2021届四川省新津中学高三一诊模拟理科数学试卷

2021年四川省新津中学高三一诊模拟理科数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合A ={x|x 2−2x −3<0}，B ={x|log 2x <2}，则A ∩B =（ ）
A ．(−1,4)
B ．(−1,3)
C ．(0,3)
D ．(0,4)
2．若复数
3(R,12a i a i i +∈-为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．6-
B ．2-
C ．4
D ．6 3．函数2cos(2)2y x π
=-是（ ）
A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为
2
π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 4．等差数列{}n a 中，已知112a =-，130S =，则使得0n a >的最小正整数n 为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
5．直线0x y m -+=与圆22210x y x +--=有两个不同交点的一个充分不必要条件是（）
A ．31m -<<
B ．42m -<<
C ．01m <<
D ．1m <
6．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，要求1不在首位，3不在百位的五位数共有（ ）
A ．72
B ．78
C ．96
D ．54
7．定义某种运算⊕，a ⊕b 的运算原理如图所示，设S =1⊕x ，x ∈[−2,2]，则输出的S 的最大值与最小值的差为（ ）
A ．2
B ．−1
C ．4
D ．3
8．下列命题：①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α；
②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.
其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |=4，则直线AF 的倾斜角等于
A ．7π12
B ．2π3
C ．3π4
D ．5π6
10．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()(4)f x f x =-，且当2x ≠时，其导函数()f x '
满足()2()xf x f x ''>，若24a <<，则（ ）
A ．2(2)(3)(log )a f f f a <<
B ．2(3)(log )(2)a f f a f <<
C ．2(log )(3)(2)a f a f f <<
D ．2(log )(2)(3)a f a f f <<
二、填空题
11．二项式(1−2x )5的展开式中第四项的系数为 .
12．一个几何体的三视图如图所示，其中网格纸上的小正方形的边长为1，则该几何体的体积为 .
13．点P(x,y)在不等式组{x ≥0
x +y ≤3y ≥x +1
表示的平面区域内，若点P(x,y)到直线y =kx −
1(k >0)的最大距离为2√2，则实数k = .
14．ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且3450OA OB OC ++=，则OC AB ⋅的值为 .
15．已知函数()ln f x x x =，且120x x <<，给出下列命题：
①()()
12121f x f x x x -<-；
②()()1221f x x f x x +<+；
③()()2112x f x x f x <；
④当1ln 1x >-时， ()()()1122212x f x x f x x f x +>.
其中所有正确命题的序号为 .
三、解答题
16．已知{a n }为等比数列，其中a 1=1，且a 2,a 3+a 5,a 4成等差数列．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设b n =(2n −1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．
17．（本小题满分12分）已知向量(2cos ,1),(cos ,cos 1)m x n x x x ==-，函数()f x m n =⋅.
（1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()1f B =，b =，sin 3sin A C =，求
ABC ∆的面积.
18．（本小题满分12分）在2014年10月，某市进行了“居民幸福度”的调查，某师大附
中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“狮子山”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）.
（1）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”，求从这16人中随机选取3人，至
多有3人是“极幸福”的概率；
（2）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记X
表示抽到“极幸福”的人数，求X 的分布列及数学期望.
19．已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，且2AD =，1AB =，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点.
（1）判断并说明PA 上是否存在点G ，使得//EG 平面PFD ?若存在，求出
PG GA
的值；若不存在，请说明理由； （2）若PA 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角A PD F --的平面角的余弦值.
20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C:x 2a +y 2
b =1(a >b >0)过点
A(a 2,a 2)和点B(√3,1).
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知点P(x 0,y 0)在椭圆C 上，F 为椭圆的左焦点，直线l 的方程为x 0x +3y 0y −6=0. （i ）求证：直线l 与椭圆C 有唯一的公共点；
（ii ）若点F 关于直线l 的对称点为Q ，探索：当点P 在椭圆C 上运动时，直线PQ 是否过定点?若过定点，求出此定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
21．（本小题满分14分）已知函数f(x)=e x (ax 2−2x −2)，a ∈R 且a ≠0.
（1）若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线垂直于y轴，求实数a的值；
（2）当a>0时，求函数f(|sinx|)的最小值；
（3）在（1）的条件下，若y=kx与y=f(x)的图像存在三个交点，求k的取值范围.
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：解一元二次不等式x 2−2x −3<0，得−1<x <3，∴A =(−1,3)，而B =(0,4)， ∴A ∩B =(0,3).
考点：1.解一元二次不等式；2.集合的交集.
2．D
【解析】 试题分析：由题意可设3()12a i bi b R i
+=∈-，∴32a i b bi +=+，∴2{63a b a b =⇒==. 考点：复数的计算.
3．A
【解析】 试题分析：22T ππ==，而2cos(2)2sin 22
y x x π=-=为奇函数. 考点：三角函数的性质.
4．B.
【解析】
试题分析：∵等差数列{}n a ，∴1131311313()1300122a a S a a a +⋅=
=⇒+=⇒=， ∴131212
a a d -==，∴1(1)214n a a n d n =+-=-，∴满足0n a >的最小正整数n 为8. 考点：等差数列基本量的计算.
5．C
【解析】
直线x-y+m=0与22
x y ＋－2x －1＝0有两个不同交点的充要条件为
31m <∴-<<,因为(0,1)(3,1)⊂-,所以0＜m ＜1是直线与圆相交的充分不必要条件
6．B.
【解析】
试题分析：若3在首位：共有4424A =个百位数，若3不在首位：则首位共有133C =种选法，
百位共有133C =种选法，剩下的三个数位共有336A =种选法，综上，符合题意的五位数共
有2433678+⋅⋅=个.
考点：排列组合.
7．A
【解析】
试题分析：由题意可得，S(x)={|x|,-2≤x ≤11,1<x ≤2
，∴S(x)max =2，S(x)min =0，∴S(x)max −S(x)min =0.
考点：1.分段函数的值域；2.读程序框图.
8．A.
【解析】
试题分析：①：l 与α相交或平行，∴①错误；②：l 与α内的任意一条直线平行或异面，∴②错误；③：另一条直线与这个平面平行或在平面内，∴③错误；④：l 与α内的任意一条直线平行或异面，即没有交点，∴④正确.
考点：直线与平面的位置关系.
9．B
【解析】
试题分析：设P(x 1,y 1)，由题意得，F(1,0)，∴|PF|=x 1+1=4⇒x 1=3，∴y 1=2√3， ∴A(−1,2√3)，k AF =2√3−0−1−1=−√3，∴倾斜角为23π. 考点：1.抛物线的性质；2.直线的倾斜角与斜率.
10．C.
【解析】
试题分析：∵()2()xf x f x ''>，∴(2)'()0x f x ->，∴()f x 在(,2)-∞上单调递减，
(2,)+∞上单调递增，
当24a <<时，21log 2a <<，4216a <<，∴224log 3a <-<，∴
2(log )(3)(2)a f a f f <<.
考点：利用导数判断函数单调性.
11．−80.
【解析】
试题分析：二项展开式的第r+1项为T r+1=(−1)r2r C5r x−r，∴第四项的系数为(−1)323C53=−80.
考点：二项式定理.
12．250
3
.
【解析】
试题分析：由三视图可知，几何体表示的是正四棱锥，从而体积. 考点：空间几何体的体积.
13．1.
【解析】
试题分析：如图，画出不等式组所表示的区域，即可行域，易得，，，直线过定点，由图可得点P(x,y)到直线y=kx−1(k>0)的最大距离即为点到直线的距离，
∴（负值舍去）.
考点：1.线性规划；2.点到直线距离公式.
14．
1
5 .
【解析】
试题分析：由题意得：||||||1OA OB OC ===，∵3450OA OB OC ++=，∴345OA OB OC +=-，
即22(34)(5)0OA OB OC OA OB +=-⇒⋅=，∴1
(34)()5
OC AB OA OB OB OA ⋅=-+⋅- 2211(34)55
OA OA OB OB =---⋅+=-. 考点：平面向量的数量积.
15．③④.
【解析】试题分析：①
： ()()()()()()1212121122
121f x f x f x f x x x f x x f x x x x -⇔--⇔->--，令，∴，∴在上单调递减，上单调
递增，故
与的大小无法判断，∴①错误；②：令，∴
， ∴在上单调递减，上单调递增，故与的大小无法判断，∴②错误；
③：()()()()122112121212ln ln 0f x f x x f x x f x x x x x x x <⇔
<⇔<⇔<<，∴③正确； ④：，∴单调递增，∴
()()1221x f x x f x >+，由③可知，
()()()1221212x f x x f x x f x +>，∴
()()()1122212x f x x f x x f x +>，
∴④正确，故正确的结论为③④.
考点：利用导数判断函数单调性. 16．（1）a n =(12)n−1(n ∈N *)；（2）T n =6−(2n +3)⋅(12)n−1(n ∈N *).
【解析】
试题分析：（1）首先根据条件可得a 2+a 4=2(a 3+a 5)，再由等比数列可得
，从而
，因此数列
的通项公式为a n =(1
2
)n−1(n ∈N *)；（2）
由（1）可得b n =(2n −1)⋅(1
2)n−1，这是一个等比数列与一个等差数列的乘积，因此可以考虑用错位相减法来求数列
的前项和：
T n =1+3×1
2+5×(1
2)2+⋯+(2n −1)⋅(1
2)n−1，
1
2T n
=0+1×12+3×(12)2+⋯+(2n −3)⋅(12)n−1+(2n −1)⋅(1
2)n ， 12
T n =1+2×12
+2×(12
)2+⋯+2⋅(12
)n−1−(2n −1)⋅(12
)n =3−(2n +3)⋅(1
2
)n ，
T n =6−(2n +3)⋅(12
)n−1(n ∈N *).
试题解析：（1）∵a 2,a 3+a 5,a 4成等差数列，∴a 2+a 4=2(a 3+a 5)， 又∵等比数列
，∴
，又∵
，∴
，
∴数列{a n }的通项公式为a n =(12
)n−1(n ∈N *)；
（2）∵b n =(2n −1)⋅(1
2
)n−1，∴T n =1+3×1
2
+5×(1
2
)2+⋯+(2n −1)⋅(1
2
)n−1，
∵12T n =0+1×12+3×(12)2+⋯+(2n −3)⋅(12
)n−1+(2n −1)⋅(1
2
)n ，
∴1
2T n =1+2×1
2+2×(1
2)2+⋯+2⋅(12)n−1−(2n −1)⋅(12)n =3−(2n +3)⋅(1
2)n ， ∴T n =6−(2n +3)⋅(1
2)n−1(n ∈N *).
考点：1.等差等比数列的通项公式与性质；2.错位相减法求数列的和.
17．（1）[,
](Z)3
6
k k k π
π
ππ-++∈；
（2）ABC S ∆=【解析】
试题分析：（1）首先根据平面向量数量积的坐标运算得到)(x f 的表达式，再由二倍角公式的降幂变形以及辅助角公式将)(x f 的表达式进行化简，从而可得()2sin(2)6
f x x π
=+
，
再由正弦函数x y sin =的单调性，可知要求)(x f 的单调递增区间，只需令
2222
6
2
k x k π
π
π
ππ
-
+≤+
≤
+，即可得)(x f 的单调递增区间为
[,
](Z)3
6
k k k π
π
ππ-
++∈；
（2）由（1）及条件1)(=B f 可得π65
=B ，再由正弦定理可将条件C A sin 3sin =变形为c a 3=，再结合余弦定理B ac c a b cos 2222-+=联立方程组即可解得3=a ，1=c
，从而1sin 2ABC S ac B ∆=
=试题解析：（1
）∵2
()2cos cos 12cos 2f x m n x x x x x =⋅=+-=+，
∴
()2sin(2)6f x x π=+，令222262
k x k πππ
ππ
-+≤+≤+，(Z)
k ∈
∴
[,
](Z)3
6
x k k k π
π
ππ∈-
++∈，
∴函数()f x 的单调递增区间为[,
](Z)3
6
k k k π
π
ππ-
++∈；（2）∵
()2sin(2)16f B B π
=+=，
∴15sin(2)26266
B B πππ
+=⇒+=，∴3π=B ，∵C A sin 3sin =，∴c a 3=，
又∵7=b ，B ac c a b cos 2222-+=， ∴3=a ，1=c ，
∴1sin 2ABC S ac B ∆==考点：1.三角恒等变形；2.函数)sin(ϕω+=x A y 的性质；3.正余弦定理解三角形. 18．（1）121
140；（2）ξ的分布列为：
Eξ=3
4. 【解析】
试题分析：（1）设A i 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，根据互斥事件的概率加法公式，则P(A)=P(A 0)+P(A 1)，由此能求出至多有1人是“极幸福”的概率；（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，分析题意可知ξ服从二项分布，求出对应的概率，即可求得其分布列及其期望.
试题解析：（1）设A i 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，
则
P(A)=P(A 0)+P(A 1)=C 123+C 41C 12
2C 36
3=121
140；（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，
P(ξ=0)=(3
4)3=
2764，P(ξ=1)=C 31
⋅14
⋅(34
)2=
2764
，P(ξ=2)=C 32
⋅(1
4
)3⋅3
4=
964
，
P(ξ=3)=(14)3=1
64， ξ的分布列为：
∴Eξ=0×27
64+1×27
64+2×9
64+3×1
64=3
4.
考点：1.离散型随机变量的期望与方差；2.古典概型及其概率计算公式；3.二项分布. 19．（1）存在，3PG GA =；（2）
6
【详解】
试题分析：（1）根据四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形可知，可以通过建立空间直角坐标系来求解问题，设PA a =，GA b =，根据条件中给出的数据可得(1,1,0),(0,2,0),(0,0,),(0,0,)F D P a G b ，从而可求得平面PFD 的一个法向量
(,,2)m a a =，再由//EG 平面PFD ，可知1
202GE m a b ⋅=
-=，可得14
b a =，因此存
在满足条件的点G ，且
3PG
GA
=； （2）由PB 与平面ABCD 所成的角为45︒可知1==PA AB ，结合（1）可知平面PDF 的一个法向量为(1,1,2)m =，再取平面APD 的一个法向量为(1,0,0)n =，可求得
6cos ,m n m n m n ⋅=
=⋅，即二面角A PD F --的平面角的余弦值为
6
. 试题解析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设PA a =，GA b =，
∵(1,1,0),(0,2,0),(0,0,),(0,0,)F D P a G b ，∴(1,1,0)DF =-，(0,2,)PD a =-，
1
(,0,)2
GE b =-，
设平面PFD 的一个法向量(,,)m x a z =，∴0
{20m DF x a m PD a az ⋅=-=⋅=-=，∴{2x a z ==，∴
(,,2)m a a =，
∵1202GE m a b ⋅=
-=，∴14
b a =，∴3PG
GA =； （2）∵PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，
∴45PBA ∠=︒，∵1AB =，∴1PA =，由（1）知，平面PDF 的一个法向量为(1,1,2)m =， 取平面APD 的一个法向量为(1,0,0)n =，∴6
cos ,6m n m n m n
⋅=
=
⋅，∴二面角A PD F --
考点：1.空间直角坐标系的建立；2.二面角与法向量的运用. 20．（1
）
x 26
+
y 22
=1；（2）（i ）详见解析；（ii ）定点坐标为.
【解析】
试题分析：（1）根据题意，将A(a 2,a
2)和点B(√3,1)分别代入椭圆方程，即可得到关于
，
的方程组：(a
2
)2
a 2+
(a 2
)2b 2
=1，3
a 2+1
b 2=1，从而可以解得
，，即椭圆的方程为
x 26
+
y 22
=1；（2）（ii ）分析题意可知，要证直线与椭圆只有一个公共点，等价于将直线
方程与椭圆方程联立所得的方程组只有唯一的解，因此考虑将方程联立，化简变形可得x 2−2x 0x +x 02=0，易知其
，从而得证；（ii ）由题意可知为线段
的中垂线，因此利
用线段与直线垂直以及线段的中点在直线上可求得点
的坐标为(4x 0−63−x 0
,6y
3−x 0
)，
以下需分类讨论列出直线的解析式：当x 0≠2时，直线
的斜率k =
6y 0
3−x 0−y 04x 0−6
3−x 0
−x 0=y 0
x
0−2
，
直线
的方程为y −y 0=y 0
x
0−2
(x −x 0)，即(x −2)x 0−x 0y +2y =0，直线过定点M(2,0)，
当x 0=2时，y 0=±√6
3
，此时Q(2,±2√6)，直线过点
，即可证明直线恒过定
点
.
试题解析：（1）∵(a
2
)2
a 2+
(a 2
)2b 2
=1，且3a 2+1
b 2=1，∴
，，∴椭圆
的方程为x 2
6+
y 22
=1.
（2）（i ）联立方程组{x 2+3y 2=6x 0x +3y 0y −6=0
，整理为(x 02+3y 02)x 2−12x 0x +36−18y 02=
0…①， ∵P 在椭圆
上，∴
x 026
+
y 022
=1，即3y 02=6−x 02，∴方程①为x 2−2x 0x +x 02=0，即
，∴直线与椭圆有唯一的公共点； （ii ）∵F(−2,0)，∴过点F 且与垂直的直线
方程为3y 0y −x 0x −6=0，
∵联立方程组{3y 0y −x 0x −6=0x 0x +3y 0y −6=0 ，∴{x =
6x 0−18y 02
x 02+9y 02y =
18y 0+6x 0y 0x 02+9y 02
，∵3y 02=6−x 02
，且{2x =−2+x Q 2y =y Q ，∴点坐标为(
4x 0−63−x 0
,
6y 03−x 0
)，当x 0≠2时，直线
的斜率k =
6y 0
3−x 0−y 04x 0−6
3−x 0
−x 0=
y 0
x 0−2
，
∵直线的方程为y −y 0=y 0x 0−2
(x −x 0)，即(x −2)x 0−x 0y +2y =0，∴直线过定点
M(2,0)，
当x 0=2时，y 0=±
√6
3
，此时Q(2,±2√6)，直线过点M(2,0)，综上所述，直线过定点M(2,0)．
考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线中的对称问题.
21．（1）a =1；（2）当0<a ≤2时，f(x)的最小值为(a −4)e ，当a >2时，f(x)的最小值为−2e 2
a ；（3）实数k 的取值范围是(−2e √2,−3e)∪(−2e −√2,0). 【解析】
试题分析：（1）结合导数的几何意义，可知y =f(x)在P(2,f(2))处的切线垂直于y 轴等价于f′(2)=0，从而可列出关于a 的方程，即可求得a 的值；（2）分析题意可知，问题等价于求当a >0时，求函数f(x)在[0,1]上的值域，分类讨论a 的取值范围，利用导数判断f(x)的单调
性即可求得其最小值；（3）欲使y =kx 与y =f(x)的图象存在三个交点，只需kx =e x (x 2−2x −2)有三解，分离参数，则将问题等价于研究函数g(x)=e x (x 2−2x−2)
x
的取值情况，可得
到其大致的图象，结合图象可求出k 的取值范围. 试题解析：（1）∵f(x)=e x (ax 2−2x −2)，
∴f ′(x)=e x (ax 2−2x −2)+e x (2ax −2)=e x [ax 2+2(a −1)x −4]， ∵f ′(2)=e 2(8a −8)=0，∴a =1；（2）由（1）知f ′(x)=ae x (x −2
a )(x +2)，
当0<a ≤2时，∵2
a ≥1，∴f(x)在区间(0,1)上单调递减，∴f(x)的最小值为f(1)=(a −4)e ，
当a >2时，∵0<2a <1，∴f(x)在区间(0,2a )上单调递减，在区间(2
a ,1)上单调递增， ∴f(x)的最小值为f(2
a )=−2e 2
a
，综上所述，当0<a ≤2时，函数f(|sinx|)的最小值为(a −
4)e ，
当a >2时,函数f(|sinx|)的最小值为−2e 2
a ；（3）由f(x)=kx ⇒k =
e x (x 2−2x−2)
x
，设g(x)=
e x (x 2−2x−2)
x
，∵g ′(x)=
e x x 2
(x −√2)(x −1)(x +√2)，
∴函数g(x)的单调递增区间为(−√2,0),(0,1),(√2,+∞)，单调递减区间为(−∞,−√2),(1,√2)， ∵x →−∞时，函数g(x)的图象在x 轴下方且无限靠近x 轴，大致图象如下图所示， g(−√2)=−2e −√2，g(1)=−3e ，g(√2)=−2e √2，∴实数k 的取值范围是(−2e √2,−3e )∪(−2e −√2,0).
考点：1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.函数的值域；3.根的存在性及根的个数判断.。