sin和cos的傅里叶变换推导

sin和cos的傅里叶变换推导
傅里叶变换是一种非常重要的信号处理技术，它最初是用来描述定义在时间域上的信号的
频域表示的。

傅里叶变换主要用来研究可积或者指数可积连续函数，比如可以用来分析
sin(x)和cos(x)这样的函数，它把函数的信息，根据频率分解，并画成以周期性变化的图形。

首先，我们可以推导出sin(x)的傅里叶变换，sin(x)属于广义函数，可以用以下式来定义：
sinx=∫-∞ ∞f(t)ei2πixtdt
通过计算积分，可以得到f (t)的傅立叶变换：
F(ω)=∫-∞ ∞f(t)e-iωt dt
由积分的定义，我们得出：
F(ω)=∫-∞ ∞ sin (x)ei2πixtdt=∫-∞ ∞ sin(x) e -iωt dt=π(δ(ω-
2πi)+δ(ω+2πi))
其中，δ (ω)是希尔伯特函数，表示δ函数的概念，表示ω等于i2π时取值1，其余
时候取值为0。

在上面的结果中，δ(ω-2πi)和δ(ω+2πi)表示ω取值为2πi和-
2πi时取值1，其余取值为0。

因此，我们可以得到sin (x)的傅里叶变换：
F(ω)=π(δ(ω-2πi)+δ(ω+2πi))
同理，我们可以推导出cos(x)的傅里叶变换：
cosx=∫-∞ ∞f(t)ei2πixtdt
由此可以得到，cos(x)的傅里叶变换为：
F(ω)=π(δ(ω-2πi)-δ(ω+2πi))
上述结果表明，sin(x)和cos(x)的傅里叶变换的形状相似，都由两个δ函数组成，只是在正负号上有差异。

上述两组式子也可以用下面的形式表达：
Cos(x)=π(δ(ω)+δ(ω-4πi))
Sin(x)=π(δ(ω)-δ(ω-4πi))
通过傅里叶变换，我们可以用很简单的方法来求解sin(x)和cos(x)，因此傅里叶变换非常实用，它在许多科学研究领域都有重要的作用。