功的几种求法

功的几种求法
高二物理组尚田鹤
生活中牵涉到物体做功的问题很多，怎样求功是学生在学习机械能这一章中遇到的一个基本问题，也是比较复杂的一个问题，尤其牵涉到变力做功的情况。

下面把求某力做功基本方法总结如下：
一．按照功的定义求功。

即由：W=Fscosθ求功。

在高中阶段，这种方法只适用于恒力做功。

恒力F做功大小只与F、S、θ这三个量有关，与物体是否还受其它力，物体的运动状态、运动形式等因素无关。

这种方法也可以说成是：功等于恒力和沿该恒力方向上的位移的乘积。

例1．如图所示，力F大小相等，A B C D 物体运动的位移s也相同，哪种情况F做功最小（）
解析．力F做功多少与接触面粗糙度无关，W=Fs cos α，D中cosα最小，∴F做功最小。

故选D
二．求变力功的方法
1．用动能定理求变力做功，用动能定理W=ΔE k求功。

当F
为变力时，高中阶段往往考虑用这种方法求功。

这种方法的依据是：物体所受合外力的功等于物体动能的变化，如果知道某一过程中动能变化的数值，那么也就知道了该过程中对应的合外力功的数值，进一步可求某个力的功。

例2如图所示，质量为m 的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直位置。

用水平拉力F 将小球缓慢地拉到细线与竖直方向成θ角的位置。

在此过程中，拉力F 做的功各是多少？
A.θcos FL
B.θsin FL
C.()θcos 1-FL
D.()θcos 1-mgL
解析：若用F 缓慢地拉，则显然F 为变力，整个
过程中动能可认为不变，可以用动能定理求解。

F 做的功和重力做功的功相等。

选D
例3．如图4所示，AB 为1/4圆弧轨道，半径为0.8m ，BC 是水平轨道，长L=3m ，BC 处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg 的物体，自A 点从静止起下滑到C 点刚好停止。

求物体在轨道AB 段所受的阻力对物体做的功。

解析：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三个力做功，重力做功W G=mgR，水平面上摩擦力做功W f1=-μmgL，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。

根据动能定理可知：W外=0，
所以mgR-umgL+W AB=0 即
W AB=mgR-umgL=-6(J)
2．利用功率求变力功：此方法主要用于在发动机功率保持恒定的条件下，求牵引力做的功。

若机车保持发动机输出功率恒定不变，机车在加速过程中，速度v不断增大，由P=Fv，可知发动机牵引力逐渐减小。

因此求机车发动机牵引力做的功实际上是求变力的功，一般不能用定义式求解，而可用功率定义式求解即：W=Pt.
例4．质量是500t的机车以恒定的功率由静止出发，经5min行驶2.25km,速度达到54km/h,求（1）机车的功率（2）机车所受的阻力（3）机车在这段时间内所做的功。

解析：(1)(2)速度从零到最大的过程中，阻力F f不变，牵引力F随速度的增大而减小，当阻力等于牵引力时，速度达到最大。

因为整个过程中功率不变，所以可以用W=Pt求
牵引力的功：
由P =Fv = F f V m (1)
由动能定理P t －F f S= 2
1mV m 2………（2） 由（1）（2）得P=3.37×105W 。

F f =2.5×104N 。

（3）W=Pt 得W=1.01×108J
3．利用微元法变力功
当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。

例5．如图2所示，某力F=10N 作用于半径R=1m 的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周的过程中这个力F 做的总功应为：
A 、 0J
B 、20πJ
C 、10J
D 、20J.
解析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故ΔW=F ΔS ，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F ×2πR=10×2πJ=20πJ=62.8J ，故B 正确。

4．利用平均力法变力功
如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。

例6．一辆汽车质量为105kg ，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。

其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f 0，f 0是车所受的阻力。

当车前进100m 时，牵引力做的功是多少？
解析：由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f 0，是线性关系，故前进100m 过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力-F 所做的功。

由题意可知f 0＝0.05×105×10N ＝5×104
N,所以前进100m 过程中的平均牵引力: N N F 54341012)10510100(105⨯=⨯+⨯+⨯=- ∴W ＝S ＝1×105×100J ＝1×107
J 。

5．用机械能守恒定律求变力做功
如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律。

如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。

例5、如图4所示，质量m=2kg
的物体，从光滑斜面的顶端A点以
V0=5m/s的初速度滑下，在D点与弹
簧接触并将弹簧压缩到B点时的速
图4
度为零，已知从A到B的竖直高度
h=5m，求弹簧的弹力对物体所做的功。

解析：由于斜面光滑故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。

取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D 点为弹性势能的零参考点，则状态A：E A= mgh+mV02/2
对状态B：E B=－W弹簧+0
由机械能守恒定律得： W弹簧=－（mgh+mv02/2）=－125（J）。

当然还有求功的其它方法，如等值法，功能原理法，老师可根据学生的具体情况，在教学中让学生漫漫体会接受，在练习中找出最佳的求功方法。

÷。