i i)i)(1(1i)i(1i 1i 2+=-=-+-=+，选C ． 3. 解析：18=0.4540，选B ． 4. 解析：由得54)cos(-=--αβα，即54cos )cos(-==-ββ，又πβ（∈，）23π，所以0sin <β，且53cos 1sin 2-=--=ββ，选C ．5. 解析：在长、宽、高分别为2，1，1的长方体中截得该三棱锥A DBC -，那么最长棱为2222116AB =++=，选D ．6. 解析：对于B ，函数的周期是π，不是π4；对于C ，函数在3π=x 时不取最值；对于D ，当∈x 65(π-，)6π时，34(32ππ-∈+x ，）32π，函数不是单调递增，选A ． 7. 解析：因为()()11f x f x -=+，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，选D ．8. 解析：由垂径定理可知直线CM 的斜率为2-，所以直线CM 的方程是)2(21--=+x y ，即032=-+y x ，选D ．9. 解析：设外接球的半径为R ，因为PA ⊥平面ABC ，所以BC PA ⊥，又BC AB ⊥，所以BC PB ⊥，设PC 的中点为O ，易知：OA OB OC OP ===，故O 为四面体P ABC -的外接球的球心，又2PA AB BC ===，所以22AC =，23PC =，半径3R =，四面体P ABC -的外接球的外表积为()24312ππ=，选C ．10. 解析：由()y f x =,()01f =-排除B ，()f x 是偶函数排除C,()20f =和()40f =排除D ，选A ．11. 解析：由题设得3=ab，2)(12=+=a b e ，所以b e a +2362322323322=≥+=+=aa a a ，选A ． 12. 解析：由余弦定理及22b ac a -=得，22222cos b a c ac B a ac =+-=+，所以有2cos c a B a =+，因此sin 2sin cos sin C A B A =+，故有()sin 2sin cos sin A B A B A +=+，即()sin sin A B A =-，因为三角形ABC 为锐角三角形，所以A B A =-，即2B A =，所以022A π<<，所以04A π<<，又3B A A +=，所以32A ππ<<，所以63A ππ<<，综上,64A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()sin sin 22cos 2,3sin sin B At A A A===∈，选B ．二、填空题13. 解析：由22a b a b -=+解得0a b ⋅=，所以向量a 与b 夹角为90︒． 14. 解析：N=126+146+96+136=288⨯⨯⨯⨯．15. 解析：由图知，直线4z y x =-过()1,0时，4y x -有最小值1-. 16. 解析：由得()()22log 1933f x x x -=+++，所以()()6f x f x +-=，因为2lg 3⎛⎫ ⎪⎝⎭与3lg 2⎛⎫⎪⎝⎭互为相反数，所以23lg lg 632f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3lg 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．三、解答题〔一〕必考题17. 解：〔1〕证明：设1122n n nn a a d ---=那么122n n n a a d --= 所以1122n n n a a d ++-=,11122222n n n n n n a a da a d++--==-所以}{12n na a +-是首项为4,公比为2的等比数列. ………6分〔2〕因为{}2n n a 是等差数列，所以1221122=-=a a d ,所以11(1)22n n a a n d =+-⨯ , 所以1()22nn a n =-所以123113531222...()2()222222n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-+-① 2311333222...()2()22222n n n S n n +=⨯+⨯++-+-②由①-②得23111=2+2+2...2()222n n n S n +-⨯++-- 13=(n-)232n n S ++． ………12分18. 解：〔1〕选派B 同学参加比拟适宜．理由如下：1(7580808385909295)858A x =+++++++=，1(7879818284889395)858B x =+++++++=，22222221[(7885)(7985)(8185)(8285)(8485)(8885)8B S =-+-+-+-+-+-+22(9385)(9585)]35.5-+-=，22222221[(7585)(8085)(8085)(8385)(8585)(9085)8A S =-+-+-+-+-+-+22(9285)(9585)]41-+-=，从A B x x =，22B A S S <可以看出：A ，B 两位同学的平均程度一样而B 的成绩较稳定，所以选派B 参加比拟适宜． ………7分〔2〕任选派两人有(,)A B ，(,)A C ，(,)A D ，(,)A E ，(,)B C ，(,)B D ，(,)B E ，(,)C D ，(,)C E ，(,)D E 一共10种情况；所以A ，B ，C 三人中至多有一人参加英语口语竞赛有7种情况；所以710P =． ………12分19. 解：〔1〕在直角梯形ABCD 中，2BC AD AB ⋅=，即AB ADBC AB=，因为90DAB PBC ∠=∠=, 所以tan AB ACB BC ∠=，tan ADABD AB∠=，所以ABD ACB ∠=∠，又因为90ACB BAC ∠+∠=，所以90ABD BAC ∠+∠=，即AC BD ⊥图2的四棱锥1P ABCD -中，1P A AB ⊥，由题知1P A AD ⊥，那么1P A ⊥平面ABCD ，所以1BD P A ⊥，又1P AAC A =所以BD ⊥平面1P AC . ………6分(2)在图1中，因为AB =,1AD =，2BC AD AB ⋅=，所以3BC =因为PAD ∆∽PBC ∆，所以13PA AD PA PB BC ==⇒=，即1P A = 由〔1〕知1P A ⊥平面ABCD ，那么1C P BD V -1P CBD V -=1P CBD V -=111111133332324CBD S P A BC AB P A ∆⋅⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯=. ………12分20. 解：〔1〕由椭圆定义知，224AF BF AB a ，又222AF BF AB ，得43ABa ，l 的方程为y x c ，其中22c a b .设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将y x c 代入22221x y a b 得，2222222()2()0a b x a cx a c b . 那么212222-a c x x a b ，2221222)a cb x x a b （.因为直线AB 的倾斜角为4π，所以212122()4ABx x x x ，由43AB a 得，222443a ab a b ，即222a b .所以C的离心率2222c a b e a a. ………6分 (2) 设AB 的中点为0,0()N x y ，由〔1〕知，2120222--23x x a c c x a b ，003cy x c .由PA PB 得，PN 的斜率为-1，即001-1y x ，解得，3c ，32a ，3b .所以椭圆C 的方程为221189x y . ………12分21. 解：〔1〕()f x 的定义域为(,)-∞+∞,因为()e x f x a '=+，由(0)0f '=，得1a =-, 所以()e 2x f x x =--，由()e 10x f x '=->得0x >，由()e 10x f x '=-<得0x <，所以()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞. ………6分 (2) 因为0x >,所以()e 1e 1xxm x -<+可化为e 1e 1x x x m +<-，令e 1()e 1x x x F x +=-，那么()2e (e 2)()e 1x x x x F x --'=-，由〔1〕得()e 2x f x x =--在(0,)+∞上单调递增，而(1)e 30f =-<,2(2)e 40f =->,所以()f x 在(1,2)上存在唯一的0x ，使0()0f x =，所以()F x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，所以0()F x 是()F x 00e 20x x --=得00e 2x x =+，所以00000000e 1(2)1()11e 1x x x x x F x x x +++===++-，又因为012x <<，所以02()3F x <<，所以[]max 2m =. ………12分〔二〕选考题：第22、23题中任选一题做答。

2022-2023学年山东省实验中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)

2022-2023学年山东省实验中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（）A ．OA 、OB 、OC 共线 B ．OA 、OB 共线 C ．OB 、OC 共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面【答案】D【解析】根据向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论. 【详解】因为O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底，所以OA 、OB 、OC 共面，所以O 、A 、B 、C 四点共面，故选：D2．抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（） A ．1 B ．2C．D ．4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.3．与曲线2211636x y +=共焦点，且与双曲线22146x y -=共渐近线的双曲线的方程为（） A ．221128y x -=B ．221812y x -=C ．221128x y -=D ．221812x y -=【答案】A【分析】先由与椭圆共焦点得到220c =，且焦点在y 轴上，从而巧设所求双曲线为()22046x y λλ-=<，利用222c a b =+即可得解.【详解】因为曲线2211636x y +=为椭圆，焦点在y 轴上，且2361620c =-=，又因为所求双曲线与双曲线22146x y -=共渐近线，所以设所求双曲线为()22046x y λλ-=<，即22164y x λλ-=--，则26420c λλ=--=，解得2λ=-，所以所求双曲线为221128y x -=.故选：A.4．《九章算术》是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题.在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为多少？（） A ．13B ．23C ．16D ．56【答案】B【分析】设每人分到的钱数构成的等差数列为{}n a ，公差0d >，由题意可得，12345a a a a a ++=+，55S =，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．【详解】解：设每人分到的钱数构成的等差数列为{}n a ，公差0d >，由题意可得，12345a a a a a ++=+，55S =，故113327a d a d +=+，15105a d +=，解可得，123a =，16d =，故任意两人所得的最大差值243d =．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式在实际问题中的应用，属于基础题． 5．设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()6353a a a =+，则117S S =（） A ．117B ．227C ．337D ．667【答案】D【分析】先利用等差公数的通项公式得到15130a d +=，再利用等差公数的前n 项和公式即可得解. 【详解】因为{}n a 是公差不为零的等差数列，()6353a a a =+，所以()1115324a d a d a d +=+++，得15130a d +=，令()50d k k =≠，则113a k =-，则所以()()()()1111711111011115111325111266276737131572772a d a d k k S S a d k k a d ⨯++-+⨯=====⨯+-+⨯+. 故选：D.6．已知圆22()()1x a y b -+-=经过原点，则圆上的点到直线2y x =+距离的最大值为（） A ．22 B ．22+ C ．21+ D ．2【答案】B【分析】由题意画图，数形结合可知2=21+1OB =，当圆心(,)a b 在C 处时，点(,)a b 到直线2y x =+的距离最大，进而可求结果.【详解】如图：22()()1x a y b -+-=圆心为(,)a b ，经过原点，可得221a b += 则圆心(,)a b 在单位圆221x y +=上，原点(0,0)到直线2y x =+的距离为=21+1OB 延长BO 交221x y +=于点C ，以C 为圆心，OC 为半径作圆C ，BC 延长线交圆C 于点D ，当圆心(,)a b 在C 处时，点(,)a b 到直线2y x =+的距离最大为2+1OB 此时，圆22()()1x a y b -+-=上点D 到直线2y x =+的距离最大为22OB 故选：B【点睛】关键的点睛：由题意画图，数形结合可得，点D 到直线2y x =+的距离最大是解题的关键.本题考查了作图能力，数形结合思想，运算求解能力，属于一般题目.7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点为1F 、2F ，点M ，N 在C 上，且123F F MN =，12F M F N ⊥，则双曲线C 的离心率为（）ABC ．2D 【答案】D【分析】根据123F F MN =，12F M F N ⊥，由双曲线对称性可知，直线1F M 与2F N 交于y 轴上一点P ，且12PF F △为等腰直角三角形，可得N 的坐标，分别求出12,NF NF ，再根据双曲线的定义即可得出答案.【详解】解：因为123F F MN =，12F M F N ⊥，由双曲线对称性可知，直线1F M 与2F N 交于y 轴上一点P ，且12PF F △为等腰直角三角形，所有1OP OF c ==，如图，则2,33c c N ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0F c -，()2,0F c ，所以1NF ==，23NF ==，则122NF NF a -==，即a =，则c e a === 故选：D.8．伦敦奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的双曲线屋顶的一段近似看成离心率为52的双曲线222:1(0)y C x a a -=>上支的一部分，点F 是C 的下焦点，若点P 为C 上支上的动点，则PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】先根据已知条件求出双曲线方程，则可求出焦点坐标和渐近线方程，上焦点为15)F ，则由双曲线的定义可得1124PF PF a PF =+=+，由双曲线的对称性取一条渐近线2y x =，设P 到2y x =的距离为d ，则将问题转化为求出14PF d ++，而1PF d +的最小值为15)F 到渐近线2y x=的距离，从而可求得答案【详解】因为双曲线222:1(0)y C x a a -=>5，215a +=24a =，则双曲线方程为2214y x -=，5c =所以下焦点(0,5)F -，渐近线方程为2y x =±，设上焦点为15)F ，则1124PF PF a PF =+=+，由双曲线的对称性，不妨取一条渐近线为2y x =，设P 到2y x =的距离为d ，则PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和为14PF d PF d +=++，因为1PF d +的最小值为1F 到渐近线2y x =1=，所以14PF d PF d +=++的最小值为415+=，即PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为5，故选：D二、多选题9．已知数列{n a }的前n 项和为211n S n n =-，则下列说法正确的是（）． A ．{}n a 是递增数列 B ．{}n a 是递减数列C ．122n a nD ．数列{}n S 的最大项为5S 和6S【答案】BCD【分析】根据211n S n n =-，利用二次函数的性质判断D ，利用数列通项和前n 项和关系求得通项公式判断ABC.【详解】解：因为22111211124n S n n n ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，所以数列{}n S 的最大项为5S 和6S ，故D 正确；当1n =时，110a =，当2n ≥时，由211n S n n =-，得()()211111n S n n -=---，两式相减得：212n a n =-+，又110a =，适合上式，所以212n a n =-+，故C 正确；因为120n n a a --=-<，所以{}n a 是递减数列，故A 错误，B 正确；故选：BCD10．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若11m m a a a +-<<-（m ∈*N ，且2m ≥），则必定有（） A ．0m S > B ．0m S <C ．10m S +>D ．10m S +<【答案】AD【分析】根据等差数列求和公式即可判断. 【详解】∵11m m a a a +-<<-， ∴10m a a +>，110m a a ++<， ∴()102m m a a m S +⨯=>,()()111102m m a a m S +++⨯+=<,故选：AD.11．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（）A ．1126AC =B ．BD ⊥平面1ACCC ．向量1B C 与1AA 的夹角是60°D ．直线1BD 与AC 6【答案】AC【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可．【详解】解：对于111:A AC AB BC CC AB AD AA =++=++， ∴22221111222AC AB AD AA AB AD AD AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅363636266cos60266cos60266cos60216=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=，所以1||21666AC A 错误；对于:B 11()()AC BD AB AD AA AD AB ⋅=++⋅-22110AB AD AB AD AB AD AA AD AA AB =⋅-+⋅+⋅--⋅=，所以10AC DB ⋅=，即1AC DB ⊥，2222()()0AC BD AB AD AD AB AD AB AD AB ⋅=+⋅-==--=，所以0AC BD ⋅=，即AC BD ⊥，因为1AC AC A ⋂=，1,AC AC ⊂平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，选项B 正确；对于C ：向量1B C 与1BB 的夹角是18060120︒-︒=︒，所以向量1B C 与1AA 的夹角也是120︒，选项C 错误；对于11:D BD AD AA AB =+-，AC AB AD =+所以()2222211111222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-=+++⋅-⋅-⋅，1||36BD ∴= 同理，可得||63AC =11()()18183636181836AC BD AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+=+-++-=，所以111cos ||||63AC BD BD AC AC BD ⋅<⋅>==⋅，所以选项D 正确．故选：AC ．12．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交C 于不同的A ，B 两点，则下列说法正确的是（）A ．若点()3,1Q ，则||AQ AF +的最小值是4B ．3OA OB ⋅=-C ．若12AF BF ⋅=，则直线AB 的斜率为D ．4||AF BF +的最小值是9 【答案】ABD【分析】对于A ，过点A 作C 的准线的垂线，垂足为A '，则利用抛物线的定义结合图形求解即可，对于B ，设直线AB 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程代入抛物线方程中，消去x ，利用根据与系数的关系，从而可求出OA OB ⋅的值，对于C ，由12AF BF ⋅=，可得AF BF ⋅()()211112x x =++=，化简后将选项B 中的式子代入可求出m 的值，从而可求出直线的斜率，对于D ，根据选项B 中的式子可求得111AF BF +=，则4AF BF +()114AF BF AF BF ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭化简后利用基本不等式可求得结果【详解】由题意知，C 的准线方程为=1x -，焦点F （1，0），过点A 作C 的准线的垂线，垂足为A '，则||AQ AF AQ AA +='+，故||||AQ AF +的最小值是点Q 到C 的准线的距离，即为4，故A 正确；设直线AB 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由241y xx my ⎧=⎨=+⎩得2440y my --=．所以124y y =-，124y y m +=，221212144y y x x =⋅=，()21212242x x m y y m +=++=+，所以OA OB ⋅=1212143x x y y +=-=-，故B 正确；若||6AF BF ⋅=，又11AF x =+，21BF x =+，所以AF BF ⋅()()1211x x =++()22111x x x x =+++2142112m =+++=，解得2m =AB 的斜率为1k m =22==C 错误； 11AF BF +211111x x =+++()()12211111x x x x +++=++21122121x x x x x x ++=+++1=，所以4AF BF +()114AF BF AF BF ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭45+5249BF AF AF BF =+≥+=，当且仅当3||2AF =，3BF =时，等号成立，故D 正确，故选：ABD ．三、填空题13．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且38S =，67S =，则459a a a ++⋯+=________．【答案】78-【解析】由题意及等比数列前n 项和的性质知3S ，63S S -，96S S -成等比数列，解得9S 的值，45993a a a S S +++=-，代入计算即可．【详解】根据由题意知3S ，63S S -，96S S -成等比数列，即8，78-，97S -成等比数列，所以()29(1)87S -=-，解得9178S =．所以45993177888a a a S S +++=-=-=-．故答案为：78-14．已知向量()0,2,2a =-，向量()6,3,1b =，则向量a 在向量b 方向上的投影为____________．【答案】1-【分析】代入向量投影的计算公式即可求出结果. 【详解】因为()0,2,2a =-，()6,3,1b =，所以()0623214a b ⋅=⨯-⨯+⨯=-，22a =，4b =，所以向量a 在b 方向上的投影数量为4cos ,14a b a b a a b a a bb⋅⋅-⋅=⋅===-⋅. 故答案为：1-.15．在平面直角坐标系xOy 中，直线20mx y -+=与曲线y =数m 的取值范围是__________．【答案】3,14⎛⎤⎥⎝⎦【分析】做出曲线y 20mx y -+=过定点()02，，数形结合即可求出结果.【详解】由题意可知，曲线y ()1,0-，半径为1的圆的上半部分（含端点），则直线20mx y -+=与曲线y 20mx y -+=过定点()02，，可考虑临界状态，即直线与半圆相切时或直线经过点()2,0-，当过点()2,0-时，2020m --+=，即1m =，当直线20mx y -+=20211m m --+=+，解得34m =，数形结合可知有两个不同的公共点时实数m 的取值范围为3,14⎛⎤⎥⎝⎦．故答案为：3,14⎛⎤⎥⎝⎦.四、双空题16．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在C 上，直线PF 2与y 轴交于点Q ，点P 在线段2F Q 上，1QPF 的内切圆的圆心为I ，若12IF F △为正三角形，则12F PF ∠=___________，C 的离心率的取值范围是___________．【答案】 603π︒＃＃ 132⎛ ⎝⎭【分析】设A 为上顶点，点P 位于第一象限，作212BF F F ⊥交椭圆于点B 如图所示，则()1211112F PF QF P FQP QF I FQI ∠=∠+∠=∠+∠，即可求解，又因为点P 位于点A 与B 之间，所以121260F BF F AF ∠<︒<∠，利用正切值即可求解离心率范围．【详解】设A 为上顶点，点P 位于第一象限，作212BF F F ⊥交椭圆于点B ，则2,b B c a ⎛⎫⎪⎝⎭如图所示：依题意得()121111223060F PF QF P FQP QF I FQI ∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ 依题意得点P 位于点A 与B 之间，故121260F BF F AF ∠<︒<∠所以122tan tan 60tan tan 30F BF OAF ∠<︒⎧⎨∠>︒⎩，则22333cb ac b ⎧<⎪⎪⎨⎪⎪>⎩ 化为2323012e e e ⎧+-<⎪⎨>⎪⎩，解得1323e << 故答案为：60︒，13,23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭五、解答题17．已知()1,4,5a =-，()2,3,2b =-，点()3,2,3A --，()2,3,2B --． (1)求2a b +的值．(2)在线段AB 上，是否存在一点E ，使得OE b ⊥？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．（O 为坐标原点）【答案】(1)13(2)存在，152015,,777E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用空间向量的线性运算及模的运算公式即可得解；（2）利用空间向量共线定理得到OE 关于λ的关系式，再由空间向量垂直的坐标表示求得λ，从而得到点E 的坐标.【详解】（1）因为()1,4,5a =-，()2,3,2b =-，所以()()()()()221,4,52,3,22,8,102,32,20,5,1a b -+-=-+-=-+=⨯，则23201a b =++.（2）假设线段AB 上存在一点E ，使得OE b ⊥，则设()01AE AB λλ=≤≤，因为()3,2,3A --，()2,3,2B --，所以()()()2,3,23,2,31,1,1AB ----=-=--，又因为OE OA AE AB λ-==，所以()()(),,3,2,33,2,3OE AB OA λλλλλλλ=+=--+--=----+，因为OE b ⊥，()2,3,2b =-，所以()()()2332230λλλ--+--+-+=，解得67λ=，满足01λ≤≤，所以6661520153,2,3,,777777OE ⎛⎫⎛⎫=----+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即152015,,777E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以线段AB 上存在一点E ，使得OE b ⊥，且152015,,777E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.18．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和是n S ，且25517,35a a S +==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11,1,2,n n n b n a a +==，求数列{}n b 的前n 项和n T ；【答案】（1）32n a n =-；（2）31+nn . 【分析】（1）由题设有11251751035a d a d +=⎧⎨+=⎩求1a 、d ，写出{}n a 的通项公式；（2）应用裂项相消法，求{}n b 的前n 项和n T 即可.【详解】（1）由题意，25151251751035a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得113a d =⎧⎨=⎩，∴1(1)32n a a n d n =+-=-. （2）由111111()(32)(31)33231n n n b a a n n n n +===--+-+， ∴12111111...(1...)34473231n n T b b b n n =+++=⨯-+-++--+11(1)33131nn n =⨯-=++. 19．如图，四边形ABCD 为平行四边形，120BCD ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，且FC ⊥平面ABCD ，12AD FC AB ==.（1）证明：平面ACFE ⊥平面BCF ；（2）若M 为EF 的中点，求平面ABM 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）21919. 【分析】（1）由题可得AC ⊥BC ，AC ⊥CF ，利用线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面BCF ，再利用面面垂直的判定定理可证；（2）利用坐标法即求.【详解】∵四边形ABCD 为平行四边形，120BCD ∠=︒， ∴∠CBA =60°又12AD BC AB ==，∴在△ACB 中，∠ACB =90°，即AC ⊥BC ，又FC ⊥平面ABCD ， ∴AC ⊥CF ，又BCCF C =，∴AC ⊥平面BCF ，又AC ⊂平面ACFE ， ∴平面ACFE ⊥平面BCF .（2）如图以C 为原点建立空间直角坐标系，设AB =2，则AD =1，CF =1，AC =3，∴3(3,0,0),(0,1,0),((0,0,0),(0,0,1)A B M C F ，则3(3,1,0),(2AB AM =-=-，设平面ABM 的法向量(,,)m x y z =，∴00m AB m AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴00y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令2x =，则(2,23,m =，平面BCF 的法向量可取(3,0,0)n CA ==，∴cos ,412m n mn m n ⋅===+ ∴平面ABM 与平面BCF . 20．已知数列{}n a 是等差数列，且12312a a a ++=，816a =.(1)若数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n 项，按原来顺序组成一个新数列{}n b ，试求出数列{}n b 的通项公式；(2)令3nn n c b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】(1)4n b n =，*n ∈N ；(2)()12133n n S n +=-⋅+.【分析】(1)利用等差数列性质求出数列{}n a 公差及通项公式，由2n n b a =求解作答. (2)由(1)的结论求出n c ，再用错位相减法计算作答.【详解】（1）等差数列{}n a 中，2123312a a a a =++=，解得24a =，公差28282a d a -==-，则()()224222n a a n d n n =+-=+-⨯=，因此，2224n a n n =⨯=，依题意，24n nb a n ==，所以数列{}n b 的通项公式4n b n =，*n ∈N .（2）由(1)知，343n nn n c b n =⋅=⋅，则()21438344343n nn S n n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，因此，()2313438344343n n n S n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，()()231113243333434(13)413363143nn n n n n n S n n n +++--=+++⋅⋅⋅+-⋅-⋅=--⋅=⨯-1(42)36n n +=--⋅-，所以()12133n n S n +=-+.21．如图，设点,A B 在x 轴上，且关于原点O 对称．点P 满足1tan 2,tan 2PAB PBA ∠=∠=，且PAB 的面积为20．（Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）以,A B 为焦点，且过点P 的椭圆记为C ．设00(,)M x y 是C 上一点，且013x -<<，求0y 的取值范围．【答案】（Ⅰ）(3,4)-；（Ⅱ）[25,4)(4,25]--．【分析】（Ⅰ）设(,0),(,0)A c B c -，根据点P 满足1tan 2,tan 2PAB PBA ∠=∠=，得到直线PA 的方程为2()y x c =+，直线PB 的方程为1()2y x c =--，两方程联立用c 表示点P 的坐标，再根据PAB 的面积为20，由1||||202P S AB y =⋅=求得c 即可.（Ⅱ）由（Ⅰ）得(5,0),(5,0)A B -，P (3,4)-，从而由1(||)2a PA PB =+求得a ，进而得到椭圆C 的方程，然后根据013x -<<求解. 【详解】（Ⅰ）如图所示：设(,0),(,0)A c B c -，则直线PA 的方程为2()y x c =+，直线PB 的方程为1()2y x c =--．由2(),1(),2y x c y x c =+⎧⎪⎨=--⎪⎩ 解得3,54.5c x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以34(,)55c cP -．故PAB 的面积214||||25P S AB y c =⋅=．所以24205c =，解得5c =．所以点P 的坐标为(3,4)-．（Ⅱ）由（Ⅰ）得(5,0),(5,0)A B -．所以PAPB 设以,A B 为焦点且过点P 的椭圆方程为2222:1x y C a b +=．则1(||)2a PA PB =+=22220b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2214520x y +=．所以220014520x y +=，即220020(1)45x y =-．因为013x -<<，所以209x <≤．所以21620y <≤．所以0y的取值范围是[4)(4,25]--．22．已知O 为坐标原点,1F ,2F 分别是双曲线C ：22221x y a b -=（0a >,0b >）的左, 右焦点,126F F =,若直线10x y --=与双曲线C 点的右支有公共点P . (1)求C 的离心率的最小值;(2)当双曲线C 的离心率最小时,直线():2l y k x =+()0k ≠与C 交于M ,N 两点,求OMONk k k k +的值.【答案】(2)10【分析】(1) 由于3c =,所以离心率的最小值即为求a 的最大值,连接1PF ,2PF ,要使双曲线C 的离心率最小,只需a 最大,即122a PF PF =-最大,求出()23,0F 关于直线10x y --=的对称点为A ,连接PA ,1F A ,则12112a PF PF PF PA F A =-=-≤即可求出a 最大值,进而求出离心率最小值;(2)由(1)可得离心率最小值时的,a b ,可得双曲线方程,联立直线与双曲线方程,设M ,N 两点坐标,求出,OM ON k k ,代入上式即可.【详解】（1）解:由题知126F F =,()()123,03,0F F ∴-，,设2F 关于直线10x y --=的对称点为(),A x y , 则11331022yx x y ⎧⨯=-⎪⎪-⎨+⎪--=⎪⎩, 解得12x y =⎧⎨=⎩, 故()1,2A ,连接1PF ,2PF ,PA ,1F A , 则2PF PA =, 则122a PF PF =-1PF PA =- 1F A ≤==,故ac e a ∴=≥=故双曲线C ; （2）由(1)知双曲线C, 此时2a b ==,双曲线方程为22154x y -=,联立得()222154y k x x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩, 消去y 并整理得()2222452020200k xk x k ----=,则有2450k -≠且()()()()222222044520208040k k k k ∆=-+⨯-+=->,即204k ≤<且245k ≠, 设()11,M x y ,()22,N x y ,则21222045k x x k +=-,2122202045k x x k +=--, 则12121111OM ONy y k k x x +=+1212x x y y =+ 122112x y x y y y +=()()()()12212122222x kx k x kx k k x x +++=++()()1212212122224kx x k x x k x x x x ++=+++⎡⎤⎣⎦222222222202020224545202020244545k k k k k k k k k k k ⎛⎫+⨯-+⨯ ⎪--⎝⎭=⎛⎫+-+⨯+ ⎪--⎝⎭ 10k=, 1101OMON OM ON k k k k k k k ⎛⎫∴+=+= ⎪⎝⎭. 【点睛】思路点睛:本题考查双曲线性质以及直线与双曲线的位置关系,属于难题,常用的解决直线与圆锥曲线位置关系的思路为:(1)设直线方程(注意斜率存在不存在以及斜率为0的情况),设交点坐标, (2)联立直线与圆锥曲线方程,(3)设为不求,韦达定理(注意判别式的正负), (4)列出满足题意的方程,进行化简.。

辽宁省沈阳市实验中学2020年高三数学理月考试题含解析

辽宁省沈阳市实验中学2020年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．(1，2） C．（2，3） D．（3，10）参考答案：C2. 设正实数x，y满足x＞，y＞1，不等式+≥m恒成立，则m的最大值为（）A．2B．4C．8 D．16参考答案：C【考点】基本不等式．【分析】不等式+≥m恒成立，转化为求+的最小值，可得m的最大值．将分母转化为整数，设y﹣1=b，则y=b+1，令2y﹣1=a，y=（a+1），利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设y﹣1=b，则y=b+1，令2y﹣1=a，y=（a+1），a＞0，b＞0．那么：+==（当且仅当a=b=1即x=2，y=1时取等号．∴+的最小值为8，则m的最大值为8．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质的运用解决恒成立的问题，利用了换元法转化求解，多次使用基本不等式式解决问题的关键，属于中档题．3. 平面上三点不共线，设,则的面积等于（）A． B．C． D．参考答案：C4. 设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为（A）（B）（C）（D）参考答案：答案：A解析：观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。

5. 已知数列满足：，．若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C6. 已知平面向量，的夹角为，且||=，||=2，在△ABC中，=2+2，=2﹣6，D为BC中点，则||=( )A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：A考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知中平面向量，的夹角为，且||=，||=2，=3，再由D为边BC的中点，==2，利用平方法可求出2=4，进而得到答案．解答：解：∵平面向量，的夹角为，且||=，||=2，∴=||||cos=3，∵由D为边BC的中点，∴==2，∴2=（2）2=4，∴=2；故选：A．点评：本题考查了平面向量数量积，向量的模，一般地求向量的模如果没有坐标，可以通过向量的平方求模7. 已知函数满足，若在(－2,0)∪(0,2)上为偶函数，且其解析式为，则的值为（）A．－1 B．0 C. D．参考答案：B∵，∴，∴函数的周期为4.当时，，∴,由函数在上为偶函数,∴．∴．选B．8. 已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的一条对称轴是（）A． B． C． D．参考答案：D略9. 设等比数列中，前n项和为,已知，则A. B. C. D.参考答案：A因为，在等比数列中也成等比，即成等比，所以有，即，选A.10. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A． B．C． D．参考答案： B 略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 记函数的定义域为，若存在使得成立，则称点是函数图像上的“稳定点”．若函数的图像上有且仅有两个相异的稳定点，则实数的取值范围为________ .参考答案：或且12. 已知函数f （x ）＝lnx －ax 的图象在x ＝1处的切线与直线2x ＋y －1＝0平行，则实数a 的值为___________.参考答案：3试题分析：因为在处的导数值为在处切线的斜率，又因为，所以考点：利用导数求切线.13. 已知向量共线，则k=。

2022-2023学年辽宁省大连市第八中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)

2022-2023学年辽宁省大连市第八中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}02A x x =<<，{}2340B x x x =+-<，则A B ⋃=（） A ．()0,1B ．()4,2-C ．4,2D ．()4,0-【答案】B 【分析】求出集合B ，利用并集的定义可求得集合A B ⋃.【详解】因为{}()23404,1B x x x =+-<=-，{}02A x x =<<，所以()4,2A B ⋃=-．故选：B.2．命题：n ∃∈N ，235n n >+，则该命题的否定为（）A ．N n ∀∈，235n n >+B ．N n ∀∈，235n n ≤+C ．n ∃∈N ，235n n ≤+D ．n ∃∈N ，235n n <+ 【答案】B【解析】根据特称命题的否定可得出结论.【详解】由特称命题的否定可知，原命题的否定为：N n ∀∈，235n n ≤+.故选：B.【点睛】本题考查特称命题否定的改写，解题的关键就是弄清特称命题的否定与全称命题之间的关系，属于基础题.3．已知0.64a =，9log 9.1b =，ln 2c =，则（）A ．c<a<bB ．c b a <<C ．b<c<aD ．a c b <<【答案】B【分析】先利用函数单调性求得2a >，12b <<，01c <<，进而求得a b c 、、之间的大小关系【详解】因为0.60.5442=>=a ，9991log 9log 9.1log 812b =<=<=，0ln 2lne 1c <=<= 所以12c b a <<<<．故选：B ．4．已知a ∈R ，则“11a ≤”是“1a >”的（） A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式11a ≤，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】由11a ≤可得1110a a a--=≥，解得1a ≥或a<0，因为{0a a <或}1a ≥ {}1a a >，因此，“11a≤”是“1a >”的必要不充分条件，故选：A.5．某读书会有5名成员，寒假期间他们每个人阅读的节本数分别如下：3，5，4，2，1，则这组数据的60%分位数为（）A ．3B ．3.5C ．4D ．4.5 【答案】B【分析】这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，4，5，根据560%3⨯=，结合百分数的定义，即可求解.【详解】由题意，这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，4，5，且560%3⨯=，可得这组数据的60%分位数为从小到大排列的第3个数和第4个数的平均数为34 3.52+=. 故选：B.6．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，之后增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用A ．一次函数B ．二次函数C ．指数型函数D ．对数型函数【答案】D【分析】分别分析一次函数、二次函数、指数型函数、对数型函数单调性以及其变化快慢结合题意即可得结果.【详解】根据基本初等函数的图象与性质可知，一次函数增长的速度不变，不满足题意；要满足调整后初期利润增长迅速，如果是二次函数，则必须开口向上，而此时在二次函数对称轴的右侧增长的速度是越来越快，没有慢下来的可能，不符合要求；要满足调整后初期利润增长迅速，如果是指数函数，则底数必是大于1的数，而此时指数函数增长的速度也是越来越快的，也不满足要求；对于对数函数，当底数大于1时，对数函数增长的速度先快后慢，符合要求，故选D ．【点睛】本题主要考查了基本初等函数的性质在实际中的应用，熟练掌握它们的单调性是解题的关键，属于中档题.7．我国的5G 通信技术领先世界，5G 技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon ）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C 的公式2log 1S C W N ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，其中W 是信道带宽（赫兹），S 是信道内所传信号的平均功率（瓦），N 是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中S N叫做信噪比．根据此公式，在不改变W 的前提下，将信噪比从99提升至λ，使得C 大约增加了60%，则λ的值大约为（）（参考数据：0.210 1.58≈）A ．1559B ．3943C ．1579D ．2512【答案】C【解析】由题意可得λ的方程，再由对数的运算性质求解即可．【详解】由题意得：()()()222log 1log 19960%log 199W W W λ+-+≈+，则()22log 1 1.6log 100λ+≈， 1.6 3.230.211001*********λ+≈==⋅≈， 1579λ∴≈故选：C8．若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（） A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.二、多选题9．若幂函数()()2111m f x m m x -=+-在()0,∞+上单调递增，则（）A ．3m =B ．()11f -=C ．4m =-D ．()11f -=-【答案】AB 【分析】根据幂函数的定义以及单调性可得出关于m 的等式与不等式，求出m 的值，即可得出合适的选项.【详解】因为幂函数()()2111m f x m m x -=+-在()0,∞+上单调递增，所以，211110m m m ⎧+-=⎨->⎩，解得3m =，故()2f x x =，所以，()11f -=. 故选：AB.10．定义在R 上的偶函数()f x 在()0,∞+内单调递减，则下列判断错误的是（）A ．()()2f a f a <-B ．()()π3f f >-C ．45f f ⎛⎛⎫< ⎪ ⎝⎭⎝⎭D ．()()211f a f +<【答案】ABD【分析】利用特殊值法可判断AD 选项；利用函数的奇偶性和单调性可判断BC 选项.【详解】因为定义在R 上的偶函数()f x 在()0,∞+内单调递减，则函数()f x 在(),0∞-内单调递增，对于A 选项，当0a =时，()()()20f a f a f =-=，A 错；对于B 选项，()()()π33f f f <=-，B 错；对于C 选项，45f f f ⎛⎛⎫=< ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 对；对于D 选项，当0a =时，()()211f a f +=，D 错.故选：ABD.11．已知实数a ，b 满足等式1123a b⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中可能成立的是（） A ．0b a <>；若a ，b 均为负数，则0a b <<，若0a b ，11123a b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：ABC ．1251-510.618-≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽51-.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（）A ．168cmB ．172cmC ．176cmD ．180cm【答案】BC【分析】设身高为cm x ，运用黄金分割比例，结合图形得到对应成比例的线段，计算可估计身高.【详解】设头顶、咽喉、肚脐、足底分别为点A B C D 、、、,假设身高为cm x ，即cm =AD x ，51-，51ACCD-∴=51AC-∴=. AC CD x+=，且51AC-=，51=CD x-+，51=x+,5151CD x-∴==+，51-，51ABBC-∴=51AB BC-∴=, AB BC CD x++=,且51AB-，51CD-=，5151BC x--+=，)52BC x∴=,)515173552AB BC x---∴===,由题意可得7352651105AB xCD⎧-<⎪⎪⎨-⎪=>⎪⎩，73551xx⎧<⎪-⎪∴⎨⎪>⎪-⎩178.21169.89xx<⎧∴⎨>⎩，169.89178.21x∴<<,故BC正确. 故选：BC三、填空题13．已知一组样本数据1、2、m、8的极差为8，若0m>，则其方差为______．【答案】252##12.5【分析】根据极差的定义可求得m的值，再根据方差的定义可求得这组数据的方差.【详解】因为该组数据的极差为8，所以18m-=，解得9m=．因为这组数据的平均数为128954x+++==，所以，这组数据的方差为()()()()22222152585952542s-+-+-+-==.故答案为：252. 14．已知1a >，则21a a +-的最小值为m ，取得最小值时a n =，则2n m -=______．【答案】1【分析】利用基本不等式可求得m 的值，利用等号成立的条件可求得n 的值，进而可求得2n m -的值.【详解】因为1a >，所以()22111111a a a a +=-++≥=--，当且仅当1a =1m =，1n =，所以，21n m -=．故答案为：1.15．已知())ln31f x x =+，则()1lg 3lg 3f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于______．【答案】2【分析】计算出()()f x f x +-的值，即可得解.【详解】对任意的x ∈R 33x x >≥30x >，故函数()f x 的定义域为R ，因为()()))ln 31ln 31ln122f x f x x x +-=+++=+=．所以，()()()1lg 3lg lg 3lg 323f f f f ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭．故答案为：2.16．已知函数()()22,01,0x x a x f x f x x ⎧--+<⎪=⎨-≥⎪⎩，且函数()y f x x =-恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是______．【答案】[)1,-+∞【分析】作出函数()f x 的图象，由题意可知，函数()f x 与直线y x =的图象有3个交点，数形结合可得出关于实数a 的不等式，即可求得实数a 的取值范围.【详解】解：当[)1,0x ∈-时，()()(]211,1f x x a a a =-+++∈+，当0x ≥时，()()1f x f x =-，所以，函数()f x 在[)0,∞+上的图象可视为函数()f x 在[)1,0-上的图象每次向右平移1个单位后得到，①若函数22x x a y --+=的图象恒在直线y x =的下方时，则22x x a x --+<，则()2min 934a x x <+=-，则当(),0x ∈-∞时，函数()y f x x =-无零点，且当0x ≥时，()1f x a x ≤+<，此时，函数()y f x x =-无零点，不合乎题意；②若函数22x x a y --+=的图象与直线y x =相切，对于方程22x x a x --+=，即230x x a +-=，940a ∆=+=，解得94a =-，此时32x =-，当0x ≥时，()1f x a x ≤+<，此时，函数()y f x x =-只有一个零点，不合乎题意；③若904a -<<时，如下图所示：由图象可知，函数()f x 与函数y x =在(),0∞-上的图象有2个交点，若使得函数()y f x x =-有3个零点，则10a +≥，解得1a ≥-，此时10a -≤<；④当0a ≥时，由图象可知，函数()f x 与函数y x =在(),0∞-上的图象只有1个交点，函数()f x 与函数y x =在[)0,∞+上的图象必有2个交点，此时，函数()y f x x =-有3个零点，合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是[)1,-+∞.故答案为：[)1,-+∞.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题17．计算下列各式的值： (1)()0223127110.528-⎛⎫⎛⎫--÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (2)3335322log 2log log 83log 59-+- 【答案】(1)73 (2)1-【分析】（1）利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值；（2）利用对数的运算性质可求得所求代数式的值.【详解】（1）解：原式()232321313*********.520.2529⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--÷=--÷=--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()447131933=--⨯=+=．（2）解：原式233333329log 4log log 83log 483log 33231932⎛⎫=-+-=⨯⨯-=-=-=- ⎪⎝⎭. 18．已知集合124x A x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，(){}lg 10B x x =->，{}1C x m x m =<<+． (1)求集合A 、B ；(2)若()C A B ⊆⋃，求实数m 的取值范围．【答案】(1){}2A x x =<-，{}2B x x =>(2)(][),32,-∞-⋃+∞【分析】（1）利用指数函数、对数函数的单调性可分别求得集合A 、B ；（2）求出集合A B ⋃，利用集合的包含关系可得出关于实数m 的不等式，即可得出实数m 的取值范围.【详解】（1）解：{}{}2122224x x A x x x x -⎧⎫=<=<=<-⎨⎬⎩⎭， (){}{}{}lg 10112B x x x x x x =->=->=>. （2）解：由（1）可知{2A B x x ⋃=<-或}2x >，显然C ≠∅，因为()C A B ⊆⋃，所以，12m +≤-或2m ≥，解得3m ≤-或2m ≥.因此，实数m 的取值范围是(][),32,-∞-⋃+∞.19．已知函数()()22log 4f x x =-． (1)求函数()f x 的单调区间;(2)当0x <时，求不等式()11f x -<的解集．【答案】(1)单调递增区间为()2,+∞，单调递减区间为(),2-∞-(2)(-【分析】（1）求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求出函数()g x 的增区间和减区间；（2）由()11f x -<可得出()220log 42x <-<，结合对数函数的单调性以及二次不等式的解法，结合0x <可得出x 的取值范围.【详解】（1）解：对于函数()f x ，有240x ->，解得<2x -或2x >，所以，函数()f x 的定义域为()(),22,∞∞--⋃+，因为内层函数24u x =-的减区间为(),2-∞-，增区间为()2,+∞，外层函数2log y t =为增函数，所以，函数()f x 的单调递增区间为()2,+∞，单调递减区间为(),2-∞-.（2）解：由()11f x -<可得()111f x -<-<，即()02f x <<，即()220log 42x <-<，所以，2144x <-<，因为0x <，解得x -<<因此，当0x <时，不等式()11f x -<的解集为(-.20．统计局就某地居民的月收入情况调查了10 000人，并根据所得数据画了样本频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包含右端点，如第一组表示收入在[500,1000)元之间．（1）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2000,2500)的应抽取多少人；（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（3）根据频率分布直方图估计样本数据的平均数.【答案】（1）25；（2）1900；（3）1900.【详解】（1）因为(0.00020.00040.00030.0001)5000.5+++⨯=，所以0.520.001,0.0005500a a ===，月收入在[2000,2500)的频率为0.25，所以分层抽样抽出100人中月收入在[2000,2500)的人数为0.2510025⨯=；（2）收入在[500,1500)的频率是0.3，收入在[1500,2000)的频率是0.25，所以样本数据的中位数在[1500,2000)，且为0.2150050019000.25+⨯=（元）（3）7500.112500.217500.2522500.25⨯+⨯+⨯+⨯27500.1532500.051900+⨯+⨯=（元）所以平均数为1900元.21．已知函数()()33x x f x R λλ-=+⋅∈．（1）是否存在实数λ使得()f x 为奇函数？若存在，求出实数λ，若不存在，请说明理由；（2）在（1）的结论下，若不等式()()4120t t f f m -+->在[]1,1t ∈-上恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）14m <- 【分析】（1）通过奇函数的性质()00f =，可以求出1λ=-，然后证明()f x 是奇函数即可；（2）对函数()f x 求导可证明()f x 是R 上单调递增函数，由奇函数的性质，原不等式等价于()()412t t f f m ->-，从而412t t m ->-，即421t t m <+-，再求出421t t +-在[]1,1t ∈-上的最小值，令m 小于得到的最小值即可．【详解】（1）若()f x 为奇函数，则()00f =，即1+=0λ，解得1λ=-，()()()3333x x x x f x f x ---=-=--=-，故存在1λ=-，使得()f x 为奇函数（2）()33x x f x -=-（x ∈R ），()()33ln30x x f x -'=+>，则()f x 在R 上为增函数，∵()f x 为奇函数，()()4120t t f f m -+->，即()()412t t f f m ->-，又()f x 在R 上为增函数，∴412t t m ->-，则()[]()2421221,1,1t t t t m t <+-=+-∈-恒成立，令12,22t n ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则2215124m n n n ⎛⎫<+-=+- ⎪⎝⎭，令()21524g n n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， ()min 14g n =-，∴14m <- 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数的单调性，考查了含参不等式恒成立问题，属于难题．22．已知函数()()()4log 41x f x kx k =++∈R 与()44log 23x g x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，其中()f x 是偶函数． (1)求实数k 的值及()f x 的值域；(2)求函数()g x 的定义域；(3)若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．【答案】(1)12k =-，函数()f x 的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)答案见解析(3){}()31,-⋃+∞【分析】（1）利用偶函数的定义可求得实数k 的值，利用对数函数的单调性结合基本不等式可求得函数()f x 的值域；（2）由已知可得出4203x a a ⋅->，对实数a 的取值进行分类讨论，结合指数函数的单调性可解得函数()g x 的定义域；（3）令20x t =>，由()()f x g x =可知关于t 的方程()241103a t a ---=有且只有一个正根，对实数a 的取值进行分类讨论，结合一次函数和二次函数的零点分布可得出关于实数a 的不等式（组），综合可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）解：由函数()f x 是偶函数可知()()f x f x -=，所以，()()44log 41log 41x x kx kx -++=+-，所以，()()()444444141142log log log log 441441441x x x xx x x x x x kx x ---+++=====-+++，则21k =-，故12k =-，所以，()()()4441log 41log 41log 22x x x f x x =+-=+- ()(444411log log 22log 22x x x x -+==+≥=，当且仅当0x =时，等号成立，故函数()f x 的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （2）解：对于函数()g x ，则有4203x a a ⋅->. 当0a =时，4203x a a ⋅-=，不合乎题意；当0a >时，423x >，得24log 3x >；当a<0时，423x <，得24log 3x <. 综上所述，当0a >时，函数()g x 的定义域为24log ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当a<0时，函数()g x 的定义域为24,log 3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （3）解：函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，即方程()4414log 41log 223x x x a ⎛⎫+-=⋅- ⎪⎝⎭有且只有一个实根，即方程142223x x x a a +=⋅-有且只有一个实根，令20x t =>，则方程()241103a t at ---=有且只有一个正根. ①当1a =时，34t =-，不合题意; ②当1a ≠时，由()216Δ4109a a =+-=得34a =或3-，若34a =，则2t =-不合题意；若3a =-，则12t =满足要求. 若()2164109a a ∆=+->，可得3a <-或34a >. 则此时方程()241103a t a ---=应有一个正根与一个负根，所以，101a -<-，解得1a >，因为3a <-或34a >，故1a >. 综上，实数a 的取值范围是{}()31,-⋃+∞【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。

2022届天津市第一中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)

2022届天津市第一中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合()(){}210M x x x =+-<，{}10N x x =+<，则M N =（） A ．()1,1- B ．()2,1- C ．()2,1--D ．()1,2【答案】C【分析】解出集合M 、N ，利用交集的定义可求得集合M N ⋂.【详解】()(){}()2102,1M x x x =+-<=-，{}()10,1N x x =+<=-∞-，因此，()2,1M N =--.故选：C.2．若,a b ∈R ，且0ab ≠，则“a b >”是“11a b<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】当0a b >>时，11a b <不成立；当110a b<<时，a b >不成立，所以“a b >”是“11a b<”的既不充分也不必要条件．故选D ．【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的性质，是一道基础题． 3．函数2()22x x f x x -=--的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性可排除C ，再根据()()3,5f f 的符号即可排除AD ，即可得出答案.【详解】解：函数的定义域为R ，因为()2()22x xf x x f x --=--=，所以函数()f x 是偶函数，故排除C ；()17398088f =--=>，故排除A ；()1152532703232f =--=--<，故排除D. 故选：B.4．为了解学生课外使用手机的情况，某研究学习小组为研究学校学生一个月使用手机的总时间，收集了500名学生2019年12月课余使用手机的总时间（单位：小时）的数据．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50人中，恰有2名女生的课余使用手机总时间在[18,20]区间，现在从课余使用手总时间在[18,20]样本对应的学生中随机抽取2人，则至少抽到1名女生的概率为（）A ．25B ．710C ．815D ．715【答案】B【解析】由频率分布直方图求出在[18,20]区间的学生人数，然后求出抽取2人的总方法数和至少有1名女生的方法数，从而计算出概率．【详解】500.105⨯=，则[18,20]样本对应的学生为5人，即2名女生，3名男生，从中抽取2人有25C =10种方法，至少抽到一名女生有2253C C -=7种方法，概率为710．【点睛】本题考查频率分布直方图，考查古典概型，正确理解频率分布直方图是解题基础，求出至少抽到1名女生所含有的基本事件的数量是解题关键．5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为1，点P 在线段BD 1上，当∠APC 最大时，三棱锥P －ABC 的体积为A ．124B ．118 C ．19D ．112【答案】B【详解】连接AC 交BD 于O ，连接PO ，则∠APC=2∠APO ∵tan ∠APO=AOPO∴当PO 最小时，∠APO 最大，即PO ⊥BD 1时，∠APO 最大，如图，作PE ⊥BD 于E ，∵正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱长为1， ∴2BD 13 ∵OP ⊥BD 1，PE ⊥BD ， ∴△BDD 1∽△BPO ∽△PEO ， ∴11OP OB DD BD =，1PE OPBD BD = ∴6，PE=13，∴三棱锥P-ABC 的体积V=ABC 11PE 318S⨯⨯=，, 故选项为：B点睛：立体几何的核心思想：空间问题平面化.本题把问题转化到平面BDD 1中，当PO 最小时,即∠APO 最大，借助平面几何知识易得：6PE=13，从而得到了三棱锥P-ABC 的体积.6．已知3log 1a a ⋅=，31b b ⋅=，21c c ⋅=，则a b c ，，的大小关系为（） A ．a b c <>>， 331log 1log a a a a ⋅=⇒=，1313b b b b ⋅=⇒=，1212c cc c⋅=⇒=，构造函数()()31log (0),20,30,(0),x xy x x y x y x y x x=>=≥=≥=>在同一直角坐标系画出它们的图象，如下图所示：有b c a <<成立，故选：C7．函数()()2sin (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图，把函数()f x 的图象上所有的点向右平移6π个单位长度，可得到函数()y g x =的图象，下列结论中： ①3πϕ=；②函数()g x 的最小正周期为π；③函数()g x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；④函数()g x 关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称其中正确结论的个数是（）．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】对①，先根据图象分析出ω的取值范围，然后根据()03f =ϕ的可取值，然后分类讨论ϕ的可取值是否成立，由此确定出,ωϕ的取值；对②，根据图象平移确定出()g x 的解析式，利用最小正周期的计算公式即可判断；对③，先求解出()g x 的单调递增区间，然后根据k 的取值确定出,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是否为单调递增区间；对④，根据3g π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是否为0,即可判断. 【详解】解：由图可知： 1112113124T T ππ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，11211129πππω∴<<，即18241111ω<<，又()02sin f ϕ==0ϕπ<<，由图可知：23ϕπ=，又11112sin 21212f ππωϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 112,122k k Z ππωϕπ∴+=+∈，且113,2122ππωπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 113,3122ππωϕπ⎛⎫⎛⎫∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1k =，当23ϕπ=时，1111126πωπ=，解得：2ω=，满足条件，()22sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，故()22sin 22sin 2633g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对①，由上述可知①错误；对②，()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()g x ∴的最小正周期为2=2ππ，故②正确；对③，令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =，此时单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，且5,,3121212ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故③正确；对④，2sin 230333g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ,03π⎛⎫∴- ⎪⎝⎭不是对称中心，故④错误；故选：C.【点睛】方法点睛：已知函数()()sin g x A x ωϕ=+()0ω>，若求函数()g x 的单调递增区间，则令ππ2π2π22k x k ωϕ-<+<+，Z k ∈；若求函数()g x 的单调递减区间，则令π3π2π2π22k x k ωϕ+<+<+，Z k ∈；若求函数()g x 图象的对称轴，则令ππ2x k ωϕ+=+，Z k ∈；若求函数()g x 图象的对称中心或零点，则令πx k ωϕ+=，Z k ∈．8．如图，1F ，2F 是双曲线()222:103x y C a a -=>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若点A 为1F B 的中点，且12F B F B ⊥，则12F F =（）．A ．4B ．43C ．6D ．9【答案】A【分析】结合已知条件得2//OA F B ，推出1260AOF AOB BOF ∠=∠=∠=︒，然后求出a ，即可求得12||F F ．【详解】因为点A 为2F B 的中点，所以2//OA F B ，又12F B F B ⊥，所以1OA F B ⊥，12||||||OF OF OB ==，所以1260AOF AOB BOF ∠=∠=∠=︒，3tan 603=︒=1a =，所以132c =+=．故12||24F F c ==．故选：A.9．已知偶函数(),()y f x x R =∈，满足(2)()f x f x +=-且[1,0]x ∈-时()||f x x =，则6()log (1)0f x x -+=的解的个数是（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】已知函数()f x 是周期为2的周期函数，在同一个坐标系中，画出函数()y f x =和()6log 1y x =+的图像，可以得出两个图像的交点的个数是5个. 【详解】由()y f x =为偶函数，得()(2)()f x f x f x +=-=，所以()f x 的周期为2，由6()log (1)0f x x -+=可得6()log (1)f x x =+，令()()6log 1g x x =+，即求6()log (1)0f x x -+=的解的个数转化为函数()y f x =与函数()y g x =的交点个数问题；在同一个坐标系中，画出函数()y f x =和()y g x =的图像，如图所示：观察图像可得两个函数共有5个交点. 故选：B.【点睛】本题主要考查了函数图像的交点个数，考查了数形结合思想．属于较易题. 二、填空题10．用()Re z 表示复数z 的实部，用()Im z 表示复数z 的虚部，若已知复数：满足()173z i i -=+，其中z 是复数z 的共轭复数，则()()Re Im z z +=______．【答案】3-【分析】根据复数除法运算求得z ，进而得到z ，实部加虚部即可得到结果.【详解】由题意得：()()()()73173410251112i i i iz i i i i ++++====+--+ 25z i ∴=- 则()()Re Im 253z z +=-=- 本题正确结果：3-【点睛】本题考查复数的除法运算、共轭复数的定义、复数的实部和虚部的定义，属于基础题.11．72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为__________.【答案】280-【分析】写出72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项，令x 的指数为1，求出参数的值，再代入通项即可得解.【详解】72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()77217722rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令721r -=，解得3r =.因此，72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为()()3372358280C ⋅-=⨯-=-. 故答案为：280-.【点睛】本题考查利用二项式定理求展开式中指定项的系数，考查计算能力，属于基础题.12．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19.现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为______. 【答案】67【分析】由对立设事件的概率分别得到连续熬夜48小时和连续熬夜72小时未诱发心脏病的概率，再利用条件概率公式求解.【详解】设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病，由题意可知：()0.055P A =，()0.19P B =，则()0.945P A =，()0.81P B =，由条件概率公式可得：()()()()()0.8160.9457P AB P B P B A P A P A ====.故答案为：67【点睛】本题主要考查对立事件和条件概率的求法，属于基础题.13．正数a ，b 满足1a ＋9b＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是______．【答案】[6，＋∞)【分析】先利用基本不等式，求得a b +的最小值为16.再对题目所给的恒成立的不等式分离常数m ，求得含有x 的表达式的最小值，由此求得m 的取值范围.【详解】因为a >0，b >0，1a ＋9b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )·19a b ⎛⎫⎪⎝⎭＋＝10＋b a ＋9a b ≥10＋29＝16，由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立．又x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查不等式恒成立问题的解决策略——分离常数法.属于中档题.14．法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法——随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数的平方和小于1的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值.已知某同学一次试验统计出156m =，则其试验估计π为______. 【答案】3.12【解析】横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y 构成第一象限内的一个正方形, 两数的平方和小于1的数对(),x y 为单位圆在第一象限的部分.由几何概型概率的计算公式,及试验所得结果,即可估计π的值.【详解】横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y 构成第一象限内的一个正方形, 两数的平方和小于1的数对(),x y 为单位圆在第一象限的部分.其关系如下图所示:则阴影部分与正方形面积的比值为1:14π由几何概型概率计算公式可知115642001π=解得15643.12200π⨯== 故答案为: 3.12【点睛】本题考查了几何概型概率的求法,根据题意得各部分的关系是解决问题的关键,属于基础题.15．已知向量a ，b 满足1a =，2b =，则a b a b ++-的最大值为______ 【答案】【分析】设a ，b 的夹角为θ，则a b a b ++-=y =平方后化简可求出其最大值，从而可求得a b a b ++-的最大值【详解】解：设a ，b 的夹角为θ（[0,]θπ∈），因为1a =，2b =，所以()()22a b a b a b a b ++-=++-222222a a b b a a b b +⋅++-⋅+令y =210y =+因为[0,]θπ∈，所以2cos [0,1]θ∈，所以当2cos 0θ=时，2y 有最大值102520+⨯=，即y 有最大值所以a b a b ++-的最大值为故答案为：三、解答题16．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且4B π=．（1）b =3a =，求sinA 的值；（2）若b =3ac +=，求ABC 的面积．【答案】（1；（21.【分析】（1）直接利用正弦定理即可求出sin A 的值；（2）根据5b =，3a c +=，4B π=，利用余弦定理求出ac ，即可求出ABC 的面积．【详解】解：（1）由正弦定理sin sin b a B A =得sin 310sin 10a B Ab ==. （2）由余弦定理2222cos b ac ac B =+-得2252a c ac =+-，所以25()(22)9(22)a c ac ac =+-+=-+，得422ac =-. 所以1sin 212ABC S ac B ==-. 17．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 中，ABD △为等边三角形，BCD △是等腰三角形，且顶角120BCD ∠=︒，PC BD ⊥，平面PBD ⊥平面ABCD ，M 为PA 中点.（1）求证：//DM 平面PBC ；（2）若PD PB ⊥，求二面角C PA B --的余弦值大小.【答案】（1）见解析；（221 【解析】（1）设AB 中点为N ，连接MN 、DN ，首先通过条件得出CB AB ⊥，加DN AB ⊥，可得//DN BC ，进而可得//DN 平面PBC ，再加上//MN 平面PBC ，可得平面//DMN 平面PBC ，则//DM 平面PBC ；（2）设BD 中点为O ，连接AO 、CO ，可得PO ⊥平面ABCD ，加上BD ⊥平面PCO ，则可如图建立直角坐标系O xyz -，求出平面PAB 的法向量和平面PAC 的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：设AB 中点为N ，连接MN 、DN ，ABD 为等边三角形，DN AB ∴⊥，DC CB =，120DCB ∠=︒，30CBD ∴∠=︒，603090ABC ∴∠=︒+︒=︒，即CB AB ⊥，DN AB ⊥，//DN BC ∴，BC ⊂平面PBC ，DN ⊄平面PBC ，//DN ∴平面PBC ，MN 为PAB △的中位线，//MN PB ∴，PB ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，//MN ∴平面PBC ， MN 、DN 为平面DMN 内二相交直线，∴平面//DMN 平面PBC ，DM ⊂平面DMN ，//DM ∴平面PBC ；（2）设BD 中点为O ，连接AO 、COABD 为等边三角形，BCD △是等腰三角形，且顶角120BCD ∠=︒AO BD ∴⊥，CO BD ⊥，A ∴、C 、O 共线，PC BD ⊥，BD CO ⊥，PC CO C =，PC ，CO ⊂平面PCOBD ∴⊥平面PCO .PO ⊂平面PCOBD PO ∴⊥平面PBD ⊥平面ABCD ，交线为BD ，PO ⊂平面PBDPO ∴⊥平面ABCD .设2AB =，则3AO =在BCD △中，由余弦定理，得：2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠又BC CD =，222222cos120BC BC ∴=-⋅︒， 233CB CD ∴==，33CO =， PD PB ⊥，O 为BD 中点，112PO BD ∴==，建立直角坐标系O xyz -（如图），则C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1P ，)A，()0,1,0B . ()3,1,0BA ∴=-，()3,0,1PA =-，设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =，则，000y n BA n PA z ⎧-=⋅=⇒⎨⋅=-=⎩，取1x =，则y z == (1,3,n ∴=，平面PAC 的法向量为()0,1,0OB =， 21cos ,7n OBn OB n OB ⋅==⋅ 二面角C PA B --为锐角，∴二面角C PA B --的余弦值大小为7. 【点睛】本题考查面面平行证明线面平行，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力和空间想象能力，是中档题.18．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，以原点O 为圆心，短半轴长为半径的圆恰好经过椭圆C 的两焦点，且该圆截直线10x y +-=.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过定点()2,0P 的直线交椭圆C 于两点A 、B ，椭圆上的点M 满足OA OB OM +=，求直线AB 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）)2y x =-.【分析】（1）由题意可知，b c =，再由圆222x y b +=截直线10x y +-=得=，可求出b ，从而求出2a 的值，可得到椭圆的标准方程；（2）设过点P 的直线为2x my =+，与椭圆方程联立成方程组，消元后得()222420m y my +++=，先使判别式大于零，求出m 的取值范围，再利用根与系数的关系得到12242m y y m +=-+，然后结合OA OB OM +=将点M 的坐标表示出来代入椭圆方程中可出m 的值，从而可得直线AB 的方程.【详解】（1）以原点为圆心，短半轴长为半径的圆的方程为222x y b +=.∵ 圆222x y b +=过椭圆C 的两焦点， ∴b c =，∵ 圆222x y b +=截直线10x y +-=∴1b =， ∴ 222222a b c b =+==.∴ 椭圆C 的标准方程为2212x y +=. （2）设过点P 的直线方程为2x my =+.A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程22122x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222420m y my +++=，2281602m m ∆=->⇒>， ∴ 12242m y y m +=-+， ∵ OA OB OM +=，∴点()1212,M x x y y ++，∵ 点M 在椭圆C 上，∴有()()22121222x x y y +++=，即()()221212422m y y y y ++++=⎡⎤⎣⎦，∴ ()()()22121228140m y y m y y +++++=，即()2222442814022m m m m m m ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得214m =，符合22m >，直线AB方程为)214y x =±-. （2）方法二：由题意知直线AB 的斜率存在，设过定点()2,0P 的直线为()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，则直线与y 轴交于点()0,2k -，因为OA OB OM +=，所以()1212,M x x y y ++，将直线()2y k x =-与椭圆2212x y +=联立并化简可得， ()2222218820k x k x k +-+-=，则()()()22228421820k k k ∆=--+->，解得k << 所以2122821k x x k +=+，21228221k x x k -=+，所以()121224421k y y k x x k +=+-=-+，因为点M 在椭圆上，所以()1212,M x x y y ++满足椭圆方程2212x y +=，将2122821k x x k +=+，122421k y y k +=-+代入得， ()()422222321612121k k k k +=++，化简得k ⎛= ⎝⎭，直线AB方程为)2y x =-. 【点睛】此题考查了求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了运算能力，属于中档题.19．给定数列{c n }，如果存在常数p 、q 使得c n+1＝pc n +q 对任意n ∈N 都成立，则称{c n }为“M 类数列”．（1）若{a n }是公差为d 的等差数列，判断{a n }是否为“M 类数列”，并说明理由；（2）若{a n }是“M 类数列”且满足：a 1＝2，a n +a n+1＝3•2n ．①求a 2、a 3的值及{a n }的通项公式；②设数列{b n }满足：对任意的正整数n ，都有a 1b n +a 2b n ﹣1+a 3b n ﹣2+…+a n b 1＝3•2n+1﹣4n ﹣6，且集合M ＝{n|n nb a ≥λ，n ∈N}中有且仅有3个元素，试求实数λ的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）①234,8a a == ，2n n a =；②71,162λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【分析】（1）通过a n+1＝a n +d 与c n+1＝pc n +q 比较可知p ＝1、q ＝d ，进而可得结论；（2）①通过a 1＝2、a n +a n+1＝3•2n 计算出a 2、a 3的值，进而利用数列{a n }是“M 类数列”代入计算可知数列{a n }是以首项、公比均为2的等比数列，计算可得结论；②通过①可知2b n +22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1＝3•2n+1﹣4n ﹣6，利用2b n ＝（2b n +22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1）﹣（22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1）计算可知b n ＝2n ﹣1，从而M ＝{n|212nn -≥λ，n ∈N}，分别计算出当n ＝1、2、3时λ的值，进而可得结论．【详解】（1）结论：公差为d 的等差数列是“M 类数列”．理由如下：∵数列{a n }是公差为d 的等差数列，∴a n+1＝a n +d ，此时p ＝1、q ＝d ，即公差为d 的等差数列是“M 类数列”；（2）①∵a 1＝2，a n +a n+1＝3•2n ，∴a 2＝3•2﹣a 1＝4，232328a a =⋅-=，又∵数列{a n }是“M 类数列”，∴2132a pa q a pa q=+⎧⎨=+⎩，即4284p q p q =+⎧⎨=+⎩，解得：p ＝2，q ＝0，即a n+1＝2a n ，又∵a 1＝2，∴数列{a n }是以首项、公比均为2的等比数列，∴数列{a n }的通项公式a n ＝2n ；②由①可知a 1b n +a 2b n ﹣1+a 3b n ﹣2+…+a n b 1＝3•2n+1﹣4n ﹣6，即2b n +22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1＝3•2n+1﹣4n ﹣6，∴2b n ﹣1+22b n ﹣2+23b n ﹣3+…+2n ﹣1b 1＝3•2n ﹣4（n ﹣1）﹣6＝3•2n ﹣4n ﹣2()2n ≥，∴22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1＝3•2n+1﹣8n ﹣4，∴2b n ＝（2b n +22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1）﹣（22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1）＝（3•2n+1﹣4n ﹣6）﹣（3•2n+1﹣8n ﹣4）＝4n ﹣2，即b n ＝2n ﹣1()2n ≥，当1n =时，11b =也符合上式，所以b n ＝2n ﹣1.∴集合M ＝{n|n n b a ≥λ，n ∈N}＝{n|212n n -≥λ，n ∈N}，当n ＝1时，λ≤21122-= ；当n ＝2时，λ≤2221324⨯-=；当n ＝3时，λ≤3231528⨯-= ；当n≥4时，λ≤42417216⨯-=；又∵集合M ＝{n|n n b a ≥λ，n ∈N}中有且仅有3个元素，∴71162λ<，故实数λ的取值范围是71,162⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．已知函数()e 1e x xx f x a =--，其中0a >. （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有唯一零点，求a 的值.【答案】（1）10x y -+=；（2）a 的值为1.【分析】(1)求出函数的导数，得出曲线在点(0,(0))f 处的切线的斜率，再求出切点坐标，得出切线方程.(2) 问题等价于关于x 的方程1(1)e e x x x a =+有唯一的解时，求a 的值,令1()(1)e e x x x g x =+,求出函数()g x 的导数，得出函数()g x 的单调性，从而得出答案.【详解】（1）当2a =时，()2e 1ex x x f x =--，所以1()2e e x x x f 'x -=-，所以(0)211f '=-=；又(0)211f =-=，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x -=，即10x y -+=.（2）问题等价于关于x 的方程1(1)e e x x x a =+有唯一的解时，求a 的值. 令1()(1)e e x x x g x =+，则212e ()e xxx g'x --=. 令()12e x h x x =--，则()2e 0x h'x =--<，∴()h x 在(,)-∞+∞上单调递减.又(0)0h =，∴当(,0)x ∈-∞时，()0h x >，()0g x '>，∴()g x 在(,0)-∞上单调递增.当(0,)x ∈+∞时，()0h x <，)'(0g x <，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，∴()g x 的极大值即最大值为(0)1g =.∴当(,0]x ∈-∞时，()(,1]g x ∈-∞；当(0,)x ∈+∞时，()(0,1)g x ∈.又0a >，∴当方程1(1)e e x xx a =+有唯一的解时，1a =. 综上，当函数()f x 有唯一零点时，a 的值为1.【点睛】本题考查求曲线的切线方程，利用导数讨论函数的零点问题，属于中档题.。

2022-2023学年辽宁省沈阳市外国语学校高一上学期10月月考数学试题(解析版)

2022-2023学年辽宁省沈阳市外国语学校高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．命题：R x ∀∈ ，210x -< 的否定是（）A ．2R 10x x ∀-∈≥，B ．200R 10x x ∃-∈≥，C ．200R 10x x ∃-∈≤，D ．2R 10x x ∀-∈<，【答案】B【分析】根据含有一个量词的命题的否定形式，即可选出答案.【详解】命题：R x ∀∈ ，210x -<为全称命题，其否定为特称命题形式，即200R 10x x ∃-∈≥，，故选：B2．下列不等式中成立的是（）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b >>，则22a b >C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若0a b <<，则11a b < 【答案】B 【分析】A ，如0c 时，22ac bc =，所以该选项错误；BCD ，利用作差法比较大小分析得解.【详解】A. 若0a b >>，则22ac bc >错误，如0c 时，22ac bc =，所以该选项错误；B. 若0a b >>，则2222()()0,a b a b a b a b -=+->∴>，所以该选项正确；C. 若0a b <<，则22()0,a ab a a b a ab -=->∴>，所以该选项错误；D. 若0a b <<，则11110,b a a b ab a b --=>∴>，所以该选项错误. 故选：B3．已知全集U =R ，{}3A x x =≤，{}16B x x =-<<，则如图中阴影部分表示的集合是（）A ．{}13x x -<≤B ．{}6x x <C ．{}36x x <<D ．{}1x x ≤- 【答案】C【分析】求出{}3U A x x =>，图中阴影部分表示的集合是()U B A ⋂，由此能求出结果.【详解】解：∵全集U =R ，{}3A x x =≤，∴{}3U A x x =>，∵{}16B x x =-<<， ∴图中阴影部分表示的集合是：(){}36U B A x x ⋂=<<. 故选：C.4．已知集合2|10A x x ，则下列式子表示正确的有（）①1A ∈；②{}1A -∈；③A ∅⊆；④{}1,1A -⊆.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】先确定集合A 的元素，然后根据元素与集合、集合与集合的关系逐一判断即可．【详解】因为2{|10}A x x =-=，{1A ∴=-，1}，对于①，1A ∈显然正确；对于②，{1}A -∈，是集合与集合之间的关系，显然用∈不对；对于③，A ∅⊆，根据空集是任何集合的子集知正确；对于④，{1，1}A -⊆．根据子集的定义知正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查元素与集合、集合与集合的关系，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题． 5．已知集合{}2680,A xx x x =-+=∈R ∣，{07,}B x x x =<<∈N ∣，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（）A ．2B ．4C ．8D ．16 【答案】D 【分析】用列举法表示集合A ，B ，再根据给定的包含关系即可分析判断作答.【详解】依题意，{2,4}A ，{1,2,3,4,5,6}B =，因A C B ⊆⊆，则2,4C C ∈∈，且集合C 是集合{1,3,5,6}的每一个子集与集合{2,4}的并集，集合{1,3,5,6}的所有子集有4216=个，所以满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为16.故选：D6．一元二次方程()25400ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个充要条件是（）A ．a<0B ．0a >C ．2a <-D ．1a >【答案】A 【分析】根据二次方程有一个正根和一负根可得0∆>以及两根之积小于0，列不等式组即可求解.【详解】因为一元二次方程()25400ax x a ++=≠有一个正根和一负根，设两根为1x 和2x ，所以212Δ544040a x x a ⎧=-⨯>⎪⎨=<⎪⎩，解得25160a a ⎧<⎪⎨⎪<⎩，故a<0. 故选：A.7．已知实数,0x y >，且211x y+=，若228x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围为（） A ．()9,1-B ．()1,9-C ．[]1,9-D ．()(),19,-∞-+∞【答案】B 【分析】应用基本不等式“1”的代换求2x y +的最小值，注意等号成立条件，再根据题设不等式恒成立有289m m -<，解一元二次不等式求解即可.【详解】解：由题设，222(2)()55912y x y x x y x y x y +=+=+≥++=+，当且仅当3x y ==时等号成立，∴要使228x y m m +>-恒成立，只需289m m -<，∴289(9)(1)0m m m m --=-+<，∴19m -<<.故选：B.8．设全集{}1,2,3,4,5,6U =，且U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{}2,4表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000；对于任意两集合A ，B ，我们定义集合运算{A B x x A -=∈且}x B ∉，()()A B A B B A *=-⋃-．若{}2,3,4,5A =，{}3,5,6B =，则A B *表示的6位字符串是（）A ．101010B ．011001C ．010101D ．000111【答案】C 【分析】利用集合的新定义得出{}2,4,6A B *=，再由集合的字符表示即可求解.【详解】由题意可得若{}2,3,4,5A =，{}3,5,6B =，则{}2,4,6A B *=，所以此集合的第2个字符为1，第4个字符为1，第6个字符为1，其余字符均为0，即A B *表示的6位字符串是010101.故选：C9．下列说法中不正确的有（）A ．“至少有一个x ∈R ，使210x x ++=成立”是存在量词命题，是假命题；B ．不等式11x>的解集为{}1x x <； C ．“x A ∈”的必要不充分条件是“x A B ∈”；D ．“3x >”是“29x >”的充分不必要条件；【答案】B【分析】对于A ，利用存在量词命题的定义及真假的判断即可求解；对于B ，利用分式不等式的解法即可求解；对于C ，D ，利用充分条件必要条件的定义即可求解.【详解】对于A ，“至少有一个x ∈R ，使210x x ++=成立”是存在量词命题，但对于R x ∀∈，2213310244x x x ⎛⎫++=++≥> ⎪⎝⎭，所以“至少有一个x ∈R ，使210x x ++=成立”是假命题；故A 正确；对于B ，由11x >，得10x x-<，解得01x <<，所以不等式11x >的解集为{}01x x <<，故B 不正确；对于C ，根据交集的定义可知，“x A B ∈”推出“x A ∈”，但“x A ∈”不能推出“x A B ∈”，所以“x A ∈”的必要不充分条件是“x A B ∈”，故C 正确；对于D ，由“3x >”推出“29x >”，但“29x >”不能推出“3x >”，即“3x >”是“29x >”的充分不必要条件，故D 正确.故选：B.二、多选题10．设集合{}()(1)0M x x a x =--=，{1,4}N ，则M N ⋃的子集个数可能为（）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】BC【分析】讨论1a ≠、1a =确定集合M ，在1a ≠的情况继续讨论4a ≠、4a =确定M N ⋃的元素个数，即可求子集个数.【详解】当1a ≠时，{1,}M a =，则：若4a ≠，则{1,4,}M N a ⋃=，子集有8个，若4a =，则{1,4}M N =，子集有4个；当1a =时，{1}M =，此时{1,4}MN =，其子集有4个；综上，M N ⋃的子集个数可能为4或8个.故选：BC11．下列不等式中解集为R 的有（）A ．2210x x -++D ．22340x x -+<【答案】BC【分析】结合抛物线的开口方向及判别式的值即可判断．【详解】解：对于A ，由221y x x =-++为开口向下的抛物线，且4480∆=+=>，所以不等式2210x x -++<的解集不是R ，故A 不符合题意；对于B ，由22y x x =-+40∆=-<，所以不等式220x x -+的解集为R ，故B 符合题意；对于C ，由2610y x x =++为开口向上的抛物线，且364040∆=-=-<，所以不等式26100x x ++>的解集为R ，故C 符合题意．对于D ，由2234y x x =-+为开口向上的抛物线，且932230∆=-=-<，所以不等式22340x x -+<的解集为∅，故D 不符合题意.故选：BC.12．设{}28150A x x x =-+=，{}10B x ax =+=，若A B A ⋃=，则实数a 的值可以为（） A ．15- B ．0 C ．3 D ．13- 【答案】ABD 【分析】根据A B A ⋃=，得到B A ⊆，然后分0a =， 0a ≠讨论求解即可.【详解】A B A =，B A ∴⊆，又{}{}2|81503,5A x x x =-+== ，当0a =时，B =∅，符合题意；当0a ≠时，1B a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，要使B A ⊆，则13a -=或15a-=，解得13a =-或15a =-．综上，0a =或13a =-或15a =-．故选：ABD ．三、填空题13．设()22x a a =+，()()13y a a =-+，则x 和y 最精确的大小关系是______.【答案】x y >【分析】利用作差法比较大小即可.【详解】因为()()()2213x y a a a a -=+--+()222423a a a a =+-+-222423a a a a =+--+223a a =++()2120a =++>，所以x y >.故答案为：x y >.14．函数()()240x x f x x x -+=>的最小值为___________. 【答案】3【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】依题意0x >，()4113f x x x =+-≥=，当且仅当4,2x x x ==时等号成立. 故答案为：315．已知320230x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩，则::x y z =______. 【答案】1:13:5-##()()1:13:5--【分析】先由两式相加得到50x z +=，引入常数0k ≠，从而用k 表示,,x y z ，据此得解.【详解】根据题意，注意到,y z 作为比例分母，故0,0y z ≠≠，因为320230x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩，所以两式相加得50x z +=，令()50z k k =≠，则x k =-，将其代入320x y z +-=，得3100k y k -+-=，故13y k =，所以:::13:51:13:5x y z k k k =-=-.故答案为：1:13:5-.16．集合(){}22310,R x a x x x -+-=∈为单元素集合，则=a ______.【答案】2或14- 【分析】结合单元素集合的意义，分类讨论2a =与2a ≠两种情况即可得解.【详解】因为集合(){}22310,R x a x x x -+-=∈为单元素集合，所以()22310a x x -+-=有且只有一个解，当20a -=，即2a =时，方程()22310a x x -+-=可化为310x -=，解得13x =，满足题意；当20a -≠，即2a ≠时，()()234210a ∆=--⨯-=，解得14a =-，经检验：当14a =-，方程()22310a x x -+-=的解为23x =，满足题意；综上：2a =或14a =-. 故答案为：2或14-.四、解答题17．求下列不等式的解.(1)260x x +-≤ (2)3112x x-≥- 【答案】(1){}32x x -≤≤ (2)324x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【分析】（1）直接解一元二次不等式即可（2）将分式不等式转化为整式不等式求解【详解】（1）由260x x +-≤，得(2)(3)0x x -+≤，解得32x -≤≤，所以不等式的解集为{}32x x -≤≤（2）由3112x x -≥-，得31102x x--≥-，4302x x -≥-，所以(43)(2)0x x --≥，且20x -≠，解得324x ≤< 所以原不等式的解集为324x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭18．设集合{}22190A x x ax a =-+-=，{}2560B x x x =-+=(1)若集合A 为∅，求实数a 的取值范围；(2)若A B A B =，求实数a 的值；【答案】(1)257,,3⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)5【分析】（1）结合题意，将问题转化为方程22190x ax a -+-=无实根，从而得解；（2）由A B A B =得A B =，从而利用待定系数法即可得解.【详解】（1）因为{}22190A x x ax a =-+-=，A =∅，所以方程22190x ax a -+-=无实根，即()2224193760a a a ∆=--=-+<，解得a <a >所以a 的取值范围为257,,3⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）因为A B A B =，所以A B =，又因为{}22190A x x ax a =-+-=，{}2560B x x x =-+=，所以25196a a -=-⎧⎨-=⎩，解得5a =，当5a =时，{}{}222190560A x x ax a x x x B =-+-==-+==，所以5a =.19．已知不等式2364ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >．（1）求a ，b ；（2）解不等式2()0ax ac b x bc -++<．【答案】（1）1a =，2b =；（2）答案见解析.【分析】（1）根据一元二次不等式与对应方程之间的关系，利用根与系数的关系，列出方程组，求出a ，b 的值；（2）将a ，b 的值代入，并将不等式因式分解为(2)()0x x c --<，通过对c 与2的大小关系进行讨论，得出不等式的解集.【详解】（1）因为不等式2364ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1．由根与系数的关系，得3121b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩；（2）原不等式化为：2(2)20x c x c -++<，即(2)()0x x c --<，①当2>c 时，不等式的解集为{}2x x c <<，②当2c <时，不等式的解集为{}2x c x <<，③当2c =时，不等式的解集为∅．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，根与系数的关系的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题.20．1.已知集合{|13},{|123}A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤+．(1)当1m =时，求()R A B ⋂；(2)若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()(),23,-∞+∞(2)(],0-∞【分析】（1）先求出A B ⋂，再求出()R A B ⋂；（2）根据A B A ⋃=得到B A ⊆，然后分类讨论，B =∅和B ≠∅两种情况下的m 的范围，最后求并集，得到实数m 的取值范围.【详解】（1）（1）当1m =时，{}25B x x =≤≤，{|13}A x x =-≤≤，因此，{|23}A B x x ⋂=≤≤；∴()()(),23,R A B ⋂=-∞⋃+∞（2）A B A ⋃=B A ⇔⊆ ．①当B =∅时符合题意，此时123m m +>+，即2m <-；②当B ≠∅时，要满足B A ⊆，则1232112202330m m m m m m m m +≤+≥-⎧⎧⎪⎪+≥-⇒≥-⇒-≤≤⎨⎨⎪⎪+≤≤⎩⎩．综上所述，当A B A ⋃=时，实数m 的取值范围是(],0m ∈-∞．21．命题p ：R x ∀∈，2230x x m -->；命题q ：0R x ∃∈，200410x mx ++<(1)若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题q 为假命题，求实数m 的取值范围；(3)当命题p 为假命题且命题q 为真命题时，求实数m 的取值范围.【答案】(1)1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ (2)11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(3)1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）由条件可得4120m ∆=+<，据此求解即可；（2）q 的否定“R x ∀∈，2410x mx ++≥”为真命题，由此即可得解；（3）分别求出命题p 为假与命题q 为真时实数m 的取值范围，再求两者交集即可.【详解】（1）若命题p 为真命题，则4120m ∆=+<，解得13m <-，所以实数m 的取值范围是1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；（2）若命题q 为假命题，则q 的否定“R x ∀∈，2410x mx ++≥”为真命题，则21640m ∆=-≤，解得1122m -≤≤，所以实数m 的取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（3）由（1）可知当命题p 为假时，13m ≥-，由（2）可知q 为真时，12m <-或12m >，所以当命题p 为假命题且命题q 为真命题时，有1312m m ⎧≥-⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩或1312m m ⎧≥-⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，故12m >，所以实数m 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 22．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元(0)m ≥满足41kx m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按816x x+元来计算） (1)将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)1636(0)1y m m m =--≥+ (2)该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元【分析】（1）根据题意列方程即可.（2）根据基本不等式，可求出16(1)1m m +++的最小值，从而可求出16361m m --+的最大值. 【详解】（1）由题意知，当0m =时，2x =（万件），则24k =-，解得2k =，∴241x m =-+．所以每件产品的销售价格为8161.5x x +⨯（元）， ∴2020年的利润816161.581636(0)1x y x x m m m x m +=⨯---=--≥+．（2）∵当0m ≥时，10m +>，∴16(1)81m m ++≥=+，当且仅当16(1)1m m =++即3m =时等号成立． ∴83729y ≤-+=，即3m =万元时，max 29=y （万元）．故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．。

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2020届辽宁省沈阳市实验中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题 1．集合12A xx ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，{}22B x x x =+<，则A B =I （） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()11,0,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭UC ．()12,0,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭U D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】先化简集合A 和B,再求A B I 得解. 【详解】由题得12A xx ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭=1{|2x x ≥或0}x <，{}22B x x x =+<={|21}x x -<<，所以A B =I ()12,0,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭U . 故选：C 【点睛】本题主要考查分式不等式和二次不等式的解法，考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．“x 是1和4的等比中项”是“2x =”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．即非充分也非毕必要条件【答案】B【解析】将条件“x 是1和4的等比中项”化简，得2x =±，结合充分必要条件判断即可【详解】由“x 是1和4的等比中项”可得242x x =⇒=±，显然在命题“若x 是1和4的等比中项，则2x =”中，结论可以推出条件，条件推不出结论，故为必要非充分条件故选：B【点睛】本题考查等比中性性质，必要不充分条件，属于基础题3．若复数z 的共轭复数z 满足：()12i z i -=，则复数z 等于（） A ．1i + B ．1i -+ C ．1i - D ．1i --【答案】D【解析】由()12i z i -=得出21iz i=-，利用复数的除法法则求出z ，利用共轭复数的概念可求出复数z . 【详解】()12i z i -=Q ，()()()()2121211112i i i i z i i i i +-∴====-+--+，因此，1i z =--，故选：D. 【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了共轭复数计算，考查计算能力，属于基础题.4．每场足球比赛的时间长度为90分钟，若比赛过程中体力消耗过大，运动员腿部会发生抽筋现象，无法继续投入到比赛之中了．某足球运动员在比赛前70分钟抽筋的概率为20％，比赛结束前发生抽筋的概率为50％．若某场比赛中该运动员已经顺利完成了前70分钟的比赛，那么他能顺利完成90分钟比赛的概率为（） A ．45B ．310C ．58D ．25【答案】C【解析】设事件A=某足球运动员在比赛前70分钟不抽筋，事件B=某足球运动员在比赛结束前20分钟不抽筋，再利用条件概率求解. 【详解】设事件A=某足球运动员在比赛前70分钟不抽筋，事件B=某足球运动员在比赛结束前20分钟不抽筋，则()0.8,()0.5P A P AB ==.所以他能顺利完成90分钟比赛的概率为()0.55(|)()0.88P AB P B A P A ===.故选：C 【点睛】本题主要考查条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5．在ABC V 中，6AB =，3BC =，则A ∠的最大值是（） A ．π6B ．π4C ．π3D ．5arcsin【答案】A【解析】先求出cos A ,再利用基本不等式求A ∠的最大值. 【详解】由题得2236927993cos 226124124122b b b b A b b b b +-+===+≥⋅=⨯⨯，因为0A π<<,所以06A π<≤.故选：A 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，E ，F 分别是BC ，DC 的中点则异面直线1AD 与EF 所成角的余弦值为（）A ．105B ．155C ．35D ．45【答案】A【解析】连结111,B D AB ，由11//B D EF ，可知异面直线1AD 与EF 所成角是11AD B ∠，分别求出1111,,AD AB D B ，然后利用余弦定理可求出答案.【详解】连结111,B D AB ，因为11//B D EF ，所以异面直线1AD 与EF 所成角是11AD B ∠，在11AD B V 中，2211115AD AA A D =+=22115AB BB AB =+=2211111122D B C B C D =+=，所以1110cos 52522AD B ∠==⨯. 故选A.【点睛】本题考查了异面直线的夹角，考查了利用余弦定理求角，考查了计算能力，属于中档题.7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 、N 分别为线段AD 、CD 的中点，用平面1B MN 截正方体，保留包含点B 在内的几何体，以图中箭头所示方向绘制该几何体的主视图，则主视图为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】作出平面1B MN 与正方体表面的交线，即得主视图. 【详解】如图所示，平面1B MN 截平面11ABB C 的交线为1B F ,平面1B MN 截平面11BCC B 的交线为1B E ,所以以图中箭头所示方向绘制该几何体的主视图，则主视图为A. 故选：A 【点睛】本题主要考查几何体的截面问题和三视图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．若0x ∀>，21221x x a +⋅+<恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(],1-∞- B ．(),1-∞- C ．(],2-∞- D ．(),2-∞-【答案】A【解析】由题得211[()]2()22x xa <-⋅，再通过求函数211y [()]2()22x x=-⋅的值域得解. 【详解】由题得211[()]2()22x xa <-⋅，设1(),0,012xt x t =>∴<<Q . 所以2()2(01)f t t t t =-<<，所以()(1)1f t f >=-，所以1a ≤-. 故选：A 【点睛】本题主要考查指数运算和指数函数的性质，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．设点P 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上的一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，已知12PF PF ⊥，且213PF PF =，则双曲线的一条渐近线方程是（）A ．3y x =B ．6y x =C ．3y x =D ．6y =【答案】D【解析】根据双曲线的定义可知12||||2PF PF a -=，进而根据12||3||PF PF =，分别求得2||PF 和1||PF ，进而根据勾股定理建立等式求得a 和c 的关系，然后求解渐近线方程．【详解】由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=，又12||3||PF PF =，得2||PF a =，1||3PF a =；在RT △12PF F 中，2221212||||||F F PF PF =+， 22249c a a ∴=+，即2225c a =，则2223b a =．即6b ，双曲线22221x y a b-=一条渐近线方程：6y ；故选：D ．【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线的求法．考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握．10．将6枚硬币放入如图所示的9个方格中，要求每个方格中至多放一枚硬币，并且每行每列都有2枚硬币，则放置硬币的方法共有（）种．A ．6B ．12C ．18D ．36【答案】A【解析】完成此事分三步完成，利用乘法分步原理得解. 【详解】先在第一列里任意选一格不放硬币，有3种选法；再在第二列选一格（不能选与第一步同行的的空格）不放硬币，有2种选法；最后在第三列选一格（不能选与第一、二步同行的空格）不放硬币，有1种方法.所以共有321=6⨯⨯种方法. 故选：A 【点睛】本题主要考查计数原理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知115a =，2a 为整数，且数列{}n S 的最大项为8S ，取12231111n n n T a a a a a a +=+++L ，则n T 的最大项为（） A ．49 B ．715C ．1631D ．4181【答案】B【解析】首先利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，最后利用函数的单调性求出结果．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知115a =，2a 为整数，80a …，90a „．所以15701580d d +⎧⎨+⎩…„，解得151578d --剟，由于2a 为整数，所以2d =-．则15(1)(2)172n a n n =+--=-．所以：111111()(172)(152)2217215n n n b a a n n n n +===-----g ，所以：1111111()213131121721515n T n n =-+-++⋯+---， 111(+)215152n=--，令1152n b n=-，由于函数1()152f x x=-的图象关于(7.5,0)对称．且27130b b b b <<<<<L ，8910110b b b b <<<<⋯<． 71n b b =„．故：117(1)21515n T -=„．故选：B ．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，及函数的单调性的应用．12．已知对于任意的0x >，总有22x b ax xe e -≤成立，其中e 为自然对数的底数，则2ba -的最小值为（） A ．12-B ．e 2-C ．1e-D ．2e-【答案】A【解析】由题得(2)21a x b xe --≤，设(2)2()(0),a x bf x xex --=>对a 分类讨论利用导数求出函数f(x)的单调性，通过单调性求函数的最大值再分析得解. 【详解】由题得(2)21a x b xe --≤，设(2)2(2)2()(0),()[1(2)]a x ba xb f x xex f x e x a ----'=>∴=+-，由()0f x '>得1(2)0,(2)1x a a x +->∴-<，当2a >时，12x a <-，所以函数f(x)在1(0,)2a -上单调递增，在1(+)2a ∞-，上单调递减，所以12max11()()1,22bf x f e a a --==≤--所以121ln(2)2,12ln(2),2ba ea b a b -----≤-∴--≤-∴≥，所以1ln(2)22(2)b a a a ---≥--，设1lnt2(0),()2a t t g t t---=>∴=，所以22ln ()4tg t t'=，所以函数()g t 在（0,1）单调递减，在（1，﹢∞）单调递增，所以min 1()(1)2g t g ==-.所以此时2ba -的最小值为12-.当2a <时，函数f(x)单调递增，不符合题意(2)21a x b xe --≤. 故选：A 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值和恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题 13．若曲线y x =x m =，0y =所围成封闭图形的面积为2m ，则正实数m =______．【答案】49【解析】由积分的几何意义可得，20m xdx =⎰，利用积分基本定理求解后可求正实数m 的值．【详解】由积分的几何意义可得，223m xdx x==⎰323202|3m m =解得49m =．故答案为：49【点睛】本题主要考查了积分的几何意义及积分基本定理的简单应用，属于基础试题．14．若关于x 的不等式2320ax x a -+≥的解集为(),-∞+∞，则实数a 的取值范围是______．【答案】3,3⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】分离参数可得2231xa x +…，根据基本不等式即可求出．【详解】不等式2320ax x a -+≥的解集是(,)-∞+∞，即x R ∀∈，2320ax x a -+≥恒成立， 2231xa x ∴+…，当0x =，0a …，当0x ≠时，213||||a x x +…，因为231233||||x x +所以3[)a ∈+∞．故答案为：33⎫+∞⎪⎪⎣⎭【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．15．已知a r ，b r均为非零向量，且23a b =r r ，若32a b a kb +≥+r r r r 恒成立，则实数k 的取值范围为______．【答案】32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】由题意先利用平面向量数量积的运算法则进行转化，再结合函数的恒成立问题列不等式组求解即可．【详解】非零向量a r ，b r 夹角为θ，若2||3||a b =r r，23||||cos ||cos 2a b a b b θθ=⨯⨯=r r r r r g，不等式|3||2|a b a kb ++r r r r…对任意θ恒成立 ∴22(3)(2)a b a kb ++rrrr…，，即22222227||9||cos 9||6||cos ||4b b b k b k b θθ-+++r r r r r …；整理可得，29()(96)cos 04k k θ-+-…恒成立， cos [1θ∈-Q ，1]，∴229960499604k k k k ⎧-+-⎪⎪⎨⎪--+⎪⎩……，解得32k =，故答案为：32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算法则，恒成立问题的处理，函数思想的应用问题．16．已知某款冰淇淋的包装盒为圆台，盒盖为直径为8cm 的圆形纸片，每盒冰淇淋中包含有香草口味、3cm 的球体，三个冰淇淋球两两相切，且都与冰淇淋盒盖、盒底和盒子侧面的曲面相切，则冰淇淋盒的体积为______． 1693π6【解析】由题得三个球是平放在一起，三个球的球心123,,O O O 组成一个边长为23中心为O '',先求出12O O ''=，再作出圆台的轴截面图形，通过解三角形求出圆台下底的半径，即得圆台的体积,即得冰淇淋盒的体积. 【详解】由题得三个球是平放在一起，三个球的球心123,,O O O 组成一个边长为23的等边三角形，其中心为O '', 所以2212((23)3)23O O ''=-⨯=，由题得圆台的高为23，其轴截面如图所示，由题得OA=4,AF=4-2=2,设BE=x ,则BM=x , 在直角ABG ∆中，222(2)3)(2)x x +=+-，所以32x =，所以下底的半径为372+=22，所以圆台的体积为2222177169[4+()4()]333226πππππ⋅⋅⨯=故答案为：1693π6【点睛】本题主要考查几何体的内切球的问题，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，平面ABC ⊥平面11ABB A ，1BC =，12AB AA ==．（1）证明：11A B AC ⊥；（2）若12AB AA ⋅=-u u u r u u u r，E 、F 分别为11A B 、AC 的中点，求直线EF 与平面1BEC 的夹角．【答案】（1）证明见解析（2）3arcsin510170θ= 【解析】（1）先证明1A B ⊥平面11AB C ，可得11A B AC ⊥；（2）由12AB AA ⋅=-u u u r u u u r 得1π3ABB ∠=，延长11A B 到G 使得11B G =，连结BG ．证明BG AB ⊥，BG BC ⊥，AB BC ⊥,建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求直线EF 与平面1BEC 的夹角．【详解】解：（1）连结1AB ．∵ABC ⊥平面11ABB A ，且AB BC ⊥，∴BC ⊥平面11ABB A ．又∵11B C BC ∥，∴11B C ⊥平面11ABB A ．又1A B ⊂平面11ABB A ，∴111A B B C ⊥∵11ABB A Y 中，1AB AA =，∴11ABB A Y 为菱形，∴11A B AB ⊥．因为111,AB B C ⊆平面11AB C ,1111AB B C B ⋂=, 所以1A B ⊥平面11AB C ，因为1AC ⊆平面11AB C 所以11A B AC ⊥.（2）∵12AB AA ⋅=-u u u r u u u r ，且12AB AA ==，∴12π3AA B ∠=， ∴1π3ABB ∠=．延长11A B 到G 使得11B G =，连结BG ． ∵11π3GB B ABB ∠=∠=，且11B G =，12BB =， ∴1BG A G ⊥且3BG =，∴BG AB ⊥．又∵平面ABC ⊥平面11ABB A ，∴BG ⊥平面ABC ， ∴BG AB ⊥，BG BC ⊥．又∵AB BC ⊥，∴可以建立如图所示的空间直角坐标系，，其中各点坐标为(3E ，1,1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(13C ， ∴1,1,32EF ⎛=-- ⎝u u u r ，(0,3BE =u u ur ，(13BC =u u u u r ．取平面1BEC 的法向量为(),,n a b c =r，∴0n BE ⋅=u u u r r ，10n BC ⋅=u u u u r r ，即23030b c a b c ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，不妨取(3,3,23n =-r，取直线EF 与平面1BEC 的夹角为θ，则33632sin cos ,51017019912134n EF θ-+===++++u u ur r ， ∴3510170θ=．【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明和空间角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18．已知函数()()22cos 13f x p x x =-，在R 上的最大值为3．（1）求p 的值及函数()f x 的周期与单调递增区间；（2）若锐角ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()0f A =，求b c的取值范围．【答案】（1）2p =，周期为π，单调递增区间为πππ,π62m m ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，π2ππ,π23m m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，m ∈Z （2）1,22b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】（1）化简得π()12sin 26f x p x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，根据最大值求出p 的值，再求出函数的周期和单调递增区间；（2）根据()0f A =得到2π3B C +=，ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,化简得sin 31sin 2tan 2b Bc C C ==+，再求范围得解. 【详解】（1）依题意()()22cos 13f x p x x =-+22cos 23cos p x x x =-- 1cos 232p x x =---π12sin 26p x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∵()f x 的最大值为3，∴123p -+=，∴2p =，∴()π12sin 26f x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，其中ππ2x k ≠+，k ∈Z ，其周期为2ππ2T ==．因为ππ3π22π,2π622x m m ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，m ∈Z 时，()f x 单调递增，解得π2ππ,π63x m m ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦． ∴()f x 的单调递增区间为πππ,π62m m ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，π2ππ,π23m m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，m ∈Z ．（2）∵()π12sin 206f A A ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，且A 为锐角， ∴π5π266A +=，∴π3A =，∴2π3B C +=．又∵B ，C 为锐角，所以022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩∴ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． ∴2π31sin cos sin sin 31322sin sin sin 2C C C b B c C C C ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭====，其中3tan C ⎫∈+∞⎪⎝⎭，∴1,22b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，考查正弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大的挑战，而咬牙起床的唯一动力，就是上学能够不迟到．己知学校要求每天早晨7:15之前到校，7:15之后到校记为迟到．小明每天6:15会被妈妈叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨间活动需要半个小时，故每天6:45小明就可以出门去上学．从家到学校的路上，若小明选择步行到校，则路上所花费的时间相对准确，若以随机变量X （分钟）表示步行到校的时间，可以认为()22,4X N ~．若小明选择骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量Y （分钟）描述骑车到校的时间，可以认为()16,16Y N ~．若小明选择坐公交车上学，速度很快，但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机变量Z （分钟）描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为()10,64Z N ~．（1）若某天小明妈妈出差没在家，小明一觉醒来已经是6:40了，他抓紧时间洗漱更衣，没吃早饭就出发了，出门时候是6:50．请问，小明是否有某种出行方案，能够保证上学不迟到？小明此时的最优选择是什么？（2）已知共享单车每20分钟收费一元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变量ξ表示这五天小明上学骑车的费用，求ξ的期望与方差（此小题结果均保留三位有效数字）已知若随机变量()0,1N η~，则()1168.26P η-<<=％，()2295.44P η-<<=％，()3399.74P η-<<=％．【答案】（1），三种方案都无法满足3σ原则，不能保证上学不迟到．相对而言，骑车到校不迟到的概率最高，是最优选择（2）() 5.79E ξ≈（元），()0.668D ξ≈（元2）【解析】（1）依题意，小明需要在25分钟内到达学校．若他选择步行到校，则不迟到的概率记为()125P X <，求出()12597.72P X <<％．若骑车到校，则不迟到概率记为()225PX <， ()225P X <∈（97.72％，99.87％），若坐公交车到校，则不迟到的概率记为()325P X <， ()32597.72P X <<％．比较即可做出选择；（2）取随机变量1ξ表示五天里骑车上学时间单程超过20分钟的天数．先求出()1E ξ和()1D ξ，再求ξ的期望与方差. 【详解】（1）依题意，小明需要在25分钟内到达学校．若他选择步行到校，则不迟到的概率记为()125P X <，取122μ=，12σ=，则1124μσ+=，11226μσ+=，()()11195.442526197.722P X P X -<<<=-=％％．若骑车到校，则不迟到的概率记为()225P X <，取216μ=，24σ=，则2220μσ+=，22224μσ+=，22328μσ+=，则()()2241195.4497.72P X <=--=％％，()()2281199.74299.87P X <=--=％％， ∴()()()()2222524,28P X P X P X <∈<<=（97.72％，99.87％）若坐公交车到校，则不迟到的概率记为()325P X <，取310μ=，38σ=，则3318μσ+=，33226μσ+=，()()33252697.72P X P X <<<=％．综上，三种方案都无法满足3σ原则，不能保证上学不迟到．相对而言，骑车到校不迟到的概率最高，是最优选择．（2）取随机变量1ξ表示五天里骑车上学时间单程超过20分钟的天数．依题意，每天骑车上学时间超过20分钟的概率为()()2168.262015.872P X ->==％％，∴()15,15.87B ξ~％，∴()1515.87E ξ=⨯％0.7935=，()1515.87D ξ=⨯％()115.870.668⨯-≈％．又∵()111255ξξξξ=+-=+，∴()()15 5.79E E ξξ=+≈（元），()()10.668D D ξξ=≈（元2）【点睛】本题主要考查正态分布的计算，考查期望和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 20．已知()ln f x m x =，从原点O 作()y f x =图像的切线，切点为P ，已知21OP e =+，其中e 为自然对数的底数．（1）求m 的值；（2）若()()()212g x f x x k =++有两个极值点1x ，2x ，（i ）求参数k 的范围；（ii ）若假定12x x <，求()21g x x 的取值范围．【答案】（1）1m =（2）（i ）(),2k ∈-∞-（ii ）1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】（1）先求出切点P 为(),e m ，再根据2221OP e m e =+=+m 的值；（2）（i ）()()2111g x x k x kx x x'=++=++，()21h x x kx =++，则()h x 在()0,∞+有两零点，得到k 的不等式，解不等式即得解；（ii ）先求出()222121ln 2g x x x x x =+，再利用导数求函数的值域得解. 【详解】（1）∵()mf x x'=，从原点O 作()y f x =图像的切线，设切点为()00,ln x m x ，∴000ln 00m x mx x -=-，∴0x e =，∴切点P 为(),e m ．又∵2221OP e m e =+=+，且0m >，∴1m =．（2）（i ）依题意()()21ln 2g x x x k =++，其中0x >， ∴()()2111g x x k x kx x x'=++=++，取()21h x x kx =++，若函数()g x 有两个极值点，则()h x 在()0,∞+有两零点， ∴02k->，240k ->，∴(),2k ∈-∞-．（ii ）若1x ，2x 为()g x 的极值点，则1x ，2x 为()210h x x kx =++=的两根， ∴121=x x ，12x x k +=-．又∵12x x <，∴1201x x <<<，∴()()()222222221ln 2g x x x g x x x x k x ==++．又∵22210x kx ++=，∴221k x x =--，∴()222121ln 2g x x x x x =+，取()()1ln 12p x x x x x =+>，∴()211ln 02p x x x'=+->， ∴()p x 在()1,+∞单调递增，∴()p x 的值域为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，即()21g x x 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调区间、最值和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过点(),0P a ，且与抛物线C 交于A 、B 两点，90AFB ∠=︒．（1）求a 的取值范围；（2）若1a ≥，点E 的坐标为()1,0-，直线EA 与抛物线的另一个交点为M ，直线EB 与抛物线的另一个交点为N ，直线MN 与x 轴交于点(),0Q b ，求+a b 的取值范围．【答案】（1）((),322322,a ∈-∞-++∞U （2）(6,)+∞【解析】（1）设直线l 为(0)x my a m =+≠，设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭为交点，由0FA FB ⋅=u u u r u u u r 得226140a a m -+=>，即得解；（2）求出点M 和N 的坐标分别为21144,M y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22244,N y y ⎛⎫⎪⎝⎭，利用(),0Q b 在直线MN 上得到1a b a a +=+，设()1f a a a=+，利用导数求出函数的取值范围. 【详解】（1）依题意，设直线l 为(0)x my a m =+≠，代入24y x =得2440y my a --=，其判别式为216160m a ∆=+>， ∴2m a >-．设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为交点， ∴124y y m +=，124y y a =-． ∵焦点F 的坐标为()1,0，∴2111,4y y FA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，2221,4y FB y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ．∵90AFB ∠=︒，∴()2222212121212121211111441642y y y y FA FB y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-++++⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r 224610a m a =--+=，∴226140a a m -+=>，∴322a >+322a <-∵()2221616424416410m a a a a a ∆=+=-++=->成立． ∴((),322322,a ∈-∞-++∞U ．（2）若1a ≥，则322a >+ 设点233,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,4y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为直线EA 、直线EB 与抛物线的交点．设直线EA 为11x m y =-，代入24y x =得21440y m y -+=， ∴134y y =，∴314y y =，同理可得424y y =， ∴点M 和N 的坐标分别为21144,M y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22244,N y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭．又∵(),0Q b 在直线MN 上， ∴21144,QM b y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，22244,QN b y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r 共线， ∴2212124444b b y y y y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴221212212112441616161614444b y y y y y y ay ay a y y ⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭． ∵12y y ≠，∴1b a =， ∴1a b a a +=+，设()1f a a a=+， ∴()2110f a a'=->在322a >+ ∴()f a 在322,)++∞（单调递增，(322)6f +=∴+a b 的取值范围为(6+)∞，．【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中的范围问题的解决方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为22212cos ρθ=-，射线()π03θρ=≥与曲线C 交于点P ，点Q 满足23PQ PO =u u u r u u u r ，设倾斜角为α的直线l 经过点Q ．（1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的参数方程；（2）直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，当α为何值时，QM QN ⋅u u u u r u u u r 最大？求出此最大值．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为22221x y +=，直线l 的参数方程为3cos 31sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，其中t 为参数（2）当2πα=时，QM QN ⋅u u u u r u u u r 取得最大值283- 【解析】（1）直接代极坐标化直角坐标的公式求出曲线C 的直角坐标方程为22221x y +=，求出点Q 的直角坐标为3⎫⎪⎪⎝⎭，再写出直线l 的参数方程；（2）设交点M ，N 所对应的参数分别为1t ，2t ，求出()1225631sin QM QN t t α-⋅==+u u u u r u u u r，再求出最大值得解. 【详解】（1）∵()2222222212cos 222x y x x y ρθ=-=+-=+，∴曲线C 的直角坐标方程为22221x y +=．∵点P 2213π2cos 3=-，又∵23PQ PO =u u u r u u u r ，∴点Q 的极径为1223333⨯= ∴点Q 的直角坐标为33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴直线l 的参数方程为3cos 1sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，其中t 为参数．（2）将l 的参数方程代入22221x y +=，得()222561sin 4sin 3033t t ααα⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，设交点M ，N 所对应的参数分别为1t ，2t ，则()1225631sin t t α-=+， ∴()1225628331sin QM QN t t α-⋅==≤-+u u u u r u u u r，当2sin 1α=即2πα=时取等．【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标互化，考查直线参数方程中t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.23．已知正实数x 、y 满足6x y +=．（1）若3226x y x y ++-<，求x 的范围；（2）求22616166x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值．【答案】（1）(]0,10x ∈（2）14 【解析】（1）化简得3218236x y x y x x ++-=-+-2450212295249x x x x x x -<<⎧⎪=+≤≤⎨⎪->⎩，再解分类讨论解不等式得解；（2）先化简原式为222212236y y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，再利用基本不等式求最小值. 【详解】（1）∵6y x =-，∴3218236x y x y x x ++-=-+-，取()245021823612295249x x f x x x x x x x -<<⎧⎪=-+-=+≤≤⎨⎪->⎩，若()26f x <，则2452602x x -<⎧⎨<<⎩，或122629x x +<⎧⎨≤≤⎩，或524269x x -<⎧⎨>⎩，解得(]0,10x ∈．（2）∵6x y +=， ∴()()222222616111666666x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 222212236y y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()12211524536364y x x y ⎛⎫=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当3x y ==时取等．【点睛】本题主要考查解绝对值不等式，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

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