线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质

空间中的垂直关系
1．线面垂直
直线与平面垂直的判定定理：如果，那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式：
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。

2．面面垂直
两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）
如果，那么这两个平面互相垂直。

推理模式：
两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）
若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系
为：线线垂直判定
性质线面垂直判定
性质
面面垂直．这三者之间的关系非常密切，
可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同
学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中
蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．
例题：1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．
2、如图，棱柱111ABC A B C 的侧面11BCC B 是菱形，11B C
A B
证明：平面1ABC 平面11A BC 3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D 中，AB=AD=1，AA
1=2，M 是棱CC 1的中点（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；
（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1
4、如图，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA 平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．
5、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，D 是A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使
得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论
6、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC. S
A
B
7、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD 证明:AB⊥平面VAD
8、如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ，2,4AB AD ,将CBD 沿BD 折起到EBD 的位置，使平面EDB 平面ABD .
求证：AB DE w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
9、如图，在四棱锥ABCD P 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点
求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD
10、如图，在三棱锥ABC S
中，平面SAB 平面SBC ,AB AS BC AB ,.过A 作SB AF ，垂足为F ,点G E,分别是棱SC SA ,的中点。

求证：（1）平面EFG //平面ABC
（2）SA
BC V
D
C B
A
11、如图，在三棱锥ABC P 中，F E D ,,分别是棱AB AC PC ,,的中点，已知5,8,6,DF BC PA AC PA .
求证：（1）直线//PA 平面DEF ;
（2）平面BDE 平面ABC
12、如图，在正方形ABCD 中，,1,2BC AB E 是CD 的中点，F 是AE 的中点。

现在沿AE 将ADE 向上折起，在折起的图形中解答下列问题：
（1）在线段AB 上是否存在一点K ，使得//BC 平面DFK ?若存在，请正明你的结论；若不存在，请说明理由。

（2）若平面ADE 平面ABCE ,求证：平面BDE 平面ADE
13、如图，在四棱锥ABCD P 中，CD AB PA AB AC AB //,,,CD AB 2, N M G F E ,,,,分别是PC PD BC AB PB ,,,,的中点。

（1）求证：//CE 平面PAD ；
（2）求证：平面EFG 平面EMN
14、如图，直四棱柱1111D C B A ABCD 中，2,,//AB AB AD
CD AB ,AD=2，31AA ，E 为CD 上一点，3,1EC DE
（1）证明：BE
平面11CC BB ; （2）求点1B 到平面11C EA 的距离。